§1. Masalaning qo’yilishi
Ma’lumki, Lyapunov funktsiyasini qurishning umumiy algaritmi mavjud
bo’lmaganligi uchun yuqoridagi xarakterli belgilarga ega bo’lgan sistemalar
turg’unligini taxlili qilishda xosil bo’ladigan qiyinchiliklar Lyapunovning to’g’ri
usulini effektiv ravishda qo’llash imkonini bermaydi.
Shuning uchun qaralayotgan sistemani soddalashtirish yoki boshqa
sistema bilan almashtirish bilan bog’liq bo’lgan bir qancha yo’nalishlar paydo
218
qilinadi. bo’lib, bularda turg’unlik (turg’unmaslik) masalasi bevosita
berilgan sistemani tekshirish yo’li bilan emas, balki bu oralik sistemalarni
tekshirish yo’li bilan xal etiladi.
Yirik masshtabli sistemalar turg’unligining umumiy masalasi quyidagicha
ikki xil ko’rinishda qo’yiladi.
A muammo
: Y.M.S. o’zaro bog’liq bo’lgan qism sistemalarga
dekompazitsiya qilingan (ajratilgan) bo’lsin. Shunday shartlarni aniqlashimiz
kerakkki, bularda sistemaning Lyapunov bo’yicha turg’unligi o’zaro bog’liq
bo’lmagan
qism
sistemalarning
turg’unligidan
va
ular
orasidagi
bog’lanishlarning xossalaridan kelib chiqsin. Boshqacha aytganda, masalani
bunday qo’yilishida, avval Y.M.S. ni tashkil qiluvchi har bir erkin qism sistema
uchun Lyapunov funktsiyasi tuzilib, ularni turg’unligi (turg’unmasligi)ning
yetarli shartlari xosil qilinadi. So’ngra bu qism sistemalar orasidagi
bog’lanishlarning xossalaridan va erki n qism sistemalar turg’unligining yetarli
shartlaridan foydalanib, berilgan sistema turg’unligining yetarli shartlari xosil
B muammo
: Y.M.S. o’zaro bog’liq bo’lgan qism sistemalarga
dekompazitsiya qilingan (ajratilgan) bo’lsin. Sistema tartibi pasayishini
taminlaydigan shunday shartlarni aniqlashimiz kerakki, unda qaralayotgan
sistemaning turg’unligi o’zaro bog’liq bo’lgan qism sistemalar xossalaridan
kelib chiqib, bunda erkin qism sistemalar turg’unligi xaqidagi ma’lumotlardan
foydalanilmaydi. Boshqacha aytganda masalaning bunday qo’yilishida, har bir
qism sistema uchun Lyapunov funktsiyasi tanlanib, ular yordamida qaralayotgan
sistema uchun Lyapunov funktsiyasi tuziladi va qaralayotgan sistema
turg’unligining yetarli shartlari xosil qilinadi.
Bu ko’rsatilgan muammolar Y.M.S. turg’unligini tekshirish bilan
shug’ulanuvchi mutaxassislar uchun bosh yo’nalishlarni aniqlab berdi. Ularni
xal etish yo’lida bir qancha matematik usullar yaratildi yoki rivojlantirildi.
Jumladan, Lyapunovning vektor-funktsiyasi usuli, vektorli normalar usuli,
minimaksli usul, Lyapunov matritsa funktsiyasi usuli va boshqalar.
|