# Science and e ducation

Yüklə 45,72 Kb.
 səhifə 1/3 tarix 22.06.2022 ölçüsü 45,72 Kb. #89922
1   2   3
bir-jinsli-chiziqli-algebraik-tenglamalar-sistemasi (2)

"Science and Education" Scientific Journal

August 2021 / Volume 2 Issue 8

## Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

Maxsud Tulqin o‘g’li Usmonov maqsudu32@gmail.com

Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Qarshi filiali

Annotatsiya: Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi har doim birgalikda, chunki har doim sistemaning yechimi boʻladi. Bir jinsli sistema uchun munosabat oʻrinli boʻlsa, sistema aniq boʻlib, yagona nol( yoki trivial) yechimga ega.
Kalit so’zlar: bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi, fundamental yechimlar sistemasi, aniqlik shartlari, bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi.

## A system of homogeneous linear algebraic equations

Mahsud Tulkin oglu Usmanov maksudu32@gmail.com

Karshi branch of Tashkent University of Information Technologies

Abstract: A system of homogeneous linear equations is always together because there is always a solution to the system. If the relationship is appropriate for a homogeneous system, then the system is clear and has a single zero (or trivial) solution.
Keywords: system of homogeneous linear equations, system of fundamental solutions, conditions of accuracy, general solution of system of non-homogeneous linear equations.

1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining notrivial yechimi mavjudlik sharti.
1-misol. Quyidagi sistemani yeching:
4x1 x2  3x3 x4  0,
2x  3x x  5x  0,
1 2 3 4

x  2x  2x  3x
 0.

 1 2 3 4

2x2 2x4 0,
7x  5x 11x  0,
2 3 4

x  2x  2x  3x
 0.

 1 2 3 4

sistemani hosil qilamiz. Agar ozod had sifatida x4
qarasak. U holda
noma’lumni olib,
x4   , deb

x 3  ,
1 5
x2   ,
x 4  ,
3 5
x4  

koʻrinishdagi yechimlarni hosil qilamiz.

Ushbu holda har bir nolmas yechim n oʻlchovli vektor sifatida qaralishi mumkin.
Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlari quyidagi xossalarga ega:

1. Agar

X0  (b1,b2 ,...,bn )
vektor AX  sistemaning yechimi boʻlsa, u holda

k ixtiyoriy son boʻlganda ham
kX0  (k b1,k b2 ,...,k bn )
vektor ham bu sistemaning

1. Agar

X0  (b1,b2 ,...,bn ) va
X1  (c1,c2 ,...,cn )
vektorlar AX  sistemaning

yechimlari boʻlsa, u holda sistemaning yechimi boʻladi.
X0 X1  (b1 c1,b2 c2 ,...,bn cn )
vektor ham bu

Shuning uchun bir jinsli sistema yechimlarining har qanday chiziqli
kombinatsiyasi ham uning yechimi boʻla oladi.
Bir jinsli boʻlmagan sistema yechimlari uchun yuqoridagi da’vo oʻrinli emas.
a11   a12   a1k
a   a   a

A
21 ,
A
22 ,
..., A
2k

1  
2  
k  

a   a   a

n1  
n2 
nk

n oʻlchovli vektorlar sistemasini ko‘rib chiqamiz.

1. ta’rif. Agar

x1 A1 x2 A2  ...  xk Ak
  tenglikni qanoatlantiruvchi kamida

bittasi noldan farqli
x1 , x2 ,..., xk
sonlar mavjud boʻlsa, u holda
A1, A2 ,..., Ak
vektorlar

sistemasi chiziqli bog‘liq vektorlar sistemasi deb ataladi.

Aks holda, yani faqat
x1 x2  ...  xk  0
boʻlgandagina

x1 A1 x2 A2  ...  xk Ak
  tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda
A1, A2 ,..., Ak
vektorlar

sistemasi chiziqli erkli vektorlar sistemasi deb ataladi.

Izoh.
x1 A1 x2 A2  ...  xk Ak
  vektor bir jinsli tenglamalar sistemasini

ifodalaydi. Masalan,

A 1 ,
A 2,
A 1

vektorlar sistemasini qaraymiz.

1  2 2  3  3  2
     
x1 A1 x2 A2 x3 A3  
vektordan quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
x1  2x2 x3  0,
2x  3x  2x  0.
 1 2 3

Bu sistemaning yechimlarini Gauss usulida topamiz.

x  2x x  0,
x1  7x3 ,

1 2 3
x  4x ,

• x  4x

 0.
2 3

 2 3
x R .

 3

Koʻrinib turibdiki, tenglamalar sistemasi cheksiz koʻp yechimga ega.
x3 1, deb

olsak,
x1  7,
x2  4
qiymatlarni topamiz. Ya’ni,
7A1  4A2 A3  .

Demak, ta’rifga asosan, qaralayotgan vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq. Yuqorida aytib oʻtilgan bir jinsli tenglamalar sistemasining xossalari va
Kroneker-Kapelli teoremasiga asosan quyidagi tasdiqni hosil qilamiz.

Tasdiq. Agar
A1, A2 ,..., Ak
vektorlar sistemasining rangi
r( A1,..., Ak )
vektorlar

soni k dan kichik boʻlsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq boʻladi. Agar

r k
boʻlsa, u holda
A1, A2 ,..., Ak

Xususan, bu tasdiqdan, bir xil oʻlchovli vektorlar sistemasidagi vektorlar soni bu vektorlarning oʻlchovidan, ya’ni rangidan katta boʻlsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli boʻgliq boʻlishi kelib chiqadi.

Haqiqatan ham
A1, A2 ,..., Ak
vektorlar sistemasining rangi, ta’rifga asosan,

a11 a12
a a

A

21 22

a a
n1 n2
matritsa rangiga teng. Shartga asosan k n , r( A)  min(n, k)  n k . U holda
AX  tenglamada noma’lumlar soni tenglamalar sistemasi rangidan katta. Demak, sistema trivial boʻlmagan (noldan farqli) yechimga ega, ya’ni, vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq.
2. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi.

1. ta’rif. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday maksimal sondagi chiziqli erkli sistemasi bu tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi.

1. teorema. AX  tenglamalar sistemasining har qanday yechimi fundamental

yechimlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasidan iborat.

Isbot.
X1, X2 ,..., Xk
vektorlar sistemasi AX  tenglamalar sistemasining

fundamental yechimlari sistemasi boʻlsin.
X 0 vektor esa tenglamalar sistemasining

boshqa ixtiyoriy yechimi boʻlsin. U holda, ta’rifga asosan,
X0 , X1, X 2 ,..., Xk
vektorlar

sistemasi chiziqli bog‘liq. Ya’ni shunday kamida bittasi noldan farqli sonlar mavjudki,
0,1,...,k

0 X0  1X1  ...  k Xk
 .

Agar bu tenglikda
0  0
boʻlsa,
1X1  ...  k Xk  0, ya’ni,
X1, X2 ,..., Xk

vektorlar chiziqli bog‘liq. Bu esa teorema shartiga zid. Demak,
0  0 . Shu sababli

X   1 X
0 1
 ...  k

Xk .

0 0

Tasdiq. Agar
F1, F2 ,..., Fk
n oʻlchovli vektorlar sistemasi AX  tenglamalar

sistemasining fundamental yechimlar sistemasi boʻlsa, bu bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasining umumiy yechimi
X c1F1  ...  ck Fk
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:

1. teorema. Bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasining rangi r ga teng boʻlib, sistema noma’lumlari soni n dan kichik boʻlsin. U holda tenglamalar sistemasining

fundamental yechimlar sistemasi n r ta nolmas vektorlardan iborat boʻladi.
Teoremadan koʻrinib turibdiki, fundamental yechimlar sistemasidagi vektorlar soni bu sistemaga mos erkli oʻzgaruvchilar soniga teng ekan.
Bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari sistemasini quyidagicha qurishimiz mumkin:

1. Bir jinsli sistemaning rangi topiladi;

1. n r

ta erkli oʻzgaruvchilarga qiymat beramiz. Buning uchun n r
oʻlchovli

n r ta vektorlardan iborat chiziqli erkli vektorlar sistemasi tanlanadi. Bunda

masalan, har bir vektori n r
oʻlchovli
A  (1,0,...,0)T ,
A  (0,1,...,0)T ,...,

1

2
A  (0,0,...,1)T sistemani tanlash mumkin;

nr

1. Erkli noma’lumlar oʻrniga yuqorida tanlangan

A1 vektorning mos

koordinatalarini qoʻyib, bazis noma’lumlar aniqlanadi va

usulda
A2 , A3 ,..., Anr
vektorlardan foydalanib, mos ravishda
F2 ,
F3, ...,
Fnr

F1, F2 ,..., Fnr

vektorlar sistemasining rangi ularning qismi boʻlgan

A1,..., Anr

vektorlar rangidan kichik emas.
A1,..., Anr
vektorlar chiziqli erkli boʻlgani sababli bu

vektorlar sistemasi rangi maksimal, ya’ni n r
ga teng. Shu sababli,
F1, F2 ,..., Fnr

vektorlar sistemasi rangi ham maksimal, ya’ni n r
sistemasi chiziqli erkli.

1. misol. Quyidagi

ga teng, ya’ni bu yechimlar

3x1 x2  8x3  2x4 x5  0,
2x  2x  3x  7x  2x  0,
1 2 3 4 5

x  5x  2x 16x  3x
 0,

1 2 3 4 5
x1  11x2 12x3  34x4  5x5  0
chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini toping.

r  2 ,
n 5 . Demak, sistemaning har qanday

fundamental yechimlar sistemasi
n r  3

1. Bu yerda

x3 , x4 , x5
noma’lumlarni ozod noma’lumlar, deb hisoblab sistemani

yechamiz va quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:
x 19 x 3 x 1 x ,

1 8 3 8 4 2 5
7 25 1

x x x x .
2 8 3 8 4 2 5

1. Soʻngra uchta chiziqli erkli uch oʻlchovli vektor olamiz:

1   0   0
0 , 1 , 0 .
     

0 0 1
     
     

1. Bu vektorlarning har birining komponentlarini umumiy yechimga ozod

noma’lumlarning qiymatlari sifatida keltirib qoʻyib,
x1, x2
larning qiymatlarini

hisoblab, berilgan tenglamalar sistemasining quyidagi fundamental yechimlar sistemasini hosil qilamiz:
19 7 T
F1 8 , 8 , 1, 0, 0 ,
 
3 25 T
F2 8 ,  8 , 0, 1, 0 ,
 
1 1 T
F3 2 , 2 , 0, 0, 1 .
 

Sistemaning umumiy yechimi
X c1F1 c2 F2 c3F3 , yoki

x1 19 / 8 3 / 8 1 / 2
x 7 / 8 25 / 8 1 / 2
2      
F x3 c1 1 c2 0 c3 0 .
x 0   1   0
4      
x 0 0 1
 5 

Bu yerda
c1, c2
va c3
ixtiyoriy sonlar.

3. Bir jinsli va bir jinsli boʻlmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari yechimlari orasidagi boglanish. Bir jinsli boʻlmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasinig umumiy yechimi.
n noma’lumli m ta chiziqli bir jinsli boʻlmagan tenglamalar sistemasi
matritsalar yordamida AX B koʻrinishda ifodalangan boʻlsin. Bunda A - m n
oʻlchovli matritsa, X - n oʻlchovli noma’lumlardan iborat ustun vektor, B - m

AX  tenglamalar sistemasi AX B
bir jinsli boʻlmagan sistemaning bir

Berilgan bir jinsli boʻlmagan sistemaning umumiy yechimini vektor shaklda quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerda,

X F0 с1F1  ...  сnr Fnr
F0  dastlabki bir jinslimas sistemaning xususiy yechimlaridan biri (

F0 ni aniqlash uchun erkli oʻzgaruvchilarning xususiy qiymatlarida bir jinsli

F1,
F2, ...,
Fnr

• bir jinsli

sistemaning fundamental yechimlari sistemasi; haqiqiy sonlar.

1. misol. Quyidagi

с1,
с2, ...,
сnr
- ixtiyoriy

x1 x2  2x3  1
2x x x  2
 1 2 3
chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlarini toping.
Yechish. Sistemaning yechimini topishda Gauss-Jordan usulidan foydalanamiz

 1 1 2 1   3 0 1
3   3 0 1 3

2 1 1 2 : 2 1 1 2 : 5 1 0 5.
     

Bu yerda
x2 , x3  bazis oʻzgaruvchilar,
x1 erkli oʻzgaruvchidir.

 5
0

n  3, r  2, n r 1.

yechimni olamiz.

x1  0 , deb olsak, F0
xususiy

3

 
 
 

Endi bir jinsli boʻlgan chiziqli tenglamalar sistemasini yechib fundamental yechimlar sistemasini topamiz. Bir jinsli sistema quyidagi sistemaga ekvivalent

3x1

x3  0,

5x1 x2  0.

1

x1  1, deb olsak,
F 5

 

3

1
 
 
bir jinsli tenglamalar sistemasining

fundamental yechimni olamiz. Demak, umumiy yechim
x1 0   1
x 5 с 5 ,
2    
x 3 3

 3 
bu yerda с - ixtiyoriy son.

1. misol. Quyidagi

   

4x1  7x2  2x3  3x4  8,
x  3x x  2x  3,
1 2 3 4

2x x  4x x
 2.

 1 2 3 4
tenglamalar sistemasining umumiy yechimini vektor shaklda yozing.
Yechish. Sistemaning yechimini topishda Gauss-Jordan usulidan foydalanamiz:
 4 7 2 3 8   0 5 6 5 4   0 1 1, 2 1 0,8 
1 3     

1 2 3 : 1 3 1 2 3 : 1 0 2,6 1 0,6 .

 

 
2 1 4 1 2 0 5 6 5 4 0 0 0 0 0
F0( 0,6;0,8;0;0 )sistemaning xususiy yechimlaridan biri. Bundan foydalanib sistemaning umumiy yechimini vektor shaklida yozamiz:
0,6 2,6 1

0,8  
1, 2
  1

X F с F с F
  с   с   .

0 1 1 2 2
0 1 1 2 0

0   0   1

bu yerda

с1, с2
     
lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar

Yüklə 45,72 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3

Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2023
rəhbərliyinə müraciət

Ana səhifə