Pascal Engel
Platonizm matematyczny i
antyrealizm
Filozofia Nauki 5/2, 5-20
1997
Filozofia Nauki
Rok V, 1997, Nr 2(18)
Pascal Engel
Platonizm matematyczny i antyrealizm1
Zwykło się uważać, że platonizm matematyczny to pogląd, w myśl którego istnieją
byty abstrakcyjne, takie jak zbiory, klasy czy liczby. Często mówi się, że platonizm jest
odmianą realizmu.
W tym właśnie znaczeniu będę mówił o realizmie ontologicznym w matematyce.
Realizm ontologiczny w określonej dziedzinie jest tezą o istnieniu w niej obiektów
szczególnego typu. Można zatem być realistą co do wartości moralnych, obiektów
materialnych, bytów teoretycznych w nauce, co do obiektów mentalnych lub bytów
kolektywnych, takich jak narody lub zespoły badawcze CNRS (Państwowego Ośrodka
Badań Naukowych), lub też co do innych bytów, jak np. możliwe światy, stany
zmęczenia lub dziury w serze szwajcarskim. Doktryny przeciwstawne zaprzeczają ist
nieniu tych obiektów; są to różne odmiany nominalizmu, fenomenalizmu, redukcjoni
zmu, fikcjonalizmu lub instrumentalizmu. W tym znaczeniu mówi się o antyrealizmie
ontologicznym. Michael Dummett zwrócił uwagę na potrzebę uwzględniania innego
typu realizmu i antyrealizmu, a mianowicie realizmu i antyrealizmu semantycznego.
Zgodnie z Dummettem realizm semantyczny nie jest tezą dotyczącą istnienia lub natury
jakichś obiektów, lecz tezą odnoszącą się do znaczenia i prawdziwości pewnych typów
wypowiedzi. Jest to teza, w myśl której znaczenie tych wypowiedzi jest zdeterminowa
ne przez warunki prawdziwości niezależne od zdolności mówiących do rozpoznawania
[tych warunków] i uznawania [odpowiednich zdań]. Teza ta wiąże się ściśle z tezą o
dwuwartościowości oraz z przyjęciem logiki klasycznej, chociaż Dummett uważa, że
tezy te nie są równoważne z tak pojętym realizmem semantycznym. Według Dummetta
1 Oryginał ukazał się jako „Platonisme mathématique et antiréalisme” w pracy L ’objectivité mathématique.
Platonismes et structures formelles (red. Marco Panza i
Jean-Michel Salanskis; Masson, Paris — Milan —
Barcelone 1995, s. 133-146).
6
Pascal Engel
realizm semantyczny jest postawą niezrozumiałą: zakładającą, że mamy jakiś tajemni
czy kontakt z «niewykrywalnymi» stanami rzeczy. W przeciwieństwie do tego utrzy
muje on, że jedyne pojęcie znaczenia, które można na serio rozpatrywać, jest to pojęcie
uzależnione od naszych epistemicznych zdolności rozpoznawania warunków prawdzi
wości wypowiedzi, tzn. — w pewnym sensie — ich «użycia». Dummett twierdzi
ponadto, że znaczenie wypowiedzi jest oparte na warunkach ich uznawania. Tak brzmią
podstawy tego, co nazywa on „anty real izmem semantycznym” — programu, którego
różnych aspektów broni od ponad trzydziestu lat. Uważa on, że przyjęcie tak pojętej
antyrealistycznej teorii znaczenia dostarcza nam wystarczających powodów do tego,
aby opowiedzieć się za rewizją logiki i odrzuceniem logiki klasycznej na rzecz logiki
intuicjonistycznej. W tym właśnie miejscu program antyrealistyczny zdaje się wiązać z
kwestią platonizmu w filozofii matematyki. Można skłaniać się ku poglądowi, że
platonizm matematyczny jest realizmem ontologicznym, który wywodzi się bezpośre
dnio z realistycznej koncepcji
semantyki wypowiedzi matematycznych, oraz że — z
drugiej strony — odrzucenie realizmu semantycznego implikuje pewnego rodzaju anty-
realizm ontologiczny. Istotnie, sam Dummett broni swoistej odmiany konstruktywizmu
w filozofii matematyki. Często porównywano jego stanowisko w filozofii do weryfika-
cjonizmu Koła Wiedeńskiego. Zdaniem Dummetta implikacje te są błędne. Podkreśla
on, że trzeba oddzielać kwestię ontologii od kwestii semantyki. Najpierw należy
określić status prawd matematycznych, a następnie określić status ontologiczny obiek
tów matematycznych. Co prawda z chwilą przyjęcia realistycznego modelu znaczenia
wypowiedzi matematycznych skłonni bylibyśmy uznać, że wypowiedzi te dotyczą
konstrukcji mentalnych. I rzeczywiście: nawet tak typowy platonista jak Gottlob Frege
próbuje przyswoić sobie obie te formy realizmu i natyrealizmu. Dummett jednak twier
dzi, że tendencje te nie mają siły implikacyjnej. Przyjęcie antyrealistycznego modelu
semantycznego wcale nie zmusza nas do przyjęcia ontologii nieplatonistycznej; w
istocie dla wypowiedzi rozstrzygalnych nie ma niezgodności między dwiema koncep
cjami znaczenia — realistyczną i antyrealistyczną. Zwolennik platonizmu w ontologii
może równie dobrze opowiedzieć się za antyrealistyczną koncepcją ich znaczenia
.4
To,
że możliwe jest połączenie odwrotne — realizm semantyczny i ontologia antyrealisty-
czna — widać na przykładzie fenomenalisty. Uważa on, że wypowiedzi dotyczące
zwykłych obiektów materialnych sprowadzają się do wypowiedzi dotyczących wrażeń
zmysłowych lub zjawisk, a zatem, że obiekty materialne nie istnieją; przyjmuje jednak
realistyczną koncepcję semantyki wypowiedzi, które dotyczą danych zmysłowych.
Jeśli możliwa jest redukcja fenomenalistyczna, to wypowiedzi te powinny być albo
prawdziwe, albo fałszywe, oraz powinny istnieć «obiektywne» kryteria prawdziwości
J Zob. Dummett (1978) i (1991) oraz Engel (1994).
3Zob. Dummett (1978), s. 229.
4Zob. ibid.,
S.231.
Platonizm matematyczny i antyrealizm
7
(nawet jeśli dotyczą danych zmysłowych). Można by z tego wnosić, że jest to dowód
niespójności tego typu teorii. Jeśli jednak program Dummetta ma jakiś sens, tj. jeśli ma
sens rozróżnianie realizmu semantycznego i realizmu ontologicznego, to powinna ist
nieć możliwość połączenia jednej lub drugiej tezy semantycznej z przeciwną tezą
ontologiczną. To właśnie zamierzał przeprowadzić Crispin Wright, w innej formie niż
Dummett — choć to on ją po części zainspirował — na kartach książki Frege’s Theory
o f Numbers as Objects.5 Bronił w niej tezy, że antyrealizm semantyczny jest niesprze-
czny z platonistycznym realizmem ontologicznym. Jeśli teza ta jest słuszna, to antyre
alizm semantyczny Dummetta nie pociąga za sobą, wbrew powszechnej opinii, żadnej
wersji idealizmu czy też weryfikacjonizmu. Chciałbym tutaj spróbować zbadać kilka
problemów związanych z tą tezą i dać wyraz swemu sceptycyzmowi co do kombinacji,
które ona dopuszcza, uważam bowiem, że nie jest ona w pełni spójna.
1. Sześć typów kwestii spornych, dotyczących prawdy
Jeżeli chcemy poświęcić szczególną uwagę problemom filozofii matematyki, to
powinniśmy oddzielić od siebie następujące pytania
:6
(1)
Czy należy oceniać wypowiedzi matematyczne pod kątem prawdy i fałszu, a jeśli
tak, to pod kątem jakiego pojęcia prawdy i fałszu?
Wśród koncepcji, które odpowiadają przecząco na powyższe pytanie, jest kilka
odmian formalizmu (w szczególności odmiana, którą atakował Gottlob Frege) oraz
koncepcja Ludwiga Wittgensteina, dla którego treść wypowiedzi matematycznej nie
jest treścią sądu, lecz przypomina raczej treść rozkaźników lub też reguł, które rządzą
użyciem występujących w nich pojęć
. 7
Platonizm, intuicjonizm, różne odmiany konstruktywizmu oraz nominalizm opie
rają się na twierdzącej odpowiedzi na to pytanie. Stanowiska te są jednak rozbieżne co
do następnej kwestii:
(2)
Czy wypowiedzi matematyczne są prawdziwe?
Pewna odmiana nominalizmu, ta mianowicie, której broni Hartry Field w swoich
książkach Science without numbers oraz Realism, mathematics and modality
,8
udziela
przeczącej odpowiedzi na to pytanie: zdaniem Fielda chociaż treść wypowiedzi mate
matycznych jest taka, że można je oceniać pod kątem prawdy lub fałszu, to wszystkie te
wypowiedzi są fałszywe. Nasze przekonania matematyczne oparte są na pewnym gru
bym błędzie: nie ma bytów mających cechy, których domagałaby się ich prawdziwość.
W odniesieniu do czarownic podobny pogląd głosiłby, że wypowiedź „Ta kobieta jest
czarownicą” przypisuje wprawdzie jakiejś kobiecie pewną własność, lecz własność
5Zob. Wright (1983).
60piemm się tutaj na rozważaniach Wrighta (1988).
7Zob. Wright (1980) i Bouveresse (1987).
8 Zob. Field (1980) i (1987).
8
Pascal Engel
tego rodzaju nie istnieje. To samo stanowisko zajmował m.in. John Mackie
.9
Jego
zdaniem wyrażamy się tak, jakby istniały jakieś własności moralne, i do tego, by nasze
słowa były prawdziwe, trzeba, żeby te wartości istniały. Jednakże świat nie zawiera
żadnej własności tego rodzaju. Według Fielda rzecz ma się podobnie z wypowiedziami
matematycznymi. Postawę taką sam Field nazywa „fikcjonalizmem”.
Udzieliwszy odpowiedzi twierdzącej na dwa poprzednie pytania, nie odpowiedzie
liśmy jeszcze na pytanie:
(3)
Co czyni wypowiedzi matematyczne prawdziwymi?
Tradycyjna odpowiedź platonizmu na to pytanie głosi, że warunki prawdziwości
wypowiedzi należących do czystej matematyki określone są przez właściwości pew
nych obiektów abstrakcyjnych, niezależnych od naszego umysłu, a mianowicie obiek
tów refleksji matematycznej. Intuicjonizm w swej pierwotnej postaci twierdzi, że
wypowiedzi matematyczne nie odnoszą się do obiektów niezależnych od umysłu, lecz
do konstrukcji mentalnych. Trzeci rodzaj odpowiedzi polega na próbie ocalenia realiz
mu wyrażonego pośrednio w odpowiedzi platonizmu — przy równoczesnym odrzuce
niu zobowiązań ontologicznych wobec obiektów abstrakcyjnych. W myśl tej koncepcji
warunki prawdziwości wypowiedzi matematycznych określane są w drodze charakte
rystyki pewnych pojęć strukturalnych
. 10
Jeszcze innej możliwej odpowiedzi na to pytanie udziela tradycyjny nominalizm:
jeśli aksjomaty i twierdzenia teorii czystej matematyki są zrozumiałe, to dlatego, że
teoria ta ma model w dziedzinie czysto konkretnej: aksjomaty lub twierdzenia są
prawdziwe, jeśli są prawdziwe we wszystkich możliwych modelach konkretnych tego
rodzaju
.11
Ten tradycyjny nominalizm różni się więc od wyżej przedstawionego fikcjo-
nalizmu.
Trzy pierwsze pytania same z kolei zależą od odpowiedzi na pytanie czwarte:
(4) Jak moiemy ustalić, Ze wypowiedzi matematyczne są prawdziwe?
Niektórzy platoniści — jak np. powszechnie z tego znany Kurt Gödel oraz od
12
niedawna Penelope Maddy — zakładają, że istnieją swoiste zdolności intelektualne,
w szczególny sposób przystosowane do bytów, które zaludniają świat abstrakcyjnych
obiektów matematycznych. Inni platoniści usiłowali pokazać, jak można poznać te
obiekty bez odwoływania się do podobnych zdolności. Można jednak bronić pewnej
szczególnej odmiany platonizmu, twierdząc, że najwyższą gwarancją naszej wiary w
prawdziwość wypowiedzi matematycznych jest ich empiryczna stosowalność w dzie
dzinie fizyki, oraz że właśnie z racji ich niezbędności w wyjaśnianiu świata fizycznego
winniśmy uznać istnienie abstrakcyjnych bytów matematycznych. Tego rodzaju argu-
9 Zob. Mackie (1977).
l0Zob. Benacetraf (1965) i (1973).
11 Zob. np. Goodman i Quine (1947).
12 Zob. Maddy (1980) i (1990).
Platonizm matematyczny i antyrealizm
9
mentacją z niezbędności posłużyli się w szczególności Willard v. O. Quine i Hilary
Putnam
.13
Pozostały jeszcze dwa istotne pytania. Pierwsze brzmi:
(5)
Czy prawda transcenduje dowód?
Tego właśnie dotyczą rozważania o realizmie, prowadzone przez Dummetta. Jak
widzieliśmy, Dummett opiera się na pewnej koncepcji znaczenia, aby uzasadnić pewną
koncepcję dowodzenia prawdziwości wypowiedzi matematycznych.
Wreszcie ostatnie pytanie:
(
6
)
Jak można zastosować matematykę do wypowiedzi o zwykłych obiektach mate
rialnych?
Pytanie to stawiają sobie oczywiście także ci, którzy odpowiadają przecząco na dwa
pierwsze pytania, tj. na pytanie o ocenę wypowiedzi matematycznych pod kątem praw
dy i fałszu oraz o samą ich prawdę lub fałsz. Problem stosowalności [matematyki do
nauk przyrodniczych] ma szczególną wagę dla fikcjonalisty w rodzaju Fielda, który
odpowiada twierdząco na pierwsze pytanie, a przecząco na drugie. Skoro bowiem duża
część klasycznej matematyki jest fałszywa, to w jaki sposób fałszywa teoria może być
użyteczna?
Cała trudność polega rzecz jasna na uzyskaniu koherentnych odpowiedzi na te sześć
pytań, podstawowych dla filozofii matematyki. W swoim znanym artykule
14
Paul Be-
nacerraf utrzymuje, że nie można zarazem odpowiedzieć na pytania (l)-(3), dotyczące
natury prawdy w matematyce, i na pytania (4)-(6), dotyczące poznania matematyczne
go. Innymi słowy Benacerraf jest zdania, że różne sposoby analizy problemu prawdy w
matematyce były motywowane dwoma odrębnymi celami: z jednej strony staraniem o
skonstruowanie jednolitej teorii semantycznej, w której semantyka sądów matematycz
nych byłaby zgodna z semantyką naszego języka ogólnego, a z drugiej — staraniem o
epistemologię (teorię poznania) dostosowaną do wypowiedzi matematycznych. Bena
cerraf jest zdania, że prawie wszystkie sposoby analizy problemu prawdy w matematy
ce mogą urzeczywistnić jeden z tych celów, ale zawsze kosztem drugiego. Dylemat ten,
według Benacerrafa, jest widoczny zwłaszcza w platonizmie: jeśli istnieją byty mate
matyczne w rodzaju tych, w które wierzy platonista (tj. niezależne od umysłu i języka,
bez lokalizacji czasowo-przestrzennej oraz niezdolne do nawiązania fizycznego kon
taktu z czymkolwiek), to platonista nie potrafi powiedzieć, w jaki sposób możemy je
poznać. Innymi słowy, wyzwanie Benacerrafa — według Fielda — brzmi następująco:
Zaczynamy od uznania, że istnieją byty matematyczne, rządzone standardowymi teoriami matematyczny
mi; przyjmujemy także, iż są istotne powody, by uwierzyć w te byty. Te istotne powody mogą opierać się
na hipotezie o ich wstępnym prawdopodobieństwie. [...] Mogą one opierać się także na idei, że postulowanie
tych bytów jest czymś niezbędnym. Wyzwanie Benacerrafa [...] dotyczy przeprowadzenia analizy wy
jaśniającej mechanizm tego, jak nasze przekonania odnoszące się do tych odległych bytów mogą równie
dobrze odzwierciedlać fakty pod nie podpadające. Idea polega na tym, że jeśli wyjaśnienie tego okazuje
l3Zob. Quine (1970) i Putnam (1967).
14Zob. Benacerraf (1973).
10
Pascal Engel
się rzeczą zasadniczo niemożliwą, to zachwiana zostaje wiara w byty matematyczne — niezależnie od
powodów, ze względu na które jesteśmy skłonni wierzyć w istnienie tych bytów.15
Aby sprostać wyzwaniu Benacerrafa, tacy autorzy, jak Crispin Wright, przede wszy
stkim w książce Frege’s theory o f numbers as objects, oraz Field, zwłaszca w książce
Realism, mathematics and modality, zaproponowali odpowiednio pewną odmianę pla-
tonizmu oraz pewną odmianę nominalizmu. Ich koncepcje, jeśli są koherentne, wska
zują przy tym na to, na co zwracaliśmy uwagę na początku niniejszego artykułu, a
mianowicie, że można zajmować stanowisko realistyczne (platonistyczne) wobec onto-
logii obiektów matematycznych w połączeniu ze stanowiskiem antyrealistycznym wo
bec ich znaczenia — to jest stanowisko Wrighta — i przyjmować koncepcję
antyrealistyczną (fikcjonalistyczną) wobec tej ontologii w połączeniu z koncepcją rea
listyczną wobec ich znaczenia — to jest stanowisko Fielda.
W dalszej części artykułu przedstawię w skrócie stanowiska Fielda oraz Wrighta,
następnie zaś postaram się zestawić je ze sobą, aby sprawdzić, czy któreś z nich
rzeczywiście pozwala sprostać wyzwaniu Benacerrafa.
2. Fikcjonalizm i platonizm syntaktyczny
Tradycyjni nominaliści uważają, że teoria matematyczna jest do przyjęcia tylko
wtedy, gdy można ją zinterpretować w sposób nie pociągający za sobą żadnej kwantyfi-
kacji ani jednostkowego odniesienia się do obiektów abstrakcyjnych. Każdą teorię,
która nie spełniałaby tego warunku, nominaliści uznaliby na niezrozumiałą. Pod tym
względem nominalizm Fielda nie jest nominalizmem tradycyjnym. Field nie wierzy w
istnienie obiektów abstrakcyjnych i uważa, że każda teoria matematyczna powinna
unikać zobowiązań ontologicznych wobec tych obiektów. Nie twierdzi jednak, że teoria
matematyczna będzie zrozmiała tylko wtedy, gdy będzie miała nieplatonistyczną czyli
nierealistyczną semantykę. Przeciwnie, jest gotów zgodzić się, że semantyka platonis-
tyczna np. dla teorii liczb jest poprawna deskryptywnie, tj. wypowiedzi tej teorii mają
odniesienie jednostkowe i kwantyfikację w szczególnych dziedzinach obiektów abs
trakcyjnych. Ponieważ według Fielda nie ma obiektów tego rodzaju, twierdzi on, że
warunki prawdziwości tych wypowiedzi są notorycznie nie spełniane.
Jak ktoś, kto podtrzymuje taką tezę — że mianowicie wypowiedzi matematyczne są
notorycznie fałszywe — może mieć nadzieję na zachowanie fenomenów bez podjęcia
rekonstrukcji semantycznej? Może, jeśli przeprowadzi rozróżnienie podobne do rozróż
nienia — dokonanego przez Basa C. van Fraassena
16
w filozofii nauki — między
przyjęciem teorii a
uznaniem jej za prawdziwą. Według van Fraassena przyjąwszy teorię
fizyczną, nie musimy angażować się w nic poza jej adekwatnością empiryczną —
poprawnością obserwacyjną. Według Fielda przyjąwszy teorię matematyczną, nie mu
simy angażować się w nic poza jej nietwórczością. Z grubsza biorąc dana teoria jest
15 Zob. Field (1989), s. 25-26.
16 Zob. van Fraassen (1981).
Platonizm matematyczny i antyrealizm
11
nietwórcza w stosunku do pewnego typu dyskursu jedynie wtedy, gdy inferencje
między wypowiedziami należącymi do tego dyskursu dają się w zasadzie prawomocnie
odtworzyć bez odwoływania się do tej teorii. (Teoria S jest nietwórcza, jeżeli dla asercji
nominalistycznej A i zbioru asercji tego rodzaju N, A nie jest konsekwencją zbioru N +
S, chyba że A jest konsekwencją zbioru N, gdzie asercja nominalistyczna jest asercją,
której wszystkie zmienne są explicite ograniczone do bytów niematematycznych
.)17
Dla Fielda teoria matematyczna jest do przyjęcia nawet wtedy, gdy jej wypowiedzi
mają platonistyczne warunki prawdziwości, jeśli tylko jest nietwórcza wobec dyskursu
nominalistycznego. Celem programu Fielda jest więc wykazanie, że odwołanie się do
tego kryterium umożliwia ocalenie maksymalnie dużej części matematyki klasycznej.
Na pojęciu nietwórczości opiera się wiele spraw i jego też dotyczy większość dyskusji
przeprowadzonych nad tezami Fielda. Tutaj jednak nie będę się tym zajmował. To, co
interesuje nas teraz, to rola, którą przypuszczalnie odgrywa to pojęcie z punktu widze
nia epistemologii (gnozeologii). Field wprowadza je po to, by podjąć wyzwanie Bena-
cerrafa, a więc by spróbować wyjaśnić pewność naszych przekonań matematycznych.
Utrzymuje on mianowicie, że nietwórczość teorii liczb wraz z faktem, że można się bez
tej teorii obyć przy formułowaniu teorii naukowych (jest to temat Science without
numbers), pociąga za sobą niemożność podania
pośredniego dowodu na istnienie lub na
nieistnienie liczb — dowodu, który byłby wyrażalny w języku nominalistycznym. Field
powinien był zatem w zasadzie przyjąć postawę pewnego agnostycyzmu wobec real
ności bytów matematycznych. Posuwa się on jednak dalej, uznając, że byty te nie
istnieją:
Trzeba przyjąć, że nie możemy uzyskać pośredniego dowodu na nieistnienie obiektów matematycznych.
Nie możemy uzyskać bezpośredniego dowodu na obalenie tezy głoszącej, że wewnątrz elektronów żyją
małe zielone ludziki, których ludzie nie są w stanie z zasady odkryć; wydaje się jednak, że niepotrzebnie
jesteśmy tak ostrożni, zajmując postawę raczej agnostycyzmu niż zwykłej niewiary wobec tak jałowej
hipotezy. Sądzę, że platonizm jawi się jako stanowisko do przyjęcia, gdyż zakłada, że hipoteza o istnieniu
bytów matematycznych nie jest hipotezą jałową. Jeśli jednak można się bez niej obyć bez jakiejkolwiek
szkody, to w naturalny sposób wolno wyjść poza agnostycyzm i uznać, że byty matematyczne nie istnieją.18
Wright zgadza się z Fieldem co do odrzucenia wszelkiej epistemologii obiektów
matematycznych, która opierałaby się na jakiejś formie intuicji lub bezpośredniego
postrzegania. Stara się jednak konsekwentnie bronić koncepcji platonistycznej, według
której istnieją obiekty matematyczne. Powołuje się przy tym na analizę i rekonstrukcję
teorii Frege’owskiej, w myśl której liczby są obiektami. Według Wrighta teoria Fregego
nie opiera się — jak to się często uważa — na tajemniczym postulowaniu bytów w
rodzaju liczb w świecie ponadzmysłowym, lecz na argumencie natury ściśle seman
tycznej. Obiekty są tym właśnie, co mają desygnować terminy jednostkowe w ich
najbardziej podstawowym użyciu. Te ostatnie są w stanie desygnować obiekty o tyle, o
ile występują w wypowiedziach prawdziwych. Wright twierdzi zatem:
17 W sprawie szczegółów definicji nietwórczości zob. Field (1989), rozdz. 4.
18Zob. Field (1989), s. 44-45.
12
Pascal Engel
(Ti) Wyrażenia liczbowe, takie jak „liczba 4” i „liczba książek w moim gabinecie”,
funkcjonują semantycznie jako autentyczne terminy jednostkowe, a wyrażenie
„liczba naturalna” funkcjonuje semantycznie jako predykat, w tym wypadku jako
predykat gatunkujący (tj. jako taki predykat, że jego komprehensja określa warun
ki tożsamości obiektów, które pod niego podpadają).
Argumentacja Wrighta na rzecz (Tj) składa się z dwóch etapów.
Najpierw przedkłada on na poparcie tej tezy argument syntaktyczny:
(To) Wyrażenia liczbowe, takie jak wymienione wyżej, funkcjonują syntaktycznie jako
terminy jednostkowe, a wyraźnie „liczba naturalna” funkcjonuje jako predykat
gatunkujący.
Teza ta opiera się na kryteriach rozpoznawania terminów jednostkowych. U Frege-
go kwestia ta jest — jak wiadomo — niejasna. Raz posługuje się on kryterium rodzajni-
ka określonego, innym razem — kryterium asymetrii podmiotu i orzeczenia wobec
negacji, innym razem wreszcie — kryterium zdolności terminów jednostkowych do
występowania w wypowiedziach tożsamościowych. Niemniej jednak Dummett i inni
komentatorzy są zgodni na ogół co do dwóch konkluzywnych kryteriów: zdolności do
występowania w wypowiedziach tożsamościowych i [do podlegania] generalizacji eg
zystencjalnej
.19
Następnie Wright używa znanej Frege’owskiej zasady kontekstowości — „słowa
mają sens tylko w kontekście zdaniowym” — aby bronić idei, że tak zindywidualizo
wane syntaktycznie terminy jednostkowe desygnują liczby, a zatem, że liczby istnieją.
Rozważania Wrighta, dotyczące tezy (To), są bardzo subtelne. Trzeba sobie naj
pierw zdać sprawę z tego, że teza ta nie jest tak banalna, jak to na pierwszy rzut oka
wygląda. Wydawałoby się, że takie wyrażenia, jak „względy należne Janowi” oraz
„względy należne dzieciom Jana” według kryteriów syntaktycznych należy zaliczyć do
terminów jednostkowych, podczas gdy słowo „względy” byłoby z punktu widzenia
składni predykatem gatunkującym. Tymczasem według Wrighta nie można budować
wypowiedzi tożsamościowych odnoszących się do «względów». Autentyczny termin
jednostkowy powinien móc pojawić się w wypowiedziach tożsamościowych i podlegać
generalizacjom ezgystencjalnym. Takie wyrażenia, jak „liczba książek w moim gabine
cie”, spełniają powyższe kryteria. Są jednak takie konteksty, w których np. „trzy” nie
funkcjonuje — jak się zdaje — jako termin jednostkowy:
(i)
W koszyku są co najmniej trzy jabłka,
skoro zdaje się on stanowić część kwantyfikatora liczbowego „są co najmniej trzy”.
Przeciwnie, „trzy” w zdaniu „2 + 3 = 5” zdaje się naprawdę funkcjonować jako termin
jednostkowy. Wright zakłada, że wszystkie terminy liczbowe obowiązuje jedna tylko
19 W sprawie kryteriów Fregowskich zob. Wright (1983), rozdz. 2; Hale (1987), rozdz. 2; Engel (1985),
rozdz. 2.
Platonizm matematyczny i anty realizm
13
konstrukcja syntaktyczna. „Trzy” jest — jego zdaniem — nawet w (i) terminem jed
nostkowym. Wystarczy, że zrekonstruujemy tę wypowiedź w następujący sposób:
(iO Liczba jabłek w koszyku jest większa lub równa względem liczby trzy.
Dlaczego nie bronić tezy odwrotnej, tj. poglądu, że wszystkie rzekome terminy
jednostkowe powinny być analizowane jako ewentualne kwantyfikatory i predykaty
gatunkujące, ażeby usunąć odniesienie do takich bytów jak liczby? Podpisać się pod
taką tezą — byłoby tym samym, co — podpisać się pod tym, co Wright nazywa
redukcjonizmem ontologicznym. Znanym przykładem tego typu redukcjonizmu —
przykładem, któremu Wright poświęca wiele uwagi — jest przykład zapożyczony z
ustępów 64-68 Grundlagen Fregego
.20
Rozważmy rzekome terminy jednostkowe typu
„kierunek a", gdzie „a” jest terminem desygnującym pewną prostą. Można dla takich
terminów łatwo zdefiniować konteksty tożsamościowe:
(a)
D(a) = D(b), gdy
a II
b, gdzie „II” oznacza równoległość.
Wprowadźmy predykat
(b)
Warunki prawdziwości każdej wypowiedzi o postaci cpD(a) są określone jako te
same, co warunki prawdziwości wypowiedzi o postaci
Fa, gdzie F jest własnością
prostych, dla których relacja II jest relacją spójną.
Na przykład wypowiedź „Wschód-Zachód D(a)” jest prawdziwa, gdy a II W-Z, czyli
wyrażenie „W-Z” nazywa paradygmat prostej Wschód-Zachód.
Kwantyfikację po kierunkach wyjaśnia się następnie tak:
(c) W(
a, że Fa jest prawdą, czyli „F” odpowiada φ określo
nemu w (b).
Istnienie kierunków nie jest konieczne do tego, aby drugi człon każdej z par logicz
nie równoważnych był prawdziwy; w konsekwencji prawdziwość pierwszego członu
każdej z par logicznie równoważnych nie wymaga także istnienia kierunków. Zatem
wypowiedzi typu „kierunek a ” nie mogą funkcjonować semantycznie jako terminy
jednostkowe. Mamy więc do czynienia z redukcjonizmem ontologicznym w odniesie
niu do kierunków.
Redukcjonista utrzymuje, że skoro prawe strony tego typu równoważności nie
zawierają terminów jednostkowych odnoszących się rzekomo do kierunków, to rzeko
me odniesienie do kierunku po stronie lewej jest jedynie sprawą gramatyki powierzch
niowej. Wright jednak pisze:
Dlaczego nie mielibyśmy odwrócić tej idei? Co stoi na przeszkodzie temu, by powiedzieć, że skoro lewa
strona istotnie zawiera wyrażenie odnoszące się do kierunku, to właśnie rzekomy brak odniesienia do
kierunku jest potencjalnie błędny lub jest sprawą «gramatyki powierzchniowej»? Należałoby powiedzieć
raczej, że to, co mamy po stronie prawej, jest zdaniem, które skutecznie odnosi się do kierunku, mimo że
nie zawiera żadnego szczególnego wyrażenia, które miałoby [właśnie] takie odniesienie.
Innymi słowy jesteśmy gotowi uznać, że rzekomy termin jednostkowy (według kryteriów Frege’ow-
skich) tak naprawdę nie jest terminem jednostkowym, a więc że gramatyka powierzchniowa zdań, w
których ten termin występuje, jest myląca. Dlaczego wobec tego nie byłoby możliwe, by — jeśli można
się tak wyrazić — gramatyka powierzchniowa była potencjalnie myląca po drugiej stronie? Dlaczego
20 Zob. Frege (1884).
14
Pascal Engel
zdanie nie zawierające wy od
r ę b n i a ]
nej części odnoszącej się do określonego óbiektu miałoby nie być
zdolne do odnoszenia się do takiego obiektu, skoro jest ono równoważne zdaniu, w którym to odniesienie
występuje explicite?21
Field zwraca tutaj słusznie uwagę na to, że podobnie jak redukcjonizm ontologiczny
skłania nas do odrzucenia istnienia rozważanych bytów ze względu na równoważność
zachodzącą między zdaniami, które odnoszą się rzekomo do tych bytów, a zdaniami,
które nie mają takiego odniesienia, można byłoby po prostu odwrócić argument typu
Wrighta i w każdym wypadku wyznawać rodzaj „inflacjonizmu ontologicznego”. Na
razie zatem powinniśmy wyciągnąć tymczasowy wniosek, że teza syntaktyczna (To),
którą wysunął Wright, nie jest wiążąca. Wrócę jeszcze do tej sprawy nieco dalej.
3. Platonizm tanim kosztem?
Wright broni, jak widzieliśmy, następującego poglądu:
( 1 )
Liczby, jeśli istnieją, są obiektami.
Field zgadza się z nim w tej kwestii.
Istotna teza, którą wysunął Wright, jest od poprzedniej niezależna. Utrzymuje on
mianowicie, że:
(2)
Liczby istnieją.
Argumentacja Wrighta na rzecz tej tezy opiera się ściśle na egzegezie Frege’owskiej
zasady kontekstowości. Według Wrighta zasada ta ma dwie składowe. Pierwszą z nich
przyjmuje się dziś bez zastrzeżeń nawet w kręgach opowiadających się explicite za
tym, co nazywamy „atomizmem semantycznym”: za poglądem, że zadowalająca anali
za znaczenia lub odniesienia danego wyrażenia w zdaniu powinna zależeć od jego
wkładu w znaczenie lub warunki prawdziwości zdania. (Atomiści semantyczni nie
przeczą faktowi, który można by nazwać holizmem zdaniowym; przeczą natomiast
holizmowi językowemu, tj. poglądowi, w myśl którego sens izolowanego zdania zależy
22
od sensu innych — a nawet od sensu wszystkich — zdań danego języka. ) Druga
składowa nastręcza nieco więcej problemów. Wright nazywają „tezą o pierwszeństwie
kategorii syntaktycznych względem kategorii ontologicznych”. Twierdzi on, że to jest
właśnie powód, dla którego Frege był nie-Gödlowskim platonistą. Platonista Gödlowski
wyjaśnia poznanie obiektów matematycznych, odwołując się do pewnej quasi-percep-
cyjnej relacji [podmiotu poznania] do tych obiektów. Zdaniem Wrighta Frege uważał,
że nie potrzebujemy odwoływać się do takiej relacji, by wyjaśnić dostępność tych
obiektów dla naszego umysłu. Właśnie dlatego, że Wright opowiada się za ìnterpre-
21 Zob. Wright (1983). s. 31-32.
22 W sprawie różnych form holizmu zob. Engel (1994), rozdz. 4 i 6.
23 Mnie osobiście interpretacja taka wydaje się wątpliwa, zwłaszcza w obliczu nacisku, z jakim Frege
podkreśla, że powinniśmy „uchwycić” (,/assen”) to, do czego odnoszą się obiekty liczbowe. Frege zdaje się
wielokrotnie odwoływać do swego rodzaju intuicji obiektów matematycznych, jak to czynią tradycyjni
platoniści. Trzeba jednak przyznać rację Wrightowi, idącego tu za komentarzami Dummetta do prac Fregego,
że Frege przyznaje także językowi istotne miejsce w naszym uchwytywaniu tych obiektów. W istocie
Platonizm matematyczny i antyrealizm
15
tacją syntaktyczną zasady kontekstowości, utrzymuje także, że można argumentować
na rzecz tezy, że platonizm u Fregego jest niezależny od logicystycznego programu
definiowania kontekstowego, a następnie definiowania explicite słownika arytmetyki za
pomocą samego tylko słownika logiki — programu, który, jak wiadomo, opiera się na
pojęciu ekstensji pojęcia. Wright oświadcza:
Zgodnie z tą interpretacją Frege traktuje fakty językowe jako rozstrzygające o tym, czy dane pojęcie jest
autentycznym pojęciem gatunkującym, czy też nie. [...] Frege proponuje uznać fakt, że nasz język
arytmetyczny odznacza się tymi cechami, za fakt wystarczający do tego, aby z pojęcia liczby naturalnej
uczynić pojęcie gatunkujące, którego egzemplifikacjami — jeśli takie istnieją — byłyby obiekty należące
do uposażenia świata i istniejące tak samo niewątpliwie, jak góry, rzeki i drzewa. Powtórzmy to raz jeszcze:
to, że dane pojęcie ma rzeczywiście egzemplifikacje, zależy od prawdziwości odpowiednich wypowiedzi
arytmetycznych.
Jakim sposobem jednak tego rodzaju rozważania mają załatwiać sprawę? Czy nadanie naszemu językowi
arytmetycznemu takiego znaczenia, jakie według powyższej interpretacji postuluje Frege, nie mogłoby
okazać się błędem? A co by się stało, gdyby tego rodzaju obiekty w rzeczywistości nie istniały? Dalej, czy
możemy — by powtórzyć wątpliwości zgłaszane przez empirystów — zadowolić się istnieniem takich
obiektów, jeśli nie mamy z nimi kontaktu empirycznego? Otóż jest oczywiste, że stanowisko Fregego
wymaga, by wątpliwości te były wątpliwościami bezzasadnymi; niemożliwe jest, by doszło tu do takiego
błędu.
Dlaczego jednak nie mógłby powstać tego rodzaju błąd? Co naprawdę pozwala nam
przejść od tezy ustanawiającej pierwszeństwo kategorii syntaktycznych względem ka
tegorii ontologicznych — rozumianej tak, że jeśli dane wyrażenie przejdzie z wynikiem
pozytywnym testy na bycie terminem jednostkowym, to automatycznie będzie pełnić
funkcję semantyczną terminu jednostkowego z odniesieniem — do tezy czysto ontolo-
gicznej, w myśl której istnieją obiekty matematyczne, które są odniesieniami tych
terminów? Autor w rodzaju Fielda ma pełne prawo wyrazić taką wątpliwość:
Czy
„ H o m e r ”
określa tylko presupozycję syntaktyczną naszego języka historii, a „Bóg”
—
presupozycję
syntaktyczną naszego języka religij nego? Czy z tego powodu wątpliwości co do istnienia Homera lub Boga
staną się bezzasadne?^5
Field utrzymuje, że Wright broni tutaj następującej tezy, która jest nie do przyjęcia:
(S) To, co jest prawdziwe według zwykłych kryteriów, jest istotnie prawdziwe, a
każda wątpliwość co do tego jest bezzasadna (siei).
Teraz można już podsumować zastrzeżenia Fielda wobec Wrighta. Pierwsze za
strzeżenie — jak widzieliśmy — polega na tym, że nie ma powodu, aby na podstawie
kryterium indywiduacji syntaktycznej terminów jednostkowych, sformułowanego
przez Wrighta, odróżniać zalecany przez niego platonizm od odmiany inflacjonizmu
ontologicznego, angażującego nas w dowolny rodzaj wątpliwego bytu od chwili, w
której nie można się odwołać do tych bytów via terminy jednostkowe. Drugie zastrze
żenie jest takie, że podobne wątpliwości mogą pojawić się nawet wtedy, gdy kryteria
problematyka ta wiąże się u Fregego ze znanym rozróżnieniem między mówić a wskazywać, w szczególności
tam, gdzie mowa jest o pojęciach, co do których sądzimy, że są desygnowane przez wyrażenia funkcyjne (zob.
też w tej sprawie Engel (1985), rozdz. 2).
24 Zob. ibid., s. 13-14.
25Zob. Field (1989), s. 155.
16
Pascal Engel
syntaktyczne zostaną spełnione. Trzecie zastrzeżenie wypływa z proponowanej przez
Fielda reinterpretacji tez Wrighta.
Zdaniem Fielda można interpretować Wrighta tak, że w odniesieniu do równoważ
ności — podobnych do opisanych wyżej równoważności dotyczących prostych
równoległych i kierunków — nie utrzymywał on ani że pierwsze z nich sprowadzają się
do drugich, jak chcieliby redukcjoniści, ani że oba pojęcia są niezależne, jak chcieliby
inflacjoniści, lecz że istnienie kierunków jest logiczną konsekwencją istnienia prostych.
Field jest zdania, że wobec tego Wright opowiada się za następującą tezą:
(L) Kierunki są bytami w pełni uznawalnymi, różnymi od prostych, ale równie real
nymi jak tamte; niemniej jednak ich istnienie wynika w sposób konieczny z
istnienia prostych
.26
W takim razie, jak twierdzi Field, Wright chce zapewne powiedzieć, że rozważana
konsekwencja logiczna związana jest ze swego rodzaju koniecznością myślową. Zga
dza się to dość dokładnie z tym, co Wright sam pisał w innym miejscu:
Teza moja— z grubsza biorąc— głosi, że obiekty abstrakcyjne jako takie nie powinny nas raczej niepokoić
z filozoficznego punktu widzenia. Jeśli chodzi jednak o problem wiedzy o tym, czy wypowiedzi matema
tyczne powinny być oceniane pod kątem prawdy lub fałszu, to wątpię, czy wypowiedzi matematyczne
implikują dostatecznie wyraźne pojęcie prawdy, aby móc nam narzucić pełną gamę obiektów matema
tycznych na drodze, którą opisałem (tj. na drodze syntaktycznej). Moja obecna teza, sformułowana
możliwie najzwięźlej, głosi, że prawda matematyczna jest zrozumiała na tyle tylko, na ile można ją pokazać
w drodze dowodu; dalej, że dowód różni się od— powiedzmy— doświadczenia tym, że między podstawą,
przebiegiem i wynikiem [dowodu] istnieją pewne wewnętrzne relacje — relacje konieczności myślowej;
wreszcie, że do potwierdzenia przez nas [zachodzenia] tych relacji wewnętrznych najlepiej nadaje się
analiza niekognitywistyczna.”
Czym jednak będzie się wówczas różniła teza Wrighta od wersji konstruktywizmu
zaproponowanej przez Dummetta? Jeśli Wright wątpi w to, by pojęcie prawdy było
niezależne od pojęcia dowodu, to jak może trwać w swym «Frege’owskim» platonis-
tycznym realizmie ontologicznym? Jeśli zamierza podtrzymywać tę tezę, to — jak
twierdzi Field — albo musi bronić sui generis równoważnika dowodu ontologicznego
[na istnienie Boga], w myśl którego istnienie liczby wynikałoby z samego pojęcia
liczby, albo musi trzymać się poglądu podobnego do stanowiska Camapa w „Empiri-
cism , sem antics and ontology”,
nakazującego odróżniać problem y istnienia
«wewnętrzne» wobec danej teorii — od problemów «zewnętrznych». Pierwsza inter
pretacja jest katastrofalna, jeśli — jak mamy podstawy sądzić — argument ontologicz
ny jest błędny. Druga doprowadziłaby Wrighta do czegoś w rodzaju neutralizmu
ontologicznego, który w żaden sposób nie przystaje do podejmowanych przez niego
prób obrony — w ramach antyrealizmu semantycznego — pewnej wersji platonizmu
ontologicznego, mimo że pogląd ten mieściłby się w tych ramach.
“ Zob. Field (1989), s. 1989), s. 165
27Zob. Wright (1988), s. 434.
MZob. Camap (1950).
Platonizm matematyczny i antyrealizm
17
Odpowiedź Wrighta pozwala — jak zobaczymy — usunąć tylko część wspomnia
nych wątpliwości.
4. W nierównej walce
Wrigth zaczyna od tego, że nigdy nie słyszał, by ktoś próbował bronić tezy tak
absurdalnej, jak wspomniana wyżej teza (S). Mówiąc, że to, co jest prawdziwe, jest
prawdziwe „zgodnie ze zwykłymi kryteriami”, ma on na myśli to, że jeśli wypowiedź
ma uzasadnienie kanoniczne, tj. są racje [dla] wiary, że jest prawdziwa, to wypowiedź
ta jest prawdziwa, i byłoby bezsensem domagać się dodatkowego uzasadnienia. Nie
dysponujemy — jak mówi — tego typu uzasadnieniem dla „Homera” ani „Boga”; nie
ma zatem podstaw do porównywania tych terminów jednostkowych z terminami licz
bowymi. Jest rzeczą jasną, że uzasadnienia kanoniczne pełnią tutaj funkcję kryteriów
dowodzenia, porównywalnych z tymi, które narzuca konstruktywizm. W czym jednak
uwiarygodnia to platonizm, skoro sam semantyk antyrealistyczny przyznaje, że poza
argumentem dotyczącym warunków prawdziwości i znaczenia wypowiedzi matema
tycznych trzeba dysponować jeszcze dodatkowym argumentem na rzecz istnienia liczb?
Jedynym argumentem dostarczonym w tej sprawie przez Wrighta jest tradycyjny,
«konserwatywny» argument platonistyczny, zgodnie z którym platonizm lepiej niż
konkurencyjne teorie nominalistyczne wyjaśnia i uzasadnia większą część matematyki.
Jeśli jednak Wright chce położyć nacisk na konstrukty wistyczną linię obrony, to czemu
nie przyjmie, że narzuca nam ona konstruktywistyczne wymagania względem pojęcia
dowodu (dowodzenia), a co za tym idzie, że doprowadza nas — na wzór intuicjonistów
— do wyrażenia wątpliwości co do istnienia wielkiej liczby bytów matematycznych,
dla których nie mamy właśnie tego rodzaju dowodów finitystycznych, jakich żądają
intuicjoniści?
Odpowiedź Wrighta na zarzut inflacjonizmu ontologicznego zasługuje na bacz-
niejszą uwagę. W sprawie równoważności między równoległymi a kierunkami plato-
niści formułują tezę, że wypowiedzi z prawej strony tych równoważności implikują
istnienie kierunków. Field zauważa tutaj, że jeśli tak jest w istocie, to dziedziczą one
trudności epistemologiczne wiążące się z istnieniem obiektów abstrakcyjnych. Wright
odpowiada, że jest to non sequitur.
Nie zawsze jest prawdą, że konsekwencje danej wypowiedzi należy weryfikować zanim uznamy tę
wypowiedź za składnik wiedzy. Gdyby tak było, to postęp wiedzy na drodze inferencji stałby się
niemożliwy. [...] Dlaplatonistów pojęcie kierunku jest ustalone dzięki odniesieniu do tych równoważności;
nie ma więc mowy o tym, żeby procedury weryfikacyjne uprzednio przyjęte dla prawych stron równoważ
ności przestały być nagle ważne dlatego tylko, że zostały one obciążone nowym rodzajem implikacji.
Platoniści podkreśliliby, że samo zrozumienie przez nas tych implikacji jest uzależnione od tego, że
ustaliliśmy pojęcie kierunku tak, by umożliwić weryfikację wypowiedzi dotyczących kierunków za
pomocą tych samych procedur, które stosowaliśmy przedtem do weryfikacji wypowiedzi dotyczących
29 Zob. Wright (1988), s. 251-252.
30 Zob. ibidem., s. 453-454.
18
Pascal Engel
prostych. Założenie, że zwykłe procedury wystarczą do weryfikacji wypowiedzi z prawej strony [omawia
nych równoważności] zawsze i tylko, gdy ich konstrukcja nie implikuje istnienia kierunków, równa się
założeniu — nie popartemu żadnymi argumentami — że nie można utworzyć żadnej wypowiedzi
gatunkującej przy założeniu, że równoważności te są poprawne na mocy zwykłych analiz ich prawych
stron.31
Wszystko to sprowadza się jednak do obrony interpretacji tez Wrighta, zapropono
wanej przez Fielda, tj. do obrony przekonania, że istnieje związek konceptualny wy
jaśniania [pojęcia] liczby — drogą równoważności między prawymi stronami
równoważności o postaci praw logiki drugiego rzędu i wypowiedziami po lewej stronie
tych równoważności odnoszącymi się do liczb — i samego istnienia takich bytów, jak
liczby. Jak pisze Wright „istnienie liczb oraz to, że spełniają one aksjomaty Peana,
32
wynika z pojęcia liczby”.
Co można zatem powiedzieć o zestawianiu powyższego argumentu z dowodem
ontologicznym [na istnienie Boga]? Wright odpowiada, że gdyby można było zdefinio
wać kontekstowo — tak, jak zdefiniowano równoległe — warunki prawdziwości wypo
wiedzi zaw ierających termin „Bóg”, przy użyciu metod wypróbowanych dla
definiensów, to wówczas zachodziłby paralelizm między argumentem na rzecz istnienia
liczb a dowodem ontologicznym. Nie istnieje jednak żadna procedura tego rodzaju —
nawet kosmologiczna.
Co się zaś tyczy liczb — Wright twierdzi:
Jeżeli dysponujemy pojęciem gatunkującym liczby naturalnej i jeżeli jego występowanie zależy od
zwykłych kryteriów — tj. jeżeli prawdziwe są miarodajne konteksty zawierające terminy, którymi określa
się liczby naturalne — to istnieją byty tego rodzaju.33
To, że Wright broni tego rodzaju «konceptualistycznego» ujęcia, staje się widoczne,
gdy przyjrzymy się zarzutom, jakie stawia fikcjonalistycznej tezie samego Fielda. Jak
już wiedzieliśmy, w programie Fielda przyjmuje się najpierw możliwość wykazania, że
teorie fizyczne dają się uprawiać w języku nominalistycznym — bez odwoływania się
do bytów abstrakcyjnych; następnie zakłada się, że sam słownik teorii fizycznej można
zbudować bez odwoływania się do takich bytów. Wobec tej drugiej części programu
wysunięto zarzut, że używane przez Fielda pojęcie nietwórczości opiera się na [pojęciu]
niesprzeczności omawianych teorii. Czym jest wobec tego niesprzeczność teorii i jakie
jest używane przez niego pojęcie konsekwencji? Zarzucono dalej Fieldowi, że pojęcie
to musi być określone w języku teorii dowodu lub teorii modeli, co grozi użyciem
takich pojęć, jak pojęcia ciągu zdań lub modelu, które to pojęcia mogą nie spełniać
warunków nakładanych przez nominalistę. Field odpowiada na to mówiąc, że definiuje
pojęcie konsekwencji za pomocą terminów modalnych: dana wypowiedź jest konse
kwencją innych wypowiedzi tylko wtedy, gdy nie może być fałszywa, jeśli tamte są
prawdziwe. Jeśli zapomnieć o wątpliwościach, które się nasuwają w związku z użyciem
terminów modalnych, należy to rozumieć tak, iż Field mówiąc, że teoria liczb, analiza i
31 Zob. ibidem, s. 453-454.
32 Zob. ibidem, s. 455.
33 Zob. Wright (1983), s. 129.
Platonizm matematyczny i antyrealizm
19
inne klasyczne teorie matematyczne są niesprzeczne, mówi zarazem, że fałszywość
tych teorii jest
przypadkowa. Twierdzi, że liczby naturalne nie istnieją, ale
mogłyby
istnieć. Wynika stąd, że platonista w innych możliwych okolicznościach mógłby mieć
rację. Okoliczności te jednak nie zachodzą. Wright zastanawia się, jaka może być treść
takiej wiary w przypadkowe nieistnienie liczb? Jeśli teoria liczb jest nietwórcza, to jest
ona nie do przyjęcia na podstawie samych danych empirycznych czyli spełniających
kryteria nominalistyczne, skoro ex definitione owe dane nie odgrywają żadnej roli w
predykacjach przez te dane potwierdzanych lub obalanych. Field, jak widzieliśmy, nie
może wyznawać poglądu, że jakaś forma percepcji pozwoliłaby odkryć nieistnienie
liczb. Musi zatem przyjąć, że opiera swoją tezę fikcjonalistyczną na danych
niedostępnych ludzkiemu systemowi kognitywnemu, co równałoby się przyjęciu po
glądu realizmu transendentnego w kwestii warunków ich prawdziwości; w przeciwnym
razie musi odrzucić agnostycyzm, który — jak pamiętamy — brał kiedyś pod uwagę.
Innymi słowy zarzut wysunięty przez nominalistę fikcjonalistycznego przeciw plato-
niście — dlaczego wierzyć w istnienie liczb, skoro dysponujemy tylko kryteriami
syntaktycznymi określającymi odniesienie terminów liczbowych — zwraca się przeciw
fikcjonaliście: a czemu nie uwierzyć w ich istnienie
?34
Spośród rozwiązań, które braliśmy pod uwagę, pozostały nam — jak się zdaje —
tylko następujące: (a) agnostycyzm, (b) realizm «empiryczny» Quine’a i Putnama lub
też [(c)] pogląd Wrighta, który nazwałbym „platonizmem konceptualistycznym”. Mie
liśmy jednak sposobność przekonać się, że ów platonizm konceptualistyczny niebez
piecznie upodabnia się z jednej strony do neutralizmu à la Carnap, i wtedy nie mógłby
właściwie być platonizmem ontologicznym — a z drugiej strony do konstruktywizmu, i
w tym wypadku trudno twierdzić, że istnienie liczby może być niezależne od [podania]
dowodu wypowiedzi, jakie wygłaszamy na temat liczb, a więc że mamy tu do czynienia
z autentycznym platonizmem ontologicznym. Daleko mi więc do pewności, że Wright
czy Field rzeczywiście podali przekonujące warianty realizmu ontologicznego
połączonego z antyrealizmem semantycznym oraz kombinacji odwrotnej, i że rzeczy
wiście byli w stanie podjąć wyzwanie rzucone przez Benacerrafa. Sam Frege dostrzegł
pewien aspekt tego dylematu, kiedy na pytanie Wittgensteina — który zapytał go w
czasie ostatniego spotkania (na peronie dworca kolejowego), czy doprawdy nie widzi
żadnej trudności w swojej teorii, zgodnie z którą liczby są obiektami — odpowiedział:
„Czasem jakąś widzę, ale zaraz potem przestaję ją widzieć”.
Z francuskiego przełożyła Wanda Jadacka
34 Zob. Wright (1988), s. 462-463.
20
Pascal Engel
BIBLIOGRAFIA
Benacerraf, P. (1965) — „What numbers could not be”, Philosophical Review, 24, 47-73; przedruk w:
Benacerraf & Putnam (1983), s. 272-294
Bencerraf, P. ( 1973) — „Mathematical truth”. Journal o f Philosophy, 70,661 -680; przedruk w: Benacerraf
& Putnam (1983), s. 403-420
Bencerraf, P. & Putnam, H. (1983) — Philosophy o f mathematics. Selected readings, Cambridge, Cam
bridge University Press 1983 (wyd. 2)
Bouveresse, J. (1987) — La force de la règle, Paris, Minuit
Carnap, R. (1950) — „Empiricism, semantics, and ontology”, Revue Internationale de Philosophie, 4,
20-40
Dummett, M. (1978) — Truth and other enigmas, London, Duckworth
Dummett, M. (1991) —
Frege. Philosophy o f mathematics, London, Duckworth
Engel, P. (1985) — Identité et référence, Paris, PENS
Engel, P. (1994) — La poursuite de la signification, Paris, PUF
Field, H. (1980) — Science without numbers. A defence o f nominalism, Princeton, Princeton University
Press
Field, H. (1989) — Realism, mathematics and modality, Oxford, Basil Blackwell Ltd.
Frege, G. (1884) —
Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, W. Koebner
Goodman, N. & Quine, W.v.O. (1947) — „Steps towards a construcive nominalism”, Journal o f Symbolic
Logic, 13,105-122
Hale, B. (1987) — Abstract objects, Oxford, Blackwell
Mackie, J. (1977) — Ethics. Inventing right and wrong, New York, Penguin
Maddy, P. (1980) — „Perception and mathematical intuition”. The Philosophical Review, 89,163-196
Putnam, H. (1967) — „Mathematics without foundations”, Journal o f Philosophy, 64,5-25; przedruk w:
Benacerraf & Putnam (1983), s. 295-311
Quine, W.v.O. (1970) — Philosophy o f logic, Englewood Cliffs (N.J.), Prentice Hall; przekł. polski (H.
Mortimer): Filozofia logiki. Warszawa, PWN 1977
Van Fraassen, B.C. (1981) — Scientific image, Oxford, Oxford University Press
Wright, C. (1980) — Wittgenstein’s philosophy o f mathematics, London, Duckworth
Wright, C. (1983) — Frege's conception o f numbers as objects, Aberdeen, Aberdeen University Press
Wright, C. (1988) — „What numbers can believably be; a reply to Hartry Field”, Revue Internationale de
Philosophe, 42,167,425-473