Platonizm w matematyce a platonizm w naukach matematyczno-przyrodniczych



Yüklə 85,59 Kb.

tarix17.11.2018
ölçüsü85,59 Kb.


Z b ig n ie w  K ró l

Zakład Teorii Poznania i Filozofii Nauki,  Zespół Hermeneutyki 

i Filozofii Matematyki,  Instytut Filozofii i Socjologii PAN;

Zakład Filozojii Nauki,  Socjologii i Podstaw  Techniki

Politechnika  Warszawska

zbigkrol@wp.pl

P L A T O N IZ M   W   M A T E M A T Y C E   A   P L A T O N IZ M   W   N A U K A C H  

M A T E M A T Y C Z N O -P R Z Y R O D N IC Z Y C H

Matematyka  dość  wcześnie  uznana  została  za  Ję z y k   przyrody”,  a  następnie  za  Ję z y k  

nauki  o  przyrodzie”.  Razem  z  rozwojem  neopozytywistycznej  filozofii  nauki  potraktowano 

matematykę  jako  dziedzinę  czysto  formalną  nie  posiadającą  własnego  odniesienia 

przedmiotowego  (meaningless,  np.  C am ap1).  Szybko  jednak  okazało  się,  że  nie  da  się 

nominalistycznie  opisywać  matematyki  (np.  W.V.O.  Quine2,  H.  Putnam3,  etc.).  Jednakże, 

niezbywalną  konieczność  uwzględnienia  odniesienia  przedmiotowego  próbuje  się 

interpretować  w  ramach  empiryzmu  i  natural i stycznej  epistemologii4  (np.  P.  M addy5),  co  z 

czysto  rzeczowych  powodów  jest  nieadekwatne.  Możliwe  jest  jednak  inne  ujęcie  i  opis 

faktu obecności  platonizmu w matematyce.

1 R.  Camap,  The Logical Syntax o f  Language,  Routlege  &  Kegan  Paul  Ltd.,  London  1937  (zwłaszcza 

par.  84).  Najogólniej  mówiąc  stanowisko,  że  matematyka  jest  czysto  formalną  grą  językową 

reprezentują  formaliści  matematyczni.  Sztandarowym  dziełem  jest  tutaj:  H.  Curry,  Outlines  o f  a 

formalist philosophy  o f  mat hematic,  North  Holland  Publishing  Company,  Studies  in  Logic  and the 

Foundations o f  Mathematics  (SLFM),  Amsterdam  1951.  Zbliżone  do  skrajnych  formalistów poglądy 

na  matematykę głosił  L.  Wittgenstein  w  Tractatus Logico-Philosophicus.



2  W.V.O.  Quine  próbował  ustanowić  czysto  nominalistyczną  interpretację  formalnych  systemów 

matematycznych;  por.  np.  W.V.O.  Quine,  N.D.  Goodman,  Steps  toward  constructive  nominalism, 

„Journal  of  Symbolic  Logic”  (JSL)  1947,  v.  12,  s.  105-122.  Pod  wpływem  analizy  argumentu 

przekątniowego Cantora został platonikiem;  por.  W.V.O.  Quine, On universals, JSL  1947, s.  74-84.

H.  Putnam,  Philosophy  o f  logic,  Georg  Allen  &  Unwin.,  1971.  Putnam  odszedł  później  od 

platonizmu  z  Filozofii  logiki  sformułowanego  na  podstawie  tzw.  indispensability  argument  pod 

wpływem  tzw.  (kontrargumentu  teoriomodelowego;  por.  H.  Putnam,  Models  and  reality,  w:  P. 

Benacerraf,  H.  Putnam  (red.),  Philosophy  o f mathematics.  Selected readings,  reprint  wyd.  II  z  1983, 

Cambridge University  Press  1987 (dalej jako:  [B.,  P.  1987]),  s.  421- 444.

4  Problemy  związane  z  niezgodnością  platonizmu  matematycznego  i  naturalistycznych  oraz 

kauzalnych epistemologii  zostały wywołane pracami  P.  Benacerrafa;  por.  tenże,  What numbers could 

not be,  w:  [B.,  P.  1987]  s.  272-294,  tenże,  Mathematical  Truth,  “Journal  o f Philosophy”  1973,  v.  70, 

s.  661-680;  (także w:  [B.,  P.  1987]  s. 403-420).

5  Koncepcja  P.  Maddy  jest  jedną  z  prób  pogodzenia  platonizmu  matematycznego  Gódla  z 

naturalizmem;  por.  np.  P.  Maddy,  Realism  in  Mathematics, New York  1990 Oxford  University  Press. 

Inne  próby  podjęli  strukturaliści  matematyczni.  Por.  np.  M.  D.  Resnik,  Mathematical knowledge and 

pattern  cognition,  “Canadian  Journal  o f Philosophy”  1975,  nr  1,  s.  25-39,  tenże,  Mathematics  as  a 

science  o f patterns:  epistemology,  “Nous”  1989,  v.  16,  s.  93-105,  tenże,  Naturalized  epistemology 

and  platonist  ontology,  “Philosophica”  1989,  v.  43,  s.  7-29,  M.  Steiner,  Mathematical  realism, 

“Nous”  1983,  nr 3, s. 363-385.

108

Filozofia przyrody - dzi

ś

 = Philosophy of nature today. Red. W.

Ł

ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.

http://rcin.org.pl/ifis




1.  Platonizm w  matematyce

Platonizm  matematyczny,  niezależnie  od  osobistych  przekonań  matematyków,  przejawia 

się  w  ściśle  określonych  metodach  badania  matematycznego.  Te  „platońskie”  metody  -  

sposoby  badania  matematycznego  -   często  nie  są  sformułowane  explicite  i  są  milcząco 

zakładane jako oczywiste.

Platonizm  matematyczny  niekoniecznie  zatem  musi  być  rozumiany jako  zewnętrzne  w 

stosunku  do  matematyki  przekonanie  o  istnieniu  jakichś  idealnych  obiektów,  które  to 

przekonanie  nie  ma  znaczenia  dla  matematyki.  Takie  zewnętrzne  przekonanie  o  realnym 

czy  idealnym  istnieniu  przedmiotów  matematyki  wydaje  się  nie  mieć  żadnego  wpływu  na 

przebieg  badania  matematycznego6.  Nigdzie  nie  musimy  explicite  odwoływać  się  do 

istnienia jakichś  przedmiotów.  Używamy,  oczywiście,  np.  kwantyfikatorów  szczegółowych 

(„istnieje  takie  x,  że...”),  ale  podobne  do  fdozoficznego  brzmienie  słowa  „istnieje”  nie 

oznacza  użycia  go  w  sensie  ontologicznym.  Teoria  prawdy  Tarskiego  pokazuje  jak 

rozumieć  prawdziwość  takich  wypowiedzi.  Nauka  Q uine’a  o  kwantyfikatorowych 

zobowiązaniach  ontologicznych  teorii  nie  dociera  do  istoty  zagadnienia  i  nie  ujmuje 

najistotniejszych cech zjawiska platonizmu  matematycznego7.

W  rzeczywistości jednak,  da  się  wydobyć  i  obiektywnie  opisać  pewien,  bardzo  złożony 

zespół  przedzałożeń  matematycznych,  które  z  reguły  nie  są  nawet  uświadamiane  przez 

pracującego 

matematyka. 

Te 

przedzałożenia 



stanowią 

część 


tzw. 

horyzontu 

hermeneutycznego:  struktury warunkującej  rozumienie  i  uprawianie matematyki.

Platonizm  w  matematyce  posługującej  się,  od czasów  Fregego,  ściśle  sformalizowanymi 

językami  został  odkryty  jako  problem  ściśle  m atematyczny8.  Termin  „platonizm”  w 

odniesieniu  do  matematyki  współczesnej  został  użyty  po  raz  pierwszy  przez  J.  Bemaysa 

dopiero  w  1935  roku9  na  określenie  dyskusji  w  matematyce,  która  trwała  już  od 

kilkudziesięciu  lat  i  nie posługiwała się tym terminem explicite.

Okazuje  się  zatem,  że  platonizm już jest  obecny  wewnątrz  matematyki  i jest  warunkiem 

sine  qua  non  jej  uprawiania.  Przejawia  się  on  w  ścisłe  matematycznych  metodach 

badawczych jako  tzw.  platonizm jako metoda badania w matematyce.  Należą do nich  np.

a)  użycie  prawa  wyłączonego  środka  i  klasycznej  negacji  wraz  z  dowodzeniem  nie 

wprost,

b)  użycie definicji  niepredykatywnych,



c)  niekonstruktywność 

większości 

klasycznych 

działów 


matematyki 

(analiza, 

topologia, teoria mnogości, teoria modeli  itd.),

d)  tzw.  „spojrzenie z zewnątrz” na system,

e)  pozaformalne metody badania matematycznego,  itp.

6  W ten sposób o platonizmie pisał  np.  R.  Camap  umieszczając  go  w tzw.  „bazie  zewnętrznej  nauki” ; 

|x>r.  R.  Camap,  The Logicist Foundations o f Mathematics,  w:  [B.,  P.  1987]  s.  41-52.

Zob.  Z.  Król,  O platonizmie  w teorii  mnogości,  „Roczniki  Filozoficzne  KUL”  2003, 

t. LI,  z.  3, s.

225-252.


8  Por.  E.W.  Beth,  L ’existence  en  mathématiques,  Paris  1956  Gauthier-Villars;  tenże,  Mathematical 

Thought: An Introduction to  the Philosophy o f Mathematics,  Dordrecht  1965  Reidel.

9  P.  Bemays,  Sur le platonisme  dans  les  mathématiques,  “L’Enseignement  Mathématique” 1935,  v.

34, s.  52-69.

109


Filozofia przyrody - dzi

ś

 = Philosophy of nature today. Red. W.

Ł

ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.

http://rcin.org.pl/ifis




Metody  te  są  przejawem  traktowania  rzeczywistości  matematycznej,  przedmiotu  badań 

matematyka,  jako  istniejącej,  gotowej,  dobrze  określonej  i  ,już-tam -będącej” .  Można 

próbować  zrezygnować  z  niektórych  metod,  tak jak  to  robił  np.  L.E.J.  Brouwer,  ale  nie  da 

się  pozbyć  ich  całkowicie.  Intuicjonizm jest  tego  dobrym  przykładem.  Dokładny  opis  tego 

rodzaju  wewnętrznego  platonizmu  matematycznego  wymaga  wyróżnienia  dodatkowych 

jego  rodzajów:  platonizmu  hermeneutycznego,  nieźródłowego  platonizmu  ontologicznego, 

platonizmu  jako  istnienia  prawdy  w  matematyce,  platonizmu  jako  sposobu  istnienia 

nieskończoności, hermeneutycznego platonizmu epistemologicznego  itd .10

Analiza  platonizmu jako  metody  badania  w  matematyce,  czyli  analiza  wszelkich  ściśle 

matematycznych  przejawów,  gdzie jedynie  ostensywnie  zwracamy  się  do  niewytworzonej 

w żadnych  aktach  konstrukcji  „rzeczywistości”  matematycznej  i  gdzie  pojawia  się  ona jako 

coś  już  danego  i  zastanego  (np.  użycie  aksjomatu  wyboru  w  teorii  zbiorów;  por.  też 

wspomniane już  analizy  Wanga  argumentu  przekątniowego  Cantora) jest  bardzo  złożonym 

zagadnieniem.  Matematycy  uświadomili  sobie,  że  tzw.  matematyka  klasyczna  jest  w  tym 

właśnie  sensie  „platońska”  (tzn.  w  sensie  stosowanych,  np.  niekonstruktywnych  metod). 

Dlatego  rozpoczęto  analizę  tego  zjawiska,  rozważając  możliwość  ograniczenia  takiego 

platonizmu.  Dlatego  też powstały  analiza predykatywna  i  różne  kierunki  predykatywne,  np. 

predykatywizm  H.  Weyla,  intuicjonizm,  ultraintuicjonizm,  program  Hilberta,  formalizm  i 

program 

Principia 

Mathematica, 

różnego 


rodzaju 

konstruktywizmy, 

matematyka 

intensjonalna,  itd 11.

Z  drugiej  strony,  matematyka  korzysta  dalej  z  platońskich  metod  i  rozwija  się 

wzmacniając  coraz bardziej  pozycję platońską.  Dla przykładu  najbardziej  platońską teorią w 

sensie  stosowanych  metod  jest  teoria  kategorii,  która  przecież  używa  np.  antyplatońskich 

logik  intuicjonistycznych.  Platonizm  teorii  kategorii  dotyczy  głównie  tzw.  spojrzenia  z 

zewnątrz na system sformalizowany.  Przykładowo, opis zbioru w  kategorii  Set odbywa się z 

punktu  widzenia  „obserwatora  zewnętrznego” :  nie  odwołujemy  się  do  struktury 

wewnętrznej  zbioru  jako  do  całości  złożonej  z  elementów,  gdzie  w  opisie  kluczowa  jest 

relacja  „należenia  do  zbioru”,  lecz  traktujemy  zbiór jako  obiekt  nie  posiadający  struktury 

wewnętrznej  i  badamy  tylko jak  się  zachowuje  względem  innych  obiektów.  Można  w  ten 

sposób  opisać  obiekty,  które  nie  są  zbiorami,  nawet  w  sensie  tzw.  boolean  valued  sets. 

Teorię modeli  można  uprawiać w toposach, gdzie  uzyskujemy opis  sytuacji język/metajęzyk 

dowolnego rzędu.  Możliwe staje się pokazanie,  że niekoniecznie dla każdego „klasycznego”

10  Por.  Z.  Król, Platonizm matematyczny i hermeneutyka,  Warszawa 2006 Wyd.  IFiS  PAN.

11  Więcej  informacji  i  uzasadnienie  zob.  w Z.  Król,  Platonizm  matematyczny i hermeneutyka,  op.  cit. 

Tytułem jedynie  ilustracji  podam,  że antynomie  są powodowane przez odniesienie się  matematyka do 

pewnych  niepredykatywnych  całości.  System  Principia  Mathematica  powstał  m.  in.  jako  próba 

wyeliminowania  antynomii,  okazał  się  jednak  niepredykatywny  „w  innym  miejscu”  (ćksjomat 

redukowalności).  Matematycy zbadali,  ile z  klasycznej  matematyki  da  się  otrzymać bez posługiwania 

się  definicjami  niepredykatywnymi  i  szereg  innych  problemów  związanych  z  niepredykatywnością; 

por.  S.  Feferman,  Systems  o f predicative  analysis,  w:  J.  Hintikka  (red.),  Philosophy o f mathematics, 

London  1969  Oxford  Universtity  Press,  s.  95-127.  Zob.  także  H.  Weyl,  Der circulus  vitiosus  in  der 

heutigen  Begründung der Analysis,  „Jahresbericht  der  Deutschen  Mathematiker-Vereinigung“  1919, 

v.  28,  s.  85-92;  tenże,  Das  Kontinuum:  Kritische  Untersuchungen  über die  Grundlagen der Analysis, 

Leipzig  1918,  (reprint  1932).  H.  Wang  w  pracy  Survey  o f mathematica!  logie,  Amsterdam  1963 

North-Holland  (gł.  s.  35-56,  559-584)  pokazuje  jak  ontologiczny  problem  niepredykatywności 

wpływał  na tworzenie i rozwój  różnych  systemów matematycznych.

110


Filozofia przyrody - dzi

ś

 = Philosophy of nature today. Red. W.

Ł

ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.

http://rcin.org.pl/ifis




języka  możemy  rozważać  jako  „równocześnie”  dany  klasyczny  metajęzyk,  co  w  zasadzie 

przyjmujemy w klasycznej  teorii  modeli.

W  teorii  kategorii  „niewinne”  traktowanie  czegoś  jako  obiekt,  oznacza  opis  „z  punktu 

widzenia  zewnętrznego  obserwatora”,  co  formalnie  wyraża  się  przez  opis  w  metajęzyku. 

Dlatego  kategoria  „zawiera”  razem  z  obiektem  jego  „zewnętrzne  środowisko”  i  dlatego 

jed n a  kategoria  może  być  równocześnie  modelem  dla  języków   różnych  rzędów:  dla języka 

danego  rzędu  modelem jest  tylko jeden  obiekt  z  kategorii.  Wyjście  poza  system,  czyli  np. 

opis języka  przedmiotowego  w  metajęzyku  powoduje  pojawienie  się  nowego  obiektu.  Jest 

tu analogia z tym,  że zbiór jest nowym obiektem w stosunku do  swoich elementów.

Sytuacje te  związane  są z platonizmem,  gdyż umożliwiają pokazanie,  że matematyka nie 

redukuje  się  do jakiegoś  niezinterpretowanego języka.  Oprócz  formalnych języków   i  reguł 

zawsze  obiektywnie  i  koniecznie  pojawiają się  sytuacje,  gdzie  uprawianie  matematyki  musi 

odbywać 

się 


nieformalnie. 

tych 



niesformalizowanych 

„dziurach” 

następuje 

niekonstruktywne odniesienie się do czegoś, co ,ju ż  tam je st” .



2.  Platonizm współczesnego przyrodoznawstwa

Jaki  jest  związek  tak  opisanego  platonizmu  matematycznego  ze  współczesnym 

matematycznym przyrodoznawstwem?

W  rozwoju  nauki  można  wyodrębnić  tendencję  do  zauważania  i  uwzględniania  coraz 

większej  roli  podmiotowych  determinantów  poznania.  Dla  przykładu  przejście  od  fizyki 

Newtona  do  teorii  względności  Einsteina  można  interpretować  jako  uwzględnienie  roli  i 

równouprawnienia  obserwatorów  (=  układów  odniesienia).  Newton  postulując  wyróżniony 

układ  odniesienia  związany  ze  sferą  gwiazd  stałych,  spoczywających  względem  absolutnie 

niezmiennej  przestrzeni  -   areny,  pojemnika  dla  całości  zjawisk  -   uznał,  że  tak  określony 

układ  odniesienia  jest  niezależny  od  obserwatora.  Opis  świata  jest  tylko  jeden:  w 

wyróżnionym  układzie  odniesienia.  Einstein  pokazał,  że  przyjęcie  takiego  układu  prowadzi 

do  trudności.  Zaproponował  opis  zrelatywizowany  do  obserwatora.  Żaden  obserwator  nie 

znajduje  się  w  uprzywilejowanej  pozycji.  Poprzez  odwołanie  się  do  prostych  czynności 

pomiarowo  badawczych  możliwych  do  wykonania  przez  każdego  obserwatora  (pomiar 

czasu  i  odległości)  ustalił,  że  prawem  przyrody  jest  tylko  to,  co  jest  jednakowe  we 

wszystkich  układach  odniesienia  i  co jest  niezależne  od  specyficznych,  lokalnych  własności 

układu  odniesienia.  Ten,  pierwotnie  ograniczony do  obserwatorów  w  inercjalnych  układach 

odniesienia  opis,  Einstein  uogólnił  (poprzez  zasadę  równoważności)  dla  dowolnego 

obserwatora:  powstała ogólna teoria względności  (grawitacji).

M atem atycy12  dostrzegają  analogię  pomiędzy  teorią  względności  a  matematyką 

współczesną.  Z  jednej  strony  rozwój  teorii  kategorii  skłania  do  rezygnacji  z  jednego 

globalnego  teoriomnogościowego  środowiska,  areny  dla  uprawiania  całej  matematyki,  i 

zastąpienia  go  przez  szereg  lokalnych  kategorialnych  struktur.  Z  drugiej  strony  nastąpiła 

relatywizacja 

struktur 

matematycznych 

związanie 



ich 

opisem 



ściśle 


wyszczególnionym  języku  o  dokładnie  określonej  mocy  wyrażeniowej.  Praktyczne 

ograniczenia  w  formalizacji  podstawowych  teorii  matematycznych  pokazują  relatywizację 

używanych  pojęć  matematycznych,  np.  zbioru,  liczby  kardynalnej,  względem  mocy

12  Np.  F.  W.  Lawver i  J.  L.  Bell;  por.  np. J.  L  Bell, From Absolute to Local Mathematics, “Synthese” 

1986, v.  69,  s. 409-426.

111


Filozofia przyrody - dzi

ś

 = Philosophy of nature today. Red. W.

Ł

ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.

http://rcin.org.pl/ifis




wyrażania języka i  modelu.  Struktury przerastają język,  a język jednoznacznie  nie wyznacza 

struktury,  do  której  się  odnosi.  Nie  da  się  też  zrezygnować  z języka,  gdyż  to  właśnie  dzięki 

jego  analizie  odkryto  szereg  niezwykłych  struktur  matematycznych,  np.  niestandardowe 

modele  arytmetyki.  Opis  obiektu, jego  „wygląd”  zależy  od  „układu  odniesienia” jakim  jest 

język.  Przykładowo  opis  liczb  naturalnych jest  inny  w  arytmetyce  elementarnej  pierwszego 

rzędu  czy  np.  w  mocnej  arytmetyce  liczb  drugiego  rzędu.  W  obydwu  jednak  wypadkach 

pojawiają się nieformalne,  intuicyjne odniesienia do  przedmiotu  badań13.

W spółczesnym  teoriom  matematycznym  towarzyszy  wyróżnienie  typu  języka  i  ścisły, 

sformalizowany  opis  języka  w  jakim   dana  teoria  jest  formułowana.  „Pozaludzka” 

matematyka  nie  potrzebuje  języka.  Większość  najciekawszych  osiągnięć  matematyki 

współczesnej  można  interpretować jako  pokazujące  różne  ograniczenia  w  posługiwaniu  się 

językami  sformalizowanymi  o  różnej  mocy  (teoria  modeli,  kategorialne  waluacje języków 

w toposach,  metalogika,  forcing i  independents results).

Tymczasem  fizyka  rozwija  się  często  bez  uwzględniania  teoriomodelowych  ograniczeń. 

Platonizm  fizyki  współczesnej  polega  na  -   pozornie  „beztroskim”  -   używaniu 

matematycznych  struktur  tak,  jakby  były  one  dobrze  określone  bez  języka.  Na  przykład 

fizyk  mówi:  „weźmy  zbiór  liczb  naturalnych  N...”  czy  „niech  będzie  dane  ciągłe  widmo 

obserwabli” .  Wskutek  tego  musi  np.  następować  „mieszanie”  i  utożsamianie  pewnych 

standardowych  i  niestandardowych  struktur.  Nasze  traktowanie,  na przykład  aksjomatyzacji 

liczb  naturalnych  Peano jako  opisującej  jedynie  standardowy  model  liczb  naturalnych jest 

nieuzasadnione.  W  rzeczywistości  nie znamy  sposobu,  aby tylko  formalnie wyróżnić  model 

standardowy.

Mechanika  kwantowa  „bierze”  pewne  struktury  i  używa  ich  tak,  jakby  opisujące  je 

wyrażenia  mówiły jednoznacznie,  z  dokładnością  do  izomorfizmu  (kategorycznie)  tylko  o 

jednej  strukturze.  Oznacza  to  właśnie  pewien  „platonizm”  w  sensie  metody badania: jedyna 

struktura  nie  jest  przecież  formalnie  wyróżniona  jako  jedyna,  więc  możliwość  jej 

wyróżnienia  pochodzi  z  pozaformalnego  odniesienia  się  badacza  do  tej  struktury jako „już- 

tam-będącej”,  gotowej  i dobrze określonej  bez języka oraz konstrukcji.  Platonizm  tego typu, 

jeśli  jest  lekceważony,  bagatelizowany  lub  uznawany  za  nieistotny  jest  poważną  wadą, 

wręcz  defektem.  Fakt,  że  same  teorie  fizyczne  nie  uwzględniające  tego  faktu,  tak  dobrze 

opisują świat, jest  właśnie problemem zdumiewającej  matematyczności  świata.

Istotniejsza  od  zauważenia  platonizmu  w  fizyce  jest  możliwość  i  konieczność 

uwzględnienia  konsekwencji  tego  faktu  w  fizyce.  Oznacza  to  uwzględnienie  np. 

teoriomodelowych 

własności 

sformalizowanych 

opisów 

struktur 



matematycznych. 

Teoriomodelowe  podejście  do  zagadnień  mechaniki  kwantowej  jest  już  faktem14. 

Przykładowo: 

niemożliwość 

zastosowania 

teoriomodelowej 

metody 

forcingu 



w

13  Znakomitą  analizę  sytuacji,  o  której  piszę  zawiera  praca  J.  Vaananen,  Second-Order  Logic  and 



Foundations  o f Mathematics,  “The  Bulletin  of Symbolic  Logic”  2001,  v.  7(4)  s.  504-520.  Okazuje 

się,  że  ceną  za  kategoryczność  modelową  logiki  (Henkina)  drugiego  rzędu  jest  pewna 

nieformalizowalność.

14 Zob.  np. prace P.  Benioffa,  G.  Takeutiego ( Two Applications o f  Logic to  Mathematics, publications 

of the  Math.  Soc.  of  Japan  13,  Iwanami  and  Princeton  University  Press,  Tokyo-Princeton  978). 

Przegląd  zagadnień,  literaturę  przedmiotu  i  nowatorskie  rezultaty  zawiera  praca  J.  Króla,  Model- 



Theoretical  Approach  to  Quantum  Gravity  (doctoral  thesis),  Institute  of  Physics,  Universty  of 

Silesia,  Katowice 2005.

112

Filozofia przyrody - dzi

ś

 = Philosophy of nature today. Red. W.

Ł

ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.

http://rcin.org.pl/ifis




kwantowaniu  grawitacji  może  być  przezwyciężona  poprzez  uwzględnienie  formalnej 

nieodróżnialności  standardowych  i  niestandardowych  liczb naturalnych15.

Tak  więc,  uświadomienie  sobie  pewnego  platonizmu  w  fizyce  (czyli  pewnego  sposobu 

traktowania  struktur  matematycznych  jako  „gotowych  i  obecnych”)  tak ja k   w  przypadku 

uwzględnienia przez teorie względności  (ogólną  i  szczególną)  „platońskości”  wyróżnionego 

układu  odniesienia,  może  pomóc  w  stworzeniu  teorii  kwantowej  grawitacji.  Różne 

interpretacje  mechaniki  kwantowej, jej  „możliwe  światy”,  intuicyjnie  wskazują  na  analogię 

z teoriomodelowymi,  możliwymi  światami  dyskursu matematycznego.

Uświadomienie 

sobie  przez 

matematyków  platonizmu  jako 

metody  badania 

matematycznego  doprowadziło  do  powstania  intuicjonizmu  i  w  efekcie  przyczyniło  się  do 

rozwoju  np.  teorii  toposów.  Rosnąca rola teorii  toposów  w  rozważaniach  fizyków  wskazuje 

także  na  konieczność  uwzględnienia  platonizmu  teorii  fizycznych.  Aktualny  rozwój  fizyki 

potwierdza tę  tezę.

Zauważenie  opisanego  platonizmu  w  sensie  metody  badania  pozwala  dojrzeć  pewną 

logikę  rozwoju  teorii  fizycznych.  Nie  chodzi  tu  o  postulowanie  „realnego”  istnienia jakichś 

struktur  i  przedmiotów  matematycznych  i  dopatrywanie  się  logiki  rozwoju  tych  teorii  w 

coraz  to  lepszym  dostosowaniu  „matematyki  ludzkiej”  do  Matematyki  świata.  Matematyka 

przez  duże  „M ”  to  powrót  do  wyróżnionego  układu  odniesienia  i  uprzywilejowanego 

obserwatora.  Aby  zrozumieć  ograniczenia  pewnych  teorii  fizycznych  trzeba  wyraźnie 

opisać,  co  jest  w  nich  milcząco  zakładane.  Tak  zwana  „idealizacja”  nie  jest  głównym 

powodem  ograniczonej  poprawności  teorii  zastosowanych  do  opisu  realnego  świata,  lecz 

absolutnie  rozstrzygające  i  nadające  kierunek  dalszym  ujęciom  ukryte  przedzałożenia, 

związane  z opisem  świata w kategoriach  traktowanych jako  a  priori  absolutne  i  nie  zależące 

od  podmiotu.  Obiektywność  osiąga  się  nie  wtedy,  gdy  postulujemy  realne  istnienie jakichś 

obiektów,  lecz  gdy  uwzględniamy  ograniczoność  naszej  wiedzy  i  stosowanej  aparatury 

pojęciowej.

W spółczesne  przyrodoznawstwo  potrzebuje  pewnej  -  wewnętrznej  -  filozofii  przyrody. 

Wszak  poszukujemy  przede  wszystkim zrozumienia.  Praktyczna  użyteczność  i  doskonałość 

przewidywań  są  ubocznym  skutkiem  poszukiwania  zrozumienia.  Wielość  alternatywnych 

teorii,  kwantowomechaniczne  paradoksy,  postulatywny  charakter  mechaniki  kwantowej 

etc.,  nie  są  końcowym  stadium  naszej  wiedzy  lecz  obiektywnym  problemem  domagającym 

się  wyjaśnienia.  Anything  goes  niczego  nie  tłumaczy  i  byłoby jedynym   wytłumaczeniem, 

gdyby  nie  można  było  ustalić  i  pojąć  dlaczego  np.  mechanika  Newtona  jest  użyteczna  i 

konieczna  do  zrozumienia  mechaniki  kwantowej.  Tak  samo  geometria  euklidesowa  nie jest 

jedynie  teorią,  która została odrzucona.

W  wyjaśnianiu  przejścia  pomiędzy  „starymi”,  a  „nowymi”  teoriami  pojawia  się 

zrozumienie  przyrody  i  rzeczywistości.  Elementem  koniecznym  do  opisu  i  rozważenia jest 

tu  platonizm  matematycznego  przyrodoznawstwa.  Platonizm  ten  jest  ściśle  związany  ze 

sposobem  myślenia  Einsteina  i  uwzględnienie  tego  platonizmu  stanowi  uogólnienie  idei 

względności.  Na  przykład,  badania  Takeutiego  pozwalające,  dzięki  zastosowaniu

15  Por.  tzw.  Main  Hypo  w  pracach:  J.  Król,  Background  independence  in  quantum  gravity  and 



forcing constructions, “Foundations of  Physisc” 2004,  v.  34(3), s.  361-403;  tenże,  Exotic smoothness 

and noncommutative spaces.  The model-theoretic aproach,  “Foundations o f  Physics”  2004,  34(5),  s. 

843-869.


113

Filozofia przyrody - dzi

ś

 = Philosophy of nature today. Red. W.

Ł

ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.

http://rcin.org.pl/ifis




teoriomnogościowego  forcingu,  na  pokazanie,  że  pewne  struktury  matematyczne  nie  są 

globalnie  określone  dla  wszystkich  obserwatorów  -   pewna  zupełna  algebra  boolowska 

samosprzężonych  operatorów  w  przestrzeni  Hilberta  stanowi  odpowiednik  dla  układu 

inercjalnego  w  OTW  i  STW,  co  pozwala  sformułować  zasadę  względności  dla  QM  i 

wytłumaczyć  szereg paradoksów, np.  EPR,  „kota Schródingera” etc.16

Pewne  struktury  matematyczne  „zależą  od  układu  odniesienia” .  Należy  więc  rozważać 

jakimi  środkami  wyrazu  matematycznego  dysponuje  obserwator,  zarówno  w języku jak  i  w 

metajęzyku.  Lokalność  danej  struktury  nie  zależy  od  naszej  woli.  Rozwój  teorii  fizycznych 

jest  związany  z  „tropieniem”  opisanego  platonizmu  i  jego  ograniczaniem.  Niemożliwość 

wyeliminowania  platonizmu  matematycznego  musi  zostać  uwzględniona  w  opisie 

naukowym  świata.  Filozoficzne  rozważania  nad  platonizmem  okazują  się  -   do  pewnego 

stopnia -  empirycznie testowalne,  a obecny  stan  badań wskazuje na konieczność  ujęcia tego 

zjawiska w ramach opisanej  przez Heideggera w  Sein und Zeit struktury „bycia-w-świecie”.

16  Por.  np.  M.  Davies,  A  Relativity  Principle  in  Quantum  Mechanics,  “International  Journal  of 

Theoretical  Physics”  1977, v.  16(11),  s.  867-874.

114


Filozofia przyrody - dzi

ś

 = Philosophy of nature today. Red. W.

Ł

ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.

http://rcin.org.pl/ifis





Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə