Reja: Tekislikda harakat klassifikatsiyasi

Tekislikda harakat klassifikatsiyasi. Harakat gruppasi va uning qism gruppalari.

Reja:

1. 
   Tekislikda harakat klassifikatsiyasi.
   
2. 
   Harakat gruppasi va uning qism gruppalari.
   

H a r a k a t n i n g a n a l i t i k i f o d a s i
To’g’ri burchakli dekard koordinatalar sistemasini almashtirish formulasi (6.9) dan foydalanamiz.
Teorema. Tekislikdagi ixtiyoriy nuqta va uning aksini koordinatalari
x=x¹cos-y¹sin+x₀,
y=x¹sin+y¹cos+y₀ (29.1)
formula bilan bog’langan bo’lsa, u holda bu formula tekislikdagi harakatni aniqlaydi.
Isboti. 1. Tekislikning ixtiyoriy A nuqtasini (29.1) formula yordamida A¹ nuqtaga o’tkazuvchi f almashtirish bir qiymatlidir.
Haqiqatan ham, (29.1) formulada determinant

agar x,y larni berilgan deb olsak, (29.1) tenglamalar sistemasi x,y larga nisbatan bir qiymatli echimga ega. Shu bilan har birga A¹(x¹,y¹) nuqta bitta faqat bitta acl A(x,y) nuqtaga ega bo’ladi.
Demak (29.1) formula tekislikdagi birorta bir qiymatli f almashtirishni aniqlaydi.
2. Tekislikdagi A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) nuqtalar, ularning akslari A₁(x¹₁,y¹₁) va B₁(x¹₂,y¹₂) bo’lsin. (29.1) almashtirishga ko’ra ushbu koordinatalarga ega bo’ladi:
x¹₁=x₁cos-y₁sin+x₀,
y¹₁=x₁sin+y₁cos+y₀
x¹₁=x₂cos-y₂sin+x₀,
y¹₁=x₂sin+y₂cos+y₀
u holda
, bunda =+1
(29.1) almashtirish ta’rifga ko’ra harakat bo’ladi.
Shunday qilib tekislikdagi harakat (29.1) formula bilan aniqlanadi va uni harakatning analitik ifodasi deyiladi.
Harakatni o’qli simmetriyalar ko’paytmasiga yoyish
1-teorema. Agar ikkita o’qli simmetriyaning d₁ va d₂ o’qlari O nuqtada kesishib φ burchak hosil qilsa, ularning ko’paytmasi O nuqta atrofida 2? burchakka burish bo’ladi va, aksincha, tekislikni O nuqta atrofida φ burchakka burish o’qlari O nuqtada kesishib, o’zaro burchak hosil qiluvchi ikkita o’qli simmetriya ko’paytmasiga ajraladi.
Isbot. O nuqtada o’zaro φ burchak hosil qilib kesishuvchi d₁, d₂ to’g’ri chiziqlar tekisligida ixtiyoriy M nuqta olamiz. M^’ nuqta tekislikning d₁ o’qli simmetriyadagi M nuqtaning obrazi M^’’ nuqta d₂ o’qli simmetriyada M’ nuqtaning obrazi bo’lsin. (65-chizma). Bu ikki o’qli simmetriyani ketma-ket bajarsak, M nuqta M’’ nuqtaga o’tadi. O’qli simmetriya harakat bo’lgani uchun quyidagilarni yoza olamiz: ρ(O,M)=ρ(O,M’), ρ(O,M’)=ρ(O,M’’) bundan ρ(O,M)= ρ(O,M’’).
Shuningdek, va , lekin . Shunday qilib, M nuqtani M’’ nuqtaga o’tkazuvchi almashtirish uchun quyidagi ikki shart bajariladi: