Qattiq jismning harakat kinematikasi va dinamikasi nazorat savollari

Asosiy formulalar 
Burchak tezlik
𝜔
⃗⃗ =

𝑑𝜑
⃗

𝑑𝑡 

Aylana bo‘ylab tekis harakatning burchak tezligi 

2
2 v


t

T











bu yerda


- burilish burchagi; t  – biror burchakka burilish uchun ketgan 

vaqt; Т - aylanish davri; v  – aylanish chastotasi.

Burchak tazlanish 
.

d

dt





Aylanma harakatning kinematik tenglamasi
𝜑 = 𝜑
0

+ 𝜔𝑡 

bu yerda
0


- boshlang’ich burchak ko‘chish; t  - vaqt.

Aylana bo‘ylab tekis o‘zgaruvchan harakatning burilish burchagi va 
burchak tezligi
𝜑 = 2𝜋𝑁 = 𝜔
0
𝑡 +

𝜀𝑡
2

2

𝜔 = 𝜔
0

± 𝜀𝑡

bu yerda N - aylanishlar soni;

0


- boshlang’ich burchak tezlik.

Burchak va chiziqli kattaliklar orasidagi bog'lanish: 
𝑆 = 𝑅𝜑, 𝜗 = 𝑅𝜔, 𝑎
𝑡
= 𝑅𝜀, 𝑎

𝑛
= 𝜔

2
𝑅 
bu yerda

- burilish burchagi, 


- burchak tezlik, 


- burchak tezlanish. 

Moddiy nuqta inertsiya momenti

𝑱 = 𝒎𝒓

𝟐
bu yerda т - nuqtaning massasi; r – nuqtadan aylanish o‘qigacha 

bo‘lgan masofa.

Jismning inertsiya momenti

---

2
1

n


i i

i

J

m r




bu yerda 

r
- m


i
massali i – moddiy nuqtadan aylanish o‘qigacha bo‘lgan 
masofa.


Quyida ayrim bir jinsli jismlarning inertsiya momentlari 


keltirilgan: 

№ Jism 

Aylanish o‘qi 

Inertsiya momenti 

J 
1.

R
radiusli 

g’ovak
yupqa devorli silindr 
yoki yupqa halqa
Simmetriya o‘qi 
2

mR 
2.

G’ovak qalin devorli

silindr
Simmetriya o‘qi
1
2

𝑚(𝑅
1

2

+ 𝑅
2

2

)
3.

R radiusli silindr yoki
disk

Simmetriya o‘qi

2
1

2

mR

4. 

R radiusli silindr yoki

disk

Diametrga parallel

simmetriya o‘qi 
2
1

4

mR
5. 


l uzunlikdagi ingichka
sterjen

Sterjenga tik bo‘lib,

uning

o‘rtasidan

o‘tgan o‘q 
2
1

12

ml
6. 


l uzunlikdagi ingichka
sterjen

Sterjenga tik bo‘lib,

uning

chetidan

o‘tgan o‘q
2
1

3

ml
7. 

Tomonlari a va b 

bo‘lgan

bir
jinsli

plastinka
Plastinkaga 
tik
bo‘lib,

uning
markazidan o‘tgan 

o‘q
2

2

1
(
)

12

m a

b


8.

R radiusli shar
Shar 

markazidan

o‘tgan o‘q 
2
2

5

mR 
9.

R radiusli sfera

Sfera

markazidan

o‘tgan o‘q 
2
2

3

mR

Shteyner teoremasi

---

J= J

C
+ та


2

bu yerda J

C 
– massalar markazidan o‘tgan o‘qqa nisbatan inertsiya 
momenti; J - massalar markazidan o‘tgan o‘qqa parallel bo‘lib, undan a
masofadagi o‘qqa nisbatan inertsiya momenti; т – jism massasi. 
Jismning aylanma harakat kinetik energiyasi
𝑻
𝒂𝒚𝒍

=
𝟏

𝟐

𝑱
𝒛

𝝎

𝟐
bu yerda 

𝐉
𝐳

- jismning Z o‘qqa nisbatan inertsiya moment; 

ω-jismning

burchak tezligi. 
Tekislikda sirpanishsiz dumalayotgan jismning kinetik energiyasi
𝑻 =

𝟏
𝟐

𝒎𝝑

𝒎
𝟐

+

𝟏
𝟐

𝑱

𝒎
𝝎

𝟐

bu yerda т - jism massasi; 

𝝑
𝒎

– jismning massalar markazini tezligi; J

m
-
jismni massalar markazidan o‘tgan o‘qqa nisbatan inertsiya momenti; 


- jismning burchak tezligi. 

Jismni qo‘zg’almas nuqtaga nisbatan kuch momenti
𝑴
⃗⃗⃗ = [𝒓⃗ 𝑭

⃗⃗ ]
bu yerda

𝐫
⃗⃗ - qo‘zg’almas nuqtadan 𝑭
⃗⃗ kuch qo‘yilgan nuqtaga o‘tkazilgan
radius-vektor. 
Kuch momenti vektorining moduli
𝑴 = 𝑭𝒍

bu yerda l – kuch yelkasi.

Jismni aylanishida bajarilgan ish 
𝒅𝑨 = 𝑴
𝒛

𝒅𝝋 

bu yerda

d

- jismni burilish burchagi; 

𝑴
𝒛

- qo‘zg’almas Z o‘qqa 

nisbatan kuch momenti.

Jismning qo‘zg’almas nuqtaga nisbatan impuls momenti 

---

𝑳
⃗⃗ = [𝒓⃗ 𝒑

⃗⃗ ] = [𝒓
⃗ 𝒎𝝑

⃗⃗ ]
bu yerda 

𝐩
⃗⃗ = 𝐦𝝑

⃗⃗ - moddiy nuqtani impulsi; 𝑳⃗⃗ - jismni qo‘zg’almas

nuqtaga nisbatan impuls moment. 
Impuls momenti vektorining moduli
𝑳 = 𝒓𝒑𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝒎𝝑𝒓𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝒑𝒍 
bu yerda α - r va р vektorlar orasidagi burchak; l - р vektorni
nuqtaga nisbatan yelkasi. 
Qattiq jismni aylanish o‘qiga nisbatan impuls momenti
𝑳
𝒛

= ∑ 𝒎
𝒊

𝝑

𝒊
𝒓

𝒊

= 𝑱
𝒛

𝝎

𝒏
𝒊=𝟏

bu yerda 

r
- Z o‘qidan jismni qaralayotgan zarrasigacha bo‘lgan masofa; 
𝒎
𝒊

𝝑

𝒊
- ushbu zarraning impulsi; J


z
- jismni Z o‘qqa nisbatan inertsiya 
momenti;
ω - burchak tezlik.
Qo‘zg’almas o‘qqa nisbatan qattiq jism aylanma harakat 

dinamikasining asosiy tenglamasi

z

z

z

d

M

J

J

dt









bu yerda 


- burchak tezlanish; J

z
- jismni Z o‘qqa nisbatan inertsiya 
momenti,
Yopiq sistema uchun impuls momentini saqlanish qonuni 
𝑳
⃗⃗ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕, 𝑱

𝒛
𝝎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 

bu yerda J

z
- jismni Z o‘qqa nisbatan inertsiya momenti;

- uning 

burchak tezligi.

---

Masala yechish namunalari 

1 - masala 
Radiusi R = 0,1 м bo‘lgan g’ildirak shunday aylanadiki, g’ildirak 
radiusining burilish burchagi bilan vaqt orasidagi bog’lanish

φ=А+Bt+Ct

3
tenglama orqali berilgan, bunda В=2 rad/s va С=1 rad/s


2
.
Harakat boshlangandan t = 2 s o‘tgach, g’ildirak gardishidagi nuqtalar 

uchun quyidagi kattaliklar: а)burchak tezlik ω; b)chiziqli tazlik

𝜗;

v)burchak tezlanish ɛ; g) tangensial а

τ
va normal а


n
tezlanishlar topilsin. 


Yechish: 
а) G’ildirakni aylanish burchak tezligi
ω =
𝑑𝜑

𝑑𝑡

= 𝐵 + 3𝐶𝑡
2
; 𝜔 = 2 + 3 ∙ 4 = 14рад/с.

b) Chiziqli tezligi

𝜗= ω•R ; 𝜗= 14 • 0,1 = 1,4 м/с. 
v) Burchak tezlanishi ɛ =
𝑑𝜔

𝑑𝑡

= 6Ct; ɛ = 12 рад/с

2

.
g) Normal tezlanishi а


n

= ω

2

R ; а

n 

= 14

2

• 0,1 = 19,6 м/с

2
.

Tangensial tezlanishi а

τ

= ɛR; а

τ

= 12 • 0,1 = 1,2 м/с

2

.

2 - masala
Tekis tezlanish bilan aylanayotgan g’ildirak harakat boshidan N=10 
marta aylangandan keyin ω = 20 rad/s burchak tezlikka erishsa, uning
burchak tezlanishi ɛ topilsin. 


Yechish: 
G’ildirakni harakat tenglamasi φ = ω


о

t + 
ɛ∙𝑡

2
2

, 𝜔 = 𝜔

𝑜
+ ɛ𝑡 .

Masala shartiga ko‘ra
𝜔
𝑜 


= 0. Unda φ = 
ɛ∙𝑡

2
2

(1) ;

ω = ɛt (2)

---

ɛ ni (1) tenglamadan ifodasini topib, hamda φ = 2πN ekanligini

hisobga olsak 


ɛ = 4𝜋𝑁/𝑡
2
— (3). 

ni olamiz. (2) tenglamadan t = 

𝜔
ɛ

va uni (3) ga qo‘ysak

ɛ =
𝜔
2

4𝜋𝑁
ni olamiz, bundan ɛ = 3,2 рад/с

2

qiymatni olamiz.

ɛ > 0 ekanligini hisobga olsak 
ɛ ning yo‘nalishi 𝜔
⃗⃗ vektorning yo‘nalishi 
bilan mos tushadi.

3 - masala
Ipga bog’langan tosh vertical tekislikda tekis aylantirilmoqda. Agar 
ipning maksimal va minimal taranglik kuchlarining farqi
∆Т = 10 N ga 
tengligi ma’lum bo‘lsa, toshning massasi m topilsin.

Yechish:
Nyutonning ikkinchi qonuniga asosan(24-
rasm) yo‘qorigi va pastki nuqtalar uchun mos
ravishda: 
𝑚𝑔 + 𝑇𝑚𝑖𝑛 = 𝑚 а𝑛 (1)
𝑚𝑔 − 𝑇𝑚𝑎𝑥 = −𝑚 а𝑛 (2)
bo‘ladi. (1) va (2) larni qo‘shib quyidagini
olamiz:

2mg - 
∆Т = 0; 2mg = ∆Т , 
bundan m = 
∆𝑇
2𝑔

; m ≈ 0,5 kg.

24-rasm. 
4 - masala
Inertsiya moment J = 63,6 kg∙m


2
ga teng bo‘lgan maxovik ω = 31,4 


rad/s o‘zgarmas burchak tezlik bilan aylanmoqda. Maxovik tormozlovchi
moment ta’sirida t = 20 s dan keyin to‘xtasa, tormozlovchi M moment 
topilsin.

---

Yechish: 
Tormozlovchi kuch momenti M = Jɛ, bu yerda burchak tezlanish ɛ =
𝜔

𝑡

,
aylanishni tekis sekunlanuvchanligini hisobga olsak oxirgi burchak tezlik 


ω = 0 va bunda

M =
𝐽𝜔
𝑡


; М ≈100 N. 

5 – masala 
Massalari m


1

=2 kg va m

2 

= 1 kg bo‘lgan ikkita tosh ip bilan
tutashtirilgan va massasi m = 1 kg bo‘lgan blokka osilgan (25-rasm). 
Toshlar harakatini tezlanishi а, toshlar osilgan iplarning T
1
va Т

2
taranglik 

kuchlari topilsin. Blok bir jinsli disk deb hisoblansin. Ishqalanish hisobga
olinmasin. 


Yechish: Birinchi va ikkinchi yuklarni
ilgarilanma harakat tenglamalarini vektor 
ko‘rinishdagi ifodasini yozamiz:

m

1
𝑎 = m


1
g⃗ + Т
⃗⃗

1

m

2
𝑎 = Т
⃗⃗

2 

+ m

2
g⃗
va diskni aylanma harakat tenglamasi.
25-rasm. 


J∙
ɛ = М
1
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀

2
⃗⃗⃗⃗⃗ , bu yerda М

1
– ipning taranglik kuchi Т


1
ni momenti, М


2
–
ipning taranglik kuchi Т


2
ni momenti.Yo‘qaridagi ikki tenglamani х 
o‘qiga proeksilarini olamiz, keyingisini у o‘qiga ham proyeksiyasini
olamiz va kinematik bog’lanosh tenglamasini qo‘shamiz. Natijada 4 ta 
tenglamalar sistemasini olamiz:

m

1

a = m

1

g – Т

1

(1) Jɛ = RT

1 

– RT

2

(3)

-m

2

a = m

2

g – T

2

(2) a = ɛR. (4)

(4) ni (3)ga qo‘yamiz: J
𝑎

𝑅

= R(T

1

– Т

2

) (5). (2) ni (1) dan ayiramiz va
olingan ifodani (5) ga qo‘yamiz va quyidagini topamiz:

---

а = 
(𝑚
1

− 𝑚
2

)𝑔

𝑚
1

+ 𝑚

2
+𝑚/2

= 2,8 m/s

2
(6). Bu (6) ifodani (1) va (2) ga qo‘yib 
quyidagilarni olamiz:

Т

1 

= m

1

(g - а); Т

1 

= 14N. Т

2

= m

2

(g + а); Т

2

= 12,6 N. 

6-masala 
Gorizontal o‘qqa radiusi R bo‘lgan shkiv o‘rnatilgan. Shkivga shnur 
o‘tkazilgan bo‘lib, uning bo‘sh uchiga m

1 

= 2 kg massali tosh osilgan. M

2

= 10 kg shkiv massasining gardish bo‘ylab tekis taqsimlangan deb
hisoblab toshni tushish tezlanishi


a
ni, shnurning taranglik kuchi T ni va
shkivning o‘qqa ko‘rsatadigan bosim kuchi N ni aniqlang?

Yechish: 
Shkiv inertsiya markazining tezlanishi 
𝑎
0

= 0 bo‘lgani va shkiv faqat 

aylanayotgani sababli harakat tenglamalari quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

а) F

i

= 0. b) M

i

= Iβ. (1)
Shkivga og‘irlik kuchi mg, shnurning taranglik kuchi T va uning reaksiya 
kuchi N ta’sir etadi. O‘qning reaksiya kuchi N son jihatdan shkivni o‘qqa
ko‘rsatayotgan bosim kuchiga teng (Nyutonning uchinchi qonuniga 
binoan). N kuch vertikal ravishda yuqoriga yo‘nalgan, chunki faqat shu
holdagina (1) tenglik bajarilishi mumkin. Skalar ko‘rinishda u 
quyidagicha yoziladi: mg+T-N=0.(2) Shkivni aylantiruvchi taranglik
kuchning momenti M = T∙R formula yordamida aniqlanishi mumkin 
bo‘lgani uchun, (1b) tenglik quyidagi ko‘rinishga keladi (bunda R = kuch
yelkasi)
𝑇𝑅 = 𝐼𝛽 (3)
Massasi gardish bo‘ylab taqsimlangan shkivni inertsiya momenti 
𝐼 = 𝑚𝑅
2

(4) 

formula bilan aniqlangan.

---

Tushayotgan tosh uchun ham Nyutonning ikkinchi qonunini skalyar

ko‘rinishda qo‘llaymiz:
𝑚
1

g − 𝑇 = 𝑚

1
𝑎 (5) 

Toshning tezlanishi shkiv gardishidagi nuqtalarning chiziqli tezlanishiga
teng bo‘lgani sababli
𝛽 =
𝑎

𝑅

(6)
teng bo‘ladi. (2), (3), (5) tenglamalarga (4) va (6) ni qo‘yib sistema hosil 
qilamiz:
{
𝑚 · g + T − N = 0

𝑚
1

· g − 𝑇 = 𝑚

1
· 𝑎

𝑇 · 𝑅 = 𝑚𝑅
2
·

𝑎
𝑅

Buni yechib, noma’lum kattaliklarni topamiz:

𝑎 =

𝑚
1

𝑚

1
+𝑚

g = 1,67 

𝑚
𝑠

2

; 𝑇 =
𝑚𝑚

1

𝑚
1

+𝑚

g = 16,67 N; 𝑁 =

𝑚(𝑚+2𝑚

1
)

𝑚·𝑚

1
g = 116 N 

7 – masala 
Inertsiya moment J = 0,1 kg m


2
ga teng bo‘lgan, R = 20 cm radiusli 
barabanga ip o‘ralib, uning uchiga m

1

= 0,5 kg yuk osilgan. m
1
massali 

yuk baraban aylanguncha poldan h

o

= 1 m balandlikda bo‘lgan. Qancha t
vaqtdan keyin yuk polga tushadi? Yuk polga urilgandagi kinetic 
energiyasi W

K
va ipning taranglik kuchi T topilsin. Ishqalanish hisobga 
olinmasin.

Yechish:Yukni
tushishuda 
uning
potensial 

energiyasi ilgarilanma harakat kinetik energiyasi

va aylanma harakat kinetik energiyasiga aylanadi: 


mgh
o
= 

𝑚𝜗
2

2

+
𝐽𝜔

2

2
(1) , bu yerda ω = 

𝜗
𝑅

,

bundan mgh
o
= 

𝑚𝜗
2

2

+
𝐽𝜗

2

2𝑅
2

=

𝑅
2

𝜗

2
𝑚 +𝐽𝜗

2
2𝑅
2

yoki

mgh
o
= 

𝜗
2

(𝑚𝑅
2

+𝐽)

2𝑅
2

; v = 

√
2𝑅

2

𝑚gh
o

(𝑚𝑅

2
+𝐽)

(2)

26-rasm. 

---

Harakat tekis tezlanuvchan harakatdan iborat, shuning uchun

h
o
= 

𝑎𝑡
2

2

(3) a = ɛR ; ɛ =

𝜔
𝑡

; h

o
= 

𝜔𝑅𝑡
2

2𝑡

=
𝜗𝑅𝑡

2𝑅
=

𝜗𝑡
2

(4). 

t ni (4) dan ifodasini topamiz va (2) ga qo‘yamiz:

t = 
2ℎ
𝑜

𝜗
= √

4ℎ
𝑜

(𝑚𝑅
2

+𝐽)

2𝑅
2

𝑚𝑔ℎ

𝑜

= 

√
2(𝑚𝑅

2
+𝐽)

𝑅
2
𝑚𝑔


; t = 1,1 s.
Kinetik energiya W


k

= 
𝑚𝜗
2

2
, buni (2) tenglamaga qo‘yib, quyidagini 

olamiz:
W
k

=
𝑚2𝑅

2
𝑚gh

o
2(𝑚𝑅

2
+𝐽)

=
𝑅

2

𝑚
2

gh

o
𝑚𝑅

2

+𝐽
; W

K
= 0,82 J. 
Nyutonning ikkinchi qonuniga asosan mg–T=ma, bundan T=m(g - a). (3)
dan: a = 
2ℎ
𝑜

𝑡

2
, bundan T = m(g - 2h


о

/t

2

); Т = 4,1 N.

8 – masala 

m = 1 kg massali blok stolning qirrasiga mahkamlangan(27-rasm).
Massalari m
1
= m

2
= 1 kg bo‘lgan toshlar ip bilan tutashtirilgan va blokka 

osilgan. Stol ustidagi yukni stolga ishqalanish koeffisienti μ = 0,1 ga teng.
Blok bir jinsli disk deb hisoblansin. Blokdagi ishqalanish hisobga 
olinmasin. Yuklar harakatining tezlanishi а, iplarning T

1
va Т


2
taranglik 
kuchlari topilsin.

Yechish: Nyutonning ikkinchi qonunini х va

у o‘qlariga proyeksiyalarini yozamiz:

m

1

a = m

1

g – Т

1
(1)


m

2

a = T

2

– F

тр
(2)
bunda F

t

= μm

2

g (3).

(Т

1

-Т

2

) kuchlar farqi aylantiruvchi kuch
momentini hosil qiladi: 
27-rasm. 

---

(Т

1

-Т

2

)R =
𝐽𝑎
𝑅

, bu yerda J = 

𝑚𝑅
2

2
, bundan Т

1

-T

2

= 
𝑚𝑎
2

(4).
(1) — (3) tenglamalardan

Т

1 

= m

1

(g - а); (5); Т

2

= m

2

(a + μg) (6) larni olamiz.
Aytaylik m
1
= m

2
= m' bo‘lsin. 

Unda Т

1

- T

2

= m'(g -2а - μg) = m'g(1 - μ) - 2m'а , bularni (1) ga qo‘yib

mg(1 - μ) =
𝑚𝑎
2

+ 2m'а =

𝑎(𝑚 +4𝑚

′
)

2

ni olamiz.

Bundan а =
2𝑚′𝑔(1 − 𝜇)
𝑚 +4𝑚

′
; а = 3,5 m/s

2

.
Unda (5) tenglamadan Т


1

=6,3 N; Т

2

=4,5 N.

---