1.Vertikal
va
gorizantal
simmetriya
o’qlarga
nisbatan
dekompazitsiya qilish.
Bu xolda (8.8) sistema n=2k da,
,
,
0
1
0
1
1
1
z
A
y
B
z
z
B
y
A
y
(8.12)
ko’rinishga , n=2k+1 da esa
,
)
(
,
0
1
1
0
2
0
1
0
1
1
1
,
1
1
1
1
1
2
1
z
A
x
a
y
B
z
z
a
x
a
y
a
x
z
B
x
а
y
A
y
k
T
k
k
k
T
k
k
(8.13)
ko’rinishga keladi. Bu yerda erkin qism sistemalar
,
1
y
A
y
(8.14)
,
0
1
z
A
z
(8.15)
.
1
1
,
1
1
k
k
k
k
x
a
x
(8.16)
ko’rinishlarda bo’lib,
1
1
,
B
A
- k-tartibli kvadrat matritsalar,
0
1
0
1
,
B
A
-mos ravishda
ularni markazga nisbatan transponirlangani, vektorlar esa
,
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
,
1
3
,
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
1
,
1
1
T
n
k
k
k
k
k
T
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
.
)
,
,
(
,
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
1
3
2
2
1
T
T
k
T
T
n
k
k
T
k
z
x
y
x
x
x
x
z
x
x
x
y
222
ko’rinishda aniqlangan.
(8.8) sistema muvozanat xolati turg’unligining yetarli shartlarini xosil
qilish uchun, (8.12) sistema va (8.14), (8.15) qism sistemalarga mos Lyapunov
matritsa funktsiyasi quyidagi ko’rinishda tanlanadi:
21
12
22
21
12
11
1
,
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
v
v
z
v
z
y
v
z
y
v
y
v
z
y
U
,
(8.17)
bu yerda
,
)
,
(
)
,
(
,
)
(
,
)
(
2
21
12
0
1
22
1
11
z
P
y
z
y
v
z
y
v
z
P
z
z
v
y
P
y
y
v
T
T
T
0
1
1
,
P
P
- bosh
dioganalga nisbatan simmetrik bo’lgan musbat aniqlangan matritsalar,
2
P
-
o’zgarmas matritsa bo’lib, bularning barchasi k-tartibli matritsalardir.
(8.13)sistema va (8.14), (8.15), (8.16) qism sistemalarga mos Lyapunov
matritsa funktsiyasi esa, quyidagicha tanlanadi.
ji
ij
ij
k
v
v
j
i
v
z
x
y
U
,
3
,
2
,
1
,
),
(
)
,
,
(
1
2
(8.18)
bu yerda
,
,
,
),
,
(
,
),
(
1
23
23
2
1
22
22
12
21
12
13
1
12
12
11
11
z
x
v
x
v
v
v
z
y
v
v
y
x
v
y
v
v
k
k
k
23
32
13
31
22
33
,
),
(
v
v
v
v
z
v
v
,
2
0
1
1
,
,
P
P
P
-matritsalar (8.17) dagidek aniqlanadi,
23
12
22
,
,
0
-lar xaqiqiy sonlar
2.O’zaro muvozanatlashuvchi qism sistemalarga nisbatan
dekompazitsiya qilish.
Bu xolda (8.8) sistema n=2k da
k
j
i
j
j
ij
i
ii
i
n
k
i
y
A
y
A
y
1
2
,...,
2
,
1
,
(8.19)
ko’rinishga, n=2k+1 da esa,
,
,
2
1
,...,
2
,
1
,
1
1
1
,
1
1
1
1
k
i
i
i
k
k
k
k
k
j
i
j
k
i
j
ij
i
ii
i
y
a
x
a
x
n
k
i
x
a
y
A
y
A
y
(8.20)
ko’rinishga keladi. Bu yerda
,
,
1
,
1
,
1
,
1
,
ij
j
n
i
j
n
i
ij
ij
ii
i
n
i
i
n
i
ii
ii
a
a
a
a
A
a
a
a
a
A
223
,
,
,...,
2
,
1
,
,
)
,...,
,
(
,
)
,
(
,
)
,
(
,
)
,
(
2
1
1
,
1
,
1
1
,
1
,
j
i
k
j
i
y
y
y
y
x
x
y
a
a
a
a
a
a
T
T
k
T
T
T
i
n
i
i
T
j
k
j
k
j
T
k
i
k
i
i
bo’lib,
ii
A
va
ij
A
lar matritsa markaziga nisbatan simmetrik bo’lgan
matritsalardir. Bu xolda i- erkin qism sistemalar
i
ii
i
y
A
y
(8.21)
ko’rinishda bo’lib, ularning muvozanat xolati turg’unligini yetarli shartlari
k
i
a
a
a
i
n
i
ii
ii
,...,
2
,
1
,
,
0
1
,
(8.22)
shartlardan,
1
1
,
1
1
k
k
k
k
x
a
x
(8.23)
qism sistema uchun muvozanat xolat turg’unligining yetarli sharti
0
1
,
1
k
k
a
.
(8.24)
dan iborat bo’ladi. (8.19) va (8.20) sistemalar, hamda (8.21), (8.23) qism
sistemalar uchun yuqoridagi kabi Lyapunov matritsa funktsiyalarini tuzish
mumkin.
§3. Lyapunov matritsa funktsiyasi usuli.
Lyapunovning matritsa funktsiyasi usuli Y.M.S. lar turg’unligi masalasi
bilan shug’ulanuvchi mutaxassislar tomonidan yaratilgan bo’lib, uning moxiyati
quyidagicha: Avval (8.4) qism sistemalarning har biri uchun
𝑣
𝑖𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
),
i=1,2,…,s Lyapunov funktsiyalari tuzilib,
(𝑆
𝑖
)
va
(𝑆
𝑗
)
qism
sistemalar orasidagi ta’sirlarni ifodalovchi bog’lanishlarga mos
𝑣
𝑖𝑗
(𝑡, 𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
) = 𝑣
𝑗𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
),
i,j=1,2,…,s
funktsiyalar shunday tanlanadiki, unda
𝑈(𝑡, 𝑥) = (
𝑣
11
(𝑡, 𝑥
1
) 𝑣
12
(𝑡, 𝑥
1
, 𝑥
2
) … 𝑣
1𝑠
(𝑡, 𝑥
1
, 𝑥
𝑠
)
𝑣
12
(𝑡, 𝑥
1
, 𝑥
2
) 𝑣
22
(𝑡, 𝑥
2
) … 𝑣
2𝑠
(𝑡, 𝑥
2
, 𝑥
𝑠
)
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
𝑣
1𝑠
(𝑡, 𝑥
1
, 𝑠
2
) 𝑣
1𝑠
(𝑡, 𝑥
2
, 𝑥
𝑠
) … 𝑣
𝑠𝑠
(𝑡, 𝑥
𝑠
)
)
(8.25)
224
matritsa funktsiya musbat aniqlangan bo’lsin. So’ngra (8.6) sistema uchun
Lyapunov funktsiyasi (8.25) matritsa funktsiya va
𝜂 = (𝜂
1
, 𝜂
2
, … , 𝜂
𝑠
)
𝑇
o’zgarmas vektor yordamida quyidagicha tuziladi:
V(t, x) = η
T
U(t, x)η (8.26)
(8.25) matritsa funktsiyaning musbat aniqlanganlik shartlaridan
foydalanib, (8.26) skalyar funktsiyaning musbat aniqlanganlik shartini quyidagi
ko’rinishda aniqlaymiz:
V(t, x) ≥ ψ
𝑇
(x)H
T
BHψ(x)
, (8.27)
bu yerda
ψ
𝑇
(x) = (|𝜓
1
(𝑥)|, |𝜓
2
(𝑥)|, … , |𝜓
𝑠
(𝑥)|)
,
𝐻 = 𝐻
𝑇
= 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜂
1
, 𝜂
2
, … , 𝜂
𝑠
)
,
B- o’zgarmas matritsa bo’lib, uning elementlari (8.25) matritsa funktsiya
elementlarini quyidan baxolashda xosil bo’ladigan o’zgarmaslarning algebraik
yig’indisidan ibarat bo’ladi. (8.27) tengsizlikdan ko’rinadiki, agar V o’zgarmas
matritsa musbat aniqlangan bo’lsa, (8.26) funktsiya ham musbat aniqlangan
bo’ladi.
(8.26) funktsiyadan (8.6) sistema yordamida olingan to’la xosilani
yuqoridan baxolab, quyidagi tengsizlikka kelamiz.
𝑉̇(t, x) ≤ ψ
𝑇
(x)Gψ(x)
, (8.28)
bu yerda G o’zgarmas matritsa bo’lib, uning elementlari (8.25) matritsa
funktsiya elemenlaridan (8.4) qism sistemalar va (8.6) sistema yordamida
olingan xosilalarni yuqoridan baxolash natijasida xosil bo’ladigan o’zgarmaslar
va
𝜂
𝑖
, i=1,2,…,s lar ishtirokida tuzilgan ifodalardan iborat bo’ladi. (8.28) dan
ko’rinadiki,
𝑉̇(t, x)
manfiy (yarim manfiy) aniqlangan bo’lishi uchun G-
o’zgarmas matritsani manfiy (yarim manfiy) aniqlangan bo’lishi yetarlidir.
(8.27) va (8.28) tengsizliklardan foydalanib, (8.1) yoki (8.6) sistema
muvozanat xolati asimptotik turg’unligi (turg’unligi)ning yetarli shartlarini
quyidagicha ifodalaymiz.
Teorema 8.1.
(8.1) tenglama bilan ifodalangan (S) Y.M.S. (8.6)
ko’rinishda dekompozitsiya qilingan bo’lib, uning uchun (8.25) matritsa-
funktsiya tuzilgan bo’lsin.
225
Agar V matritsa musbat aniqlangan bo’lib, G matritsa yarim manfiy
(manfiy) aniqlangan bo’lsa, (8.1) sistema muvozanat xolati x=0 turg’un
(asimptotik turg’un) bo’ladi.
Eslatma: A muammoni xal etishda (8.25) matritsa funktsiya bosh
dioganalidagi
𝑣
𝑖𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
), i = 1,2, … , s
elementlardan (8.4) qism sistemalar
bo’yicha olingan xosilalar aloxida baxolanishi shart, chunki bu baxo yordamida
(𝑆̂
𝑖
)
, i=1,2,…,s erkin qism sistemalarning turg’unligi masalasi xal etiladi. V
muammoni xal etishda esa bunday baxolash shart emas.
226
Adabiyotlar.
1.
Белман Р. В. Ведение теории матриц. – M. , Наука, 1976.
2.
Гельфонт И. М. Чизиыли алгебрадан лекциялар. -T. Олий ва щрта
мактаб. 1964
3.
Гантмахер Р. Теории матриц. − M.: Наука, 1967. − 576 с.
4.
Груйич Л.Т., Мартинюк А.А., Риббенс – Павелла M. Устойчивость
крупномасштабных систем при структурных и сингулярных
возмущениях. − Киев.: Наука. думка, 1984. − 307 с.
5. Демидович Б.П. Лекции по математическое теории устойчивости. –
M.: Наука, 1967. − 472 с.
6. Iskandarov D., Mullajonova J. Kvadratik formalarning ishoralari.
Respublika ilmiy-amaliy anjumani materiallari. – Andijon 2011. 67-68
betlar.
7. Kурош А. Г. Олий алгебра курси. Т. «Ўқитувчи» 1976
8. Кострикин А.И., Сборнык задач по алгебре. М., «Наука», 1986
9. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982. −277с.
10.Миладжанов В. Г., Муллажонов Р.В. Об одном методе анализа
устойчивости линейных крупномасштабных систем. // Узбекский
журнал Проблемы механики. − Ташкент, 2009. − № 2-3. −С. 28-30.
11.Миладжонов В.Г., Муллажонов Р.И., Абдугаппорова СH.Н.,
Транспонирланган ва симметрик матрицалар. –Андижон, илмий
хабарнома 2009-№1
12.Муллажонов Р.В. Обобщенное транспонирование матриц и
структуры линейных крупномасштабных систем // Украинский
журнал «Доп.НАН Украини». −Киев, 2009. - №11.С. 27 −35.
13.Муллажонов
Р.В.
Анализ
устойчивости
линейных
крупномасштабных систем. // Проблема механики. − Ташкент,
2010. −№2.−С. 4− 7.
14.Хожиев Ж.Х., Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси.
Т. “Ўзбекистон” 2001.
227
MUNDARIJA
SO’Z BOSHI…………………………………………………………………………….……3
I-BOB. MATRITSALAR ALGEBRASI........................................................6
§1. Matritsalar va ular ustida amallar………………………………………..6
§ 2. Umumlashgan transponirlangan matritsalar……………………..…....14
§ 3. Simmetrik matritsalar…………………………………………….…..…21
§ 4.
- matritsalar. Elementar bo‘luvchilar……………………………..….26
§ 5. Jordon kataklari………………………………………………..….…….29
§ 6. Asosiy teoremalar………………………………………………..………35
II-BOB.
KOMPLEKS SIMMETRIK, KOSOSIMMETRIK VA
ORTOGONAL MATRITSALAR...................................................................39
§1. Kompleks ortaganal va unitar matritsyalar
uchun ba`zi formulalar.............................................................................39
§
2. Kompleks matritsalarni qutub yoyilmasi................................................43
§3. Ko`mpleks simmetrik matritsalarning normal ko`rinishi…………...46
§
4. Kompleks kososimmetkir matritsaning normal ko`rinishi………...49
§5. Kompleks ortogonal matritsaning normal ko`rinishi……………….55
III-BOB
.
MATRITSALARNING SINGULYAR DASTASI………….…61
§1. Masalani qo`yilishi……………………………………………………….61
§2. Matritsalarning regulyar dastasi.............................................................62
§3. Singulyar dastalar. Keltirish xaqida teorema........................................66
§
4. Matritsalar singulyar dastasining kanonik formasi.............................72
§5. Dastaning minimal indeksi……………………………………………...75
§6. Kvadratik formalarining singulyar dastasi.............................................79
§7. Differentsial tenglamalarga tadbiqlar…………………………………..84
IV BOB. MANFIYMAS ELEMENTLI MATRITSALAR…………….….89
§1. Umumiy xossa……………………………………………………………..89
§2. Yoyilmaydigan manfiymas matritsaning spektral xossasi ……………91
§3. Yoyiluvchi matritsa...................................................................................101
§4
.
Yoyiluvchi matritsaning normal formasi................................................106
228
§5.
Primitiv va imirimitiv matritsalar...........................................................109
§6. To’la manfiymas matritsalar……………………………………………113
V-BOB. XOS QIYMATLARNI REGULYARLIGI VA
LOKALLIGINING HAR- XIL KRITERIYALARI……………………117
§1. Adamarning regulyarlik kriteryasi va uning umumlashgani………..117
§2. Matritsa normasi………………………………………………………...121
§3.
Adamar kriteriyasini blok matritsalarga kengaytirish………………124
§
4. Fidlerning regulyarlik kriteryasi............................................................126
§5. Gershgoran doirasi va boshqa lokallashtirish sohalari........................127
VI-BOB. MATRITSALI TENGLAMALAR........................ .....................134
§1.
XB
AX
tenglama.....................................................................................134
§ 2.
bo’lgan hususiy hol. O’rin almashinuvchi matritsalar................138
§ 3.
tenglama..................................................................................142
§4.
skalyar tenglama...........................................................................143
§5. Matritsali ko’phadli tenglamalar.............................................................145
§6. Hosmas matritsadan -darajali ildiz chiqarish....................................148
§7. Xos matritsadan -darajali ildiz chiqarish...........................................152
§8.Matritsa logarifmi......................................................................................158
VII. BOB. KVADRATIK FORMALAR VA ULARNING
TADBIQLARI................................................................................................162
§1. Kvadratik formalarda o’zgaruvchilarni almashtirish………………...162
§2. Inertsiya qonuni…………………………………………………………164
§3. Lagranj metodi……………………………………………..……………167
§4. Yakobi formulasi……………………………………………….……….169
§5. Kvadratik formalarning ishoralari……………………………………..172
§6. Kvadratik formalarni bosh o’qlarga keltirish…………………………176
§7. Kvadratik formalar dastasi……………………………………………..177
§8. Formalar regulyar dastasi harakteristik sonlarining
ekstremal xossasi…………………………………………………………….183
§9.Kvadratik formalar ustida amallar……………………………………..193
B
A
C
xB
Ax
0
x
f
m
m
229
§10.n-o’zgaruvchili kvadratik formalarni ikki o’zgaruvchili kvadratik
formalar yig’indisi shaklida yozish…………………………………………196
§11.Erkinlik darajasi bo’lgan sistemalarning kichik tebranishlari…...199
§12.Chiziqli yirik masshtabli sistemalar turg’unligi masalasiga bog’liq
bo’lgan ba’zi teoremalar…………………………………………………….204
§13. Dempfirlanishi va bikirligi oshkor xolatda vaqtga bog’liq bo’lib,
chiziqsiz bo’lgan sistema asimptotik turg’unligining yetarli shartlari…...212
VIII BOB. YIRIK MASSHTABLI SISTEMALAR
TURG’UNLIGINING UMUMIY MASALASI……………………………217
§1. Masalaning qo’yilishi……………………………………………………217
§2. Yirik masshtabli sistemalarning dekompozitsiyasi……………………219
§3. Lyapunov matritsa funktsiyasi usuli.……………………………..……223
ADABIYOTLAR…………………………………………………………….226
n
Dostları ilə paylaş: |