O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi toshkеnt davlat iqtisodiyot univеrsitеti

3.4.Logarifmik-normal taqsimot
Ta’rif. Uzluksiz tasodifiy miqdor logarifmik-normal taqsimotga, (qisqacha lognormal taqsimotga) ega, agar uning logarifmi normal qonunga buysinsa.

Madomiki bo‘lganda va tengsizliklar teng kuchli ekan, u holda lognormal taqsimotining taqsimot funksiyasi tasodifiy miqdor uchun normal taqsimot funksiyasi bilan ustma-ust tushadi, ya’ni (3.15)ga muvofiq

(3.20)

(3.36)ni bo‘yicha differensiallab, lognormal taqsimot ehtimol zichligi ifodasini hosil qilamiz

(3.21)

Ko‘rsatish mumkinki, (3.21) lognormal qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari qo‘yidagi ko‘rinishlarga ega: matematik kutilmasi , dispersiyasi , modasi , medianasi .

4.14-rasm

Ravshanki, qancha kichik bo‘lsa, moda, mediana va matematik kutilmalarning qiymatlari shunchalik bir-biriga yaqin bo‘ladi, taqsimot egri chizigi esa – simmetriyasiga yaqin. Agar normal qonunda parametr tasodifiy miqdorning o‘rta qiymati vazifasini o‘tasa, u holda (3.21) lognormalda – mediana vazifasini o‘taydi.

Lognormal taqsimot daromadlar, bank omonatlari, oylik maosh, turli ekinlar uchun ekiladigan maydonlar, yeyilish va eskirish rejimida buyumlarning chidamlili vaqti va boshqalarni tasnifi uchun foydalaniladi.

3.10-masala. O‘tkazilgan kuzatish ko‘rsatadiki, aholining berilgan bankdagi omonatlari parametrlari bo‘lgan (3.37) lognormal qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor bilan tasniflanishi mumkin.

Topilsin: a) omonatning o‘rtacha hajmi; b) omonati hajmi 1000 pul birligidan kam bo‘lmagan omonatchilar ulushi; v) tasodifiy miqdorning modasi va medianasini toping va ular ma’nosini tushuntiring.

Yechish. a) omonatning o‘rtacha hajmini topamiz, ya’ni (pul birligi).

b) omonati hajmi 1000 pul birligidan kam bo‘lmagan omonatchilar ulushi

.

ni aniqlashda, tasodifiy miqdorning lognormal taqsimot funksiyasi tasodifiy miqdorning normal taqsimot funksiyasi bilan bir xil ekanidan foydalanamiz, ya’ni (3.30)ni hisobga olgan holda hosil qilamiz:

va

O‘z navbatida (4.15-rasm).

4.15-rasm

v) tasodifiy miqdorning modasini hisoblaymiz:

ya’ni eng ko‘p uchraydigan bank omonati 280 pul birligiga teng (aniqroq aytganda, eng ko‘p uchraydigan elementar interval markazi 280 pul birligiga teng bo‘lgan, ya’ni (280- , 280 ) pul birligi intervali).

Agar lognormal taqsimot parametri ning ehtimollik ma’nosidan kelib chiqqudek bo‘lsak, u xolda mediana ya’ni omonatchilarning yarmining omonati 530 pul birligidan oshmaydi, qolgan yarmining omonati-530 pul birligidan ortiq.

Qisqa xulosalar
Ushbu bobda real ijtimoiy-iqtisodiy jarayonlarning nazariy-ehtimollik modellarini qurishda foydalaniladigan diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning asosiy taqsimot qonunlari tasniflangan.

Bu mavzuda statistik analizning turli masalalarini yechishda qo‘shimcha texnik vosita sifatida foydalaniladigan tasodifiy miqdorlar taqsimotlari qaraladi.

Binomial taqsimot qonuni maxsulot sifatini nazorat qilish nazariyasida va amaliyotida, ommaviy xizmat ko‘rsatish tizimi faoliyatini bayon etishda, otishlar nazariyasi va boshqa sohalarda keng foydalaniladi. Puasson qonuni binomial taqsimotning «limit» holati bo‘lishi bilan bir qatorda boshqa vaziyatlarda ham vujudga keladi.

Agar tasodifiy miqdor, har biri Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan ikki bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdor yig‘indisini ifodalasa, u holda uni o‘zi ham Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi.

Normal taqsimot qonuni amaliyotda eng ko‘p ishlatiladi. Boshqa qonunlar ichida uni ajratib turadigan bosh xususiyati shundaki, u limit taqsimot bo‘lib, ancha ko‘p uchraydigan tiplarga xos shartlarda boshqa taqsimot qonunlari unga yaqinlashadi.