O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§ 6.  Asosiy teoremalar. 
Endi  bizning  keyingi  izlanishlarimizda  kerak  bo‘ladigan  ikkita  chiziqli 
algebraning teoremalarini isbotsiz keltiramiz 
Teorema1.1.
 Agar 

 matritsa maxsusmas bo‘lsa,  u xolda A-

E va  

A

-1
 -

E matritsalarning elementar bo‘luvchilari bir xil bo‘ladi. Aksincha, agar A-

E 
va    B- 

E  matritsalarning  elementar  bo‘luvchilari  bir  xil  bo‘lsa,  u  xolda  xar 
doim B

A

-1
 tenglikni qanoatlantiruvchi 

 maxsusmas matritsa topiladi. 
Ayrim mualliflar  bu  teoremani algebraning asosiy teoremasi deb ataydilar.  
Teorema1.2.
    Agar  A  va  C  lar  s  -  tartibli  simmetrik,  kvadratik  matritsalar 
bo‘lib, A aniq ishorali bo‘lsa, u xolda 
1) det(A 

C)

0 xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy; 
2) har  doim shunday 

 maxsusmas matritsa topiladiki,  unda 

T
A

E , 

T
C

S
0 
bo‘ladi. 
Bu yerda E birlik matritsa. 













s
2
1
0
c
0
0
0
c
0
0
0
c
C







 
bo‘lib, c
1
, c
2
,..., c
s
  lar xarakteristik tenglamaning ildizlari. 
Teoremaning  ikkinchi  qismi  quyidagi  tasdiqqa    teng    kuchlidir:  Agar 
quyidagi ikkita 






s
1
k
s
1
i
i
k
ki
x
x
a
2
1
x
x
A
1
1
T
, 







s
1
k
s
1
i
i
k
ki
x
x
c
2
1
x
x
C
1
1
, 
kvadratik  formalar    berilgan    bo‘lib,    ularning    birinchisi  musbat  aniqlangan 
bo‘lsa,  u  xolda  shunday   

  maxsusmas  matritsali    x

 

z  chiziqli  almashtirish 
topiladiki, unda 


2
s
2
2
2
1
z
z
z
2
1
z
z
2
1
T







 

---

 
36 


2
s
s
2
2
2
2
1
1
0
z
c
z
c
z
c
2
1
z
z
c
2
1








 
Teorema1.2 ning ikkinchi qismidagi ikkinchi tengligidan 
detC
0

det 

t
 detC det 

 
tenglikni  hosil    qilib,  detS
0

detC  ekanligini  e’tiborga  olsak  va  det 

    deb 
olsak, 
detC
0
 

  

2
 detC 
hosil bo‘ladi. 
Shuning  uchun  C
0
  diogonal  matritsa  bo‘lgani  uchun  detC
0

c
1
  c
2
  ...    c
s
  , 
bo‘lib,  s
1
 s
2
 ... s
s
 

detC ko‘rinishni oladi . 
Bundan  tashkari    ortogonal  almashtirishda  ixtiyoriy  B  kvadrat  matritsaning 
izi  

T
B

 matritsaning iziga teng, ya’ni 
C
p
 B 

 C
p
Λ
𝑇
 B 

 
ekanligini isbotlash mumkin. 
Mashqlar: 
1.
 
Quyidagi matritsalar ustida algebraik amallarni bajaring. 
a)  A=
(
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
)
                  В=
(
4
6
0
−3 −5 0
−3  −6 1
)
 
b) 
А = (
13
16
16
−5 −7 −6
−6 −8 −7
)
                В=
(
3
0
8
3
−1
6
−2
0
−5
)
        
c) 
А = (
−4 2 10
−4 3
7
−3 1
7
)
                    В=
(
7
−12 −2
3
−4
0
−2
0
−2
)
        
d) 
А = (
−2
8
6
−4 10
6
4
−8 −4
)
                В=
(
0
3
3
−1
8
6
2
−14 −10
)
        
e) 
А = (
−1
1
1
−5
21
17
6
−26 −21
)
            В=
(
8
30
−14
−5 −19
9
−6 −23
11
)
        
f)
 А = (
4
5
−2
−2 −2
1
−1 −1
1
)
                 В=
(
3
7
−3
−2
−5
2
−4 −10
3
)
        

---

 
37 
g)
 А = (
9
22 −6
−1 −4
1
8
16 −5
)
                В=
(
1 −1 2
3 −3 6
2 −2 4
)
        
2.
 
Quyidagi matritsalarning normasini xisoblang. 
1.
 
(
0
4       10
1
4
8      18
7
10 18     40 17
 1     7       17      3  
)
            2.
 (
4
1 1
−4 2 0
1
2 1
)
           3.
 (
2
1 0
1
1 2
−1 2 1
)
                       
4.
  (
2
1       11
2
1
0       4    −1
11
4     56
5
 2    − 1      5       6  
)
            5.
(
−1
1
2
−1
4
0
1
−1 3
)
        6. 
(
1 2 1
2 1 2
1 2 3
)
     
3.
 
Umumlashgan  transponirlangan  matritsalarning  1-12  xossalarni 
isbotlang. 
4.
 
Umumlashgan  transponirlangan  matritsalarning  boshqa  xossalarini 
aniqlang. 
5.
 
Umumlashgan simmetrik  matritsalarning 1-10 xossalarni isbotlang. 
6.
 
Umumlashgan simmetrik  matritsalarning boshqa xossalarini aniqlang. 
7.
 
Quyidagi 

 - matritsalarni avval elementar almashtirishlar yo’li bilan, 
so’ngra invariant ko’paytuvchilardan foydalanib kanonik ko’rinishga 
keltiring. 
1.
 
𝐴(𝜆) = ‖𝜆
4
+ 𝜆
2
+ 𝜆 − 1 𝜆
3
+ 𝜆
2
+ 𝜆 + 2
2𝜆
3
− 𝜆
2𝜆
2
+ 2𝜆
‖
 
2.
 
𝐴(𝜆) = ‖𝜆
2
+ 𝜆 + 1
𝜆
3
− 𝜆 + 2
2𝜆
𝜆
2
− 3𝜆 − 1
‖
 
3.
 
𝐴(𝜆) = ‖𝜆
2
+ 1
1
𝜆
𝜆
2
+ 𝜆
‖
 
4.
 
𝐴(𝜆) = ‖ 𝜆
𝜆 + 1
𝜆
2
− 𝜆 𝜆
2
− 1
‖
 
5.
 
𝐴(𝜆) = ‖
0
1
𝜆
𝜆
𝜆
1
𝜆
2
− 𝜆 𝜆
2
− 1 𝜆
2
− 1
‖
 
6.
 
𝐴(𝜆) = ‖ 𝜆
2
𝜆 + 1
𝜆 − 1
𝜆
2
‖
 
7.
 
𝐴(𝜆) = ‖
𝜆
𝜆
2
0
𝜆
2
𝜆
2
0
0
0
2𝜆
‖
 

---

 
38 
8.
 
Quyidagi matritsalarni Jordonning normal formasiga keltiring. 
  
(
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
)
                  
(
4
6
0
−3 −5 0
−3 −6 1
)
 
  
(
13
16
16
−5 −7 −6
−6 −8 −7
)
                  
(
3
0
8
3
−1
6
−2
0
−5
)
        
  
      (
−4 2 10
−4 3
7
−3 1
7
)
                      
(
7
−12 −2
3
−4
0
−2
0
−2
)
        
      (
−2
8
6
−4 10
6
4
−8 −4
)
                 
(
0
3
3
−1
8
6
2
−14 −10
)
        
(
−1
1
1
−5
21
17
6
−26 −21
)
             
(
8
30
−14
−5 −19
9
−6 −23
11
)
        
 
     (
4
5
−2
−2 −2
1
−1 −1
1
)
                  
(
3
7
−3
−2
−5
2
−4 −10
3
)
        
 
     (
9
22 −6
−1 −4
1
8
16 −5
)
                   
(
1 −1 2
3 −3 6
2 −2 4
)
        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

 
39 
II-BOB 
KOMPLEKS   SIMMETRIK, KOSOSIMMETRIK VA  
ORTOGONAL MATRITSALAR. 
 
     Ushbu bob  kompleks  simetrik,  kososimmetrik  va  ortoganal  
matritsyalarni o`rganishga  bag`ishlangan  bo`lib,  unda  bu matritsiyalar  
qanday elementlar  bo`luvchilarga  ega  bo`lishi    mumkinligi  va   ularning  
norma  formalari qarab  chiqiladi. Bu formalar   oddiy  xolatdagiga  qaraganda  
sezilarli  darajada murakkab  strukturaga   ega.   
 
§1. Kompleks  ortaganal   va   unitar  matritsyalar                                                                                                     
uchun  ba`zi  formulalar. 
 
 
Lemma 2.1.
 
L
 agar  
G
 matritaya  bir  vaqitning  o`zida  Ermit matritsyasi  
bo`lib,  ortogonal  bo`lsa,  ya`ni 
1



G
G
G
T
  bo`lsa, u  holda  u quydagi  
ko`rinishda   tasvirlanadi:  
                        
 
   
iK
Ie
G

,                         
 
                    (2.1) 
bu  yerda  
I
-xaqiqiy  simmetrik  involyutiv  


E
I

2
  klatritsa, 
I
K

 bilan   o`rin  
almashinuvchi  bo`lgan  kososimmetrik  matritsya:  
                                       
T
T
K
K
K
E
I
I
I
I






,
,
2
                          (2.2) 
      Agar  

G
 yuqoridagilarga  qo`shimcha  ravishda  musbat  aniqlangan  ermit  
matritsasi   bo`lsa, (1)   formulasida  
E
I

 bo`lib, 
                                            
iK
e
G

,               
 
    
                   (2.3) 
bo`ladi. 
 
Isboti.
  
iT
S
G


   
 
 
                    (2.4) 
 bo`lsin,  bu  yerda  
S
va
T
-xaqiqiy  matritsalar. U holda  
                                          
iT
S
G


  va  
T
T
T
iT
S
G


    
                    (2.5) 
Shuning  uchun  
T
G
G

  tenglikdan  
T
T
T
T
S
S



,
, ya`ni  
S
-simmetrik, 
T
- kososimmetrik  ekanligi  kelib  chiqadi. Bundan  tashqari  (2.4) va (2.5) ga         

---

 
40 
asosan  
E
G
G

  tenglikdan 
                                
       
TS
ST
E
T
S



,
2
2
                     
          (2.6) 
ni  hosil  qilamiz. Buning  ikkinchisidan  
S
 va 
T
 ning  o`zaro  kommutativligi  
kelib  chiqadi.  
    Malumki,    o`zaro    kommutativ    matritsalar    bir    hil      xaqiqiy    ortogonal  
almashtirish    bilan    kvazidioganal      kanonik  formaga      keltiriladi.    Shuning  
uchun 
           




1
1
1
2
2
2
1
1
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,






O
O
O
O
s
s
s
s
s
s
s
s
O
S
n
q
q
q
,   
                        (2.7) 


,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
1
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0





O
O
O
O
O
T
q
q
t
t
t
t
t
t
 
 bu yerda 
i
i
t
s
,
-xaqiqiy  sonlar.  Bundan,   
    
1
1
2
.
.
.
,
,
,
...
,
,
2
2
2
2
1
1
1
1
















O
s
s
s
it
it
s
s
it
it
s
s
it
it
s
O
iT
S
G
n
q
q
q
q
q
             (2.8) 
Ikkinchi  tomondan (2.7)  ifodalarni   (2.6)  ga  qo`yib  quyidagilarni   topamiz; 
              
1
,
.
.
.
,
1
,
1
,
.
.
.
,
1
,
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1











n
q
s
s
t
s
t
s
t
s
q
q
     
          (2.9) 
Endi  tekshirib   ko`rish  mumkinki  
it
s
s
it

 tipdagi  matritsalarni   
1
2
2


t
s
  
shartdan  har  doim  quyidagi   ko`rinishda  tasvirlash  mumkin:  
              
 
 
 
,
0
0






i
e
it
s
s
it
 
bu  yerda  
.
,
,
signS
sh
t
ch
s







 . Shuning  uchun  (2.8) va (2.9) ga  asosan  
quydagiga   ega  bo`lamiz:  
                 
1
0
0
2
0
0
2
1
0
0
1
1
,
.
.
.
,
1
,
.,
.
.
,
,
















O
e
e
e
O
G
q
q
i
i
i






     
       (2.10) 
yani 
     
 
 
 
 
iK
Ie
G

, 
bu  yerda   


1
,
1
,
.
.
.
,
1
,
1





O
O
I
, 
                            


1
1
1
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
0
0
0
0




O
O
O
O
O
T
q
q




    
                  (2.11) 
va   

---

 
41 
  
KI
IK

  
        Agar 
G
-musbat    aniqlangan    ermat    matritsasi    bo`lsa,  uning    barch  
xarakteristik      sonlari      musbat    bo`ladi.    Ammo    (2.10)ga    asosan   
G
ning   
xarakteristik  sonlari 
1
,
.
.
.
,
1
,
,
,
,
1
1








q
q
e
e
e
e




 
 bo`ladi.  
Shuning    uchun   
G
-musbat    aniqlangan    bo`lganda    (2.10)  va  (2.11)    dagi   

 
ishoralar  

 ishora  bilan  almashtirilib,  


E
O
O
I



1
,
1
,
.
.
.
,
1
,
1
 
bo`ladi.  
Teorema 2.1.
  
O
-kompleks  orthogonal  matritsa  xar  doim   quydagi  
ko`rinishda  tasvirlanadi;  
                                                
iK
O
Re

 
 
 
 
                  (2.12) 
bu  yerda  
R
-xaqiqiy  orthogonal  matritsa, 
K
-xaqiqiy  kososimmetrik  matritsa  
yani   
                                         
T
T
K
K
K
R
R
R






,
1
 
 
                (2.13) 
Isbot. 
 Faraz  qilaylik  (2.12)  formula   o`rinli  bo`lsin.  U    holda      
T
iK
T
R
e
O
O


*
  va  
iK
iK
T
iK
e
R
e
O
O
2
Re
*


 
bo`lib, 
 
 
 
 
                   
iK
e
O
O
2
*

 
 
 
 
                  (2.14) 
tenglikdan  
K
matritsani  aniqlashimiz  mumkin.  
K
ni  aniqlaganimizdan   keyin  
(2.12)  tenglikdan 
R
ni   topamiz 
 
 
 
 
 
iK
e
O
R


   
 
 
                  (2.15) 
U    holda   
E
Oe
O
e
R
R
iK
iK



*
*
,    yani   
R
-unitar    matritsa    bo`ladi.  
Ikkinchi  tomondan (2.15) dan  kelib  chiqadiki,  ikkita  orthogonal  matritsaning  
ko`paytmasidan  iborat  bo`lgan  
R
  matritsa  o`zi  orthogonal,  yani  
E
K
R
T

  
bo`ladi.   

---

 
42 
Demak, 
R
  bir  vaqitning  o`zida  ham  orthogonal,  ham  unitary  bo`ladi,  
bundan  uni  xaqiqiy  ortogonalligi  kelib  chiqadi.   (2.15) ni (2.12)  ko`rinishda  
yozish  mumkin.  
Lemma 2.2.  
Agar  
D
 matritsa  bir  vaqitda  simmetrik  va  unitar,  yani 
1



D
D
D
T
   
bo`lsa, u xolda   u   xar  doim   quydagi   ko`rinishda  tasvirlanadi.  
                                       
,
iS
e
D

 
 
                                              (2.16) 
bu  yerda  
S
-xaqiqiy  simmetrik  matritsa,   yani   
T
S
S
S


 
Isboti.  
                                       


V
V
U
U
iV
U
D




,
     
 
                  
(2.17) 
bo`lsin.  U holda  
T
T
T
iV
U
D
iV
U
D




 
bo`lsin   
T
D
D

  dan  
T
T
V
V
U
U


,
   kelib  chiqadi,  yani  
U
 va 
V
 lar  xaqiqiy  
simmetrik   matritsalar.  
E
D
D

 
  tenglikdan  
                                    
VU
UV
E
V
U



,
2
2
 
 
                           (2.18) 
kelib  chiqadi. 
   
U
  va 
V
    matritsalar    o`zaro    kamutativ      bo`lgani    uchun    ular      bir    xil  
ortogonal    almashtirish    bilan    kanonik    ko`rinishga    keladi.    Shuning    uchun  
quydagilarni  xosil  qilamiz: 
             




,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
1
2
1
1
2
1




O
t
t
t
O
V
O
s
s
s
O
U
n
n
 
 
                 (2.19) 
bu    yerda   
n
k
t
s
O
O
O
t
k
,
1
,
,
,
1




-xaqiqiy      sonlar      (2.18)    ning    birinch    
tengligidan     
n
k
t
s
k
k
,
1
,
1
2
2



    kelib    chiqadi.  Shuning    uchun  shunday   
n
k
k
,
1
,


    xaqiqiy    sonlar    mavjud    bo`lib,   
n
k
t
s
k
k
k
k
,
1
,
sin
,
cos





  
bo`ladi.   Bu  ifodalarni  (2.19) ga  qo`yib,  (2.17) ga  asosan   quydagini   hosil   
qilamiz.  
 
                           


,
,
.
.
.
,
1
1
iS
i
i
e
O
e
e
O
D
n





  
 
 
        (2.20) 

---

 
43 
bu  yerdan  


1
2
1
,
.
.
.
,
,


O
O
S
n



  (2.20) dan  
T
S
S
S


  ekanligi  kelib  
chiqadi. 
 
Teorema  2.2. 
 
U
-unitar    matritsani    xar    doim    quydagi    ko`rinishda  
tasvirlash mumkin: 
                                                
,
Re
iS
U

 
 
              
 
        (2.21) 
bu  yerda  
R
-xaqiqiy  ortogonal  matritsa,  
S
-xaqiqiy  simmetrik  matritsa,  yani  
 
 
 
 
 
T
S
S
S
R
R
R





,
1
   
 
       (2.22) 
 
Isboti.
  (2.21)  formuladan  
 
 
 
 
 
T
iS
T
R
e
U

   
 
 
 
       (2.23) 
kelib  chiqadi.  (2.21) va (2.23)  ni  xadlab  ko`paytirib,  (2.22) ga  asosan  
ni  xosil  qilamiz 
 
 
 
                    
iS
T
e
U
U
2

   
 
 
                 (2.24) 
tenglikdan  lemma 2  ga  asosan  
S
ni  aniqlash  mumkin.  Shundan  so`ng   
R
  
matritsani  
 
 
   
                  
iS
Ue
R


 
 
 
 
                (2.25) 
ko`rinishda  aniqlaymiz. U  holda  
T
iS
T
U
e
R


  bo`lib,  (2.24), (2.25) va (2.26) 
dan  
E
Ue
U
e
R
R
iS
T
iS
T




 
kelib  chiqadi.  
Ikkinchi    tomondan,  (2.25)  ga    asosan, 
R
  ikkita      unitary    matritsalar    
ko`paymasidan    iborat,    demak,   
R
-unitar    matritsa    bo`lib,    u  bir  vaqitning  
o`zida  ham ortogon,  ham  unitar   matritsa  bo`ladi.  Bundan 
R
 ning  xaqiqiy  
matritsa    ekanligi    kelib    chiqadi.   (2.25)  formulani    (2.21)  ko`rinishda    yozish  
mumkin.