O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti
Yüklə 3,17 Mb. Pdf görüntüsü
|
| Eslatma 2.
|𝐴| = |𝐴 𝑇 | ekanligidan a matritsani 𝐴 𝑇 matritsa bilan almashtirib, A matritsaning xosmasligidan yetarli shartini ustunlar uchun adamar shartlari ko’rinishida quyidagicha hosil qilamiz: 𝐺 𝑖 = |𝑎 𝑖𝑖 | − ∑ |𝑎 𝑗𝑖 | > 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) 𝑛 𝑗=1 𝑗≠𝑖 (5.10) bu shartlar bajarilganda (5.4) ning o’rniga quyidagiga ega bo’lamiz: 𝑚𝑜𝑑|𝐴| ≥ 𝐺 1 𝐺 2 … . 𝐺 𝑛 (5.11) C-ixtiyoriy xosmas 𝑛 × 𝑛 o’lchovli matritsa bo’lsin. U hold A va Ac matritsalar bir vaqtda xosmas bo’ladi. shuning uchun (5.3) , (5.10) shartlarda, shuningdek (5.4) va (5.11) baholarda A matritsani AC matritsa bilan almashtirish mumkin. C matritsani variatsiyalab, har xil o’zaro ekvivalent bo’lmagan xosmaslikning yetarli shartlarini, shuningdek |𝐴| uchun (5.4) va (5.11) ga o’xshash baholarni hosil qilamiz. Xususiy holda, C matritsani tanlash hisobiga ustunlarni ixtiyoriy almashtirishni amalga oshirish mumkin. u holda (5.3) shartlarning o’rniga quyidagi shartlarni hosil qilamiz: 𝐻 𝑖 = |𝑎 𝑖𝜇 𝑖 | − ∑ |𝑎 𝑖𝑗 | > 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) 𝑛 𝑗=1 𝑗≠𝜇 𝑖 (5.12) bu yerda (𝜇 1 , 𝜇 2 , … , 𝜇 𝑛 ) - fiksirlangan, ammo 1,2,…n indekslarning ixtiyoriy ixtiyoriy o’rin almashgani. Boshqacha aytganda 𝐴 = |𝑎 𝑖𝑗 | 𝑖,𝑗=1 𝑛 matritsa xosmas bo’ladi, agarda uning har bir satrda ustunlik qiluvchi (dioganalda bo’lishi shart emas) elment bo’lib, va bu n ta ustunlik qiluvchi elementlar har xil ustunlarda joylashgan bo’lsa. Shunga o’xshash tasdiq ustunlar uchun ham o’rinli. 120 Endi quyidagi kuchsizlangan Adamar shartlari bajarilsin: 𝐻 𝑖 = |𝑎 𝑖𝑖 | − ∑ |𝑎 𝑖𝑗 | ≥ 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) 𝑛 𝑗=1 𝑗≠𝑖 (5.13) U holda har bir dioganal element o’zining satri uchun kuchsiz domirlovchi bo’ladi. Faraz qilaylik, A matritsa xos va Ax=0 bo’lib, 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , . . . , 𝑥 𝑛 ) ≠ 0 vektor ustun | x | k maksimal ustunli P ta 𝑥 𝑘 elementlarga ega va avval p bo’lganlarini birinchi p ta koordinatalarga keltiramiz: |𝑥 1 | = |𝑥 2 | = ⋯ = |𝑥 𝑝 | > |𝑥 𝑗 |, (𝑗 = 𝑝 + 1, … , 𝑛) Bunda Ax=0 tenglik saqlanadi, agarda A matritsaning satr va ustunlarida qandaydir almashtirishni amalga oshirsak. Shundan so’ng quyidagini yozish mumkin: 𝑎 𝑘𝑘 𝑥 𝑘 = − ∑ 𝑎 𝑘𝑗 𝑥 𝑗 (𝑘 = 1,2, … , 𝑝) 𝑛 𝑗=1 𝑗≠𝑘 bundan, |𝑎 𝑘𝑘 ||𝑥 𝑘 | ≤ (∑|𝑎 𝑘𝑗 |)|𝑥 𝑘 | + ∑ |𝑎 𝑘𝑗 ||𝑥 𝑗 | 𝑛 𝑗=𝑝+1 ≤ |𝑥 𝑘 | ∑|𝑎 𝑘𝑗 | 𝑛 𝑗=1 𝑗≠𝑘 , 𝑛 𝑗=1 𝑗≠𝑘 (5.14) (𝑘 = 1,2, … , 𝑛) Buni | x | k ga qisqartirib, quyidagini hosil qilamiz: |𝑎 𝑘𝑘 | ≤ ∑ |𝑎 𝑘𝑗 | 𝑛 𝑗=1 𝑗≠𝑘 (𝑘 = 1,2, … , 𝑛) (5.15) bu munosabatni (5.13) ga qo’yib, xulosa qilamizki (5.15) va (5.14) da tenglik belgisi o’rinli bo’ladi. Bu esa faqat ∑ |𝑎 𝑘𝑗 | = 0 𝑘 = (𝑝 + 1, . . , 𝑛) 𝑛 𝑗=𝑝+1 dagina bajariladi, ya’ni 121 𝐴 = (𝐴 1 0⏞ 𝑝 𝑡𝑎 𝐴 3 𝐴 4 ) (5.16) ko’rinishda bo’ladi. Ammo (5.16) ko’rinishdagi matritsa yoyiluvchi deyiladi. Shunday qilib, p Agar p=n bo’lsa, u holda barcha (5.15) munosabatlarda (5.13)da tenglik belgisi o’rinli bo’ladi. Biz bunday xulosaga, A –xos matritsa deb olib, keldik. Shunday qilib, quyidagi Adamar teoremasiga aniqlik kirituvchi quyidagi teoremani isbotladik. Yüklə 3,17 Mb. Dostları ilə paylaş:
|