SAM OS’LU P Y THA GORAS (P isagor)
(M .Ö. 569?475? Y a da 580?500?)
P rof. Dr. Fikri AKDENİ Z
Çukurova Üniversitesi
Fen Edebiyat Fakültesi
İ statistik Bölümü
01330 ADANA
P Y THAGORAS Kİ MDİ R?
Pythagoras, Matematik, Astronomi ve Müzik teorisinde önemli gelişmelere
katkı sağlamış Yunan filozofudur. Bir dik üçgenin kenarları arasında
Pythagoras Teoremi olarak bilinen a
2
+b
2
=c
2
ilişkisi Mısırlılar, Babilliler ve
Çinliler tarafından Pythagoras’ın yaşadığı dönemden 1000 yıl öncesinde
biliniyor olmasına karşın anılan eşitliği geometrik düşünceyle ilk O
kanıtladığı için resmi matematik tarihinde teorem O’nun adıyla
anılmaktadır. Adına karşın belirtilen teorem Pythagoras tarafından
bulunmamıştır. Teoremin formülleştirilip yazılması Hint matematikçisi
Baudhayana (M.Ö. 800740) ya aittir.
Şimdi P ythagoras teoremini vererek anılarımızı tazeleyelim:
P ythagoras Teoremi
ÖRNEK 1:
x’ i bul.
Y anıt: 10 m
6,8,10
sayıları
Pythagoras
üçlüsü
oluştururlar.
Aynı
şekilde bu sayıların
yarıları olan
3,4,5
sayılarıda
Pythagoras
üçlüsüdür.
Şimdi karelerle oluşturulan fraktal yapıdaki (herbir ölçekte
yinelenen geometrik yapı) güzelliğe göz atalım:
P ythagoras Ağacı:
P ythagoras ağacı karelerden
oluşturulan bir düzlem fraktaldır. Karelerin her
üçlü grubu bir dik üçgenle birleştirilmiş ve
P ythagoras teoremi kullanılmıştır. Bu adı
P ythagoras’tan almıştır.
P ythagoras ağacının yapılışı:
Kenar uzunluğu 1 birim olan bir kare ile başlanır. İkinci adımda diğer iki
karenin kenar uzunlukları
2
2
1
olacaktır. Bu süreç ardışık olarak uygulanır.
Küçülen karelerle devam edilir.
1 2 3 4
ÖRNEK 2:
Kenar uzunlukları 6, 7 ve 10 olan bir üçgen dik üçgen olabilir mi?
a = 6, b = 7 ve c = 10 alalım. En büyük değer hipotenüs olmalıdır. O
halde c = 10. Şimdi pythagoras teoreminin doğruluğunu kontrol edelim.
Pythagoras teoremi doğru olmadığından
bu üçgen dik üçgen değildir..
a , b , c sayıları 100 den küçük olmak üzere P ythagoras üçlüleri:
(3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (8,15,17), (9,12,15),
(9,40,41), (10,24,26), (11,60,61), (12,16,20), (12,35,37), (13,84,85),
(14,48,50), (15,20,25), (15,36,39), (16,30,34), (16,63,65), (18,24,30),
(18,80,82), (20,21,29), (20,48,52), (21,28,35), (21,72,75), (24,32,40),
(24,45,51), (24,70,74), (25,60,65), (27,36,45), (28,45,53), (28,96,100),
(30,40,50), (30,72,78), (32,60,68), (33,44,55), (33,56,65), (35,84,91),
(36,48,60), (36,77,85), (39,52,65), (39,80,89), (40,42,58), (40,75,85),
(42,56,70), (45,60,75), (48,55,73), (48,64,80), (51,68,85), (54,72,90),
(57,76,95), (60,63,87), (60,80,100), (65,72,97).
P Y THAGORAS’I N Y AŞAM I N DAN KESİ TLER
P ythagoras’ın çocukluk ve gençlik yılları:
İyonya (Ionia) bölgesinde Samos (Sisam) adasında doğan Pythagoras
çocukluk yıllarını Samos’ta geçirmiş iyi bir eğitim almış ve oldukça zengin
olan babasının ticaret yapması nedeniyle birçok yere seyahat etmiştir.
Samos halkı güçlü ve o dönemin teknolojik olarak gelişmiş bir şehir
devletine sahipti. Şehir önemli bir ticaret merkeziydi. Dini festivallerin
odak yeriydi. Pythagoras gençliğinde öğretmeni olan filozof Pherekydes’ten
çok etkilenmiştir. 1820 yaşlarında iken Miletus’lu Thales’i (M.Ö.624546)
ziyaret etmiştir. Thales kendisine Mısır’a giderek daha çok Matematik ve
Astronomi öğrenmesi tavsiyesinde bulunmuştur. Pythagoras, Thales’in
öğrencisi Anaximander (M.Ö. 610546) in Miletus’daki derslerine girerek
geometri ve evren bilimi (cozmology) öğrenmiştir.
Samos (Sisam) Adası
M ısır’da geçen yıllar:
Pythagoras Samos’un yönetimini elinde tutan zalim Polycrates döneminde
20 li yaşlarda Mısır’a gitti.
Pythagoras Mısır’da çok sayıda tapınağı ziyaret etti. Fravun Amasis
Pythagoras’ı Memfis rahiplerine tavsiye etti. Albert Champdor’un (2006)
da basılan “Mısır’ın Ölüler Kitabı, sayfa 29 ”da Pythagoras’ın yaşamı
hakkında
“
P ythagoras, Mısır’da mabetlere büyük bir çalışma isteği
ile devam etti. İ lişkisi olan rahiplerin hayranlık ve sevgisini
kazandı. Hiçbir sözlü öğretiyi boşlamadan, her şeyi çok çalışarak
öğrendi. Rahiplerden sahip oldukları bilgeliği öğrenip yararlandı.
Mısır’ın mabedlerinde kalıp 20 yıl boyunca tanrıların ayinlerinde
ezotorik bilgilere sahip olarak inisiye oldu
.”
denilmektedir.
Eski Mısır, Yukarı ve Aşağı Mısır olarak bilinen iki kırallığa bölünmüştü.
Pythagoras, Heliopolis, Memphis ve Thebes’teki tüm önemli tapınaklar
arasında mekik dokuyarak rahiplerle birlikte ayinlerin aktif bir parçası
oldu,
tapınaklarda
görev
almayı
reddetmesine
karşın
hermetik
uygulamanın en eski, kutsal ve saygın merkezi Thebes’te (Aşağı Mısır’da)
giriş için gerekli dinsel törenleri tamamladıktan sonra ilk yabancı kişi
olarak rahipliğe kabul edildi.
Y ukarı ve Aşağı Mısır haritası
Babil yılları:
M.Ö. 525 te Pers Kralı II.Cambyses Mısır’ı istila etti. Pythagoras esir alındı
ve savaş esiri olarak Babil’e götürüldü. Babil o dönemde Dünya’nın o
yöresindeki en kültürlü ve en büyük şehirdi. Babil de ne kadar kaldığı tam
bilinmemektedir. Mezepotamya, o dönemin en büyük matematikçilerini
barındırmakla ünlüydü. Orada Babil’lilerden aritmetik, müzik ve diğer
matematiksel bilimlerde öğrendikleriyle mükemmelliğin zirvesine ulaştı.
Bölgede yapılan kazılarda elde edilen tabletlerden Mezopotamya’daki
Sümer matematiğinin hem batı yönünde Roma’ya, hem de doğu yönünde
Hindistan’a kadar yayıldığı görülmüştür. M.Ö. 522 de Polycrates’in
öldürülmesi ve Pers kralı II.Cambyses’in de ölmesiyle Anadolu’nun batı
kıyıları ve Samos adası Pers kralı Darius’un kontroluna geçti.
Samos’a dönüş:
Pythagoras’ın Babil’de ne zaman serbest bırakıdığına dair kesin bir kayıt
olmamakla birlikte M.Ö. 520 civarında Babil’den Samos’a geri döndü.
Samos bu tarihte de Pers kontrolu altındaydı. Bir süre sonra yarım
çember denilen bir okul kurdu. Burada dünyayı görmüş, deneyimli,
matematik bilen, felsefe çalışmış bir insan olarak çevresine öğrenci
topladı.
P ythagoras’ın Samos adasındaki heykeli (Dik üçgen biçiminde)
Samos’tan ayrılış ve P ythagoras Öğretisi:
M.Ö. 518 dolayında öğrenci sayısının azlığı nedeniyle Samos’tan ayrılarak
izleyenleriyle birlikte Güney İtalya’daki, doktorları ve koşucuları ile ünlü bir
Yunan şehri olan Croton’a (şimdi Crotone) göç etti kendi etik kurallarına
uygun matematik, astronomi, felsefe ve din ile ilgili okulunu kurdu. Din
bilimi ve matematik kombinasyonu P ythagoras ile başladı. Kurduğu
okula “yarımdaire” dedi. Bu okul çok sayıda izleyiciye sahipti. Okulun iç
grubunda
(imtiyazlı
danışman
grubu)
az
sayıda,
kendilerine
“mathematikoi” denilen filozof/matematikçiler vardı. Bunlar vegeteryan
beslenme biçimini kabul etmek zorundaydılar. Bu grupta hem erkek hem
de kadın bulunmaktaydı. Gerçekten Pythagorasçı birçok kadın sonraları
ünlü filozoflar arasına girdi. Bunlar bir manastırdaki gibi yaşadılar. Katı
kurallara bağlı ve her hangi bir özel mal ve mülke sahip değillerdi.
İç grubun dışındaki dinleyicilere “akousmatikoi” denirdi ve bunlar kendi
aileleri ile kendi evlerinde yaşarlardı; bunların et yemelerine de izin
verilmişti. Bunlar grup toplantılarına ve derslere gündüzleri katılırlardı.
*Pythagoras’ın, söylemlerinde kendini hissettiren gizemcilik (mistisizim)
Asya’dan getirdiği değerlerin dışavurumudur.
*Doğuda gördüğü ve benimsediği gibi yaparak çevresinde bir “kardeşlik”
ortamı yaratmaya çalıştı.
* Pythagoras tarafından, gençlere kendilerinden daha yaşlı olanlara saygı
duyulması fikri geliştirildi ve öğretildi.
* Eşitlik temeline dayalı adalet vurgulandı.
*Okulda, sakin olmak, nazik olmak ve dürüstlük kuralları teşvik edildi.
*Pythagoras aynı zamanda gizli kardeşlik olarak bilinen topluluğun da
başkanıydı.
*İbadet edilen sayılar ve sayısal ilişkilerdi. Evren, tanrılar, müzik v.s. için
matematiksel açıklamalar bulmaya çalıştılar. Pythagoras’a göre “Evren bir
sayı
uyumudur”.
Pythagoras
tüm
ilişkilerin
sayılardaki
ilişkilere
indirgeneceğine inanmıştı.
*Kardeşliğin Pythagorasçılar denilen üyeleri tam ortaklık içinde yaşıyor,
her yeni buluşu Pythagoras’ın adına saptıyorlar ve her yeni düşünceyi gizli
tutmak için yemin ediyorlardı.
Hiçbir el yazması bırakmadıkları için kuramlarına ilişkin bilgiler bir
kural olarak başka kaynaklardan gelmiştir.
Güney İtalya’daki Croton ve Tarentum Şehirleri
Croton’daki dönem, Pythagoras’ın olgunluk çağıdır. Croton, Ionia’daki eski
Yunan şehirlerine benzer yapıdaydı. Pythagoras teori ve önemli fikirlerinin
çoğunu ve matematiğe katkılarını Pythagorasçılarla birlikte burada
geliştirdi. Doğu’da edindiği bilgiler ve bilgelik ile Croton’da kendine özgü
ekolünü geliştirdi.
Bu okul en parlak dönemine M.Ö. 490 civarında ulaştı 600 civarında
öğrencisi olmuştu. Pythagorasçıları organize olmuş bir araştırma grubu ya
da bir üniversite veya araştırma enstitüsü olarak düşünmek çok yanlış
olur.
Öğrencileri arasında sonradan karısı olacak Thenao da vardı. Pythagoras,
60 yaşında iken Thenao ile evlendi. Pythagoras bu örgütün başkanıydı.
Politik görüşleri önceleri kent yönetimi tarafından da benimsendi. Kendine
“sofos” yerine “filosofos” adını veren ilk kişinin Pythagoras olduğuna
inanılır. Sözcük, bilgeliğin kazanılmış olduğunu değil, ama yalnızca ona
doğru bir çabayı anlatır. Bu yaklaşım biçimi, halk tarafından bir alçak
gönüllülük olarak görülür.
Diğer şeylerin yanında, inanışları şöyleydi:
* Doğa ve tüm gerçek bir matematiksel yapıya sahiptir.
*Bu felsefe ruhun arındırılması için kullanılacaktır.
*Belirli simgeler (matematiksel olanlar da dahil) gizemli önem e
sahiptirler.
*Ruhun tek hedefi vardır; tam anlamıyla arınmak ve tanrısal
katmana yücelmek ve başka bir bedende yeniden doğmaktır.
Bu konuda bir rivayet vardır: P ythagoras Croton’da yürürken
birinin bir köpeğe kötü davrandığını görüyor. Köpeğin sesinin
yükseldiğini duyunca, “ Dur, o’na vurma! O bir arkadaşımın ruhunu
taşıyor, çünkü sesinden tanıdım” diyor.
*Topluluğun tüm kardeşleri gizlilik ve bağlılığa tam olarak uymak
zorundadırlar.
Bazı yasaklanmış kurallar:
*Fasulye ve benzerlerini yemek
*Düşmüş bir şeyi kaldırmak,
*Beyaz horoza dokunmak
*Gündüz dışında aynaya bakmak
*Demir çubukla ateşi karıştırmak
*Et ya da yürek yemek
* Hayvan derisinden yapılmış elbise giymek
Et yememelerinin nedeni hayvanların kendi ruhlarından birine
sahip olabileceğine inanmalarından ileri gelebilir. Çünkü ruhun
ölümsüzlüğü ile insan yaşamını düzenleyen kurallara inanmışlardı.
P ythagorasçılık ’ta örg ütlenme biçimi ve kişisel gelişim:
Pythagoras ekolü, iki bölümlü bir örgüttü. İlkinde herkese açık (ekzotorik)
öğretim yapılırdı. Özellikle töresel eğitim üzerinde durulurdu. Pythagoras’ın
asıl öğretisini içeren ikinci bölüm ise tümüyle içrek (ezotorik =dışa kapalı
ve kendi içine dönük) nitelikliydi. Birkaç yıl süren açık öğretim sonunda
yeterince başarılı görülen kişiler isterlerse ezotorik öğretime alınmak üzere
hazırlanabilirlerdi.
Pythagoras’ın ekolüne girmek çok zordu. Kişinin istekli olması yeterli
görülmezdi. Kabul edilmesi de gerekiyordu. Bunun için isteklinin, erdemli,
akıllı, ağır başlı, sır saklayabilecek bir yapıda olması istenirdi. Bu nedenle
çok sıkı bir sınavdan geçmek gerekiyordu. İsteklinin ilk başvurusundan
sonra, ona yanıt vermeden önce, kendisine belli etmeden uzun ve gizli bir
soruşturma yapılırdı. Elde edilen bilgiler olumlu ise istekli sınav için
çağrılırdı. Bunun için ilk olarak adaydan dağda birkaç gece geçirmesi
istenirdi. Dağ başında geçen sınav boyunca adayı korkutmak için her yol
denenirdi. Aday dağda bulunduğu süre içinde aç ve susuz kalmalı, beden
gücünü kanıtlamalıydı. Başarılı olduğu kanısına varılırsa irade sınavını
geçtiği kendisine söylenirdi.
İkinci adımda, aday tapınağa alınır ve zihin gücü üzerine düzenlenen
sınavla matematik bilgisi ve görgüsü sınavdan geçirilirdi. Adayın olumlu bir
bilimsel ve akılcı düşünme uğraşısını ortaya koyması beklenirdi. Aday
küçümseyici söz ve davranışla bunaltılırdı. Bütün olanlara ses çıkarmadan
göğüs germesi, sabırlı ve yetenekli olduğunu göstermesi gerekirdi.
Sinirlerini bozucu davranışlar yapılırdı. Aday tüm bunlara karşı dayanıklı ve
dingin olmayı başarabilirse aydınlanma süreci sürdürülürdü. Sınavların bu
aşaması Pythagoras’ın Mısır’da iken öğrendiği Hermetizm sınavlarının
sadeleştirilmiş biçimiydi. Aday bu sınavdan da geçerse çırak ünvanı ile
öğrenci olmaya hak kazanırdı. Çıraklık en az iki yıl sürüyordu. Bu aşamada
çıraklar en küçük bir soru soramazdı. Susarak öğrenirlerdi. Eğitimin
sonunda bilgeliğe ulaşacak kişinin dünya ile tam uyum içine girerek
sonsuzluğa kadar susacağı telkin edilirdi.
Öğrenciler bu aşamada Pythagoras’ın karşısına çıkarılmazdı. Bu aşama,
onları Pythagoras’ın anlayışı doğrultusunda yoğurma dönemidir. O’na göre
öğrenci önce “sezgi” yeteneğini güclendirmelidir. Daha sonra, sevgi
üzerinde durulurdu. Öğrencilere ana, baba ve dost sevgileri aracılığı ile
Tanrı sevgisi aşılanmak istenirdi. Eğitimin bu döneminde müzikten de
yararlanılırdı. Genç öğrencilere akşamları ve sabahları şarkı dinletilir ve
söyletilirdi. Şarkılardan biri şöyledir:
Ölümsüz tanrılara dön,
Kendini eşsiz aşklara bırak.
İ nancını koru...
Bil ki,
Çeşitli uluslarda ve çeşitli dinlerde dağıtılmış görülen,
Tanrılar tektir.
Evrenin tek tanrısı vardır.
Hepsine hoşgörüyle bak.
Ama gerçeğin ne olduğunu da bil.
Gizlilik aleminde bütün dinler birleşirler.
Eğitimin birinci evresinde, Pythagoras öğrenciye hiçbir şey söylemezdi. Bu
evrede, öğrenciler ileride kendilerine aktarılacak olan sırların kavranması
için hazırlanırdı.
Öğrenci ikinci dereceye geldiğinde Pythagoras ortaya çıkardı. Yüzünü
gösterir ve öğretmenliğe başlardı. İkinci derecede öğrenci, sayılar bilimiyle
karşılaşmaktadır Öğrencinin İkinci dereceye yükselerek Pythagorasın
huzuruna çıktığı güne “altın gün” adı verilmişti. Bu derecede öğrenci
“sayılar bilimi” ile karşılaşır. Kutsal ve gizli sayılar biliminde sayı, soyut bir
varlık değil, mutluluğumuzu sağlayacak kutsal bir anahtardır. İnsanlar “1”
ile sayar, “1”ile düşünürler. “1” ,insanla Tanrı arasında ortak bir ilke olarak
görülürdü. Derse “1” ile başlanırdı. “1” in gizemleri şöyle anlatılırdı: “1”
bilenle bilineni, düşünenle düşünüleni birleştiren ortak bir ölçüdür. Bu
ölçünün öteki ucunu görebilmek için onunla birleşmek gerekir. Ona
benzemeye çalışarak ona yaklaşılabilir. İnsan, eşya gibi edilgen değil, “1”
gibi etkin olmalıdır, kendini böylesine yükseltmek için sıkı çalışmalıdır.
(Hançerlioğlu ( 1995 ))
M üzik teorisindeki araştırmaları:
Pythagoras’ın kendisi iyi bir müzisyendi ve harp (lyre) çalıyordu. Müziği,
hastaların iyileştirilmesine yardımcı olmak amacıyla araç olarak kullandı.
Pythagoras’ın önemli buluşlarından biri müzikle matematik arasındaki
ilişkidir. Telin kısaltılmasıyla çıkardığı sesin inceldiğini keşfetmiştir. Böylece
müzikte armoni ile tam sayılar arasındaki ilişki bulundu. Uzunlukları tam
sayı oranlarında olan gergin tellerin de armonik sesler verdiği görüldü.
Müzikteki uyumu evrene uygulamıştır. O’na göre güneş, ay ve tek tek
bütün
yıldızlar
dünyamıza
olan
uzaklıklarına
göre
farklı
sesler
çıkarıyorlardı, evren müzikli bir evrendi. Bunun kanıtı, yeryüzünde
yıldızlara denk olmayacak kadar küçük cisimlerin bile hareket halinde iken
ses çıkarmalarının görülmesiydi.
Pythagorasçılar uyumlu seslerle sayısal oranlar arasındaki bağıntıdan
hareket ederek, her şeyin temelinin sayı olduğu, evrendeki tüm oranların
sayısal olduğu sonucuna ulaşmıştır. Ayrıca müzikteki uyumun etkilerinin
ve oranlarının sayısal olduğunu da görüyorlardı
P ythagorasçıların Felsefesi ve Gizemciliği:
P ythagorasçılık: P ythagoras ve izleyenleri tarafından benimsenen
ezoterik ve metafizik inançlar için kullanılan bir terimdir.
Pythagorasçılık, temelde bir evren ve varlık görüşü, bir dünya ve ruh
görüşü, bir hayat ve ahlak görüşü olarak özetlenebilir. Varlığın en küçük
değerleri sayılardır. İlk on sayı özel önem taşır. Evren de bu sayılar
arasında kurulan bağlantılardan oluşmuştur. Pythagoras’a göre, bütün
sayılar ilk dört sayıda “içkin”dir. İlk dört sayının toplamı ve çarpımı ile
bütün sayılar elde edilir. Bu düşüncenin temelinde (tetrad) dörtlü biçim
yatar. Buna göre 1+2+3+4=10
(en mükemmel sayı) eşitliğini sağlayan biçim, hem eşkenar bir üçgen
olarak görülür, hem de evreni oluşturan boyutların simgesi sayılır.
Sayıların
en
önemli
özelliklerinden
biri
içine
yalan
sokulamamasıydı, çünkü sayılar yalana yabancıydı.
Pythagorasçılar,
sayıları
simgelerine
benzer
biçimde
şöyle
sınıflandırmışlardır: Tek, çift, çift kere çift, tek kere tek, asal ve bileşik,
mükemmel, üçgensel, kare, beşgensel, altıgensel, v.s….(Struik (2000)
sayfa: 69) En ilginç sonuçlardan bazıları geometri ile aritmetiğin arasındaki
bağıntıyı gösteren “üçgen sayılar” ve “kare sayılarla” ilgiliydi:
Üçgen sayılar
En önemli
Pisagorculuk
Simgesi
Tetraktys
1 + 2 + 3 + 4 = 10
eşitliğinin bir şekil olarak
noktalarla gösteriminden eşit
açılı üçgen.
Bu gösterim başka matematiksel
ilşkileri de verir. Örneğin, üç
boyutlu küp gibi…
Kare sayılar
P ythagorasçılara göre tüm sayıların içinde en önemli sayı
dördüncü üçgensel sayı 10 dur
.
1 + 2 + 3 + 4 ile yapılır. Onlar 10
sayısına " Kutsal dörtlü” adını verdiler. Aşağıda beşgen sayıları
görüyoruz.
1 5 12
Beşgensel sayılar
Pythagoras, Tüm evreni ve evrensel oluşumun her öğesini sayılara
bağlayarak açıklamasıyla, ayrıca kendine özgü, ahlak kurallarıyla da ün
yapmıştır. Bu nedenle kurmuş olduğu ekol hem bilimsel, hem töresel hem
de gizemci (mistik) bir nitelik taşımıştır. Pythagorasçıların benimseyişine
göre, evrenin gerçeklerini anlayabilmek için, önce erdemli bir ruh sahibi
olmak gereklidir. Bu felsefede, beden öldükten sonra ruhun canlılığını
sürdürdüğü ve bir başka bedene geçtiği biçimindeki “ruhun ölümsüzlüğü”
ne inanmak, temel ilkelerin en önde gelenidir.
Ancak bu felsefe salt inançsal nitelikli değildir. Bilgi ve bilimle, özellikle
aritmetik ve geometri ile sıkı sıkıya bağdaşır. Bu ekolde her düşünü ve her
kavram, sayılarla ve geometrik şekillerle simgelenir. Her şeyin sayılardan
oluştuğu, varlığını sayılarla sürdürdüğü ve sayılara döndüğü kabul edilir.
Sayı gizemciliğini en uç noktaya taşıdılar ve sayılarla matematik biliminin
gerçek kurucuları oldular. Buna karşın “sıfır” sayısını bilmiyorlardı. Sayıları
1 ile başlatmışlardı.
Pythagorasçılara
göre,
tamsayıların
nasıl
kullanılacağı
konusunda
ustalaşılırsa, evrenin düzeni kavranabilir ve bu düzeni etkilemek de
mümkün olabilir. “1” bütün sayıların başlangıcıdır. Tüm doğal sayıların
birden elde edildiğini düşündüklerinden olacak, evreni “1” ile özdeş
görüyorlardı. Çift sayılar kadındır ve ilk çift sayı olan “2” farklı
düşüncelerin simgesiydi. “1” ve “2” den oluşan
ilk tek sayı olan “3”
erkekti ve uyumun simgesiydi. Bir tam kare olan “4” adaleti gösteriyordu.
Çünkü 2+2=4 ve 2x2=4 tü. “5” evliliğin simgesiydi, çünkü 2 ve 3 ün
toplamını gösteriyordu. İlk kadın ve ilk erkek sayılardan oluşmuştu.
P ythagorasçılık’ta doğadaki uyum ve güzellik “ sayılar arasındaki
bir oranlama ve dengeleme” olarak nitelenir. “ Tanrı” kavramı da “
sonsuz sayıyı içeren birlik” olarak tanımlanır. Burada, insan en
gelişmiş ve böylece Tanrı’ya en çok yaklaşmış yaratık olarak
nitelenir.
Eşya, duyulur hale gelmiş olan sayılardır. Bilimin amacı, her varlığı
karşılayan sayıları bulmaktadır. Örneğin akıl belli bir sayıdır, ruh belli bir
sayıdır, adalet belli bir sayıdır. Evren, bir sayı uyumudur. Doğadaki bütün
karşıtlıkların kökü, birle çok arasındaki karşıtlıktır. Oysa, salt (mutlak) bir,
ne tek ne de çifttir, hem tek hem de çifttir. Bir başka deyişle, salt bir,
teklikle çiftlik birlikteliğidir. İlk varlık, olan bir, noktadır. Nokta hareket
ederek çizgi; çizgi, hareket ederek yüzey; yüzey hareket ederek cisim
olmuştur. Şu halde her başka cisim, bir başka sayınınkarşılığıdır.
*P ythagorasçılar Y unan tanrılarına inanmamışlardı.
Bedensel ölümünden sonra, insan ruhunun, kendisi gibi başka ruhların
bulunduğu göksel katlara çıkacağına, orada yeniden bedenleşeceği zamanı
bekleyeceğine inanılır. Ruhların arınması ve bedenden ayrı bir yaşama
ulaşabilmesi için matematik ve müzikten yararlanılırdı. Kimi ruhlar,
diğerine oranla daha yetkindir; bunlar, yeniden bedenleşme şekillerini
kendileri seçebilirler.
Tüm bu özellikleriyle Pythagorasçılık, bir yandan bilimsel ve felsefesel, öte
yandan da dinsel ve gizemci bir öğreti niteliği taşımıştır. Özünde idealist
bir öğretidir.
*Ölüler kitabındaki bilgilere göre Hermesçilikte Tapınağa kabul
edilenler daha ilk günde “ Bu tapınakta görüp öğreneceğim hiçbir
şeyi dışarıda bulananlara açıklamayacağıma yemin ederim”
biçiminde and içerlerdi. P isagorculukta da giz saklanması ortak bir
kuraldı.
P ythagoras’ın son dönemleri:
Pythagoras, ileri yaşlarda iken politikaya karıştı. M.Ö. 508 civarında
Croton’lu soylulardan Cylon mathematikoi’lerden biri olmak istedi fakat
Pythagoras tarafından reddedildi. Bunun üzerine Pythagoras ve yandaşları
Cylon ve adamlarının saldırısına uğradılar. Tapınakları yakıldı, üyeleri
öldürüldü ya da sürgün edildi. Pythagoras, önce Tarentum’a sürgün gitti.
16 yıl kadar sonra yeniden bulunduğu yerden ayrılmak zorunda kaldı.
Pythagoras kendisine bağılığını sürdüren idealist bir grup ile daha
kuzeydeki bir sahil kasabası olan Metapontium’a kaçtı. Pythagoras Mısır’lı
kahinlere verdiği sözlere ve orada öğrendiklerine sadık kalarak, hiçbir şey
yazmadan, öğrencileri ile konuşa konuşa yaşlanmış ve kesin olmamakla
birlikte 100 yaşına yakın öldüğü birçok kaynak tarafından kabul
edilmektedir.
Eflatun, Pythagoras için şöyle yazmıştır: “ Bu kadar yüceltilmesinin
nedeni, yaşam biçiminin belirli bir yol göstermiş olmasıdır.” Kesin
olan şu ki Pythagorasçılar Croton’dan diğer İtalyan şehirlerine de yayılarak
yıllarca gelişmelerini sürdürdüler. Kardeşlik dördüncü yüzyılın sonlarına
doğru ortadan kayboldu. Pythagorasçılıkla ilgili bazı bilgiler Tarentum’lu
matematikçi Archytas ‘a (M.Ö. 428350) aittir.
P ythagoras, dünyanın güneş etrafında hareket ettiğini ileri
sürdüğünde oldukça sert tepki almıştı.
P ythagoras’ın doktrinlerini yazılı olarak M.Ö.335 yıllarında ünlü
olan ilk Matematik tarihçisi Rodos’lu Eudemus (M.Ö.350290)
anlatnıştır.
M.S. 1. Y üzyılda Tyana (Kemerhisar) da doğan Tarsus’a yakın bir
şehirde eğitim alan, P ythagoras doktrinlerine bağlı kalarak,
vegeteryan olan, derviş yaşamını benimseyen Appollonius, yeni
P ythagorasçılığın temellerinin atılmasında önderlik eden filozof ve
din öğretmenidir
P ythagoras ile ilgili hayal gücüne dayalı resimler
Bu resim İtalya’lı geometri ve aritmetik
üzerine kitaplar yazmış bir matematikçi
ve filozof olan Boethius (M.S.480524)
un kitabından alınmış gerçek dışı bir
resim. (Pythagoras farklı büyüklükteki
çanlarla birlikte)
.
Bir Yunan parası üzerinde Ptyhagoras.
M.S. 400 civarında yapılmış kabartma
madalyon.
P ythagoras anısına basılmış pullar
Rönesans dönemi ressamlarından Raphael (Raffaello Sanzio)
(14831520) tarafından 151011 de yapılmış ve Vatikan’da
bulunan Atina Okulu duvar resmi
Raphael’in Atina Okulu duvar
resminden (freskten) bir kesitin
yakın gösterimi. Pyhagoras kitap
elinde görülmektedir.
Rönesans dönemi İtalyan müzik
kuramcısı
ve
composeri
Franchinus Gafurius (M:S.1451
1522) nin “Practica Musicae” adlı
kitabında yer alan bu resimde
Pythagoras
uçlarına
değişik
ağırlıklar
asılmış
tellerin
bulunduğu
müzik
aletini
çalarken görülmektedir.
P ythagoras kendi okulunda
Pythagoras
Atina Okulu
tablosundan
Raphael
Sonuç olarak
, P ythagoras’ın Y unanistan’da ve Güney
İ talya’da çok derin izler bırakmış bir filozof, matematikçi, müzik
teorisyeni, astronom, felsefeci oldu ğunu söyleyebiliriz.
P ythagorasçılar ne tür matematik çalışmışlardı?
O dönemde aktif matematik araştırması yapılan modern bir üniversite
ya da bir enstitü düşünmemek gerekir. Onlar için çözülmesi gereken
“açık problemler” veya çözülmesi gereken formülleştirilmesi gereken
matematik problemleri de yoktu. Onlar matematiğin prensipleri, sayı
kavramı, üçgen kavramı veya matematiksel şekillerle ve ispatın soyut
düşünceleriyle ilgilendiler.
i)
Bir üçgenin iç açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu
biliyorlardı. Ayrıca, Pythagorasçılar n kenarlı bir çokgenin iç
açılarının toplamının 2n4 dik açıya ve dış açıların toplamının 4
dik açı toplamına eşit olduğunu biliyorlardı. Aksiyomatik
geometrinin başlangıcında etkili olmuşlardı.
ii)
Bahsettiğimiz Pythagoras teoremini biliyorlardı.
iii)
2
)
(
x
x
a
a
=
-
gibi denklemleri geometrik araçlarla çözmüşlerdi.
iv)
Hipotenüsü iki tam sayının oranı olarak yazmaya çalıştılar; çünkü
o
zamanlar
her
sayıyı
iki
tam
sayının
oranı
olarak
yazabileceklerini düşünüyorlardı. En azından o güne kadar
insanların anlayabildiği her sayı iki tam sayının oranı olarak
çıkmıştı.
v)
Pythagorasçılar Kenar uzuzunlukları 1 birim alınan bir dik üçgenin
hipotenüsünün karesinin 2 olması gerektiğini fakat oranları ya da
karesi 2 yi veren bir tam sayı ya da rasyonel sayı
bulamamışlardır. Henüz gerçel sayıları bilmiyorlardı. Bu nedenle
dinsel inançları sarsılmıştır. Yani 2 hiçbir tam sayı ya da kesir ile
ifade edilemeyen fakat sonsuz bir ondalık kesir ile ifade edilebilen
bir sayıdır. Bu sayı türü Pythagoras’ın felsefesine uygun değildi
ve bu gerçek onların düşüncelerini çıkmaza sokmuştur. Çünkü
inanışına göre tüm şeyler sayılardır bu nedenle doğal olarak bir
dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu da bir sayıya karşılık
gelmelidir. Bu konuyu iyice anlayıncaya kadar topluluk dışında bu
konunun
konuşulmasını
yasakladılar.
M.Ö.
500
lerde
Metapontum’da doğan Hippasus irrasyonel sayı kavramını
keşfetti. Böylece Pythagorasçılar irasyonel sayıları keşfetmiş
oldular..
vi)
Astronomide, Pythagoras düşüncesine göre Dünya Evren’in
merkezinde bir küredir. Venüs’ün hem akşam yıldızı hemde
sabahyıldızı olan aynı gezegen olduğu gerçeğini biliyordu.
Sayıların anlamları:
Bu sistemin özel yapısında 1 den 10 a kadar olan s ayıların
temsil ettiği düşünceleri şöyle sıralayabiliriz:
“ 1” bütün varlıkların değişmez, sonsuz kaynağı ve sarsılmaz
ilkesidir.
“ 2” dişiliği ve doğanın bu dişilikten meydana geldiğini anlatır.
Y ani genel enerjiyi ifade eder. Bu sayı iki tek arasında dengesiz
bir haldedir.
“ 3” bu sayı uyum ve düzenle maddenin kapsadığı üçlü öğeleri
temsil eder. Üç boyut ateş, su ve hava gibidir. Bu hem erkekliği,
hem de bütün doğada Tanrısal birliğin mutlak ve zorunlu olan
varlığını gösterir.
“ 4” Tanrısal gücü temsil eder. Çünkü Croton tapınağındaki
(evin,ailenin ve ocağın tanrıçası) Hestia, kare taban üzerinde bir
eliyle ocağı korur ve diğer eliyle de gökyüzünü gösterir.
“ 5” evlenmenin simgesidir. Bu 2+1+2 olduğuna göre, 1 in iki
tarafında bir eşitliği gösterir. Aynı zamanda eşyadaki çeşitliliği
de anlatır.
“ 6” organik ve hayatsal varlıkların türlü şekillerini temsil eder.
Bunda dişilik ilkesi olan iki, erkeklik ilkesi olan üç, mutlak” 1” le
birleşmiş görüldüğü için, kuşakların devamını da bu sayı
gösterir.
“ 7” hem tehlikeli zamandır, hemde akıl, ışık ve kuvvetin
simgesidir. Bu doğanın ebedi deişikliğini ve sonunda her şeyin
bir birliğe döneceğini gösterir.
“ 8” ahlak ve erdemi temsil eder. Çünkü, bu küpün temelini
oluşturan çiftlerden oluşur.
“ 9” adaleti, yüce yetkinliği temsil eder. İ lk tek sayının karesi
olduğu için, her şeyin bir evrime zorunlu olduğnu anlatır.
“ 10” kutsal kareye eşdeğerdir. Bu sayı ilk yetkin tek ve çift
sayıların toplamıdır. Y ani 1+2+3+4=10 olur. Bu kutsal bir
dostluktur.
Sonsuz
olan
doğanın
kaynağını
da
kapsar.
P ythagorasçıların yeminleri de bu gizemli sayı üzerine olurdu.
Onlar bu sayıları hep kutsal terimlerle ifade ederlerdi.
*Ayrıca P ythagoras matematiğinde:
1 noktadır, 2 çizgidir, 3 üçgendir, 4 dörtyüzlü bir şekildir.
Her bir sayı mistik ve sembolik anlam taşımaktadır. Tek ayıları
erkek, çift sayıları dişi olarak adlandırıyorlardı. Tek ve çift sayıların
evlendirilmesinden tam sayılar elde ediliyordu. 2n+1 gibi bir tek
sayı (n+1) in karesi ile n karenin farkı olarak iki kare farkı
biçiminde ifade ediliyordu. İ ki sayının çarpımınna düzlem, üç
sayının çarpımına yüzey deniliyordu. Üç sayı eşit ise çarpımları küp
oluyordu.
İ yonya (I onia) lılarda Bilimsel Çalışmaların
Y apılmasının N edenleri
1. Ön Asya’dan gelen önemli ticaret yollarının kesiştiği noktada olması
2. Ticaret aracılığıyla birçok medeniyetle ilişki içinde olmaları
3. Kurdukları koloniler aracılığıyla zenginleşmeleri
4. Özgür düşünceye önem vermeleri
5. Dini baskının olmayışı İyonya’nın bir bilim merkezi haline gelmesinde
ve yüksek bir medeniyetin doğmasında etkili olmuştur.
BABİLLİLERİN MATEMATİĞİNDE PYTHAGORAS
TEOREMİ
Kesin olarak bilinmektedir ki Babilliler Pythagoras teoremi hakkında bilgi
sahibiydiler. British müzesinde korunan Babil tabletlerinin tercümesi
şöyledir.
Bir dik üçgenin bir kenarının uzunluğu 4 , köşegen 5 tir. Diğer kenar
uzunluğu nedir?
Onun büyüklüğü bilinmiyor.
4 kere 4 16 dır.
5 kere 5 25 tir.
25 ten 16 çıkarınca 9 kalır.
9 elde etmek içi ne ile ne çarpılmalıdır?
3 kere 3 =9 dur.
O halde diğer kenar 3 tür.
Yanda Babil uygarlığının
geliştiği yerleşim bölgesinin
haritası görülmektedir.
Bizim için ilginç olan
tabletlerin biri
Plimpton 322 tabletidir.
Bu tabletin içerdiği
matematiği tanımlamadan
önce tabletler hakkında bazı
bilgiler vereceğiz. İncelenmiş
tüm tabletler
Mezopotamya’da gelişen eski
Babil İmparatorluğunun M.Ö.
19001600 dönemine aittir.
PLİMPTON 322
TABLETİ
Şimdi G.A.Plimpton’un koleksiyonunda yer alan Columbia Üniversitesinde
(ABD) bulunan yukarıdaki 322 numaralı Tablete bakalım. (M.Ö. 1800
1650 dönemi)
Tablet 15 satırlı 4 kolona sahiptir. Son kolonu anlamak çok kolaydır.
Çünkü 1,2,…,15 şeklinde numaralar içermektedir. Üçüncü kolon, her bir
satırdaki c sayısının karesinden ikinci kolondaki b sayısının karesinin farkı
ile elde edilen mükemmel h
2
lerdir. Yani
c
2
b
2
=
h
2
dir. Böylece tablet Pythagoras tamsayı üçlülerinin listesini vermektedir.
Zarar görmüş olması nedeniyle eksik kısım olduğundan ilk kolonu anlamak
çok zordur. Bununla birlikte yukarıdaki gösterimle ilk kolonun (
c
/
h
)
2
olduğu görülebilir.
Fakat ne en küçük Pythagoras üçlüsü 3,4,5 ne de 5, 12, 13 vardır En
küçük üçlü olarak 3,4,5 in 15 katı olan 45,60, 75 vardır.
Çok sayıda uzman tarihçi tabletleri çözme girişminde bulunmuştur.
Aşağıda Yale Üniversitesi (ABD) Babilliler koleksiyonunda bulunan
tabletten bir parça görülmektedir.
Y BC 7289 nolu bu tablet meşhur 2 tabletidir.
Eski Babil döneminden orijini bilinmeyen yuvarlak okul tabletidir. Karenin
sol üst kenarında altmışlık sayı sisteminde 30 yazmaktadır. Karenin iki
köşegeni de çizilmiştir. Bir köşegeni boyunca 1;24,51,10 ve altında 42;
25,35 yazılmıştır. Kuşkusuz bu sayılar Babillilerin 60 lık sayı sisteminde
yazılmıştır. Bu sayı sistemini aşağıda vereceğiz. Tam sayının bittiği yerden
kesirli kısım başlamaktadır.
1;24,51,10 sayısının onluk sisteme dönüştürülmesi:
414212963
.
1
000046296
,
0
014166666
,
0
4
,
0
1
60
10
60
51
60
24
1
3
2
=
+
+
+
=
+
+
+
dir. √2 = 1.414213562 olduğunu da biliyoruz.. 30
[ 1;24,51,10 ]
çarpımı ikinci sayı olan 42;25,35 yı yani onluk sistemdeki
42+
4263888
,
42
0097222
,
0
4166666
,
0
42
60
35
60
25
2
=
+
+
=
+
verir. Bu sonuç bir kenarı
30 olan bir karenin hipotenüsüdür ve yaklaşık olarak 30.√2 yi verecektir
30x(1;24,51,10)= 42;25,35 olduğunu görmek zor değildir. Yani
1;24,51,10
2
@
ve 42;25,35
2
30
@
dir.
Köşegenle ilgili bir okul alıştırma sorusunda karenin
kenar uzunluğ u neden 30 seçilmiş olabilir?
Bir karenin kenar uzunluğunun 1 birim yerine ½ birim alınması cebirde
güzel bir alıştırmadır. Kenar uzunluğu 1 birim olan karenin kenar
uzunluğunun
köşegen uzunluğuna oranı
2
1
dir.
2 bir irrasyonel
sayıdır. Sonlu bir sayı ile 60 lık sayı sisteminde gösterilemez.
Böylece 1;24,51,10 yalnız yaklaşık olarak yazılablir. Gerçekten 1;24,51,10
sayısının karesi=1;59,59,59,38,1,40
2
@
dir.
Sonuç olarak, Babilliler
2 yi ve bu sayıya en iyi yaklaşımın nasıl
bulunacağını biliyorlardı.
Babillilerin Sayıları
Babil uygarlığı Sümer ve Akad uygarlığının yerini almıştır. 60 tabanına
göre yazılmış sayı sistemleri vardır.
1 ve 59 arasındaki sayıları aşağıda göreceksiniz. Bir ve on gibi iki temel
sembolden 59 sayı oluşturulmuştur. Bugün kullandığımız onluk sayı
sisteminde 0,1,2,…,9 sembolleri kullanılarak on tabanına göre sayılar
yazılmaktadır.
Aşağıda iki sembol (1 ve 10) kullanılarak elde edilen Babil sayı
sistemindeki 59 sembol görülmektedir.
Bugün onluk sayı sisteminde 12345 sayısını
1 10
4
+ 2 10
3
+ 3 10
2
+ 4 10 + 5.
biçiminde gösteriyoruz. Bu yöntemin Babil altmışlık sayı sistemine
uygulanmasıyla 1,57,46,40 sayısı
1 60
3
+ 57 60
2
+ 46 60 + 40
dir. Onluk sistemde 424000 dir.
Şimdi 10,12,5;1,52,30 gösterimi incelenirse
10 60
2
+ 12 60 + 5 +
1
/
60
+
52
/
60
2
+
30
/
60
3
=36725+
1
/
32
=36725,03125 yazılır.
Kaynaklar
1. O’Connor, J .J . ve Robertson, E.F. (2006). P ythagoras of
Samos
http:/ / w w w .history.mcs.standrew s.ac.uk/ history/ P rintonly/
P ythagoras.html
2. Okur, İ . (2003).
Çağlar Boyunca Matematik veİ lahiyat
Okursoy yayınları
3. P appas, T. (1993).
Y aşayan Matematik,
Sarmal
Y ayınevi.
4. Sertöz, S. (1996).
Matematiğin aydınlık dünyası
TUBİ TAK
popüler bilim kitapları
5. Struik, D. J . (2000).
Kısa Matematik Tarihi
, Mavi ada yayınları
6.Tepedelenlioğlı, N. (1990).
Kim Korkar
Matematikten,
Amaç Y ayıncılık Ltd. Şirketi.
7. Hançerlioğlu, O. (2000)
Felsefe Ansiklopedisi
,
3.Baskı, Remzi Kitabevi, İ stanbul.
8. Hançerlioğlu, O. ( 1995 )
Düşünce Tarihi, 6.Baskı
Remzi Kitabevi, İ stanbul.
9. Champdor, A. ( 2006 )
Mısır’ın ölüler kitabı
, Ruh ve madde
yayınları
Dostları ilə paylaş: |