O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§ 12 Chiziqli yirik masshtabli sistemalar turg’unligi 
masalasiga bog’liq bo’lgan ba’zi teoremalar 
A  n-  tartibli  kvadrat  matritsa  bo’lib, 
0
,
,
A
A
A
T

-    lar  bu  matritsani  mos 
ravishda  bosh,  bosh  bo’lmagan  dioganallarga  va  matritsa  markaziga  nisbatan 
transponirlangani bo’lsin.  
Quyidagi sistemalarni qaraymiz:
  
,
Ax
x


 
 
 
 
   (7.110) 
                                  
,
x
A
x
T


   
 
 
      
       (7.111) 
,
x
A
x



             
 
 
 
  (7.112) 
                                    
,
0
x
A
x


   
          
 
 
(7.113) 
,
)
(
0
x
A
A
x



 
 
 
 
      (7.114) 
bu yerda  
.
)
,...,
,
(
2
1
n
T
n
R
x
x
x
x


  
Teorema  7.19.
  Agar  (7.110)  sistema  muvozanat  xolati  turg’un 
(asimptotik  turg’un)  yoki  turg’unmas  bo’lsa,  u  holda    (7.111),  (7.112),  (7.113) 
sistemalar muvozanat holati ham mos ravishda turg’un (asimptotik turg’un) yoki 
turg’unmas bo’ladi. 
Isbot:  Transponirlangan  matritsalarning xossalariga ko’ra quyidagiga  ega 
bo’lamiz. 
,
0
E
A
E
A
E
A
E
A
T












 
ya’ni  
0
,
,
,
A
A
A
A
T

 matritsalarning xarakteristik ko’pxadlari bir xil bo’lib, 
bundan teorema 1 ning to’g’riligi kelib chiqadi. 
Teorema 7.20.
 (7.110) sistema uchun  
,
)
(
Px
x
x
v
T

                       
 
(7.115) 

---

 
205 
kvadratik forma ko’rinishdagi Lyapunov funktsiyasi mavjud bo’lib, P matritsa 
musbat aniqlangan, bosh dioganalga yoki matritsa markaziga nisbatan simmetrik 
bo’lsin.Agar 
1
1
1




PH
P
H
P
              
 
(7.116) 
matritsa  musbat  aniqlangan  bo’lsa,  u  xolda  (7.110)  sistema  muvozanat  xolati 
turg’unligi (asimptotik turg’unligi) yoki turg’unmasligidan   
HAx
x


                 
 
 
(7.117) 
sistema  muvozanat  xolatini  mos  ravishda  turg’unligi,  (asimptotik  turg’unligi) 
yoki  turg’unmasligi  kelib  chiqadi,  bu  yerda  H,
HA
–matritsa  xosmas,  musbat 
aniqlangan, bosh dioganalga yoki matritsa markaziga nisbatan simmetrik. 
Isbot:  (7.117)  sistema  uchun  Lyapunov  funktsiyasini  quyidagi  kvadratik 
forma ko’rinishda quramiz: 
x
P
x
x
v
T
1
1
)
(

.             
 
 
(7.118) 
Teorema 7.20 ning shartiga ko’ra 
1
P
 matritsa musbat aniqlangan, shuning 
uchun  (7.118)  funktsiya  ham  musbat  aniqlangan  bo’lib,  undan  (7.117)  sistema 
yordamida olingan xosila quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:   


).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
x
v
x
PA
P
A
x
x
HA
PH
P
H
H
A
x
x
HA
P
P
HA
x
x
P
x
x
P
x
x
v
T
T
T
T
T
T
T
T
T
















 
Bundan,   
))
(
(
1
x
v

  va   
))
(
(
x
v

    funktsiyalarning  ishora  aniqlanishi  bir  xil 
ekanligi kelib chiqadi. Bu teorema 7.20 ning to’g’riligini isbotlaydi.  
Teorema  7.21.
    (7.110)  sistema  uchun  (7.115)  Lyapunov  funktsiyasi  
tuzilgan bo’lib,  musbat aniqlangan  
       
,
1
PH
HP
P


                      
 
matritsa mavjud bo’lsin, bu yerda H, RN–matritsalar xosmas, musbat aniqlangan 
va bosh dioganalga yoki matritsa markaziga nisbatan simmetrik bo’lsin. U holda 
(7.110) sistema muvozanat xolatining turg’unligidan (asimptotik turg’unligidan) 
yoki turg’unmasligidan   
Ax
H
x
1



 
sistema muvozanat xolatini  mos ravishda turg’unligi (asimptotik turg’unligi) 
yoki turg’unmasligi kelib chiqadi. .  

---

 
206 
Isboti teorema 7.20 ning isboti kabidir. 
Eslatma. 
Agar  teorema  7.20  (teorema  7.21)  da 
E
P

  bo’lsa,  u  holda  
teorema 7.20 (teorema 7.21) 
)
(
1
1
1
H
P
H
P



da o’z kuchida qoladi.  
Teorema 7.22.
                               
Ex
x
x
v
T

)
(
 
funktsiya quyidagi sistema uchun Lyapunov funktsiyasi bo’lsin 
,
0
x
A
x


                   
 
 
(7.119) 
bu  yerda 
E
R
A
R
x
n
n
n
,
,
0



-  n-tartibli  birlik  matritsa  va   
m
H
H
H
,...,
,
2
1
 
matritsalar  n  o’lchovli,  xosmas,  musbat  aniqlangan,  bosh  dioganalga  yoki 
matritsa markaziga nisbatash simmetrik matritsalardir. 
U  xolda  (7.119)  sistema  muvozanat  xolatining  turg’unligi  (asimptotik 
turg’unligi) yoki turg’unmasligidan quyidagi  
,
Ax
x


          
 
 
 
(7.120) 
sistema muvozanat xolatining   mos ravishda turg’unligi (asimptotik turg’unligi) 
yoki turg’unmasligi kelib chiqadi. Bu yerda  



m
i
i
i
A
A
1

   yoki    




m
i
i
i
A
A
1
,

 
m
i
A
H
A
A
H
A
i
i
i
i
i
,...,
2
,
1
,
0
,
,
0
1
0







,  



m
i
i
1
2
0

. 
Isboti:   
 
Ex
x
v(x)
T

  (7.119)sistema  uchun  Lyapunov  funktsiyasi  bo’lsin. 
U xolda  


x
A
A
x
x
v
T
T
)
(
)
(
0
0



. 
(7.120) sistema uchun Lyapunov funktsiyasini  quyidagi   
,
)
(
1
1
x
H
x
x
v
T


 
kvadratik forma ko’rinishda quramiz, bu yerda    



m
i
i
i
H
H
1

 
Teorema  7.22  ning  shartiga  ko’ra  N  musbat  aniqlangan  va  bosh 
dioganalga  nisbatan  simmetrik.    Shuning  uchun 
)
(
1
x
v
  funktsiya  musbat 
aniqlangan bo’lib,  

---

 
207 




.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
x
v
x
A
A
x
x
HA
H
HH
A
x
x
A
H
H
H
H
A
x
x
A
H
H
A
x
x
A
H
H
A
x
x
v
T
T
T
T
m
i
i
i
m
i
T
i
i
T
T
m
i
i
i
m
i
T
i
i
T
T
T







































































 
bo’ladi.  Bundan, 


)
(
1
x
v

  va 


)
(
x
v

  funktsiyalarning  ishora  aniqlanishi  bir  xil 
ekanligi kelib chiqib, teorema 7.22 ning to’g’riligi isbotlanadi.   
Agar  teorema  7.22  da 
j
k
n
j
k
A
A
j
k



,
,...,
2
,
1
,
,
  va 
,
1


j
k


  bo’lib, 
barcha  qolgan 
,
,
,
0
j
i
k
i
i




  bo’lsa,  u  xolda  A  matritsa  quyidagi  shartni 
qanoatlantiradi. 
j
k
A
A
A


.                       
 
 
(7.121) 
Endi (7.110)sistema muvozanat xolati turg’unligini ba’zi cheklanishlarda 
qarab  chiqamiz.  Faraz  qilaylik,    (7.110)  sistemadagi  A  matritsa  matritsa 
markaziga  nisbatan  simmetrik  bo’lsin.  Bu  xolda    (7.110)  sistemani  vertikal  va 
gorizantal  simmetriya  o’qlari  bo’yicha  yoki  o’zaro  muvozanatlashuvchi  qism 
sistemalar bo’yicha dekompozitsiya qilish mumkin.
  
Teorema  7.23. 
  Agar  musbat  aniqlangan  n-  tartibli  R  kvadrat  matritsa 
bosh  va  bosh  bo’lmagan  dioganallarga  yoki  matritsa  markaziga  nisbatan 
simmetrik bo’lib,   
Px
x
x
v
T

)
(
                 
 
 
 
(7.122) 
funktsiya  (7.114)  sistema  uchun  Lyapunov  funktsiyasi  bo’lsin.  U  xolda  bu 
funktsi (7.110) sistema uchun ham Lyapunov funktsiyasi bo’ladi, ya’ni (7.114) 
sistema 
muvozanat 
holati 
turg’unligi  (asimptotik  turg’unligi)  yoki 
turg’unmasligidan  (7.110)  sistema    muvozanat  xolatining  mos  ravishda 
turg’unligi (asimptotik turg’unligi) yoki turg’unmasligi kelib chiqadi.  
Isbot: 
Bevosita  tekshirib  ko’rib,  ishonch  xosil  qilish  mumkinki 



P
P
P
T
  dan 
0
P
P

  ekanligi  kelib chiqadi.  SHuning uchun  teorema  7.23  ni  
0
P
P

xol  uchun  isbotlash  yetarli.  R  matritsaning  musbat  aniqlanganligidan 
(7.122)  funktsiyani musbat  aniqlanganligi  kelib chiqadi.  U  xolda  quyidagilarga 
ega bo’lamiz:  

---

 
208 
)).
(
(
2
))
(
(
))
(
(
)
(
))
(
(
)
(
))
(
(
)
(
))
(
(
))
(
)
((
))
(
(
0
0
0
0
0
0
0
0
x
v
x
v
x
v
x
PA
P
A
x
x
v
x
A
P
P
A
x
x
v
x
PA
P
A
x
x
v
x
A
A
P
P
A
A
x
x
v
T
T
T
T
T
T
T
T
























 
Bundan,   
))
(
(
x
v

  va 
))
(
(
x
v

  funktsilarni  ishora  aniqlanishi  bir  xil  ekanligi  kelib 
chiqib, teorema 7.23 isbotlanadi.  
Teorema  7.24.
  Agar  A  matritsa  bosh  va  bosh  bo’lmagan  dioganallarga 
yoki matritsa markaziga nisbatan simmetrik bo’lib,   
Px
x
x
v
T

)
(
, 
funktsiya  (7.110)  sistema  uchun  Lyapunov  funktsiyasi  bo’lsin.  (bu  yerda  P 
musbat  aniqlangan  kvadratik  matritsa).    U  xolda 
x
P
x
x
v
T
0
1
)
(

  va 
x
P
P
x
x
v
T
)
(
)
(
0
2


  funktsilar  ham  (7.110)  sistema  uchun  Lyapunov  funktsiyasi 
bo’ladi.  
Isboti: 
P  matritsaning  musbat  aniqlanganligidan   
0
P
  va 
0
P
P

. 
Matritsalarning ham musbat aniqlanganligi kelib chiqadi. Shuning uchun 
)
(
1
x
v
va 
)
(
2
x
v
 funktsiyalar musbat aniqlangan bo’ladi. Teorema 7.24 ning shartiga ko’ra 
0
A
A

.  Bu shartdan quyidagilar kelib chiqadi: 
.
)
(
))
(
(
,
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
))
(
(
,
)
(
)
(
)
(
))
(
(
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
x
PA
P
A
x
x
v
x
PA
P
A
x
x
PA
P
A
x
x
A
P
P
P
P
A
x
x
v
x
PA
P
A
x
x
A
P
P
A
x
x
A
P
P
A
x
x
v
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T



















 
Bundan teorema7.24 ning to’g’riligi kelib chiqadi. Shuningdek,   
E
PA
P
A
E
PA
P
A
T
T







0
)
(
. 
Teorema  7.25. 
Agar    n-  o’lchovli  A  kvadrat  matritsa  bosh  va  bosh 
bo’lmagan dioganallarga  yoki  matritsa  markaziga nisbatan  simmetrik bo’lsa,  u 
xolda  bu  matritsani  musbat  (  manfiy)  aniqlangan  bo’lishi  uchun  quyidagi 
shartlarni bajarilishi yetarlidir:  
k
n
2

da 
;
)
)(
(
4
1
)
(
)
)
)(
((
4
1
)
(
.
2
)
0
)
(
(
0
)
(
.
1
0
2
2
0
2
2
1
2
0
2
2
0
2
2
1
2
1
1














T
T
T
M
M
T
T
T
M
m
M
m
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A






 
  
1
2


k
n
da 

---

 
209 
,
)
)
)(
((
4
1
))
)
)(
((
)
(
2
(
)
(
,
)
)(
(
4
1
))
(
2
)
)(
((
)
(
.
5
,
)
)
(
(
)
(
.
4
),
0
,
0
)
(
(
0
,
0
)
(
.
3
0
2
2
0
2
2
1
,
1
0
2
2
0
2
2
2
1
1
2
1
,
1
1
2
0
2
2
0
2
2
1
,
1
1
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1
,
1
1
2
1
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
















































T
T
T
M
k
k
T
T
T
M
M
k
k
M
T
T
T
M
k
k
m
T
T
T
M
k
k
m
k
k
M
k
k
m
k
k
M
k
k
m
A
A
A
A
a
A
A
A
A
A
a
a
A
A
A
A
A
a
A
A
A
A
A
a
a
A
a
a
A
a
a
A
a
A
a
A












bu yerda 
1
A
 va 
2
A
  matritsalar k- tartibli bo’lib,  







0
1
0
2
2
1
A
A
A
A
A
 
dan  aniqlanadi, 
0
1
A
  va 
0
2
A
  ularni  mos  ravishda    matrittsa  markaziga  nisbatan 
transponirlanganidir.  
2
1
a
a
a


, 
T
k
k
k
k
a
a
a
a
)
,...,
,
(
,
1
2
,
1
1
,
1
1




, 
T
n
k
k
k
k
k
a
a
a
a
)
,...,
,
(
,
1
3
,
1
2
,
1
2






 va  
1
,
1


k
k
a
 
 mos ravishda A matritsa markazida joylashgan vektor va skalyarlardir. 
Isboti: 
Agar  matritsa  bosh  va  bosh  bo’lmagan  diogonallarga  nisbatan 
simmetrik bo’lsa, u xolda u matritsa markaziga nisbatan ham simmetrik bo’ladi. 
Shuning uchun teorema 7.25 ni  matritsa markaziga nisbatan simmetrik bo’lgan 
matritsalar  uchungina  isbotlaymiz.     
k
n
2

bo’lsin,  u  xolda  teorema  7.25    ning 
shartiga ko’ra A matritsa quyidagi ko’rinishga ega  







0
1
0
2
2
1
A
A
A
A
A
. 
Quyidagi A matritsaga mos keluvchi kvadratik formani qaraymiz.  
x
A
A
A
A
x
Ax
x
T
T







0
1
0
2
2
1
           
 
 (7.123) 
T
T
T
z
y
x
)
,
(

 
kabi 
belgilash 
kiritamiz, 
 
bu 
yerda 
,
)
,...,
,
(
2
1
T
k
x
x
x
y

 
T
n
k
k
x
x
x
z
)
,...,
,
(
2
1



.  U xolda quyidagilarni xosil qilamiz 





























2
0
1
0
2
2
0
2
2
2
1
1
0
1
0
2
2
1
0
1
0
2
2
1
0
1
0
2
2
1
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
,
(
z
A
z
y
A
A
A
A
y
A
z
A
z
z
A
A
y
y
A
y
z
A
z
z
A
y
y
A
z
y
A
y
z
y
A
A
A
A
z
y
Ax
x
m
T
T
T
M
m
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T



 

---

 
210 
,
)
(
)
)
)(
((
2
1
)
)
)(
((
2
1
)
(
)
(
0
1
0
2
2
0
2
2
2
1
0
2
2
0
2
2
2
1
1



























z
y
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
z
y
m
T
T
T
T
T
T
m




 
 


.
)
(
)
)
)(
((
2
1
)
)
)(
((
2
1
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
0
1
0
2
2
0
2
2
2
1
0
2
2
0
2
2
2
1
1
0
1
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1































z
y
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
z
y
z
A
z
y
A
A
A
A
y
A
Ax
x
M
T
T
T
M
T
T
T
M
M
M
T
T
T
M
M
T







 
Bundan kelib chiqadiki, agar teorema 7.25 dagi 1. va 2. shartlar bajarilsa, 
u  xolda  (7.123)  kvadratik  forma  va  unga  mos  A  matritsa  musbat  (manfiy) 
aniqlanadi.  
 
1
2


k
n
  bo’lsin  ,  u  holds  teorema  7.25  ning  shartiga  ko’ra    A  matritsa 
quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi 













0
1
0
2
0
2
0
1
1
,
1
1
2
2
1
)
(
A
a
A
a
a
a
A
a
A
A
T
k
k
T
. 
A matritsaga mos quyidagi kvadratik formani qaraymiz: 
x
A
a
A
a
a
a
A
a
A
x
Ax
x
T
k
k
T
T
T













0
1
0
2
0
2
0
1
1
,
1
1
2
2
1
)
(
,             
 
(7.124) 
Bu yerda 
,
)
,
,
(
0
1
,
1
T
T
k
k
T
z
x
y
x



 
T
k
x
x
x
y
)
,...,
,
(
2
1

, 
T
n
k
k
x
x
x
z
)
...,
,
,
(
3
2
0



.  
U xolda quyidagilarga ega bo’lamiz: 
,
)
(
)
(
)
,
,
(
0
0
1
0
1
,
1
0
0
2
1
,
1
1
,
1
1
,
1
0
2
2
0
1
0
1
,
1
0
1
0
2
0
2
0
1
1
,
1
1
2
2
1
0
1
,
1
z
A
z
x
a
z
x
a
ax
y
y
A
A
z
y
A
y
z
x
y
A
a
A
a
a
a
A
a
A
z
x
y
Ax
x
T
k
k
T
k
k
k
k
k
k
T
T
T
T
k
k
T
k
k
T
T
k
k
T
T











































 
bu yerda  
2
1
a
a
a


. 

---

 
211 
Bundan, 
,
),
(
)
(
0
0
1
1
a
a
A
A
m
m




 ekanligini xisobga olib, (7.124) 
kvadratik forma uchun quyidagi quyidan va yuqoridan olingan baxolarga ega 
bo’lamiz: 


,
)
(
2
1
)
)(
(
2
1
2
1
2
1
)
)(
(
2
1
2
1
)
(
)
,
(
)
(
)
)(
(
)
(
0
1
,
1
1
0
2
2
0
2
2
2
1
1
,
1
0
2
2
0
2
2
2
1
1
0
1
,
1
2
0
1
1
,
1
0
2
1
,
1
1
,
1
1
,
1
0
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1
































































z
x
y
A
a
A
A
A
A
a
a
a
A
A
A
A
a
A
z
x
y
z
A
x
z
a
x
a
x
y
a
z
y
A
A
A
A
y
A
Ax
x
k
k
m
T
T
T
M
k
k
T
T
T
M
m
k
k
m
k
k
k
k
k
k
k
k
T
T
T
M
m
T









.
)
(
2
1
)
)(
(
2
1
2
1
2
1
)
)(
(
2
1
2
1
)
(
)
,
(
)
(
)
)(
(
)
(
0
1
,
1
1
0
2
2
0
2
2
2
1
1
,
1
0
2
2
0
2
2
2
1
1
0
1
,
1
2
0
1
1
,
1
0
2
1
,
1
1
,
1
1
,
1
0
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1





























































z
x
y
A
a
A
A
A
A
a
a
a
A
A
A
A
a
A
z
x
y
z
A
x
z
a
x
a
x
y
a
z
y
A
A
A
A
y
A
Ax
x
k
k
M
T
T
T
M
k
k
T
T
T
M
M
k
k
M
k
k
k
k
k
k
k
k
T
T
T
M
M
T







 
Bu baxolardan kelib chiqadiki, agar teorema 7.25 dagi 3.,  4. va 5. shartlar 
bajarilsa,  u  xolda  (7.124)  kvadratik  forma  va  unta  mos  A  matritsa  musbat 
(manfiy) aniqlangan bo’ladi.   
Misol 7.4 
Quyidagi oltinchi tartibli chiziqli sistemani qaraymiz: 
Ax
x


,                      
 
 
(7.125) 
bu yerda  
,
)
,
,
,
,
,
(
6
5
4
3
2
1
T
x
x
x
x
x
x
x

 































2
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
1
1
0
3
1
0
0
0
0
1
3
0
1
1
0
1
0
2
1
1
0
0
1
0
2
A
. 
 
A matritsa matritsa markaziga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun 
quyidagilarga ega bo’lamiz:  

---

 
212 
,
2
0
1
1
2
0
1
0
3
,
3
0
1
0
2
1
1
0
2
0
1
1






























A
A
 
























0
0
1
1
0
1
1
0
0
,
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
2
2
A
A
 
,
5
2
1
2
2
2
1
2
5
)
)(
(
,
0
1
2
1
0
1
2
1
0
0
2
2
0
2
2
0
2
2




























T
T
T
T
A
A
A
A
A
A
 
.
5
,
1
)
)
)(
((
4
1
909924
,
1
)
(
,
6
)
)
)(
((
,
0
68
,
3
)
(
)
(
,
0
382
,
1
)
(
)
(
0
2
2
0
2
2
1
2
0
2
2
0
2
2
0
1
1
0
1
1
















T
T
T
M
M
T
T
T
M
m
m
M
M
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A







Demak,  teorema  7.25  ga  asosan    A  matritsa  manfiy  aniqlangan  va  (7.125) 
sistema muvozanat xolati asimptotik turg’un bo’ladi.