Parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar”

x=1 da: agar bo‘lsa, (1.18) qator absolyut yaqinlashuvchi,
agar bo‘lsa, uzoqlashuvchi bo‘ladi.
x=-1 da: agar bo‘lsa, absolyut bo‘lmay yaniqlashuvchi,
agar bo‘lsa, uzoqlashuvchi bo‘ladi.
da gipergeometrik qator quyidagi
(1.19)
geometrik progressiyadan iborat bo‘ladi, shuning uchun ham u gipergeometrik qator deb atalgan.
Ma’lum teoremaga ko‘ra, (1.18) qator da (1.19) qator kabi, yaqinlashuvchi bo‘ladi, va ravshanki, bu oraliqda (1.10) tenglamaning yechimini ifodalaydi.
Ikkinchi xususiy yechim
(1.20)
ko‘rinishga ega. C_k ni aniqmas koeffitsiyentlar usulida topishning o‘rniga, (1.10) Gauss tenglamasida izlanayotgan y funksiyani
(1.21)
formula bo‘yicha almashtirish bajaramiz va


ekanligini hisobga olib, quyidagi Gauss tenglamasini olamiz:


yoki

(1.22)
bunda va parametrlar ro‘lini va parametrlar o‘ynaydi.
Shu sababli, bu tenglamaning aniqlovchi tenglamani nol ildiziga mos z₁ xususiy yechimini qurib va uni (1.21) ga qo‘yib, berilgan (1.10) Gauss tenglamasining ikkinchi xususiy olamiz:
(1.23)
(1.10) Gauss tenglamsining umumiy yechimi quyidagiga bo‘linadi:
(1.24)
Eslatib o‘tamizki, (1.17), (1.23) va (1.24) formulalarda, faraz qilinganiga ko‘ra, son butun songa ham nolga ham teng emas. Agar, xususan, bo‘lsa, u holda (1.17) birinchi xususiy yechim o‘z ma’nosini saqlaydi, bu vaqtda ikkinchi xususiy yechim kabi albatta lnx ni o‘z ichiga olishi kerak, bu holda aniqlovchi tenglamaning ikkala ildizlari bir hil bo‘ladi:

Huddi shunga o‘hshash, va maxsus nuqtalar atrofida ham gipergeometrik tenglamaning umumiy yechimini yozish mumkin.
U Eylerning gipergeomrtrik integrali yordamida ham aniqlanishi mumkin:


Haqiqatan ham, (1.17) qatorni


tengliklarni e’tiborga olgan holda, quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:




Bu yerdan, Beta funksiya uchun o‘rinli bo‘lgan ushbu

formulaga asosan

bo‘lgani uchun, (22) tenglikni

ko‘rinishda yozamiz yoki

(1.27)
Chap tomondagi integral n ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun, ushbu shartlarning bajarilishi zarur:

(1.28) tenglikni quyidagicha yozib olamiz:



integral ostidagi yig’indi

bo‘lgani uchun, (1.29) ni

ko‘rinishda yozish mumkin.
Shunday qilib, gaussning gipergeometrik funksiyasi ushbu formula bilan aniqlanadi [5], [10]:
|z|<1, c≠0, -1, -2,…
a, b, c parametrlar - kompleks bo‘lishi mumkin,
, , (n=1,2,…)
F – gipergeometrik funksiyaning ba’zi xossalarini keltiramiz.
1º. Gipergeometrik funksiyaning analitik davomi.


a-b≠0,±1, ±2,…, , .


.
2º. Differentsiallash formulalari.


3º. funksiya uchun quyidagi baholarga ega [5]:
a garc-a-b>0,0≤z≤1 agar c-a-b<0, 0
4. , sonning butun qismi, -biror chekli oraliq, da va bo‘lsin.
Quyidagi ifoda

kasr tartibli funksiyadan olingan umumlashgan integro-differensial operator deyiladi, bu yerda da
, da
va da