O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
“Matematika va informatika” bakalavriat ta’lim yo’nalishi
202-guruh talabasi Tolipova Shahloning
“KO’P O’ZGARUVCHILI KO`PHADLAR NAZARIYASI” fanidan
MUSTAQIL ISHI
Mavzu: Ko`p o`zgaruvchili ko`phad yuqori hadi va uning xossalari.
TOSHKENT 2022
Reja:
Kirish.
Asosiy qism:
1.Ko’phadlar haqida boshlang’ich tushuncha
2.Ko’phadlarga oid ba’zi bir teoremalar , ko`phadning yuqori hadi va ularning xossalari
Xulosa.
Foydalanilgan adabiyotlar.
Kirish.
Bugungi kunda ham ta`lim-tarbiya sohasiga katta e`tibor qaratilmoqda. Xususan, maktabgacha ta'lim tizimini yanada takomillashtirish, moddiy-texnika bazasini mustahkamlash, maktabgacha ta'lim muassasalari tarmog’ini kengaytirish, malakali pedagog kadrlar bilan ta'minlash, bolalarni maktab ta'limiga tayyorlash darajasini tubdan yaxshilash, ta'lim-tarbiya jarayoniga zamonaviy ta'lim dasturlari
va texnologiyalarini tatbiq etish, bolalarni har tomonlama intellektual, axloqiy, estetik va jismoniy rivojlantirish uchun shart-sharoitlar yaratish maqsadida Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev tomonidan “2017-2021-yillarda maktabgacha ta'lim tizimini yanada takomillashtirish chora-tadbirlari to'g’risida” qaror qabul qilindi.
Malumki , biz elementar matematika kursida va algebra va sonlar nazariyasi fanini o’rganganda chiziqli algebraik tenglamadan to to’rtinchi darajali algebraik tenglama va tenglamalar sistemasini yechishni qarab chiqqan edik. Ammo yuqori darajali tenglamalar yoki tenglamalar sistemasini yechish esa ancha qiyinchiliklar tug’dirishini ham bilamiz. Bu haqda hatto buyuk Norvegiyalik matematik Nils Abels o’zining quyidagi qimmatli fikrini bayon qilgan edi, ya’ni “ beshinchi va undan yuqori darajali tenglamalarni cheksiz sondagi amallar : qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish va ildizdan chiqarish yordamida yechish formulasi mavjud emas “. Bu bitiruv malakaviy ishda asosan yuqori darajali tenglamalar sistemasini yechishda tenglamalar darajalarini simmetrik ko’phadlar, simmetrik funksiyalar yordamida pasaytirib yechish ishning asosiy dolzarb vazifasi qilib belgilangan.
Ma’lumki n-darajali (n – musbat butun son) tenglamani umumiy ko’rinishi
ko’rinishidan iborat.
Bu tenglamaning koeffitsientlari umumiy holda ixtiyoriy kompleks sonlar, shu bilan birga deb olamiz, aks holda yuqoridagi tenglama n-darajali tenglama bo’lmay qoladi.
Ravshanki, agar tenglama berilgan bo’lsa, uni yechish talab etiladi. Bosh- qacha aytganda x noma’lumning shunday son qiymatlarini topish talab etiladiki, ular bu tenglikni ayniyatga aylantirsin, ya’ni ular noma’lum o’r- niga qo’yganda ayniyatga aylantirsin.
Biroq yuqoridagi tenglamani yechish masalasini tenglikning chap tarafida turgan (1) ifodani o’rganishning umumiy masalasi bilan almashtirish mumkin. Ushbu (1) ifoda x noma’lumning n-darajali ko’phadi (yoki polinomi ) deyiladi. Ko’phadlarni qisqacha yozish uchun va hokazo simvollardan foydalanamiz. Agar va ko’phadlarda noma’lumlarning bir xil darajalari oldidagi teng bo’lsa, bu ko’phadlar teng ko’phadlar deyiladi.
Ko’phadning (1) ko’rinishdagi, ya’ni x noma’lumning darajalarini kamayib borish tartibi ko’rinishidagi yozuvidan tashqari yana noma’lumning o’sib boruvchi darajalari yozuvi
ham qo’llaniladi.
Ravshanki, (1) ko’phadga matematik analiz nuqtayi nazaridan ham qarash mumkin, ya’ni uni kompleks o’zgaruvchi x ning kompleks funksiyasi ham qarash mumkin. Kompleks koeffitsientli va ko’phadlar berilgan bo’lib, ular qulaylik uchun x ning o’sib boruvchi darajalari bo’yicha yozilgan bo’lsin:
va masalan bo’lsin, u holda bu ko’phadlarning yig’indisi (ayirmasi) quyidagicha bo’ladi:
Bu yerda (2)
va ko’phadlarning ko’paytmasi deb ushbu
Ko’phadga aytiladi. Uning koeffitsientlar quyidagicha aniqlanadi
(3)
Shunday qilib ikkita ko’phadning ko’paytmasining umumiy darajasi bu ko’phadlarning darajalarining yig’indilariga teng. Demak, noldan farqli ko’phadlarning ko’paytmasi hech qachon nolga teng bo’lmasligi kelib chiqadi.
Endi bu kiritilgan amallarning xossalarini o’rganaylik.
Ko’phadlarni qo’shishning kommutativigi va assotsativligi bu xossalarning sonlarni qo’shish uchun o’rinli ekanligidan kelib chiqadi, chunki noma’lumning har bir oldidagi koeffitsientlari alohida-alohida qo’shiladi.
Ko’phadlar uchun ayirish amali ham bajariladi: nol rolini nol soni o’ynaydi,
Ko’phad uchun qarama-qarshi ko’phad quyidagicha bo’ladi:
Ko’phadlarni ko’paytirishning kommutativligi sonlarni ko’paytirishning kommutativlik xossasidan ham chiqadi.
TEOREMA. Ixtiyoriy va ko’phadlar uchun shunday va ko’phadlar topish mumkinki, ushbu
(4)
Tenglik o’rinli bo’lib bunda ning darajasi ning darajasidan kichik yoki bo’ladi. Bu shartni qanoatlantiruvchi va ko’phadlar bir qiymatli aniqlanadi.
ISBOT. Bu teoremani isbotini ikki qismga bo’lib isbotlaymiz. Avvalo va ko’phadlarni yagonaligini ko’ramiz, so’ngra esa bunday va ko’phadlarni mavjudligini ko’ramiz. Faraz qilaylik, (4) tenglikdan tashqari
(5)
tenglikni qanoatlantiruvchi va ko’phadlar ham mavjud bo’lsin hamda ning darajasi ning darajasidan kichik bo’lsin. (4) va (5) tengliklarni o’ng tomonlarini bir-biriga tenglashtirib, natijada
tenglikni hosil qilamiz.
Bu tenglikning o’ng tomonining darajasi ning darajasidan kichik bo’lgan ko’phad, chap tomonda turgan ko’phadning darajasi esa
bo’lsa, u holda ning darajasidan katta yoki unga teng bo’lgan ko’phad turibdi. Shu sababli bo’lishi lozim, bun-
dan esa kelib chiqadi.
Demak farazimiz noto’g’ri ekan, teoremani 2-qismi isbotlandi.
Endi uning 1-qismini isbotlaymiz. va ko’phadlarning darajalari mos ravishda n va s bo’lsin.
Agar n
Shu sababli n≥s bo’lsin deb olaylik.
ko’phadlar berilgan bo’lsin.
(6)
deb olib darajasi n dan kichik bo’lgan ko’phadni hosil qilamiz. Hosil
bo’lgan ko’phadning darajasini va yuqori hadi koeffitsientini orqali belgilaymiz. Agar hali ham ≥s bo’lsa,
deb olamiz. ko’phadning darajasini va yuqori hadi koeffitsientini orqali belgilaymiz. Ravshanki, olishimizga ko’ra So’ngra esa
deb olamiz va hokazo
ko’phadlarning darajalari kamayib borganligi sababli chekli sondagi qadamlardan so’ng albatta, darajasi s dan kichik bo’lgan shunday ko’phadga kelamizki,
(
bo’lib, yuqoridagi jarayon to’xtaydi shu yerda. Endi (
tengliklarni qo’shib, quyidagi
tenglikni hosil qilamiz. Bu yerdan esa quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
Ushbu ko’phadlar olishimizga ko’ra tenglikni qanoatlantiradi, hamda ning darajasi esa ning darajasidan kichik.
ko’phad ni ga bo’lgandagi bo’linma, esa bu bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiq deb ataladi.
NATIJA. Agar va ko’phadlar haqiqiy koeffitsientli ko’phadlar bo’lsa, u holda barcha ko’phadlarning koeffitsientlari, shu sababli bo’linma ning ham, qoldiq ning ham koeffitsientlari haqiqiy sonlar bo’ladi.
ko’phadni ga bo’lganda bo’linmada , qoldiqda
qolsin.
Agar bu munosabatga qo’yilsa, hosil bo’ladi. Shu tariqa teorema isbotlanadi.
Agar f( ) ko’phadning hamma hadlari shunday tuzilgan bo’lsaki, har
bir keyingi had o’zidan oldingi haddan quyi bo’lsa, u holda bu ko’phadning hadlari
leksikografik yoki lug’at bo’yicha yozilgan deyiladi (yoki f( ) ko’phad
leksikografik (lug’atiy) ko’phad deyiladi).
Ko’phadning leksikografik yozuvida birinchi o’rinda turgan hadi ko’phadning
Dostları ilə paylaş: |