Reja: Funksiya hosilasining ta’rifi

Hosila
Reja:

1. 
   Funksiya hosilasining ta’rifi.
   
2. 
   Hosilaga ega bo‘lgan funksiyaning uzluksizligi
   
3. 
   Bir tomonli hosilalar
   
4. 
   Cheksiz hosilalar.
   

Aytaylik f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin. Bu intervalga tegishli x₀ nuqta olib, unga shunday x orttirma beraylikki, x₀+x(a,b) bo‘lsin. Natijada f(x) funksiya ham x₀ nuqtada y=f(x₀+x)- f(x₀) orttirmaga ega bo‘ladi.

Ta’rif. Agar x0 da nisbatning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi deyiladi va f’(x₀), yoki y’(x₀), yoki orqali, ba’zan esa yoki kabi belgilanadi.
Bu holda funksiya x₀ nuqtada hosilaga ega deb ham aytiladi.
Demak,
.
Bunda x₀+x=x deb olaylik. U holda x=x-x₀ va x0 bo‘lib, natijada

bo‘ladi. Demak, f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi xx₀ da nisbatning limiti sifatida ham ta’riflanishi mumkin:

Yuqoridagi limit mavjud bo‘lgan har bir x₀ ga aniq bitta son mos keladi, demak f’(x) - bu yangi funksiya bo‘lib, u yuqoridagi limit mavjud bo‘lgan barcha x nuqtalarda aniqlangan. Bu funksiya f(x) funksiyaning hosila funksiyasi, odatda, hosilasi deb yuritiladi.
Endi hosila ta’rifidan foydalanib, y=f(x) funksiya hosilasini topishning quyidagi algoritmini berish mumkin:
1⁰. Argumentning tayinlangan x qiymatiga mos funksiyaning qiymati f(x) ni topish.
2⁰. Argument x ga f(x) funksiyaning aniqlanish sohasidan chiqib ketmaydigan x orttirma berib f(x+x) ni topish.
3⁰. Funksiyaning f(x)=f(x+x)-f(x) orttirmasini hisoblash.
4⁰. nisbatni tuzish.
5⁰. nisbatning x0 dagi limitini hisoblash.
Misollar. 1. y=kx+b funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Hosila topish algoritmidan foydalanamiz.
1⁰. Argument x ni tayinlab, funksiya qiymatini hisoblaymiz: f(x)=kx+b.
2⁰. Argumentga x orttirma beramiz, u holda f(x+x)=k(x+x)+b=kx+kx+b.
3⁰. Funksiya orttirmasi f(x)=f(x+x)-f(x)=(kx+kx+b)-( kx+b)=kx.
4⁰. = .
5⁰. = k=k.
Demak, (kx+b)’=k ekan.
Xususan, y=b o‘zgarmas funksiya (bu holda k=0) uchun (b)’=0; y=x (k=1) funksiya uchun x’=1 bo‘ladi.
2. y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. 1⁰. f(x)= .
2⁰. f(x+x)= . Bu erda umumiylikni cheklamagan holda x>0 va |x|<x deb hisoblaymiz.
3⁰. f(x)=f(x+x)-f(x)= - = .
4⁰. = .
5⁰. = ( )= .
Demak, = .