O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§2. Yirik masshtabli sistemalarning dekompozitsiyasi.  
Faraz qilaylik  (S). Y.M.S. xolati quyidagi differentsial tenglama bilan 
ifodalansin. 
                      
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑡, 𝑥),
                                                        (8.1) 
bu yerda 
𝑡 ∈ 𝑇 = [𝑡
0
, ∞) ⊂ 𝑅,  
 𝑥 ∈ 𝑅
𝑛
 , 𝑓 ∈ 𝐹
  bo’lib, F  oila quyidagicha 
aniqlanadi: 
             
𝐹 = {𝑓
1
, 𝑓
2
, … , 𝑓
𝑁
}, 𝑓
𝑘
: 𝑇𝑥𝑅
𝑛
→ R
n
,                     
               (8.2) 
N-haqiqiy son. 
Agar (S). Y.M.S. s ta qism sistemalardan tashkil topgan bo’lsa, u xolda 
(S). Y.M.S.ni (
𝑆
𝑖
)
 o’zaro bog’liq bo’lgan qism sistemalardan tashkil topgan deb 
qarash mumkin bo’lib, (
𝑆
𝑖
)
 o’zaro bog’liq bo’lgan qism sistemalar quyidagi 
tenglamalar bilan ifodalanadi: 
       
 𝑑𝑥
𝑖
𝑑𝑡
= 𝑓
𝑖
(𝑡, 𝑥),
   
∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑠
                                                  (8.3)        
bu yerda  x va f vektorlar quyidagicha aniqlanadi:  
𝑥 = (𝑥
1
𝑇
, 𝑥
2
𝑇
, … , 𝑥
𝑠
𝑇
)
𝑇
,
𝑓 = (𝑓
1
𝑇
, 𝑓
2
𝑇
, … , 𝑓
𝑠
𝑇
)
𝑇
 ,
 
shuningdek, 
 
               
𝑓
𝑖
∈ 𝐹
𝑖
, 𝐹
𝑖
= (𝑓
𝑖
1
, 𝑓
𝑖
2
, … , 𝑓
𝑖
𝑁
), 𝑓
𝑖
𝑘
 : Tx
𝑅
𝑛
→ 𝑅
𝑛
𝑖
, 
∀ 𝑘 = 1,2, … , 𝑁,   𝑛
1
+ 𝑛
2
+ ⋯ 𝑛
𝑠
= 𝑛 ,   𝑖 = 1,2, … , 𝑠.
 
f
i
 funktsiyalar barcha 
𝑡 ∈ 𝑅
 da, faqat va faqat x=0 dagina  
𝑓(𝑡, 𝑥)
=0 
shartni qanoatlantiradi.  
𝑥
𝑖
= (𝑂
𝑇
, 𝑂
𝑇
, … , 𝑥
𝑖
𝑇
, 𝑂
𝑇
, … , 𝑂
𝑇
)
𝑇
,          𝑖 = 1,2, … , 𝑠
 
belgilash kiritamiz,  
𝑔
𝑖
: Tx
𝑅
𝑛
𝑖
→ 𝑅
𝑛
𝑖
,  
funktsiyani 
𝑔
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
) = 𝑓
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
)
 
tenglik bilan aniqlaymiz.  
U xolda 
(𝑆̂
𝑖
)
 i- erkin qism sistema 

---

 
220 
                                      
 𝑑𝑥
𝑖
𝑑𝑡
= 𝑔
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
),
                                         (8.4) 
bu yerda   
𝑥
𝑖
∈ 𝑅
𝑛
𝑖
 ,    
             
𝑓
𝑖
∗
(𝑡, 𝑥) = 𝑓
𝑖
(𝑡, 𝑥) − 𝑔
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
),   
     
∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑠
                (8.5) 
ifoda yordamida aniqlangan 
𝑓
𝑖
∗
 funktsiya (S) sistemani o’zining 
(𝑆
𝑖
)
 i- qism 
sistemasiga ta’sirini ifodalaydi. 
(8.4) va (8.5) ga asosan (8.3) ni quyidagicha yozish mumkin: 
                  
 𝑑𝑥
𝑖
𝑑𝑡
= 𝑔
𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
) + 𝑓
𝑖
∗
(𝑡, 𝑥),     ∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑠
               
       (8.6) 
 
Agar  
𝑔 = (𝑔
1
𝑇
, 𝑔
2
𝑇
, … , 𝑔
𝑠
𝑇
)
𝑇
,
𝑓
∗
= (𝑓
1
∗
𝑇
, 𝑓
2
∗
𝑇
, … , 𝑓
𝑠
∗
𝑇
)
𝑇
 ,
 
deb olsak, (8.6) ni quyidagicha yozish mumkin: 
                               
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑔(𝑡, 𝑥) + 𝑓
∗
(𝑡, 𝑥),
                                     (8.7) 
(S)  Y.M.S.  ni  (8.6)  ko’rinishda  dekompozitsiya  qilish  nazariy  bo’lib, 
amaliy tadbiqlarda bu bir muncha noqulaydir. Masalan (8.5) tenglik yordamida 
𝑓
𝑖
∗
  funktsiyalarni  har  doim  ham  aniqlash  qulay  bo’lavermaydi.  Shuning  uchun 
(S) Y.M.S. ni dekompozitsiya qilishni qulaylashtirish maqsadida har bir s ta 
(𝑆
𝑖
)
 
qism  sistemalardan  iborat  bo’lgan      Y.M.S.  bilan  sxs  tartibli  matritsa  o’rtasida 
quyidagicha o’zaro bir qiymatli mosli o’rnatamiz: 
1.  (S)  Y.M.S.ning 
(𝑆̂
𝑖
)
  erkin  qism  sistemalarini  matritsaning  bosh 
dioganaliga mos qo’yamiz; 
2.
 (𝑆̂
𝑖
)
  qism  sistemalarni 
(𝑆̂
𝑗
)
  qism  sistemaga  ta’sirini  ifodalovchi 
funktsiyani  i-satr  va    j-ustun  kesishgan  joyga  mos  qo’yamiz.  Natijada 
matritsaning  bosh  dioganalida  erkin  qism  sistemalar  bo’lib,  bosh  dioganaldan 
tashqarida  bu  erkin  qism  sistemalar  orasidagi  to’g’ri  va  teskari  bog’lanishlar 
bo’ladi.  
Bunday moslik o’rnatilgandan keyin (8.1) sistema quyidagi ko’rishlarning 
biriga keladi: 
                         
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴𝑥,
                                                                   (8.8) 

---

 
221 
                        
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴(𝑡)𝑥,
                                                           (8.9)   
                         
𝑑𝑥
 𝑑𝑡
= 𝐴(𝑥),
                                                             (8.10) 
                         
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴(𝑡, 𝑥),
                                                         (8.11) 
bu yerda  A,  A(t),A(x), A(t,x)-bosh dioganalga nisbatan simmetrik bo’lgan  sxs 
tartibli kvadrat matritsalar.  
(8.8), (8.9), (8.10), (8.11) sistemalarni dekompozitsiya qilish  masalasi 
mos ravishda A,  A(t),A(x), A(t,x)-matritsalarni blok matritsalarga ajratish 
masalasi bilan teng kuchli bo’lgani uchun (S) Y.M.S.ni dekompozitsiya qilish 
masalasi matritsani blok matritsalarga ajratish masalasiga keladi.  
Misol  tariqasida  (8.8)  sistemani  ba’zi  xususiy  xollarda  dekompazitsiya 
qilish usullarini qarab chiqamiz. Faraz qilaylik,  A matritsa markazga nisbattan 
simmetrik  bo’lgan    sxs  o’lchovli  kvadrat  matritsa  bo’lsin.  U  xolda    (8.8) 
sistemani quyidagicha usullarda  dekompaziya qilish mumkin: