Sharga urinma tekislik. Shar bo’laklari. Reja: sharga urinma tekislik

Aim.uz

Sharga urinma tekislik. Shar bo’laklari.

Reja:

1) Sharga urinma tekislik

2)Shar simmetriyasi

3)Shar bo’laklari

Sharga urinma tekislik

Shar sirtidagi A nuqtadan utib, shu nuqtaga o`tkazilgan radiusga perpendikulyar tekislik urinma tekislik deyiladi. A nuqta urinish nuqtasi deyiladi (j-rasm).

j-rasm f-rasm

3.1- t e o r e m a. Urinma tekislik shar bilan faqat bitta umumiy nuqtaga – urinish nuqtasiga ega.

Isboti. A – sharga urinma tekislik va A – urinish nuqtasi bo`lsin (f-rasm), a tekislikda A nuqtadan farqli ixtiyoriy X nuqtani olamiz. OA – perpendikulyar, OX – ORME bo`lgani uchun

OX > OA = R.

Demak, X nuqta sharga tegishli emas. Teorema isbotlandi.

Sharga urinma tekislikda urinish nuqtasidan o`tuvchi to`g`ri chiziq shu nuqtada sharga urinma deyiladi.

Urinma tekislik shar bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo`lgani uchun urinma to`g`ri chiziq ham shar bilan faqat bitta umumiy nuqtaga – urinish nuqtasiga ega bo`ladi.

Masala. Radiusi R ga teng shar tomoni a ga teng muntazam uchburchakning hamma tomonlariga urinadi. Shar markazidan uchburchak tekisligigacha masofani toping.

Y e c h i l i s h i. A, B, C – sharning uchburchak tomonlariga urinish nuqtalari bo`lsin.Sharning O markazida uchburchak tekisligiga OO<sub>1</sub> perpendikulyarni tushiramiz. OA, OB, OC kesmalar uchburchak tomonlariga perpendikulyar. Uch perpendikulyar xaqidagi teoremaga ko`ra O₁A, O₁B, O₁C kesmalar ham uchburchakning mos tomonlariga perpendikulyar.

To`g`ri burchakli OO₁A, OO₁B, OO₁C uchburchaklarning tengligi uchun ularda OO₁ katet umumiy, gipotenuzalari esa radiusga teng) tomonlar teng: O₁A = O₁B = O₁C.

Demak, O₁ – uchburchakka ichki chizilgan aylananing markazi. Bu aylananing radiusi, biz bilamizki, gat eng. Pifagor teoremasiga ko`ra izlanayotgan masofani topamiz. Bu masofa quyidagiga teng:

Shar simmetriyasi.

3.2 – teorema. Sharning istagan diametral tekisligi uning simmetriya tekisligi bo`ladi. Sharning markazi uning simmetriya markazidir. D-rasm

I s b o t i. - diametral tekislik va X – sharning ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin (d – rasm). tekislikka nisbatan X nuqtaga simmetrik X` nuqtani yasaymiz.

tekislik XX` kesmaga perpendikulyar va uni bu tekislik teng ikkiga bo`ladi (A nuqtada). To`g`ri burchakli OAX va OAX` uchburchaklarning tengligidan: OX`=OX.

bo`lgani uchun , ya`ni X nuqtaga simmetrik nuqta sharga tegishlidir. Teoremaning birinchi da`vosi isbotlandi.

Endi X`` - shar markaziga nisbatan X nuqtaga simmetrik nuqta bo`lsin. U holda OX`` =, ya`ni X`` nuqta sharga tegishli. Teorema isbotlandi.

Ikkita sferaning kesishmasi.
3.3 – teorema. Ikkita sferaning kesishish chizig`i aylanadir.

Isboti. O₁ va O₂ – sferaning markazi, A – ularning kesishish nuqtasi bo`lsin k-rasm). A nuqta orqali O<sub>1</sub>O<sub>2</sub> to`g`ri chiziqqa perpendikulyar a tekislikni o`tkazamiz.

A tekislikning O₁O₂ to`g`ri chiziq bilan kesishgan nuqtani B bilan belgilaymiz 20.3 – teoremaga asosan a tekislik ikkala sferani A nuqtadan o`tuvchi B markazli K aylana bo`yicha kesib o`tadi. Shunday qilib, K aylana sferalarning kesishmasiga tegishli ekan.

Endi sferalar K aylananing keyin kesishish nuqtalaridan boshqa nuqtalariga ega emasligini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, sferalarning X kesishish nuqtasi K aylanada yotmasin. X nuqta va O<sub>1</sub>O<sub>2</sub> to`g`ri chiziq orqali tekislik o`tkazamiz. Bu tekislik sferalarni markazlari O₁ va O₂ bo`lgan aylanalar bo`yicha kesib o`tadi. Bu aylanalar K aylanaga tegishli bo`lgan ikki nuqta va yana X nuqtada kshishadi. Ammo ikkita aylana ikkitadan ortiq kesishish nuqtasiga ega bo`lmaydi. Biz ziddiyatga uchradik.

k-rasm l-rasm

Shunday qilib, sferalarimizning kesishmasi (K) aylana ekan. Teorema isbotlandi.

Masala . Radiusi K bo`lgan ikkita teng shar shunday joylashganki, birining markazi ikkinchisining sirtida yotadi. Bu sharlar sirtlarining kesishgan chizig`i uzunligini toping. <

Yechilishi. (l-rasm)Sharlarning markazlaridan kesim utkaza-miz Masalada so`z borayotgan chiziq aylanadir (3.3-teorema). Uning radiusi tomonlari R ga teng bo`lgan teng tomonli OAO₁ uchburchakning balandligiga teng. Balandligi ga teng. Demak, izlanayotgan chiziqning uzunligi gat teng. .
Agar ko`pyoqning hamma uchlari shar sirtida yotsa, ko`pyoq sharga ichkichizilgan deyiladi. Agar ko`pyoqning hamma yoqlari shar sirtiga urinsa, bunday ko`pyoq sharga tashqi chizilgan deyiladi.

Masala. Muntazam piramidaga tashqi chizilgan , sharning markazi uning o`qida yotishini isbotlang.

Yechilishi. Sharning O markazidan piramida asosi tekisligiga OA perpendikulyar tushiramiz .

X – piramida asosining ixtiyoriy bir uchi bo`lsin. Pifagor teoremasiga ko`ra:

AX² = OX² – OA² =R² – OA²
Shunday qilib, piramida asosining istagan uchi uchun aynan bir xil.Bu esa A nuqta piramida asosiga tashqi chizilgan aylananing markazi ekanini anglatadi. Demak sharining O markazi piramidaning o`qida yotadi.


Nazorat savollari:

1.Sharning tekislik bilan kesishmasi doira ekanini isbotlang.

2. Qanday tekislik sharning diametral tekisligi deyiladi? Katta doira nima?

3. Sharning istagan diametral tekisligi uning simmetriya tekisligi bo`ladi. Sharning markazi uning simmetriya markazi bo`ladi. Shularni isbotlang.

4. Qanday tekislik sharga urinma tekislik deyiladi?

5. Urinma tekislik shar bilan faqat bitta umumiy nuqtaga – urinish nuqtasiga egaligini isbotlang.

6. Qanday to`g`ri chiziq sharga urinma deyiladi?

7. Ikkita sferaning kesishish chizig`I aylana bo`lishini isbotlang.

8. Qanday ko`pyoq sharga ichki chizilgan (sharga tashqi chizilgan) ko`pyoq deyiladi?

Tayanch so’zlar:

Shar ,sfera ,deametr ,ko”pyoq ,tekislik,radius.....

Adabiyotlar:

1.”Geometriya” II-qism, I.Isroilov. L.Z.Pashayev.

Toshkent-2005

2.A.B.Pogorelov “Geometriya”. O’rta maktabning 7-11 sinflari uchun darslik. Toshkent -1991

3.A.P.Kiseyov “Geometriya”, o’rta maktabning 9-10 sinflari uchun darslik II-qism. Toshkent -1975

4.1996-2007 Axborotnomalar.

5.N.Ribkin “Geometriyadan masalalar tuplami” II-qism, stereometriya.O’qituvchi nashri1.

Aim.uz