Reja: Markaziy limit teoremasi

Teng taqsimlangan mustaqil atamalar uchun Markaziy Limit teoremasi

Avvalroq n va doimiy 0 < p < 1 uchun Bernulli sxemasidagi m muvaffaqiyatlar sonining taqsimlanishi quyidagi cheklovchi xususiyatga ega ekanligini isbotlagan edik:

→∞

∫

lim P
n→∞
μ Mμ
^√Dμ
x^,
x

=
1
^√2π
−∞
_u2


e^{− 2} du. (1)

Oddiy tarqatish funktsiyasi quyidagicha ifodalanadi

∫
x

√
Φ(x) = ¹
2π
_u2
e^{− 2} du.

−∞

∫
oddiy tarqatish funktsiyasi pH (x) la plas integratsiyasi orqali ifodalanadi

x

0 ^√
Φ (x) = ¹
2π
_u2
e^{− 2} du,

4, quyidagicha:

2
Φ(x) = ¹ + Φ₀(x).
Bu natija Markaziy Limit teoremasi deb ataladigan juda ko'p maxsus holat. O'tishξ_: saytda harakatlanish, ξ_, qidiruv.., ξ_n, ... - mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi. Biz, agar Naya teoremasining Markaziy Limitsi ushbu tergov uchun amalga oshirilgan deb aytamiz.
har qanday x to'g'ri quyidagi Ultimate nisbati summalar uchun ζ_n Zn =

, ,_√
= ξ₁ + ξ₂ + ... + ξ_n:

lim
n→∞
P ^{ζn − Mζn} ™ x = Φ(x). (2)
Dζ_n

{ } −

{ }
Так Bernoulli в sxemasida Бернулли число muvaffaqiyat soni можно представить в sum shaklida taqdim etilishi mumkin -biz m = m₁ m₂ +.. .μ_{+ m n mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar p m i = 1= p, p m i = 0 = 1 p, keyin natija (1) Markaziy oldingi teorema (2) ning maxsus holidir.} независимых случайных
Markaziy Limit teoremasi (2) ning adolatliligi uchun ξ₁ξ 1,_{2 2}, ..., ξ_n bu yoki boshqa qo'shimcha shartlarni qo'yish kerak.
Biz докажем центральную предельную теорему сначала для teng ravishda tarqalgan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun birinchi navbatda Markaziy Limit teoremasini isbotlaymiz.



σ^√n
teoremasi 1. Tasodifiy qiymatlar ξ₁, ξ₂, ... mustaqil, teng taqsimlangan va yakuniy moutema_i = a va Dσ_i = σ^{s 2} > > 0ga ega

lim
nn→∞
_P^, ξ₁ + ... + ξ_n – n0 _x^, _{= Φ(x).}

Biz xarakterli funktsiyalar apparatidan foydalanamiz. Belgilash
ζ_n = ξ₁ + ξ₂ + ... + ξ_n,

_ξ˜_k
= ξ_k
− a,
_ζ˜_n
= ζ_n −_√ na_,

σ n
keyin _n

^{˜ 1 Σ ˜}ζ = ξ ._{n k}

σ^√n
k=1

˜ ˜
Pyy stb f (t) = f_{k k} (t) — xarakterlash Ci funktsii k_k. mk_k = 0,

k

2
M2^˜2 M22 = Dk_k = s², to, b Cvaly sвoйstвa 6) в § 37 da,

Lyapunova Teoremasi
Markaziy Limit teoremasi muayyan sharoitlarda va tengbo'lmagan mustaqil atamalar uchun ham amalga oshiriladi. Lyapunov sharoitida ushbu teoremani quyida isbotlaymiz.
Endi ξ_k, k = 1, 2, .. .. mustaqil va mutlaqo bir xil taqsimotga ega emas. Belgilash

Mξ_k = a_k, Dξ_k = b², M|ξ_k − a_k|³ = c³

k k

va
n n n

n

k

n

k

k=1


k=1


k=1

A_n = ^Σ a_k, B² = ^Σ b² , C³ = ^Σ c³ .
Teorema 2 (Lyapunova Teoremasi). Agar ξ₁, ξ₂,... mustaqil, a_k, b_k, c_k
end va C_n/ b_n → 0, keyin

lim
n→∞

P^{, ξ1 + ... + ξn − An} ™ x^, = Φ(x). (3)

B_n
ko'rsatish.
Uni qo'ying
Chunki
ξ^˜_k = ξ_k − a_k, f_k(t) = f_{ξ k} (t).

k

k

k
Mξ^˜_k = 0, Mξ^˜2 = b² , M|ξ^˜_k|³ = c³ < ∞,
f (t) = 1 − ^t2 b² + r (t), (4)

.₂

^k + r_k(t) ™
qaerda
^k ₂ k ^k

|r_k(t)| ™

k

₆ ,
c³ |t|³


_t2_b2


_. |t|²

˜

.⁻

b² (5)

.
(bu isbotlanadi6-sonli mulk bilan bir xil) § 37-dan). Mustaqillik tufayli_{k k}
xarakterli funktsiya

˜ ^{1 Σ} ˜_{n k}

n
ζ = ξ B_n
k=1

mahsulotga teng
. _t Σ

Logarifma, biz olish

f_ζ˜ (t) =
f_k .

n
k=1 ⁿ

n
_Σ . _t Σ

n

Dekompozitsiyadan

log f_ζ˜ (t) =
k=1
log f_k
. (6)
B_n

bu quyidagicha

log(1 +

∞

Σ
x) =
k=1
(−1)^k−1x^k


k

bu erda |x/ ™ 1 / 2/2

log(1 + x) = x + α(x), (7)

∞

∞
_.^Σ (−1)^k−1x^k _{. 1} ^Σ _{k 2}

.
|α(x)| = _k
k=2

Teorema shartidan kelib chiqadi

^{. 2} k=2
|x

(9)

k

n

B_n
Shunday qilib, n → равномерно da b²/b² → → 0 n teng равномерно по 1 k ™ n.

f_k^{. t Σ} = 1 + ε_k^{. t Σ},
Пусть T > >0 va |t| ™ T bo'lsin . (4) va (5)

qaerda, kuch bilan (9),

.
.
B_n

ε_k

B

k
2
n

.⁻ ₂ ^·

.

B_n

2
^. t ^Σ. ₌ ^. t^{2 b} ₊
B_n

r_k

B

.

^k (10)
2
n

₂ ·

.

B_n
^. t ^Σ. _™ T ^{2 b2}

^Bn

2

sti (6) taqdimot (7) baholash bilan (8). Qabul qiling

n₀ ni shunday tanlaymiz e_k^{. t} n da n₀ o'ng cha-da qo'llaniladi

log f (t) = −^t2 +

n

. Σ

Σ
_rk t B_n
k=1



Σ
+
k=1


θ_kε^2
t , (11)

k

. Σ
B_n

^ζ˜n ₂
qidiruv (11) baholash (5) va (10) dan foydalanib, |t da quyidagilar mavjud:

_{. 2} .

f_ζ˜ (t) = e^{− 2} ,

bu bayonotga teng (3).

Markaziy Limit teoremasidan foydalanish

Yuqorida tasdiqlangan cheklangan teoremalar katta nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Ushbu teoremalar sharoitida asosiy narsa
ζ_n = ξ₁ + ξ₂ + ... + ξ_n
har bir summa ζ_k umumiy summa kichik beradi ζ_n ζn tasodifiy hissa. Xususan, bu quyidagicha ifodalanadi

0
Dξ_k
Dζ_n ^→

→ ∞
при n равномерно по → 1 k n ga teng n. Ilovalar tez - tez hisob-kitoblarda yuzaga keladigan tasodifiy o'zgarishlar taxminan normal taqsimotga ega bo'lgan taxminlardan foydalanadi. Oddiylikning taxminiga ko'ra, o'lchov xatolarining nazariyasi qurilgan, в , eksperimentlarda muayyan parametrlarni o'lchashda tasodifiy xatolarni hisoblash usullari o'rganiladi. Antropologiyada, masalan, результатов inson tanasining parametrlarini o'lchash natijalari ham amalga oshiriladi

на основе предположения нормushbu parametrlarni taqsimlashning alyans normalarini taxmin qilish asosida. Buning uchun asos bo'ladipresignanormallik ushbu holatlarda o'lchovlar davomida to'plangan og'riq - Shoe statistik materialdir. Markaziy Limit teoremasi ba'zi bir nazariy jihatdan asosliIE gipotezasini beradi, chunki ko'pincha haqiqiy hodisada har qanday parametrning qiymati juda ko'p tasodifiy mustaqil omillar bilan ta'sirlanadi va ularning har birining ta'siri kichikdir va umuman olganda ular sezilarli efektini beradi. Bir istehzoli bayonot mavjud statistika bu borada:

"Har bir inson oddiy закона taqsimot qonunining adolatiga, sobiq perimentatorlarga ishonadi —, chunki ular думают, что это matematik, matematika— shunday, deb o'ylashadi, chunki ular bu думают, eksperimental haqiqat deb o'ylashadi". Bu so'z yana bir bor bizga напоминает, matematik nazariyalar haqiqiy hodisalarga emas, balki faqat matematik modellariga asoslanganligini eslatadi. Shuning uchun, ehtimollik nazariyasini qo'llashda, umuman, ma mavzularida bo'lgani kabi, biz никогда hech qachon aql - idrokni unutmasligimiz kerak va har doimobaning tegishli hodisani to'g'ri aks ettiradigan mos modelni hisobga olganligi haqida g'amxo'rlik qilishimiz kerak.
Markaziy Limit teoremasidan foydalanishning bir nechta misollarini ko'rib chiqing. Bu holda, quyidagi muddatli - Logie biz amal qiladi. Agar tasodifiy qadriyatlar ketmaζ_n -ketligi bo'lsa, unda ba'zi bir_n va B_n

lim
n→∞

P^{, ζn − An} ™ x^, = Φ(x), (12)

B_n
keyin biz будем говорить, что tasodifiy o'zgaruvchilar deb aytamiz ζ_n асимптотически asimptotik parametrli nor - с параметрами malna (a_n, B_n) yoki oddiygina (a_n, B_n)-асимптотически asimptotik nor - malna va tenglik (12) будем ehtimollik taxminiy baholash uchun qo'shimcha shaklda qo'llaniladi, ishonib

B_n
P^{, ζn − An} ™ x^, ≈ Φ(x).

−
P r va m e r 1. O'lchov xatolar. При измерении Ba'zi miqdorlarni o'lchashda-a taxminan значение qiymatini olamiz. Xato qilingan D = a a ikki xato summasi sifatida taqdim etilishi mumkinдвух ошибок
δ = (ξ − Mξ)+ (Mξ − a),

− −
birinchi которых navbatda ξ mξ называется случай tasodifiy xato deb ataladi va ikkinchi ma a —
muntazam xato. Yaxshi o'lchash usullari bo'lmasligi kerak иметь

muntazam xato, Shuning uchun biz mполаг = a ga ishonamiz. Slu-choy xatosi D nol matematik kutish mD = 0ga ega. DD = s² bering . Ushbu xatoni kamaytirish uchun n mustaqil vazME - reniy ξ_{1 ishlab chiqariladi}..., и_n va o'lchangan qiymatni baholash uchun qabul qilinadi a o'rtacha
arifmetik
= ¹ (ξ + ... + ξ ).
^a _{n 1 n}
Qanday xatoga yo'l qo'yiladi? Markaziy Limit bo'yicha -
1₁ + bilan ... + √ -
= a, Dσ_i = σ^{s 2} > >0 (an, s n)-asimptotik jihatdan normal-
haqida. Shuning uchun, a katta n (an, s^√n)- asimptotik normal va

P{|^ ^∫a − a| ™ ε} ≈
^{^} ε^√n/σ
1
^√2π


_u2


e^{− 2} du. (13)

−ε^√n/σ
(13) dan rasmiy ravishda, har qanday darajada qo'pol o'lchov usullari yordamida katta n bilan istalgan aniq natijalar olinadi degan xulosaga kelish mumkinкак угодно точные . Buavom ma'nosiga zid keladi. Bu nima? Tashqi ko'rinishiga ko'ra, qo'pol usullar bilan o'lchash которой formula (13) asosida olingan modelga bo'ysunmaydi. Va, albatta, o'lchash vositasining katta hajmdagi bo'linishida sistematik измерительного инструмента нельзя xato yo'qligi kafolatlanmaydi .
Tez javob - tez, yaxlitlash xato dan chalg'itish , qabul, что har изме- рение bir ism-Reni ξ_{i parametrlari} bilan normal taqsimlash ega ekanligini (a, s). Keyin (13) taxminan tenglikdan aniq bo'ladi.
2. Logarifmik-normal tarqatish. Antropo-logiyada odatda ma'lum bir yoshdagi va jinsdagi odamning balandligi yoki vazni oddiy taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy qiymat hisoblanadi. Biroq, ko'p hollarda, juda katta asosgaega bo'lgan holda, ushbu parametrlarning lo ga - qofiyalari normal taqsimotga ega deb hisoblash mumkin. Agar ē tasodifiy o'zgaruvchisi η η ξ = log ē normal taqsimotga ega bo'lsaворят, что η , u holda logarifmik-normal taqsimotga ega, yoki qisqasi, log normal taqsimotdir. Log-balandlik va vaznning normalligi ba'zi nazariy asoslarni berishi mumkin. Darhaqiqat, vazn, masalan, чается в результате ko'plab mustaqil sabablarning ta'siri natijasida yarim soatdir, ammo bu sabablar og'irlikka qo'shimcha emas, balki multiplikativ tarzda ta'sirqiladi, ya'ni.
η = η₁η₂ ... η_n,

bu erda ē_i -birlikka yaqin mustaqil tasodifiy qiymatlar. Bunday holda

Σ
n
log η = log η_i,
i=1
va log ē, Markaziy Limit teoremasi tufayli, Limitda normal taqsimotga ega.
P r va m e r 3. Markaziy Limit teoremasi yordamida siz faqat analitik faktlarni isbotlashingiz mumkin. Misol uchun, buni isbotlaymiz

lim
_e−n ^{Σ nk} ₌ ¹ _.

n

n→∞

k!
k=0

2
aslida, ζ_n parametr n bilan Poisson taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchiga ega nbo'lsin. Keyin

P{ζ_n
n

^Σ™ n} e .
₌ −n ^nk k!
k=1

Chunki avlodlar_n = ξ₁ + ... + n_n, qaerda ξ_k mustaqil, mk_k = 1 va tarqatish-

2
нn по _{u √}uchunkoн nПuu assona, tо u_{z n} avamntotчеt t e Ckva noRMaлlna s narametra-

mi (n,