O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§ 4.  

- matritsalar. Elementar bo‘luvchilar.  
Ushbu  Ma’ruza  yordamchi  xarakterda  bo‘lib,    chiziqli  avtonom 
sistemalarning turg‘unlik shartlarini aniqlash uchun kerak bo‘ladigan yordamchi 
tushunchalarni o‘z ichiga oladi. 
Elementlari  qandaydir 

  parametrning    f
ij
  (

)  ko‘rinishdagi  ko‘pxadlaridan 
iborat bo‘lgan 
 
 
 
 
 
















nn
n
n
f
f
f
f
F





1
1
11
 
kvadratik matritsani qaraylik. Bunday matritsalar  

- matritsalar deyiladi. 

k
  (

)    (k

1,2,3,...,n)    orkali  F(

)    matritsaning  barcha  k-tartibli  minorlarining 
eng  katta  umumiy  bo‘luvchisini    belgilab,  bosh  xad    oldidagi    koeffitsientni  
birga  teng qilib tanlaymiz. Osongina ko‘rsatish mumkinki 

k
(

) ko‘pxadning bu  
aniqlanishidan  quyidagi  xulosani  chiqarish  mumkin:    agar  qandaydir  k-  tartibli 
minor  o‘zgarmas  songa  teng  bo‘lsa,    u  xolda   

k
 

 

k-1
 

...

 

1
 

1    bo‘ladi. 
Chunki  bu minor  

k
 ga bo‘linishi, 

k
 esa  

k-1
 , 

k-2
 ,..., 

1 

---

 
27 
larga bo‘linishi kerak. 
                                   
 
 
 







k
1
k
k
E
    k

1,2,3...n ,  

0

1                               (1.8) 
isbot  bilan  aniqlanuvchi  ko‘pxad    F(

)  matritsaning  invariant  ko‘paytuvchisi 
deyiladi. Ravshanki, 

k
(

)

E
1
(

)

E
2
 (

) ... E
k
 (

) 
bo‘lib, 

n
(

) o‘zgarmas ko‘paytuvchi aniqligida F(

)  ning determinantiga  teng, 
ya’ni 
            

n
 (

) 

 

 det F(

)

E
1
(

) E
2
(

)

E
n
 (

). 
E
k
(

) invariant ko‘paytuvchini ko‘paytuvchilarga ajratamiz. 
E
k
(

)

(

-

l
)
i
k1
 

(

-

2
)
i
k2

)))t(
t(x)),...,t
(t(x
)),t(x
)),...,t(
t(x),t(x,
t(f)t(
x
m
1
1








(

-

p
)
i
kp
 
bu yerda   

l
,

2
,...,

p
  lar detF(

)

0 
tenglamaning xar xil ildizlari.  
Aniqki  I
kr
>0 , k

1,2,...,n;  r

1,2,...,p. 
Bundan tashqari, agar kI
 bo‘lsa, l
kj
 kj
 bo‘ladi. Chunki E
k
(

) (1.8) ko‘pxad E
k
  
ko‘pxadga bo‘linadi. E
k
(

) ning ko‘paytuvchilari tarkibiga kiruvchi  o‘zgarmas  
sondan  farqli bo‘lgan (

-

r
)
Ikr
 ikkixad  

  matritsaning  elementar bo‘luvchilari 
deyiladi.  Ularning umumiy  sonini  m  bilan  belgilab, ularni o‘zlarini 
    ( 

-

1
)
1
i
, (

-

2
)
2
i
,  (

-

m
)
m
i
    
lar orqali belgilaymiz.  Chunki  

l
 sonlarning ichida o‘zaro tenglari bo‘lib , (

-

i
)
Ii
 binom xar xil E
k  
invariant ko‘paytuvchilar tarkibiga kirishi mumkin. 
     Misol:                        
  
 

















1
1
1
1
F
2
3
 
matritsa  uchun  quyidagi  to‘rtta  birinchi  tartibli      (

1)
3
,  (

1)
2
, 

1, 

1    
minorlarni tuzish mumkin bo‘lib, ularning eng katta bo‘luvchisi 

1

1 
bo‘ladi. 
     Berilgan misoldagi matritsa uchun  bitta  ikkinchi  tartibli  minor bo‘lib, 

---

 
28 

 
 

1
1
1
1
1
2
3
3












 
uning eng katta  umumiy bo‘luvchisi                     

2
 

(

1)
3
 
bo‘ladi. (1.8)  formuladan  foydalanib invariant ko‘paytuvchilarni   topamiz. 


2
1
2
2
1
1
1
E
,
1
E












 
Misolda  qaralayotgan  matritsa  uchun  elementar  bo‘luvchilar   

1, 

,  (

1)
2
 
bo‘ladi. Bu yerda ildizlar 

l

-1,  

2

0,  

3

4

-1 
Bu ildizlar   
detF(

)

0, 
tenglamaning  xam    ildizlari  bo‘ladi.    Ammo 

-1    tenglamaning  uch  karrali 
ildizi  bo‘lib,    bir  elementar  bo‘luvchi  uchun  oddiy,    boshqasi  uchun  ikki 
karralidir. 
F(

) matritsaning normal diogonal ko‘rinishi deb 












n
1
1
E
0
0
0
E
0
0
0
E







 
matritsaga  aytiladi.    Bu    yerda    E
1
,E
2
,...,E
n
-  F(

)  matritsaning  invariant 
ko‘paytuvchilari.    Masalan,    yuqorida  qaralgan  misoldagi  matritsaning  normal 
diogonal ko‘rinishi, 













2
1
0
0
1
                 
matritsadan iborat bo‘ladi. 

-  matritsalarni  elementar  almashtirishlar  deb  quyidagi  operatsiyalarga 
aytiladi: 
a) ikkita satr yoki ikkita ustunini o‘zaro almashtirish; 
b)  qandaydir    satri    (ustuni)    ning  barcha  elementlarini  bitta  noldan  farqli 
o‘zgarmas ko‘paytivchilarga ko‘paytirish; 

---

 
29 
 v)  qandaydir  satri  (ustuni)  ning  barcha  elementlarini  ko‘paytirilgan 
eementlarini  boshqa  satr  (ustun)  ning  mos    elementlariga  ko‘shish,    
+uyidagilarni isbotlash mumkin: 
a) 
Elementar 
almashtirishlar 

-matritsa 
elementar  bo‘luvchilarni 
o‘zgartirmaydi; 
b)  ixtiyoriy   

-matritsani  chekli  sondagi  almashtirishlar  bilan  normal 
dioganal ko‘rinishiga keltirish mumkin. 
Bu  jumlalarning  to‘g‘riligining  isbotini  keltirmay,  yuqoridagi  misoldagi 
matritsani normal shaklga keltiramiz: 

 


 


 














































































2
2
2
3
2
2
3
2
3
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 
Bu  yerda  avval  birinchi  satrni  ikinchisi  bilan  ,    birinchi  ustunni    щam 
ikkinchisi  bilan  almashtirdik.  Keyin  birinchi  ustundan  ikkinchisini  ayirdik. 
Nixoyat oxirida birinchi satrni  

l  ga ko‘paytirib ikkinchi satrdan ayirdik     
§ 5.  Jordon kataklari. 
Umuman  aytganda,    ko‘p    xollarda    elementar    almashtirishlar  elementar 
bo‘luvchilarni topishda ishlatiladi. 
     Quyidagi l
1
 tartibli matritsani qaraylik. 


























1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
J












 
 
Bunday ko‘rinishdagi matritsalar Jordon kataklari  yoki  elementar yashiklar 
deyiladi. 
Bundan foydalanib  J
1
-

E-

-matritsani tuzamiz; 
 

---

 
30 






































1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
E
J












 
 
Bu  matritsaning    birinchi    satr    va    oxirgi  ustunini  o‘chirib  qolgan 
elementlardan l
1
-1  tartibli minor tuzamiz. 
 



















1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1















 
Bu  minor  1  ga  teng  bo‘lgani  uchun   

1
 

 

2
 

i-1

1  bo‘ladi.    Ikkinchi 
tomondan yagona l
1
-tartibli minor quyidagiga teng: 
det(J
1
 - 

E)

(

1
 - 

) 
1
i
 
Demak, 

𝑙
1
 

(

- 

1
)
1
i
 
Bu yerda  

 va 

1
  larning o‘rinlari almashtirildi,  chunki  

l1
  ning bosh xadi 
oldidagi koeffitsienti 1 ga teng  bo‘lishi kerak 
(1.8) formuladan  foydalanib invariant ko‘paytuvchilarni topamiz: 
E
1
 

1,   E
2
 

1,  ..., 
1
i
E

1, 
1
i
E

(

- 

1
) 
1
i
. 
Bundan ko‘rinadiki, J
1
- 

E matritsa faqat bitta (

- 

1
) 
1
i
 
  ga teng elementlar bo‘luvchiga ega. 
Endi elementlari  a
kj
 o‘zgarmas sonlardan iborat bo‘lgan A ixtiyoriy kvadrat 
matritsani  karaymiz.    A-

E     

  -  matritsani  tuzamiz  (u  A  matritsaning 
xarakteristikasi deyiladi) 







nn
1
n
n
1
11
a
a
a
a
E
A





 

---

 
31 
Bu matritsaning elementar bo‘luvchilarini topamiz 
(

- 

1
)
1
i
 , (

- 

2
)
2
i
 , ... , (

- 

m
)
m
i
 
. 
Bu elementar bo‘luvchilarning xar biri 

k
    (k

1,2,3,...,m)  ildiziga o‘zining 
mos  J
k
  Jordon  katagi  mos  keladi.    Berilgan  A  matritsa  uchun    Jordonning  
normal ko‘rinishi deb,  diogonaldagi elementlari Jordon  kataklaridan,  qolgan  
elementlari  nollardan iborat bo‘lgan 
m
2
1
J
0
0
0
J
0
0
0
J
J








 
ko‘rinishdagi matritsaga aytiladi. 
Ravshanki,  J-

E  matritsaning  elementar  bo‘luvchilari  xarakteristik  matritsa  
elementar  bo‘luvchilari bilan ustma ust tushadi. 
Bundan tashkari, 
¦A-

E¦ 

 0 
xarakteristik  tenglamaning  ildizlari  elementar    bo‘luvchilarning  ildizlari  bilan 
ustma-ust tushadi. 
Misol 1.  
2
2
1
5
1
1
1
4
0
0
1
1
1
1
1
2
A









 
Bu matritsani Jordonning normal ko‘rinishiga keltirish uchun  avval  A-

E  
xarakteristik  matritsaning  elementar bo‘luvchilarini topamiz. 
 



















2
2
1
5
1
1
1
4
0
0
1
1
1
1
1
2
E
A
 
 

---

 
32 
Buning  uchun    elementar  almashtirishlardan  foydalanamiz.    Birinchi  satrni   
-1 ga ko‘paytiramiz.  Keyin oxirgi ustunni -(2

 

) ga ko‘paytiramiz va  birinchi 
ustunga qo‘shamiz;  bundan keyingi oxirgi 
ustunni ikkinchi va uchinchi ustunlargday ayiramiz: 
























2
1
1
1
2
2
0
0
1
1
1
0
0
0
E
A
2
 
Birinchi  satr  uchinsiga  qo‘shamiz,    keyingi  birinchi  satrni    2-

    ga 
ko‘paytirib to‘rtinchi  satrdan  ayiramiz;  bundan  keyin  oxirgi ustunni birinchi 
ustun o‘rniga keltiramiz: 



















1
1
0
2
2
0
0
1
1
0
0
0
0
1
E
A
 
Ikkinchi ustunni 1

 ga ko‘paytirib, uchinchi ustunga qo‘shamiz 






































2
2
2
1
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E
A
 
Endi ikkinchi satrni avval -2-

 ga  ko‘paytirib,  uchinchi satrga ko‘shamiz; 
keyin    ikkinchi    satrni  -(l

)
2
  ga  ko‘paytirib  to‘rtinchi  ustunga  ko‘shamiz.  
Bundan  keyin  to‘rtinchi  ustunni  -(1-

)  ga    ko‘paytirib  uchinchi  ustunga 
qo‘shamiz: 























2
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E
A
 
Uchinchi  satrni  to‘rtinchi  satrga  qo‘shamiz,    keyin  bu  satrni    -1    ga 
ko‘paytirib, to‘rtinchi ustunni uchinchi ustun bilan almashtiramiz: 

---

 
33 


















2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
 
 
Nihoyat  A-

E  xarakteristik  matritsaning  normal  diogonal  ko‘rinishi  hosil 
bo‘ldi. Bundan quyidagilarni topamiz: 
E 
1

1, E
2

1, E
3

, E
4

(1

)
2 
Demak, A-

E matritsa ildizlari    

l

0,    

2

0,  

3

4

-1, 
bo‘lgan uchta 

, 

 , (

l)
2
 
elementar bo‘luvchiga ega. 
Har bir elementar bo‘luvchiga o‘zining Jordon katagi mos keladi: 

l

0 da l
1

1;  

2

0 da l
2

0 ;  

3

-1 da l
3

2 
bo‘lgani uchun 
J
1

[0]    J
2

[0] 









1
1
0
1
J
3
 
Endi  qaralayotgan  matritsa  uchun  Jordonning  normal  ko‘rinishini 
quyidagicha yozamiz: 















1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
J
 
 





















3
3
2
6
3
2
0
5
0
0
1
1
1
1
1
2
A
 
Avval xarakteristik matritsani tuzamiz. 

---

 
34 































3
3
2
6
2
2
0
5
0
0
1
1
1
1
1
2
E
A
 
 
Elementar almashtirishlar yordamida bu  

 matritsani quyidagi ko‘rinishdagi 
normal diogonal ko‘rinishga keltiramiz:     




















2
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E
A
 
Bundan invariant ko‘paytuvchilarni topamiz: 
E
1

1,  E
2

1,  E
3

1,  E
4

2
(

1)
2
 
Demak, A-

E  matritsa ildizlari 

l

2
 

0 ,  

3

4

-1 
bo‘lgan  faqat  ikkita   

2
,    (

1)
2
    elementar  bo‘luvchilarga  ega  bulib,  xar  bir 
elementar bo‘luvchiga bittadan  
1
1
0
1
J
0
1
0
0
J
2
1




 
 
Jordon kletkasa mos keladi. 
     Endi qaralayotgan  matritsa  uchun jordonning normal formasini yoza olamiz. 















1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
J
 
Bu  misolardan    shuni    ko‘ramizki,    xar  ikkala  misolning  xarakteristik 
tenglamalari  bir  xil  ildizga  ega,    ammo  Jordonning  normal  formasi  xar  xil.  
Buning sababi shuki birinchi misolning xarakteristik matritsasi uchta elementar 
bo‘luvchiga, ikkinchi misoldagi matritsa esa faqat ikkita elementar bo‘luvchiga 
ega. 
 

---

 
35