O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

 
§5. Kompleks  ortogonal   matritsaning  normal  ko`rinishi. 
Teorema  2.9.
    1.Agar   


O


1
2
0
0


  ortogonal    matritsaning   
xarakteristik  son bo`lib,  bu  xarakteristik  songa  mos   elementar  bo`luvchilar  
 
 
 






t
j
j
j
0
2
0
1
0
,
.
.
.
,
,









 
 
lar  bo`lsa  u holda  
0
1

  ham  
O
 matritsaning  xarakteristik  soni bo`lib,    bu  
xarakteristik  songa  mos  elementar  bo`luvchilar   
 
 
 

 



t
j
j
j
1
0
2
1
0
1
1
0
,
.
.
.
,
,












 
bo`ladi.  
    2.  Agar 
O
1
0



  ortogonal    matritsaning        xarakteristik    soni    bo`lsa,    u  
holda bu  
0

 xarakteristik  songa  mos  juft  darajali  elementar    bo`luvchilar   
juft  son  marta  takrorlanadi.  

---

 
56 
Isboti. 
1.  Ixtiyoriy   
O
  xosmas    matritsadan   
1

O
    matritsaga    o`tganda  


i
0



  elementar bo`luvchi  


i
1
0




  elementar   bo`luvchi bilan almashadi.   
Ikkinchi      tomondan     
O
  va 
T
O
  matritsalar    xar    doim    bir    xil  elementar  
bo`luvchilarga  ega.     Shuning  uchun    
1


O
O
T
 ortogonallik  shartiga ko`ra  
teorema  9  ning  birinchi   q`ismi  isbotlanadi. 
     2.  Faraz      q`ilaylik    1    soni      matritsaning      xarakteristik    soni    bolib  ,  -1  
xarakteristik  soni  bo`lmasin, ya`ni  
.
0
,
0




O
E
O
E
 U holda 
K
 matritsani  
quyidagi   tenglik  bilan  aniq`laymiz: 
 
 
 
 
 



1




O
E
O
E
K
 
Bevosita    tekshirib      ishonch    hosil    q`ilish    mumkinki, 
K
K
T


  ya`ni   

K
kososimmetrik   boladi.   (2.74)  dan. 
 
 
 
 
 



1




K
E
K
E
O
 
ni      aniq`lab, 
 






1
1
f
  deb      olsak   
 


2
1
2
`





f
    bo`ladi.    Demak, 
K
 
matritsadan  
 
K
f
O

 matritsaga  o`tganda  elementar  bo`luvchilar  yoyilmaydi.  
Shuning    uchun   
O
  matritsa    elementar      bo`luvchilar    sistemasidagi   


p
2
1


  
ko`rinishdagi    elementar      bo`luvchilar    juft      son    marta    takrorlanadi,  
shuningdek   
K
      matritsaning   
p
2

    ko`rinishdagi    elementar    bo`luvchilari  
uchun    xam    bu    o`rinli. 


    xarakteristik    son    bo`lib,    1    xarakteristik    son  
bo`lmagan  xol   
O
  matritsani  
O

matritsa  bilan  almashtirish  yo`li  bilan xal  
qilinadi.  
   
1
0



  ning    xar    ikkalasi    ham    xarakteristik    son    bo`gan    holni    qarab  
chiqamiz. 
 


 bilan  
O
  matritsaning   minimal  ko`phadini  belgilaymiz. 
    Teoremaning      birinchi    q`ismiga    asosan   
 


ni    quyidagi    korinishda  
yozishimiz  mumkin. 
 
 
  
 





.
,
.
.
.
,
2
,
1
,
1
,
1
1
2
1
1
2
n
j
j
p
j
n
j
p
j
m
m
j
j



















 

---

 
57 
Darajasi   
m
  dan    (
 



m
  ning    darajasi)    kichik    bo`lgan   
 
1
1

g
    bo`lib, 
O
 
matritsa   spektiridagi   barcha   qolgan  
1

m
ta  qiymati  no`lga  teng  bo`lgan  
 

g
  ko`phadni   qaraymiz  va   
 
 
 
 
O
g
P

 
 
 
 
 
                  (2.75) 
deb  olamiz 
    
O
matritsaning  spektorida  
 










1
2
g
va
g
  funksiyalar  
 

g
  funksiya  qabul    
qilingan  qiymatlarni  qabul  qiladilar.Shuning  uchun 
  
 
 
 
   
P
O
g
O
g
P
P
P
T
T





1
2
,
   
 
        (2.76) 
 ya`ni   

P
simmetrik  tasvirlovchi   matritsa.  
    
 

h
  ko`pxad  va  
Q
  matritsalarni  quydagicha  aniqlaymiz.  
  
  
,
1



g
h


   
 
 
 
        (2.77) 
  

P
E
O
O
h
Q



  
 
 
 
        (2.78)  
 


m
h

    daraja     
O
    matritsa    spektorida    nolga    aylanib,   
 


  ga    qoldiqsiz  
bo`linadi,  Shuning  uchun 
,
1
O
Q
m

 
ya`ni  
,
m
Q

nilpoteng    indeksli  nilpoteng  matritsa,  (2.78)  dan 


P
E
O
Q
T
T


 
 
 
 
                  (2.79) 
endi  


E
O
Q
R
T
2


 
 
 
 
                  (2.80) 
matritsani  qaraymiz.  
    (2.76),  (2.78) va  (2.79)dan    quydagi kelib  chiqadi: 


P
O
O
Q
QQ
R
T
T




2
 
   Bundan  ko`rinadiki,  

R
kososimmetrik  matritsa. Ikkinchi tomondan      
(2.80)  dan  
                                  


,
.
.
.
,
2
,
1
2



k
E
O
Q
R
k
T
k
k
                                  (2.81) 
Ammo  
T
Q
 matritsa  
Q
 matritsa  kabi   nilpoteng  matritsa,  shuning  uchun  
O
E
Q
T


2
 

---

 
58 
Shuning  uchun  (2.81) dan  kelibchiqadiki,  ixtiyoriy  
K
 uchun  
K
R
 va 
K
Q
 lar  
bir  xil  ranga  ega.  
    Ammo 
k
  toq    bo`lganda   
k
R
    kososimmetrik    matritsa    bo`lib,    juft    ranga  
ega.  Demak,  
.
.
.
,
,
,
5
3
Q
Q
Q
 
matritsalar  juft  ranga  ega  bo`ladi.  
      Shuning    uchun   
§
4  da   
K
    matritsa      uchun    aytilgan    muloxazalarni   
Q
  
mateitsa    uchun    ham    takrorlab,     shunday    xulosaga    kelishimiz    mumkin, 
Q
  
matritsaning    elementar        bo`luvchilar    orasidagi   
p
2

    ko`rinishdagi  
bo`luvchilar    juft    son    marta    takrorlanadi.    Ammo   
Q
    matritsaning    xar    bir  
p
2

   elementar  bo`luvchisiga  
O
 matritsaning  


p
2
1


 elementar  bo`luvchisi  
mos  keladi  va  aksincha. Bundan  kelib  chiqadiki,  
O
 matritsaning    elementar  
bo`luvchilarining   


p
2
1


   ko`rinishdagi  juft  son  marta  takrorlanadi.  
         


p
2
1


      elementar  bo`luvchilar        uchun      shunday    tasdiqni  
isbotlanganlarni  
O

  matritsaga  qo`llab  xosil  qilish  mumkin.   
Teorema  2.10. 
  Ixtiyoriy        quydagi    ko`rinishdagi      darajalar   sistemasi   
qandaydir   
O
kompleks    ortoganal    matritsaning    elementar  bo`luvchilari 
sistemasi  bo`ladi:  











 



sonlar
toq
t
t
t
q
q
q
i
j
w
v
v
t
t
t
v
q
q
q
p
p
j
j
j
j
j












,
.,
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
,
1
,
.
.
.
,
1
,
1
,
1
,
.
.
.
,
1
,
1
,
.
.
.
,
2
,
1
,
0
,
,
2
1
2
1
2
1
2
1
1











 
 
        (2.82)  
Isboti. 
  
i
j
e
j
j
,
.
.
.
,
2
,
1
,




 
tenglik  yordamida  
j

  sonlarni  kiritamiz.  
   Elementar   bo`luvchilari mos  ravishda   
 
 

 

w
v
j
j
j
j
t
t
q
q
P
P
i
j








,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
2
,
1
,
,
1
1



 
bo`lgan 

---

 
59 
 
 


 
 
 
 
w
v
j
j
j
t
t
q
q
p
p
K
K
K
K
i
j
K
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
2
,
1
,
1
1


 
kanonik  kososimmetrik   matritsalarni  qaraymiz. 
      Agar  

K
kososimmetrik  matritsa  bo`lsa,  
 
 
 
 
  
K
e
O

 
ortogonal  bo`lada,  ya`ni   
.
1





O
e
e
O
K
K
T
T
 
K
    matritsaning    xar    biri   


p



    elementar    bo`luvchisiga   
O
  matritsaning 


p



    elementar    bo`luvchisi    mos    kelishini    etiborga    olsak,    quydagi  
kvazidiogonal   matritsa  ortogonal   bo`lib,  (2.82)    elementar  bo`luvchilarga  
ega  bo`ladi. 




 
 
 
 











w
t
K
t
K
v
q
K
q
K
p
p
K
p
p
K
e
e
e
e
e
e
O
i
i
i
p
p
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
1
1
1
1
1
                   (2.83) 
Natija2.4.
   Ixtiyoriy  
O
  ortogonal    matritsa  
O
  normal   ko`rinishga  
ega    bo`lgan    ortogonal        matritsaga    ortogonal-o`xshash    bo`ladi,    ya`ni  
shunday 
1
O
 ortogonal  matritsa  mavjudki,  unda 
 
 
 
              
1
1
1


O
O
O
O
 
 
 
   
                  (2.84) 
bo`ladi.  
   
Mashqlar: 
1.
 
Agar C-kvadrat yoki to’g’ri to’rtburchakli matritsa bo’lib, SpCC
* 
 bo’lsa, 
u holda C=0 bo’lishini isbotlang.  
2.
 
Qanday shartlar bojarilganda  
𝐴 = (𝐵 𝐶
0 𝐷
)
 
matritsa normal bo’ladi. Bu yerda B va D kataklar kvadrat matritsalar. 
3.
 
Xaqiqiy  xos  qiymatga  ega  bo’lmagan,  ikkinchi  tartibli,  normal  xaqiqiy 
matritsa ko’rinishini toping. 
4.
 
Xaqiqiy  ortoganal  simmetrik  matritsaning  kanonik  ko’rinishi  va 
geometrik ma’nosi qanday bo’ladi.  
5.
 
Ortoganal matritsa antisimmetrik bo’lishi mumkinmi ? 

---

 
60 
6.
 
Har-bir  ustuni  uchun  qo’shma  kompleks  ustunga  ega  bo’lgan  unitary 
matritsa mavjudmi ? 
7.
 
Quyidagi ko’rinishdagi  
𝐴 = ( cos 𝛼
sin 𝛼 ∙ 𝑢
𝑇
sin 𝛼 ∙ 𝑣
𝑅
) ,         𝑢
𝑇
𝑢 = 𝑣 𝑣
𝑇
= 1
 
barcha ortoganal matritsalar  berilgan  
𝑢  
ni 
𝑣
  ustunlarda  
𝑅 = 𝑃 − (1 + cos 𝛼)𝑣 ∙ 𝑢
𝑇
 
da  xosil qilinishini ko’rsating. Bu yerda  P -  
𝑢  
ni 
𝑣
 ga o’tkazuvchi 
ortoganal matritsa. 
8.
 
Unitar simmetrik matritsa qanday bo’ladi? 
9.
 
Agar B- unitary matritsa bo’lsa, 
𝐵
𝑇
𝐵
 -ko’rinishdagi matritsani unitary 
simmetrik matritsa ekanligini isbotlang.