Pascal Engel Platonizm matematyczny I antyrealizm



Yüklə 158,42 Kb.

tarix17.11.2018
ölçüsü158,42 Kb.


Pascal Engel

Platonizm matematyczny i

antyrealizm

Filozofia Nauki 5/2, 5-20

1997



Filozofia Nauki 

Rok V, 1997, Nr 2(18)

Pascal Engel

Platonizm matematyczny i antyrealizm1

Zwykło się uważać, że platonizm matematyczny to pogląd,  w myśl którego istnieją 

byty abstrakcyjne, takie jak zbiory, klasy czy liczby. Często mówi się, że platonizm jest 

odmianą realizmu.

W  tym  właśnie  znaczeniu  będę  mówił  o  realizmie  ontologicznym  w  matematyce. 

Realizm  ontologiczny  w  określonej  dziedzinie jest  tezą  o  istnieniu  w  niej  obiektów 

szczególnego  typu.  Można  zatem  być  realistą  co  do  wartości  moralnych,  obiektów 

materialnych,  bytów  teoretycznych  w  nauce,  co  do  obiektów  mentalnych  lub  bytów 

kolektywnych, takich jak narody lub zespoły badawcze CNRS (Państwowego Ośrodka 

Badań  Naukowych),  lub  też  co  do  innych  bytów,  jak  np.  możliwe  światy,  stany 

zmęczenia lub dziury  w  serze szwajcarskim.  Doktryny przeciwstawne zaprzeczają ist­

nieniu tych obiektów; są to różne odmiany  nominalizmu, fenomenalizmu, redukcjoni­

zmu,  fikcjonalizmu  lub instrumentalizmu.  W tym  znaczeniu mówi  się o antyrealizmie 

ontologicznym.  Michael  Dummett  zwrócił  uwagę  na  potrzebę  uwzględniania  innego 

typu  realizmu  i  antyrealizmu,  a  mianowicie  realizmu  i  antyrealizmu  semantycznego. 

Zgodnie z Dummettem realizm semantyczny nie jest tezą dotyczącą istnienia lub natury 

jakichś obiektów, lecz tezą odnoszącą się do znaczenia i prawdziwości pewnych typów 



wypowiedzi.  Jest to teza, w myśl której znaczenie tych wypowiedzi jest zdeterminowa­

ne przez warunki prawdziwości niezależne od zdolności mówiących do rozpoznawania 

[tych warunków]  i  uznawania  [odpowiednich  zdań].  Teza  ta  wiąże  się  ściśle  z tezą  o 

dwuwartościowości  oraz z przyjęciem  logiki  klasycznej,  chociaż  Dummett  uważa,  że 

tezy te nie są równoważne z tak pojętym realizmem semantycznym. Według Dummetta

1 Oryginał ukazał się jako „Platonisme mathématique et antiréalisme” w pracy L ’objectivité mathématique. 



Platonismes et structures formelles (red.  Marco Panza i Jean-Michel  Salanskis; Masson, Paris — Milan — 

Barcelone 1995, s. 133-146).




6

Pascal Engel

realizm  semantyczny jest postawą  niezrozumiałą:  zakładającą, że mamy jakiś tajemni­

czy  kontakt  z  «niewykrywalnymi»  stanami  rzeczy.  W przeciwieństwie  do  tego  utrzy­

muje on,  że jedyne pojęcie znaczenia, które można na serio rozpatrywać, jest to pojęcie 

uzależnione od naszych epistemicznych  zdolności rozpoznawania warunków prawdzi­

wości  wypowiedzi,  tzn.  —  w  pewnym  sensie  —  ich  «użycia».  Dummett  twierdzi 

ponadto, że znaczenie wypowiedzi jest oparte na warunkach ich uznawania. Tak brzmią 

podstawy  tego,  co  nazywa  on  „anty real izmem  semantycznym”  —  programu,  którego 

różnych  aspektów  broni  od ponad trzydziestu  lat.  Uważa on,  że przyjęcie  tak pojętej 

antyrealistycznej  teorii  znaczenia  dostarcza  nam  wystarczających  powodów  do  tego, 

aby  opowiedzieć  się  za rewizją logiki  i  odrzuceniem logiki  klasycznej  na rzecz logiki 

intuicjonistycznej. W tym właśnie miejscu program antyrealistyczny zdaje  się wiązać z 

kwestią  platonizmu  w  filozofii  matematyki.  Można  skłaniać  się  ku  poglądowi,  że 

platonizm  matematyczny jest realizmem  ontologicznym,  który  wywodzi  się  bezpośre­



dnio  z  realistycznej  koncepcji  semantyki  wypowiedzi  matematycznych,  oraz  że  —  z 

drugiej  strony —  odrzucenie realizmu semantycznego implikuje pewnego rodzaju anty- 

realizm ontologiczny. Istotnie, sam Dummett broni  swoistej odmiany konstruktywizmu 

w filozofii matematyki. Często porównywano jego stanowisko w filozofii do weryfika- 

cjonizmu  Koła Wiedeńskiego.  Zdaniem  Dummetta  implikacje  te  są błędne.  Podkreśla 

on,  że  trzeba  oddzielać  kwestię  ontologii  od  kwestii  semantyki.  Najpierw  należy 

określić  status prawd matematycznych, a następnie określić status ontologiczny  obiek­

tów  matematycznych.  Co prawda z chwilą przyjęcia realistycznego  modelu  znaczenia 

wypowiedzi  matematycznych  skłonni  bylibyśmy  uznać,  że  wypowiedzi  te  dotyczą 

konstrukcji  mentalnych. I rzeczywiście:  nawet tak typowy platonista jak Gottlob Frege 

próbuje przyswoić sobie obie te formy realizmu i natyrealizmu. Dummett jednak twier­

dzi,  że  tendencje  te  nie  mają  siły  implikacyjnej.  Przyjęcie  antyrealistycznego  modelu 

semantycznego  wcale  nie  zmusza  nas  do  przyjęcia  ontologii  nieplatonistycznej;  w 

istocie dla wypowiedzi  rozstrzygalnych  nie  ma niezgodności  między dwiema koncep­

cjami  znaczenia — realistyczną  i  antyrealistyczną. Zwolennik platonizmu  w ontologii 

może równie dobrze opowiedzieć się za antyrealistyczną koncepcją ich znaczenia

.4

 To, 


że możliwe jest połączenie odwrotne — realizm  semantyczny  i ontologia antyrealisty- 

czna  —   widać  na  przykładzie  fenomenalisty.  Uważa  on,  że  wypowiedzi  dotyczące 

zwykłych obiektów materialnych sprowadzają się do wypowiedzi dotyczących wrażeń 

zmysłowych lub zjawisk, a zatem, że obiekty materialne nie istnieją; przyjmuje jednak 

realistyczną  koncepcję  semantyki  wypowiedzi,  które  dotyczą  danych  zmysłowych. 

Jeśli  możliwa jest  redukcja  fenomenalistyczna,  to  wypowiedzi  te  powinny  być  albo 

prawdziwe,  albo  fałszywe,  oraz powinny  istnieć  «obiektywne»  kryteria prawdziwości

J Zob. Dummett (1978) i (1991) oraz Engel (1994).

3Zob. Dummett (1978), s. 229.

4Zob.  ibid., 

S.231.



Platonizm matematyczny i antyrealizm

7

(nawet jeśli dotyczą danych zmysłowych). Można by  z tego  wnosić,  że jest to dowód 



niespójności tego typu teorii. Jeśli jednak program Dummetta ma jakiś sens, tj. jeśli ma 

sens rozróżnianie realizmu  semantycznego  i  realizmu  ontologicznego,  to powinna  ist­

nieć  możliwość  połączenia  jednej  lub  drugiej  tezy  semantycznej  z  przeciwną  tezą 

ontologiczną.  To  właśnie zamierzał przeprowadzić Crispin Wright,  w  innej  formie  niż 

Dummett — choć to on ją po części zainspirował — na kartach książki Frege’s Theory 

o f Numbers as Objects.5 Bronił w  niej  tezy, że antyrealizm  semantyczny jest niesprze- 

czny  z platonistycznym realizmem ontologicznym.  Jeśli teza ta jest słuszna, to antyre­

alizm semantyczny Dummetta nie pociąga za sobą,  wbrew powszechnej opinii, żadnej 

wersji  idealizmu  czy  też  weryfikacjonizmu.  Chciałbym  tutaj  spróbować  zbadać  kilka 

problemów związanych z tą tezą i dać wyraz swemu sceptycyzmowi co do kombinacji, 

które ona dopuszcza, uważam bowiem, że nie jest ona w pełni spójna.



1.  Sześć typów kwestii spornych, dotyczących prawdy

Jeżeli  chcemy  poświęcić  szczególną  uwagę  problemom  filozofii  matematyki,  to 

powinniśmy oddzielić od siebie następujące pytania

:6

(1) 



Czy należy oceniać wypowiedzi matematyczne pod kątem prawdy i fałszu,  a jeśli 

tak,  to pod kątem jakiego pojęcia prawdy i fałszu?

Wśród  koncepcji,  które  odpowiadają  przecząco  na  powyższe  pytanie,  jest  kilka 

odmian  formalizmu  (w  szczególności  odmiana,  którą  atakował  Gottlob  Frege)  oraz 

koncepcja  Ludwiga  Wittgensteina,  dla  którego  treść  wypowiedzi  matematycznej  nie 

jest treścią sądu,  lecz przypomina raczej  treść  rozkaźników lub też reguł,  które rządzą 

użyciem występujących w nich pojęć

. 7

Platonizm,  intuicjonizm,  różne  odmiany  konstruktywizmu  oraz  nominalizm  opie­



rają się na twierdzącej odpowiedzi  na to pytanie. Stanowiska te są jednak rozbieżne co 

do następnej kwestii:

(2) 

Czy wypowiedzi matematyczne są prawdziwe?

Pewna  odmiana  nominalizmu,  ta  mianowicie,  której  broni  Hartry  Field  w  swoich 

książkach Science without numbers oraz Realism,  mathematics and modality

,8

  udziela 



przeczącej  odpowiedzi  na to pytanie:  zdaniem Fielda chociaż treść  wypowiedzi mate­

matycznych jest taka, że można je oceniać pod kątem prawdy lub fałszu, to wszystkie te 

wypowiedzi są fałszywe.  Nasze przekonania matematyczne oparte są na pewnym gru­

bym błędzie: nie ma bytów mających cechy, których domagałaby się ich prawdziwość. 

W odniesieniu do czarownic  podobny pogląd głosiłby,  że wypowiedź  „Ta kobieta jest 

czarownicą”  przypisuje  wprawdzie  jakiejś  kobiecie  pewną  własność,  lecz  własność

5Zob. Wright (1983).

60piemm się tutaj na rozważaniach Wrighta (1988).

7Zob. Wright (1980) i Bouveresse (1987).

8 Zob. Field (1980) i (1987).




8

Pascal Engel

tego  rodzaju  nie  istnieje.  To  samo  stanowisko  zajmował  m.in.  John  Mackie

.9

  Jego 


zdaniem wyrażamy się tak, jakby istniały jakieś własności moralne, i do tego, by nasze 

słowa  były  prawdziwe,  trzeba,  żeby  te  wartości  istniały.  Jednakże  świat  nie  zawiera 

żadnej  własności tego rodzaju. Według Fielda rzecz ma się podobnie z wypowiedziami 

matematycznymi. Postawę taką sam Field nazywa „fikcjonalizmem”.

Udzieliwszy odpowiedzi  twierdzącej  na dwa poprzednie pytania,  nie odpowiedzie­

liśmy jeszcze na pytanie:

(3) 

Co czyni wypowiedzi matematyczne prawdziwymi?

Tradycyjna  odpowiedź  platonizmu  na  to  pytanie  głosi,  że  warunki  prawdziwości 

wypowiedzi  należących  do  czystej  matematyki  określone  są  przez  właściwości  pew­

nych obiektów abstrakcyjnych,  niezależnych od naszego umysłu,  a mianowicie obiek­

tów  refleksji  matematycznej.  Intuicjonizm  w  swej  pierwotnej  postaci  twierdzi,  że 

wypowiedzi matematyczne nie odnoszą się do obiektów  niezależnych od umysłu, lecz 

do konstrukcji mentalnych. Trzeci rodzaj odpowiedzi polega na próbie ocalenia realiz­

mu  wyrażonego pośrednio w odpowiedzi platonizmu —  przy równoczesnym odrzuce­

niu zobowiązań ontologicznych wobec obiektów abstrakcyjnych. W  myśl tej koncepcji 

warunki  prawdziwości  wypowiedzi matematycznych określane  są  w  drodze  charakte­

rystyki pewnych pojęć strukturalnych

. 10

Jeszcze  innej  możliwej  odpowiedzi  na to  pytanie  udziela  tradycyjny  nominalizm: 



jeśli  aksjomaty  i  twierdzenia  teorii  czystej  matematyki  są  zrozumiałe,  to  dlatego,  że 

teoria  ta  ma  model  w  dziedzinie  czysto  konkretnej:  aksjomaty  lub  twierdzenia  są 

prawdziwe, jeśli  są prawdziwe  we  wszystkich możliwych modelach konkretnych  tego 

rodzaju


.11

  Ten tradycyjny nominalizm różni się więc od wyżej przedstawionego fikcjo- 

nalizmu.

Trzy pierwsze pytania same z kolei zależą od odpowiedzi na pytanie czwarte:

(4)  Jak moiemy ustalić, Ze wypowiedzi matematyczne są prawdziwe?

Niektórzy  platoniści  —  jak  np.  powszechnie  z  tego  znany  Kurt  Gödel  oraz  od 

12

niedawna Penelope Maddy  —  zakładają,  że  istnieją swoiste  zdolności intelektualne, 



w  szczególny  sposób przystosowane  do  bytów,  które  zaludniają  świat  abstrakcyjnych 

obiektów  matematycznych.  Inni  platoniści  usiłowali  pokazać,  jak   można  poznać  te 

obiekty  bez  odwoływania  się  do  podobnych  zdolności.  Można jednak bronić  pewnej 

szczególnej  odmiany  platonizmu,  twierdząc,  że  najwyższą gwarancją  naszej  wiary  w 

prawdziwość  wypowiedzi  matematycznych jest ich empiryczna stosowalność  w  dzie­

dzinie fizyki, oraz że właśnie z racji ich niezbędności w wyjaśnianiu świata fizycznego 

winniśmy  uznać  istnienie abstrakcyjnych  bytów matematycznych.  Tego rodzaju  argu-

9 Zob. Mackie (1977).

l0Zob. Benacetraf (1965) i (1973).

11  Zob. np. Goodman i Quine (1947).

12  Zob. Maddy (1980) i (1990).



Platonizm matematyczny i antyrealizm

9

mentacją  z  niezbędności  posłużyli  się  w  szczególności  Willard  v.  O.  Quine  i  Hilary 



Putnam

.13


Pozostały jeszcze dwa istotne pytania. Pierwsze brzmi:

(5) 


Czy prawda transcenduje dowód?

Tego  właśnie  dotyczą  rozważania  o  realizmie,  prowadzone  przez  Dummetta.  Jak 

widzieliśmy, Dummett opiera się na pewnej koncepcji znaczenia, aby uzasadnić pewną 

koncepcję dowodzenia prawdziwości wypowiedzi matematycznych.

Wreszcie ostatnie pytanie:

(

6



)  Jak  można  zastosować  matematykę  do  wypowiedzi  o  zwykłych  obiektach  mate­

rialnych?

Pytanie to stawiają sobie oczywiście także ci, którzy odpowiadają przecząco na dwa 

pierwsze pytania, tj. na pytanie o ocenę wypowiedzi matematycznych pod kątem praw­

dy  i  fałszu  oraz o  samą  ich  prawdę  lub  fałsz.  Problem  stosowalności  [matematyki  do 

nauk  przyrodniczych]  ma  szczególną  wagę  dla  fikcjonalisty  w  rodzaju  Fielda,  który 

odpowiada twierdząco na pierwsze pytanie, a przecząco na drugie. Skoro bowiem duża 

część klasycznej  matematyki jest fałszywa,  to w jaki  sposób fałszywa teoria może być 

użyteczna?

Cała trudność polega rzecz jasna na uzyskaniu koherentnych odpowiedzi na te sześć 

pytań, podstawowych dla  filozofii  matematyki.  W swoim  znanym  artykule

14

 Paul  Be- 



nacerraf utrzymuje,  że nie można zarazem odpowiedzieć na pytania (l)-(3), dotyczące 

natury prawdy  w matematyce, i  na pytania (4)-(6), dotyczące poznania matematyczne­

go. Innymi słowy Benacerraf jest zdania, że różne sposoby analizy problemu prawdy w 

matematyce były motywowane dwoma odrębnymi celami:  z jednej  strony  staraniem  o 

skonstruowanie jednolitej  teorii semantycznej, w której semantyka sądów matematycz­

nych byłaby  zgodna z  semantyką naszego języka ogólnego,  a z  drugiej — staraniem o 

epistemologię  (teorię  poznania)  dostosowaną  do  wypowiedzi  matematycznych.  Bena­

cerraf jest zdania, że prawie wszystkie sposoby analizy problemu prawdy w matematy­

ce mogą urzeczywistnić jeden z tych celów, ale zawsze kosztem drugiego. Dylemat ten, 

według  Benacerrafa, jest  widoczny  zwłaszcza  w  platonizmie: jeśli  istnieją byty  mate­

matyczne w rodzaju tych, w które wierzy platonista (tj. niezależne od umysłu i języka, 

bez  lokalizacji  czasowo-przestrzennej  oraz  niezdolne  do  nawiązania  fizycznego  kon­

taktu  z czymkolwiek),  to platonista  nie potrafi  powiedzieć,  w jaki  sposób  możemy je 

poznać. Innymi słowy, wyzwanie Benacerrafa — według Fielda —  brzmi następująco: 

Zaczynamy od uznania, że istnieją byty matematyczne, rządzone standardowymi teoriami matematyczny­

mi; przyjmujemy także, iż są istotne powody, by uwierzyć w te byty. Te istotne powody mogą opierać się 

na hipotezie o ich wstępnym prawdopodobieństwie. [...] Mogą one opierać się także na idei, że postulowanie 

tych bytów jest czymś  niezbędnym.  Wyzwanie  Benacerrafa [...]  dotyczy przeprowadzenia analizy  wy­

jaśniającej  mechanizm tego, jak nasze przekonania odnoszące się do tych odległych bytów mogą równie 

dobrze odzwierciedlać fakty pod nie podpadające. Idea polega na tym, że jeśli wyjaśnienie tego okazuje

l3Zob. Quine (1970) i Putnam (1967).

14Zob. Benacerraf (1973).




10

Pascal Engel

się  rzeczą zasadniczo niemożliwą, to  zachwiana zostaje wiara w byty matematyczne — niezależnie od 

powodów, ze względu na które jesteśmy skłonni wierzyć w istnienie tych bytów.15 

Aby sprostać wyzwaniu Benacerrafa, tacy autorzy, jak Crispin Wright, przede wszy­

stkim  w  książce  Frege’s theory o f numbers as objects, oraz Field,  zwłaszca  w  książce 



Realism,  mathematics and modality, zaproponowali  odpowiednio pewną odmianę pla- 

tonizmu  oraz  pewną odmianę  nominalizmu.  Ich  koncepcje, jeśli  są  koherentne,  wska­

zują  przy  tym  na  to,  na  co  zwracaliśmy  uwagę  na  początku  niniejszego  artykułu,  a 

mianowicie, że można zajmować stanowisko realistyczne (platonistyczne) wobec onto- 

logii obiektów matematycznych w połączeniu ze stanowiskiem antyrealistycznym  wo­

bec  ich  znaczenia  —   to  jest  stanowisko  Wrighta  —   i  przyjmować  koncepcję 

antyrealistyczną (fikcjonalistyczną)  wobec tej  ontologii  w połączeniu z koncepcją rea­

listyczną wobec ich znaczenia — to jest stanowisko Fielda.

W  dalszej  części  artykułu  przedstawię  w  skrócie  stanowiska  Fielda oraz  Wrighta, 

następnie  zaś  postaram  się  zestawić  je  ze  sobą,  aby  sprawdzić,  czy  któreś  z  nich 

rzeczywiście pozwala sprostać wyzwaniu Benacerrafa.

2.  Fikcjonalizm i platonizm syntaktyczny

Tradycyjni  nominaliści  uważają,  że  teoria  matematyczna  jest  do  przyjęcia  tylko 

wtedy, gdy można ją  zinterpretować w sposób nie pociągający za sobą żadnej kwantyfi- 

kacji  ani  jednostkowego  odniesienia  się  do  obiektów  abstrakcyjnych.  Każdą  teorię, 

która  nie  spełniałaby  tego  warunku,  nominaliści  uznaliby  na  niezrozumiałą.  Pod  tym 

względem nominalizm Fielda nie jest nominalizmem tradycyjnym.  Field nie wierzy  w 

istnienie  obiektów  abstrakcyjnych  i  uważa,  że  każda  teoria  matematyczna  powinna 

unikać zobowiązań ontologicznych wobec tych obiektów. Nie twierdzi jednak, że teoria 

matematyczna będzie zrozmiała tylko  wtedy,  gdy  będzie miała nieplatonistyczną czyli 

nierealistyczną semantykę.  Przeciwnie, jest gotów  zgodzić  się,  że  semantyka platonis- 

tyczna np.  dla teorii  liczb jest poprawna deskryptywnie,  tj.  wypowiedzi  tej  teorii mają 

odniesienie jednostkowe  i  kwantyfikację  w  szczególnych  dziedzinach  obiektów  abs­

trakcyjnych.  Ponieważ  według  Fielda  nie  ma  obiektów  tego  rodzaju,  twierdzi  on,  że 

warunki prawdziwości tych wypowiedzi są notorycznie nie spełniane.

Jak ktoś, kto podtrzymuje taką tezę — że mianowicie wypowiedzi matematyczne są 

notorycznie fałszywe —  może mieć  nadzieję na zachowanie fenomenów  bez podjęcia 

rekonstrukcji semantycznej? Może, jeśli przeprowadzi rozróżnienie podobne do rozróż­

nienia  —  dokonanego  przez  Basa  C.  van  Fraassena

16

  w  filozofii  nauki  —   między 



przyjęciem teorii a uznaniem jej za prawdziwą. Według van Fraassena przyjąwszy teorię 

fizyczną,  nie  musimy  angażować  się  w  nic  poza  jej  adekwatnością  empiryczną  — 

poprawnością obserwacyjną.  Według Fielda przyjąwszy  teorię matematyczną,  nie mu­

simy  angażować  się  w  nic  poza jej  nietwórczością.  Z  grubsza  biorąc  dana  teoria jest

15  Zob. Field (1989), s. 25-26.

16  Zob. van Fraassen (1981).




Platonizm matematyczny i antyrealizm

11

nietwórcza  w  stosunku  do  pewnego  typu  dyskursu  jedynie  wtedy,  gdy  inferencje 



między wypowiedziami należącymi do tego dyskursu dają się w zasadzie prawomocnie 

odtworzyć bez odwoływania się do tej teorii. (Teoria S jest nietwórcza, jeżeli dla asercji 

nominalistycznej A  i zbioru asercji tego rodzaju N, A  nie jest konsekwencją zbioru N  + 

S,  chyba że A jest  konsekwencją  zbioru N, gdzie  asercja nominalistyczna jest asercją, 

której  wszystkie  zmienne  są  explicite  ograniczone  do  bytów  niematematycznych

.)17 

Dla  Fielda  teoria  matematyczna jest  do  przyjęcia  nawet  wtedy,  gdy  jej  wypowiedzi 



mają platonistyczne warunki prawdziwości, jeśli tylko jest nietwórcza wobec dyskursu 

nominalistycznego.  Celem programu  Fielda jest więc  wykazanie,  że odwołanie  się do 

tego  kryterium  umożliwia ocalenie  maksymalnie dużej  części  matematyki  klasycznej. 

Na pojęciu nietwórczości opiera się wiele spraw i jego też dotyczy  większość dyskusji 

przeprowadzonych nad  tezami Fielda. Tutaj jednak nie będę się tym  zajmował.  To, co 

interesuje nas teraz, to rola, którą przypuszczalnie odgrywa to pojęcie z punktu widze­

nia epistemologii  (gnozeologii). Field  wprowadza je po to, by podjąć  wyzwanie Bena- 

cerrafa,  a więc  by  spróbować  wyjaśnić pewność naszych przekonań  matematycznych. 

Utrzymuje on mianowicie, że nietwórczość teorii liczb wraz z faktem, że można się bez 

tej  teorii  obyć  przy  formułowaniu  teorii  naukowych  (jest  to  temat  Science  without 



numbers), pociąga za sobą niemożność podania pośredniego dowodu na istnienie lub na 

nieistnienie liczb —  dowodu, który byłby wyrażalny w języku nominalistycznym. Field 

powinien  był  zatem  w  zasadzie przyjąć  postawę  pewnego  agnostycyzmu  wobec  real­

ności  bytów  matematycznych.  Posuwa  się  on  jednak  dalej,  uznając,  że  byty  te  nie 

istnieją:

Trzeba przyjąć, że nie możemy uzyskać pośredniego dowodu na nieistnienie obiektów matematycznych. 

Nie możemy uzyskać bezpośredniego dowodu na obalenie tezy głoszącej, że wewnątrz elektronów żyją 

małe zielone ludziki, których ludzie nie są w stanie z zasady odkryć; wydaje się jednak, że niepotrzebnie 

jesteśmy tak ostrożni,  zajmując  postawę  raczej  agnostycyzmu  niż  zwykłej  niewiary wobec tak jałowej 

hipotezy. Sądzę, że platonizm jawi się jako stanowisko do przyjęcia, gdyż zakłada, że hipoteza o istnieniu 

bytów matematycznych nie jest hipotezą jałową. Jeśli jednak można się bez niej obyć bez jakiejkolwiek 

szkody, to w naturalny sposób wolno wyjść poza agnostycyzm i uznać, że byty matematyczne nie istnieją.18 

Wright  zgadza  się  z  Fieldem  co  do  odrzucenia  wszelkiej  epistemologii  obiektów 

matematycznych,  która  opierałaby  się  na  jakiejś  formie  intuicji  lub  bezpośredniego 

postrzegania.  Stara się jednak konsekwentnie bronić koncepcji platonistycznej, według 

której  istnieją obiekty matematyczne. Powołuje się przy tym na analizę i rekonstrukcję 

teorii Frege’owskiej, w myśl której liczby są obiektami. Według Wrighta teoria Fregego 

nie  opiera  się  —  jak  to  się  często  uważa  —  na  tajemniczym  postulowaniu  bytów  w 

rodzaju  liczb  w  świecie  ponadzmysłowym,  lecz  na  argumencie  natury  ściśle  seman­

tycznej.  Obiekty  są  tym  właśnie,  co  mają  desygnować  terminy  jednostkowe  w  ich 

najbardziej podstawowym użyciu. Te ostatnie są w stanie desygnować obiekty o tyle, o 

ile występują w wypowiedziach prawdziwych. Wright twierdzi zatem:

17 W sprawie szczegółów definicji nietwórczości zob. Field (1989), rozdz. 4.

18Zob. Field (1989), s. 44-45.




12

Pascal Engel

(Ti)  Wyrażenia liczbowe,  takie jak  „liczba  4”  i  „liczba  książek  w  moim  gabinecie”, 

funkcjonują  semantycznie  jako  autentyczne  terminy  jednostkowe,  a  wyrażenie 

„liczba naturalna” funkcjonuje semantycznie jako predykat, w tym wypadku jako 

predykat gatunkujący (tj. jako taki predykat, że jego komprehensja określa warun­

ki tożsamości obiektów, które pod niego podpadają).

Argumentacja Wrighta na rzecz (Tj) składa się z dwóch etapów.

Najpierw przedkłada on na poparcie tej  tezy argument syntaktyczny:

(To)  Wyrażenia liczbowe, takie jak wymienione wyżej, funkcjonują syntaktycznie jako 

terminy jednostkowe,  a  wyraźnie  „liczba  naturalna”  funkcjonuje jako  predykat 

gatunkujący.

Teza ta opiera się na kryteriach rozpoznawania terminów jednostkowych.  U Frege- 

go kwestia ta jest — jak wiadomo —  niejasna. Raz posługuje się on kryterium rodzajni- 

ka  określonego,  innym  razem  —   kryterium  asymetrii  podmiotu  i  orzeczenia  wobec 

negacji,  innym  razem  wreszcie  —   kryterium  zdolności  terminów  jednostkowych  do 

występowania  w  wypowiedziach  tożsamościowych.  Niemniej  jednak  Dummett  i  inni 

komentatorzy  są zgodni  na ogół co do dwóch konkluzywnych kryteriów:  zdolności  do 

występowania w  wypowiedziach  tożsamościowych i  [do podlegania]  generalizacji eg­

zystencjalnej

.19


Następnie  Wright  używa  znanej  Frege’owskiej  zasady  kontekstowości  —  „słowa 

mają sens  tylko w  kontekście zdaniowym”  — aby bronić idei,  że tak zindywidualizo­

wane syntaktycznie terminy jednostkowe desygnują liczby, a zatem, że liczby istnieją.

Rozważania  Wrighta,  dotyczące  tezy  (To),  są  bardzo  subtelne.  Trzeba  sobie  naj­

pierw  zdać  sprawę  z  tego,  że  teza  ta  nie jest tak  banalna, jak to  na pierwszy  rzut oka 

wygląda.  Wydawałoby  się,  że  takie  wyrażenia,  jak  „względy  należne  Janowi”  oraz 

„względy należne dzieciom Jana” według kryteriów syntaktycznych należy zaliczyć do 

terminów  jednostkowych,  podczas  gdy  słowo  „względy”  byłoby  z  punktu  widzenia 

składni  predykatem  gatunkującym.  Tymczasem  według  Wrighta  nie  można  budować 

wypowiedzi  tożsamościowych  odnoszących  się  do  «względów».  Autentyczny  termin 

jednostkowy powinien móc pojawić się w wypowiedziach tożsamościowych i podlegać 

generalizacjom ezgystencjalnym. Takie wyrażenia, jak „liczba książek w moim gabine­

cie”,  spełniają powyższe  kryteria.  Są jednak takie konteksty,  w  których  np.  „trzy” nie 

funkcjonuje — jak się zdaje  — jako termin jednostkowy:

(i) 

W koszyku są co najmniej trzy jabłka,



skoro  zdaje  się  on  stanowić  część  kwantyfikatora  liczbowego  „są  co  najmniej  trzy”. 

Przeciwnie, „trzy” w zdaniu  „2 + 3 = 5” zdaje się naprawdę funkcjonować jako termin 

jednostkowy.  Wright  zakłada,  że  wszystkie  terminy  liczbowe  obowiązuje jedna tylko

19  W sprawie kryteriów  Fregowskich zob. Wright (1983), rozdz. 2; Hale (1987), rozdz. 2;  Engel (1985), 

rozdz. 2.



Platonizm matematyczny i anty realizm

13

konstrukcja  syntaktyczna.  „Trzy” jest —  jego  zdaniem  —  nawet  w  (i)  terminem jed­



nostkowym. Wystarczy, że zrekonstruujemy tę wypowiedź w następujący sposób:

(iO  Liczba jabłek w koszyku jest większa lub równa względem liczby trzy.

Dlaczego  nie  bronić  tezy  odwrotnej,  tj.  poglądu,  że  wszystkie  rzekome  terminy 

jednostkowe  powinny  być  analizowane jako  ewentualne  kwantyfikatory  i  predykaty 

gatunkujące,  ażeby  usunąć  odniesienie  do  takich  bytów jak  liczby?  Podpisać  się pod 

taką  tezą  —   byłoby  tym  samym,  co  —  podpisać  się  pod  tym,  co  Wright  nazywa 



redukcjonizmem  ontologicznym.  Znanym  przykładem  tego  typu  redukcjonizmu  —  

przykładem,  któremu  Wright  poświęca  wiele  uwagi  — jest  przykład  zapożyczony  z 

ustępów 64-68  Grundlagen Fregego

.20


 Rozważmy rzekome terminy jednostkowe typu 

„kierunek a",  gdzie  „a” jest terminem  desygnującym pewną prostą.  Można dla  takich 

terminów łatwo zdefiniować konteksty tożsamościowe:

(a) 


D(a) = D(b), gdy a II b, gdzie „II” oznacza równoległość.

Wprowadźmy predykat 

(b) 

Warunki  prawdziwości  każdej  wypowiedzi  o postaci  cpD(a)  są określone jako te 



same, co warunki prawdziwości wypowiedzi o postaci Fa, gdzie F  jest własnością 

prostych, dla których relacja II jest relacją spójną.

Na  przykład  wypowiedź  „Wschód-Zachód  D(a)” jest prawdziwa,  gdy  a  II  W-Z,  czyli 

wyrażenie „W-Z” nazywa paradygmat prostej Wschód-Zachód.

Kwantyfikację po kierunkach wyjaśnia się następnie tak:

(c)  W(
a,
 że Fa jest prawdą, czyli „F” odpowiada φ określo­

nemu w (b).

Istnienie kierunków nie jest konieczne do tego, aby drugi człon każdej z par logicz­

nie  równoważnych  był  prawdziwy;  w  konsekwencji  prawdziwość  pierwszego  członu 

każdej  z  par  logicznie  równoważnych  nie  wymaga  także  istnienia  kierunków.  Zatem 

wypowiedzi  typu  „kierunek  a ”  nie  mogą  funkcjonować  semantycznie  jako  terminy 

jednostkowe.  Mamy  więc  do  czynienia z redukcjonizmem ontologicznym  w  odniesie­

niu do kierunków.

Redukcjonista  utrzymuje,  że  skoro  prawe  strony  tego  typu  równoważności  nie 

zawierają terminów jednostkowych odnoszących się rzekomo do kierunków, to rzeko­

me odniesienie do kierunku po stronie lewej jest jedynie sprawą gramatyki powierzch­

niowej. Wright jednak pisze:

Dlaczego nie mielibyśmy odwrócić tej idei? Co stoi na przeszkodzie temu, by powiedzieć, że skoro lewa 

strona istotnie  zawiera wyrażenie  odnoszące  się  do  kierunku,  to właśnie rzekomy brak  odniesienia do 

kierunku jest potencjalnie błędny lub jest sprawą «gramatyki powierzchniowej»? Należałoby powiedzieć 

raczej, że to, co mamy po stronie prawej, jest zdaniem, które skutecznie odnosi się do kierunku, mimo że 

nie zawiera żadnego szczególnego wyrażenia, które miałoby [właśnie] takie odniesienie.

Innymi  słowy jesteśmy gotowi uznać, że rzekomy termin jednostkowy (według kryteriów Frege’ow- 

skich) tak  naprawdę  nie jest  terminem jednostkowym,  a więc  że  gramatyka powierzchniowa zdań,  w 

których ten termin występuje, jest myląca. Dlaczego wobec tego nie byłoby możliwe, by — jeśli można 

się tak  wyrazić  — gramatyka powierzchniowa była potencjalnie  myląca po drugiej  stronie? Dlaczego

20 Zob. Frege (1884).



14

Pascal Engel

zdanie  nie  zawierające  wy od 

r ę b n i a ]  

nej  części  odnoszącej  się  do  określonego óbiektu  miałoby  nie  być 

zdolne do odnoszenia się do takiego obiektu, skoro jest ono równoważne zdaniu, w którym to odniesienie 

występuje explicite?21

Field zwraca tutaj słusznie uwagę na to, że podobnie jak redukcjonizm ontologiczny 

skłania nas do odrzucenia istnienia rozważanych bytów  ze  względu  na równoważność 

zachodzącą  między  zdaniami,  które  odnoszą  się rzekomo  do  tych  bytów,  a  zdaniami, 

które  nie  mają  takiego  odniesienia,  można  byłoby  po  prostu  odwrócić  argument typu 

Wrighta  i  w  każdym  wypadku  wyznawać  rodzaj  „inflacjonizmu  ontologicznego”.  Na 

razie  zatem  powinniśmy  wyciągnąć  tymczasowy  wniosek,  że  teza  syntaktyczna  (To), 

którą wysunął Wright, nie jest wiążąca. Wrócę jeszcze do tej sprawy nieco dalej.

3.  Platonizm tanim kosztem?

Wright broni, jak widzieliśmy, następującego poglądu:

( 1 ) 

Liczby, jeśli istnieją, są obiektami.



Field zgadza się z nim w tej  kwestii.

Istotna  teza,  którą  wysunął  Wright, jest  od  poprzedniej  niezależna.  Utrzymuje  on 

mianowicie, że:

(2) 


Liczby istnieją.

Argumentacja Wrighta na rzecz tej tezy opiera się ściśle na egzegezie Frege’owskiej 

zasady kontekstowości. Według Wrighta zasada ta ma dwie składowe. Pierwszą z nich 

przyjmuje  się  dziś  bez  zastrzeżeń  nawet  w  kręgach  opowiadających  się  explicite  za 

tym, co nazywamy „atomizmem semantycznym”:  za poglądem, że zadowalająca anali­

za  znaczenia  lub  odniesienia  danego  wyrażenia  w  zdaniu  powinna  zależeć  od  jego 

wkładu  w  znaczenie  lub  warunki  prawdziwości  zdania.  (Atomiści  semantyczni  nie 

przeczą  faktowi,  który  można  by  nazwać  holizmem  zdaniowym;  przeczą  natomiast

holizmowi językowemu, tj. poglądowi, w myśl którego sens izolowanego zdania zależy

22

od  sensu  innych  —   a  nawet  od  sensu  wszystkich  —  zdań  danego języka.  )  Druga 

składowa nastręcza nieco więcej problemów. Wright nazywają „tezą o pierwszeństwie 

kategorii  syntaktycznych  względem kategorii  ontologicznych”.  Twierdzi  on,  że to jest 

właśnie powód, dla którego Frege był nie-Gödlowskim platonistą. Platonista Gödlowski 

wyjaśnia poznanie obiektów  matematycznych, odwołując  się do pewnej  quasi-percep- 

cyjnej  relacji  [podmiotu poznania] do  tych obiektów.  Zdaniem  Wrighta Frege uważał, 

że  nie  potrzebujemy  odwoływać  się  do  takiej  relacji,  by  wyjaśnić  dostępność  tych 

obiektów dla naszego umysłu.  Właśnie dlatego,  że Wright opowiada się  za ìnterpre-

21  Zob. Wright (1983). s. 31-32.

22  W sprawie różnych form holizmu zob. Engel (1994), rozdz. 4 i 6.

23  Mnie  osobiście  interpretacja taka  wydaje  się  wątpliwa,  zwłaszcza  w  obliczu  nacisku,  z jakim Frege 

podkreśla, że powinniśmy „uchwycić” (,/assen”) to, do czego odnoszą się obiekty liczbowe. Frege zdaje się 

wielokrotnie  odwoływać  do  swego  rodzaju  intuicji  obiektów  matematycznych,  jak  to  czynią  tradycyjni 

platoniści. Trzeba jednak przyznać rację Wrightowi, idącego tu za komentarzami Dummetta do prac Fregego, 

że  Frege  przyznaje  także  językowi  istotne  miejsce  w  naszym  uchwytywaniu  tych  obiektów.  W  istocie




Platonizm matematyczny i antyrealizm

15

tacją  syntaktyczną  zasady  kontekstowości,  utrzymuje  także,  że  można  argumentować 



na  rzecz  tezy,  że  platonizm  u  Fregego jest  niezależny  od  logicystycznego  programu 

definiowania kontekstowego, a następnie definiowania explicite słownika arytmetyki za 

pomocą samego tylko  słownika logiki — programu,  który, jak wiadomo, opiera się na 

pojęciu ekstensji pojęcia. Wright oświadcza:

Zgodnie z tą interpretacją Frege traktuje fakty językowe jako rozstrzygające o tym, czy dane pojęcie jest 

autentycznym  pojęciem  gatunkującym,  czy  też  nie.  [...]  Frege  proponuje  uznać  fakt,  że  nasz  język 

arytmetyczny odznacza się tymi cechami, za fakt wystarczający do tego, aby z pojęcia liczby naturalnej 

uczynić pojęcie gatunkujące, którego egzemplifikacjami — jeśli takie istnieją — byłyby obiekty należące 

do uposażenia świata i istniejące tak samo niewątpliwie, jak góry, rzeki i drzewa. Powtórzmy to raz jeszcze: 

to, że dane pojęcie ma rzeczywiście egzemplifikacje, zależy od prawdziwości odpowiednich wypowiedzi 

arytmetycznych.

Jakim sposobem jednak tego rodzaju rozważania mają załatwiać sprawę? Czy nadanie naszemu językowi 

arytmetycznemu  takiego znaczenia, jakie  według powyższej  interpretacji  postuluje  Frege,  nie mogłoby 

okazać się błędem? A co by się stało, gdyby tego rodzaju obiekty w rzeczywistości nie istniały? Dalej, czy 

możemy — by powtórzyć  wątpliwości  zgłaszane przez empirystów — zadowolić się istnieniem takich 

obiektów, jeśli  nie  mamy z nimi  kontaktu empirycznego?  Otóż jest  oczywiste,  że  stanowisko Fregego 

wymaga, by wątpliwości te były wątpliwościami bezzasadnymi; niemożliwe jest, by doszło tu do takiego 

błędu.


Dlaczego jednak nie mógłby powstać tego rodzaju błąd? Co naprawdę pozwala nam 

przejść od  tezy  ustanawiającej  pierwszeństwo kategorii  syntaktycznych względem ka­

tegorii ontologicznych —  rozumianej tak, że jeśli dane wyrażenie przejdzie z wynikiem 

pozytywnym  testy  na  bycie  terminem jednostkowym,  to  automatycznie  będzie  pełnić 

funkcję semantyczną terminu jednostkowego z odniesieniem — do  tezy  czysto ontolo- 

gicznej,  w  myśl  której  istnieją  obiekty  matematyczne,  które  są  odniesieniami  tych 

terminów? Autor w rodzaju Fielda ma pełne prawo wyrazić taką wątpliwość:

Czy 


„ H o m e r ”  

określa tylko presupozycję syntaktyczną naszego języka historii, a „Bóg” 

—  

presupozycję 



syntaktyczną naszego języka religij nego? Czy z tego powodu wątpliwości co do istnienia Homera lub Boga 

staną się bezzasadne?^5

Field utrzymuje, że Wright broni tutaj następującej tezy, która jest nie do przyjęcia:

(S)  To,  co jest  prawdziwe  według  zwykłych  kryteriów,  jest  istotnie  prawdziwe,  a 

każda wątpliwość co do tego jest bezzasadna (siei).

Teraz  można już  podsumować  zastrzeżenia  Fielda  wobec  Wrighta.  Pierwsze  za­

strzeżenie —  jak widzieliśmy  — polega na tym,  że nie ma powodu, aby  na podstawie 

kryterium  indywiduacji  syntaktycznej  terminów  jednostkowych,  sformułowanego 

przez  Wrighta,  odróżniać  zalecany  przez  niego  platonizm  od  odmiany  inflacjonizmu 

ontologicznego,  angażującego  nas  w  dowolny  rodzaj  wątpliwego  bytu  od  chwili,  w 

której  nie można się odwołać do tych bytów via terminy jednostkowe. Drugie zastrze­

żenie jest  takie,  że  podobne  wątpliwości  mogą pojawić  się  nawet  wtedy,  gdy  kryteria

problematyka ta wiąże się u Fregego ze znanym rozróżnieniem między mówić a wskazywać, w szczególności 

tam, gdzie mowa jest o pojęciach, co do których sądzimy, że są desygnowane przez wyrażenia funkcyjne (zob. 

też w tej sprawie Engel (1985), rozdz. 2).

24 Zob. ibid., s.  13-14.

25Zob. Field (1989), s.  155.



16

Pascal Engel

syntaktyczne  zostaną  spełnione.  Trzecie  zastrzeżenie  wypływa  z  proponowanej  przez 

Fielda reinterpretacji tez Wrighta.

Zdaniem Fielda można interpretować Wrighta tak,  że w odniesieniu do równoważ­

ności  —  podobnych  do  opisanych  wyżej  równoważności  dotyczących  prostych 

równoległych i kierunków —  nie utrzymywał on ani że pierwsze z nich sprowadzają się 

do drugich, jak chcieliby redukcjoniści,  ani  że oba pojęcia są niezależne, jak chcieliby 

inflacjoniści, lecz że istnienie kierunków jest logiczną konsekwencją istnienia prostych. 

Field jest zdania, że wobec tego Wright opowiada się za następującą tezą:

(L)  Kierunki  są bytami  w pełni uznawalnymi, różnymi od prostych,  ale równie real­

nymi  jak  tamte;  niemniej  jednak  ich  istnienie  wynika  w  sposób  konieczny  z 

istnienia prostych

.26

W takim razie, jak twierdzi Field, Wright chce zapewne powiedzieć, że rozważana 



konsekwencja  logiczna  związana jest ze  swego  rodzaju  koniecznością myślową.  Zga­

dza się to dość dokładnie z tym, co Wright sam pisał w innym miejscu:

Teza moja— z grubsza biorąc— głosi, że obiekty abstrakcyjne jako takie nie powinny nas raczej niepokoić 

z filozoficznego punktu widzenia. Jeśli chodzi jednak o problem wiedzy o tym, czy wypowiedzi matema­

tyczne  powinny być oceniane  pod kątem prawdy  lub fałszu, to  wątpię,  czy  wypowiedzi  matematyczne 

implikują dostatecznie  wyraźne pojęcie prawdy, aby móc  nam narzucić pełną gamę obiektów matema­

tycznych  na  drodze,  którą  opisałem  (tj.  na  drodze  syntaktycznej).  Moja  obecna  teza,  sformułowana 

możliwie najzwięźlej, głosi, że prawda matematyczna jest zrozumiała na tyle tylko, na ile można ją pokazać 

w drodze dowodu; dalej, że dowód różni się od— powiedzmy— doświadczenia tym, że między podstawą, 

przebiegiem i wynikiem [dowodu] istnieją pewne wewnętrzne relacje — relacje konieczności myślowej; 

wreszcie,  że  do  potwierdzenia przez  nas  [zachodzenia]  tych  relacji  wewnętrznych  najlepiej  nadaje  się 

analiza niekognitywistyczna.”

Czym jednak będzie się  wówczas różniła teza Wrighta od wersji konstruktywizmu 

zaproponowanej  przez  Dummetta?  Jeśli  Wright  wątpi  w  to,  by  pojęcie  prawdy  było 

niezależne od  pojęcia dowodu,  to jak  może  trwać  w  swym  «Frege’owskim» platonis- 

tycznym  realizmie  ontologicznym?  Jeśli  zamierza  podtrzymywać  tę  tezę,  to  — jak 

twierdzi Field —  albo musi  bronić sui generis równoważnika dowodu ontologicznego 

[na  istnienie  Boga],  w  myśl  którego  istnienie  liczby  wynikałoby  z  samego  pojęcia 

liczby,  albo  musi  trzymać  się poglądu podobnego  do  stanowiska Camapa  w  „Empiri- 

cism ,  sem antics  and  ontology”, 

nakazującego  odróżniać  problem y  istnienia 

«wewnętrzne»  wobec  danej  teorii —  od problemów  «zewnętrznych».  Pierwsza  inter­

pretacja jest katastrofalna, jeśli — jak mamy podstawy sądzić —  argument ontologicz­

ny  jest  błędny.  Druga  doprowadziłaby  Wrighta  do  czegoś  w  rodzaju  neutralizmu 

ontologicznego,  który  w  żaden  sposób  nie  przystaje  do  podejmowanych  przez  niego 

prób  obrony —   w  ramach  antyrealizmu  semantycznego —  pewnej  wersji platonizmu 

ontologicznego, mimo że pogląd ten mieściłby się w tych ramach.

“ Zob. Field (1989), s. 1989), s.  165

27Zob. Wright (1988), s. 434.

MZob. Camap (1950).




Platonizm matematyczny i antyrealizm

17

Odpowiedź Wrighta pozwala — jak zobaczymy — usunąć  tylko część  wspomnia­



nych wątpliwości.

4.  W nierównej walce

Wrigth  zaczyna  od  tego,  że  nigdy  nie  słyszał,  by  ktoś  próbował  bronić  tezy  tak 

absurdalnej, jak  wspomniana  wyżej  teza  (S).  Mówiąc,  że  to,  co jest  prawdziwe, jest 

prawdziwe  „zgodnie  ze zwykłymi kryteriami”, ma on  na myśli to,  że jeśli wypowiedź 

ma uzasadnienie kanoniczne, tj.  są racje  [dla]  wiary,  że jest prawdziwa,  to wypowiedź 

ta jest  prawdziwa,  i  byłoby  bezsensem  domagać  się  dodatkowego  uzasadnienia.  Nie 

dysponujemy — jak mówi — tego typu  uzasadnieniem dla „Homera” ani  „Boga”;  nie 

ma zatem podstaw  do porównywania tych terminów jednostkowych  z terminami  licz­

bowymi.  Jest rzeczą jasną,  że  uzasadnienia kanoniczne pełnią  tutaj  funkcję  kryteriów 

dowodzenia, porównywalnych z tymi,  które  narzuca konstruktywizm.  W czym jednak 

uwiarygodnia  to  platonizm,  skoro  sam  semantyk  antyrealistyczny  przyznaje,  że  poza 

argumentem  dotyczącym  warunków  prawdziwości  i  znaczenia  wypowiedzi  matema­

tycznych trzeba dysponować jeszcze dodatkowym argumentem na rzecz istnienia liczb? 

Jedynym  argumentem  dostarczonym  w  tej  sprawie  przez  Wrighta  jest  tradycyjny, 

«konserwatywny»  argument  platonistyczny,  zgodnie  z  którym  platonizm  lepiej  niż 

konkurencyjne teorie nominalistyczne wyjaśnia i uzasadnia większą część matematyki. 

Jeśli jednak Wright chce położyć nacisk na konstrukty wistyczną linię obrony, to czemu 

nie przyjmie,  że  narzuca  nam ona konstruktywistyczne  wymagania  względem  pojęcia 

dowodu (dowodzenia), a co za tym idzie, że doprowadza nas —  na wzór intuicjonistów 

—  do  wyrażenia  wątpliwości  co  do  istnienia  wielkiej  liczby  bytów  matematycznych, 

dla  których  nie  mamy  właśnie  tego  rodzaju  dowodów  finitystycznych, jakich  żądają 

intuicjoniści?

Odpowiedź  Wrighta  na  zarzut  inflacjonizmu  ontologicznego  zasługuje  na  bacz- 

niejszą uwagę.  W sprawie równoważności między równoległymi a kierunkami plato- 

niści  formułują  tezę,  że  wypowiedzi  z  prawej  strony  tych  równoważności  implikują 

istnienie kierunków.  Field  zauważa  tutaj,  że jeśli  tak jest w  istocie,  to  dziedziczą  one 

trudności  epistemologiczne  wiążące się z  istnieniem  obiektów  abstrakcyjnych.  Wright 

odpowiada, że jest to non sequitur.

Nie  zawsze jest  prawdą,  że  konsekwencje  danej  wypowiedzi  należy  weryfikować  zanim  uznamy  tę 

wypowiedź  za  składnik  wiedzy.  Gdyby  tak  było,  to  postęp  wiedzy  na  drodze  inferencji  stałby  się 

niemożliwy. [...] Dlaplatonistów pojęcie kierunku jest ustalone dzięki odniesieniu do tych równoważności; 

nie ma więc mowy o tym, żeby procedury weryfikacyjne uprzednio przyjęte dla prawych stron równoważ­

ności przestały  być  nagle  ważne  dlatego  tylko,  że  zostały  one  obciążone  nowym  rodzajem  implikacji. 

Platoniści  podkreśliliby,  że  samo  zrozumienie  przez  nas  tych  implikacji jest  uzależnione  od  tego,  że 

ustaliliśmy  pojęcie  kierunku  tak,  by  umożliwić  weryfikację  wypowiedzi  dotyczących  kierunków  za 

pomocą  tych samych procedur,  które  stosowaliśmy  przedtem  do  weryfikacji  wypowiedzi  dotyczących

29 Zob. Wright (1988), s. 251-252.

30 Zob. ibidem., s. 453-454.



18

Pascal Engel

prostych. Założenie, że zwykłe procedury wystarczą do weryfikacji wypowiedzi z prawej strony [omawia­

nych równoważności]  zawsze i  tylko, gdy ich konstrukcja nie  implikuje istnienia kierunków,  równa się 

założeniu  —  nie  popartemu  żadnymi  argumentami  —  że  nie  można  utworzyć  żadnej  wypowiedzi 

gatunkującej  przy założeniu,  że równoważności  te  są poprawne na  mocy zwykłych analiz  ich prawych 

stron.31


Wszystko to sprowadza się jednak do obrony interpretacji  tez Wrighta,  zapropono­

wanej  przez  Fielda,  tj.  do  obrony  przekonania,  że  istnieje  związek  konceptualny  wy­



jaśniania  [pojęcia]  liczby  —  drogą  równoważności  między  prawymi  stronami 

równoważności o postaci praw logiki drugiego rzędu i wypowiedziami po lewej stronie 

tych równoważności  odnoszącymi  się do liczb — i  samego  istnienia takich bytów, jak

liczby.  Jak  pisze  Wright  „istnienie  liczb  oraz  to,  że  spełniają  one  aksjomaty  Peana, 



32

wynika z pojęcia liczby”.

Co  można  zatem  powiedzieć  o  zestawianiu  powyższego  argumentu  z  dowodem 

ontologicznym [na istnienie Boga]? Wright odpowiada, że gdyby można było zdefinio­

wać kontekstowo —  tak, jak zdefiniowano równoległe — warunki prawdziwości wypo­

wiedzi  zaw ierających  termin  „Bóg”,  przy  użyciu  metod  wypróbowanych  dla 

definiensów, to wówczas zachodziłby paralelizm między argumentem na rzecz istnienia 

liczb  a dowodem ontologicznym.  Nie  istnieje jednak żadna procedura tego rodzaju — 

nawet kosmologiczna.

Co się zaś tyczy liczb —  Wright twierdzi:

Jeżeli  dysponujemy  pojęciem  gatunkującym  liczby  naturalnej  i  jeżeli  jego  występowanie  zależy  od 

zwykłych kryteriów — tj. jeżeli prawdziwe są miarodajne konteksty zawierające terminy, którymi określa 

się liczby naturalne — to istnieją byty tego rodzaju.33

To, że Wright broni tego rodzaju «konceptualistycznego» ujęcia, staje się widoczne, 

gdy  przyjrzymy  się zarzutom, jakie  stawia  fikcjonalistycznej  tezie  samego  Fielda.  Jak 

już wiedzieliśmy, w programie Fielda przyjmuje się najpierw możliwość wykazania, że 

teorie fizyczne dają się uprawiać  w języku  nominalistycznym —  bez odwoływania się 

do bytów abstrakcyjnych;  następnie zakłada się, że sam słownik teorii fizycznej można 

zbudować  bez  odwoływania  się  do  takich  bytów.  Wobec  tej  drugiej  części  programu 

wysunięto zarzut, że używane przez Fielda pojęcie nietwórczości opiera się na [pojęciu] 

niesprzeczności omawianych teorii.  Czym jest wobec tego niesprzeczność teorii i jakie 

jest używane przez niego pojęcie konsekwencji? Zarzucono dalej  Fieldowi,  że pojęcie 

to  musi  być  określone  w  języku  teorii  dowodu  lub  teorii  modeli,  co  grozi  użyciem 

takich  pojęć, jak  pojęcia  ciągu  zdań  lub  modelu,  które  to  pojęcia  mogą  nie  spełniać 

warunków nakładanych przez nominalistę. Field odpowiada  na to mówiąc, że definiuje 

pojęcie  konsekwencji  za  pomocą  terminów  modalnych:  dana  wypowiedź jest  konse­

kwencją  innych  wypowiedzi  tylko  wtedy,  gdy  nie  może  być  fałszywa, jeśli  tamte  są 

prawdziwe. Jeśli zapomnieć o wątpliwościach, które się nasuwają w związku z użyciem 

terminów modalnych, należy to rozumieć tak, iż Field mówiąc, że teoria liczb, analiza i

31 Zob. ibidem, s. 453-454.

32 Zob. ibidem, s. 455.

33 Zob. Wright (1983), s.  129.




Platonizm matematyczny i antyrealizm

19

inne  klasyczne  teorie  matematyczne  są  niesprzeczne,  mówi  zarazem,  że  fałszywość 



tych  teorii jest  przypadkowa.  Twierdzi,  że  liczby  naturalne  nie  istnieją,  ale  mogłyby 

istnieć.  Wynika stąd,  że platonista w  innych możliwych okolicznościach mógłby  mieć 

rację.  Okoliczności te jednak nie zachodzą. Wright zastanawia się, jaka może być treść 

takiej  wiary w przypadkowe nieistnienie liczb? Jeśli  teoria liczb jest nietwórcza, to jest 

ona  nie  do  przyjęcia  na  podstawie  samych  danych  empirycznych  czyli  spełniających 

kryteria  nominalistyczne,  skoro  ex definitione  owe  dane  nie  odgrywają  żadnej  roli  w 

predykacjach przez te dane potwierdzanych lub obalanych.  Field, jak widzieliśmy,  nie 

może  wyznawać  poglądu,  że  jakaś  forma  percepcji  pozwoliłaby  odkryć  nieistnienie 

liczb.  Musi  zatem  przyjąć,  że  opiera  swoją  tezę  fikcjonalistyczną  na  danych 

niedostępnych  ludzkiemu  systemowi  kognitywnemu,  co  równałoby  się  przyjęciu  po­

glądu realizmu transendentnego w kwestii warunków ich prawdziwości; w przeciwnym 

razie  musi odrzucić  agnostycyzm,  który — jak pamiętamy —  brał  kiedyś pod  uwagę. 

Innymi  słowy  zarzut  wysunięty  przez  nominalistę  fikcjonalistycznego  przeciw  plato- 

niście  —  dlaczego  wierzyć  w  istnienie  liczb,  skoro  dysponujemy  tylko  kryteriami 

syntaktycznymi określającymi odniesienie terminów liczbowych —  zwraca się przeciw 

fikcjonaliście: a czemu nie uwierzyć w ich istnienie

?34

Spośród rozwiązań,  które braliśmy pod  uwagę, pozostały  nam  —  jak się zdaje — 



tylko  następujące:  (a)  agnostycyzm,  (b) realizm  «empiryczny»  Quine’a i Putnama  lub 

też  [(c)]  pogląd Wrighta,  który  nazwałbym „platonizmem konceptualistycznym”. Mie­

liśmy jednak  sposobność  przekonać  się,  że ów  platonizm  konceptualistyczny  niebez­

piecznie upodabnia się z jednej strony do neutralizmu à la Carnap, i wtedy nie mógłby 

właściwie być platonizmem ontologicznym —  a z drugiej strony do konstruktywizmu, i 

w tym wypadku trudno twierdzić, że istnienie liczby może być niezależne od [podania] 

dowodu wypowiedzi, jakie wygłaszamy na temat liczb, a więc że mamy tu do czynienia 

z autentycznym platonizmem ontologicznym. Daleko mi  więc do pewności, że Wright 

czy  Field  rzeczywiście  podali  przekonujące  warianty  realizmu  ontologicznego 

połączonego z antyrealizmem semantycznym oraz kombinacji  odwrotnej, i że rzeczy­

wiście byli w stanie podjąć wyzwanie rzucone przez Benacerrafa. Sam Frege dostrzegł 

pewien  aspekt  tego  dylematu,  kiedy  na pytanie  Wittgensteina —   który  zapytał  go  w 

czasie ostatniego spotkania (na peronie dworca kolejowego), czy  doprawdy  nie widzi 

żadnej trudności w swojej  teorii, zgodnie z którą liczby są obiektami —  odpowiedział: 

„Czasem jakąś widzę, ale zaraz potem przestaję ją  widzieć”.

francuskiego przełożyła Wanda Jadacka

34 Zob. Wright (1988), s. 462-463.



20

Pascal Engel

BIBLIOGRAFIA

Benacerraf,  P.  (1965) — „What  numbers could  not be”,  Philosophical Review, 24,  47-73;  przedruk w: 

Benacerraf & Putnam (1983), s. 272-294

Bencerraf, P. ( 1973) — „Mathematical truth”. Journal o f Philosophy, 70,661 -680; przedruk w: Benacerraf 

& Putnam (1983), s. 403-420

Bencerraf, P. & Putnam, H.  (1983) — Philosophy o f mathematics. Selected readings, Cambridge, Cam­

bridge University Press 1983 (wyd. 2)

Bouveresse, J. (1987) — La force de la règle, Paris, Minuit

Carnap,  R.  (1950) — „Empiricism,  semantics, and  ontology”, Revue  Internationale de  Philosophie, 4, 

20-40

Dummett, M. (1978) — Truth and other enigmas, London, Duckworth 



Dummett, M. (1991) — Frege. Philosophy o f mathematics, London, Duckworth 

Engel, P. (1985) — Identité et référence, Paris, PENS 

Engel, P. (1994) — La poursuite de la signification, Paris, PUF

Field, H. (1980) — Science without numbers.  A defence o f nominalism,  Princeton, Princeton University 

Press

Field, H. (1989) — Realism, mathematics and modality, Oxford, Basil Blackwell Ltd.



Frege, G. (1884) — Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, W. Koebner

Goodman, N. & Quine, W.v.O. (1947) — „Steps towards a construcive nominalism”, Journal o f Symbolic 



Logic, 13,105-122

Hale, B. (1987) — Abstract objects, Oxford, Blackwell

Mackie, J. (1977) — Ethics. Inventing right and wrong, New York, Penguin

Maddy, P. (1980) — „Perception and mathematical intuition”. The Philosophical Review, 89,163-196 

Putnam, H. (1967) — „Mathematics without foundations”, Journal o f Philosophy, 64,5-25; przedruk w: 

Benacerraf & Putnam (1983), s. 295-311

Quine, W.v.O. (1970) — Philosophy o f logic, Englewood Cliffs (N.J.), Prentice Hall; przekł. polski (H. 

Mortimer): Filozofia logiki. Warszawa, PWN 1977

Van Fraassen, B.C. (1981) — Scientific image, Oxford, Oxford University Press 

Wright, C. (1980) — Wittgenstein’s philosophy o f mathematics, London, Duckworth 

Wright, C. (1983) — Frege's conception o f numbers as objects, Aberdeen, Aberdeen University Press 

Wright, C. (1988) — „What numbers can believably be; a reply to Hartry Field”, Revue Internationale de 



Philosophe, 42,167,425-473



Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə