Skúmanie príčinnej kauzálnej závislosti,skúmanie vzťahov medzi príčinou a účinkom kedy jeden resp viac javov (znakov, nezávisle prememnných veličín ) vyvoláva účinok výsledný jav závisle prememnnú veličinu

skúmanie príčinnej - kauzálnej závislosti,skúmanie vzťahov medzi príčinou a účinkom kedy jeden resp viac javov (znakov, nezávisle prememnných veličín ) vyvoláva účinok - výsledný jav - závisle prememnnú veličinu

• skúmanie príčinnej - kauzálnej závislosti,skúmanie vzťahov medzi príčinou a účinkom kedy jeden resp viac javov (znakov, nezávisle prememnných veličín ) vyvoláva účinok - výsledný jav - závisle prememnnú veličinu

• Y = f (X1 X2…... Xk ,Bo , B1 ,….Bp ) +e

Y = f(X1 X2…... Xk ,Bo , B1 ,…., Bp)

• Y = f(X1 X2…... Xk ,Bo , B1 ,…., Bp)

• kedy je závisle prememnná veličina jednoznačne určená funkčným vzťahom, príklady z fyziky, chémie - takýto druh vzťahov nie je predmetom štatistického skúmania

regresná úloha (RÚ) jej podstatou je

• regresná úloha (RÚ) jej podstatou je
• a) nájsť funkčný vzťah podľa ktorého sa mení závislé premenná so zmenou nezávisle premenných - nájsť vhodnú regresnú funkciu.
• b) Súčasne je potrebné odhadnúť parametre regresnej funkcie.

Všeobecná forma viacnásobného regresného modelu:

• Všeobecná forma viacnásobného regresného modelu:

• Yi = B1 + B2X2i + B3X3i + … + BkXki + ui

• Skrátená forma:

• Yi = BX + ui

• Y vysvetlovaná premenná (regressand), X je vektor vysvetlujúcich premenných (regressorov), and u je náhodná chyba (reziduá).

B1 je lokujúca konštanta - vyjadruje očakávanú úroveň závislé premennej pri nulovej hodnote nezávisle premennej

• B1 je lokujúca konštanta - vyjadruje očakávanú úroveň závislé premennej pri nulovej hodnote nezávisle premennej

• B2 až Bk sú regresné koeficienty (smernice)

• Každý regresný koeficient meria (parciálnu) mieru zmeny v priemernej hodnote Y pri jednotkovej zmene v hodnote vysvetlujúcej premennej, ceteris paribus.

Časové rady

• Časové rady

• Súbor pozorovaní ktoré nadobúda premenná v rôznych časových obdobiach ako napríklad denné (napr. ceny akcií), Týždenné (napr. ponuka peňazí), mesačné (napr. miera nezamestnanosti), kvartálne čiže štvrťročné (napr. HDP), ročné (napr. štátny rozpočet), päťročné (napr. sčítanie výrobcov), alebo desaťročné (napr. sčítanie obyvateľov).

Prierezové údaje

• Prierezové údaje

• Údaje o jednej alebo viacerých premenných získané v jednom bode v čase.
• Príkladom sú napríklad sčítanie obyvateľov vykonávané štatistickým úradom, rôzne prieskumy preferencií, či namerané teploty v danom čase na rôznych miestach.

Panelové, longitudálne alebo mikropanelové údaje

• Panelové, longitudálne alebo mikropanelové údaje

• Kombinujú prvky oboch predchádzajúcich, tak časových radov ako aj prierezových údajov
• Rovnaké prierezové jednotky sú sledované v čase

Metóda najmenších štvorcov (MNŠ) neminimalizuje sumu odchýlok, ale minimalizuje sumu štvorcov odchýlok:

• Metóda najmenších štvorcov (MNŠ) neminimalizuje sumu odchýlok, ale minimalizuje sumu štvorcov odchýlok:

• Pre získanie regresných koeficientov sú parciálne derivácie podla jednotlivých regresných koeficientov dané do rovnosti s nulou.

Predpoklady klasického lineárneho regresného modelu (CLRM):

• Predpoklady klasického lineárneho regresného modelu (CLRM):

• A-1: Model je lineárny v parametroch.

• A-2: Vysvetľujúce premenné sú nestochastické a konštantné v opakovaných výberoch.

• A-3: Pre dané X, stredná hodnota reziduí je 0, alebo E(ui |X) = 0.

Predpoklady klasického lineárneho regresného modelu:

• Predpoklady klasického lineárneho regresného modelu:

• A-4: Homoskedastický, alebo konštantný rozptyl ui, zapísané ako var(ui|X) = σ2.

• A-5: Žiadna autokorelácia rezíduí, alebo cov(ui,uj|X) = 0, i ≠ j.

• A-6: Žiadna multikolinearita, teda žiadna perfektná lineárna závislosť medzi vysvetľujúcimi premennými.

• A-7: Žiadne chyby špecifikácie.

Na základe predpokladov A-1 až A-7, dáva MNŠ najlepšie lineárne nevychýlené odhady ak:

• Na základe predpokladov A-1 až A-7, dáva MNŠ najlepšie lineárne nevychýlené odhady ak:

• (1) Estimátory sú lineárnou funkciou závisle premennej Y.
• (2) Estimátory sú nevychýlené; pri opakovanom použití metódy dosahujú odhady svoje skutočné hodnoty.
• (3) V kategórii lineárnych odhadov, estimátory majú estimátory získané metódou najmenších štvorcov minimálny rozptyl; teda sú efektívnymi alebo aj „najlepšími“ odhadmi.

Testujeme nasledujúce hypotézy:

• Testujeme nasledujúce hypotézy:

• H0: Bk = 0

• H1: Bk ≠ 0

• vypočítame testovaciu štatistiku podľa nasledujúceho vzorca a použijeme tabuľky studentovho rozdelenia aby sme získali t kritické s n-k stupňami voľnosti pre danú hladinu významnosti (alebo α, rovné 10%, 5%, alebo 1%):

• Pokiaľ je táto hodnota vačšia ako t kritické, zamietneme H0.

Alternatívnou metódou je určiť, či sa v intervale spolahlivosti nachádza 0:

• Alternatívnou metódou je určiť, či sa v intervale spolahlivosti nachádza 0:

• Pokiaľ nula leží v intervale spoľahlivosti nemôžeme zamietnuť H0.

• p-value označuje presnú hladinu významnosti, alebo najnižšiu hladinu významnosti na ktorej môžeme zamietnuť H0.

Koeficient determinácie je všeobecnou mierou presnosti modelu.

• Koeficient determinácie je všeobecnou mierou presnosti modelu.

• Percentuálny podiel celkovej variability závislej premennej ktorá je vysvetlená nezávislými premennými.

• Nadobúda hodnoty medzi 0 a 1 <0% , 100%>.

• Nech:

• Potom:

Testovanie nasledujúcich hypotéz je ekvivalentné testovaniu hypotéz že sú všetky regresné koeficienty rovné 0:

• Testovanie nasledujúcich hypotéz je ekvivalentné testovaniu hypotéz že sú všetky regresné koeficienty rovné 0:

• H0: R2 = 0

• H1: R2 ≠ 0

• Vypočítame nasledujúcí vzťah a použijeme tabuľky F rozdelenia pre získanie kritickej F hodnoty s k-1 stupňami voľnosti v čitateli a n-k stupňami voľnosti v menovateli pre danú hladinu významnosti:

• Pokiaľ je vypočítaná hodnota vyššia ako F kritické zamietame, H0.

Cobb-Douglasova produkčná funkcia:

• Cobb-Douglasova produkčná funkcia:

• môže byť transformovaná na lineárny tvar po zlogarigmovaní oboch strán:

• Regresné koeficienty môžu byť interpretované ako elasticity.

• Ak (B2 + B3) = 1, konštantné výnosy z rozsahu.
• Ak (B2 + B3) > 1, rastúce výnosy z rozsahu.
• Ak (B2 + B3) < 1, klesajúce výnosy z rozsahu.

Miera rastu reálneho GDP:

• Miera rastu reálneho GDP:

• môže byť transformovaný na lineárny po zlogaritmovaní oboch strán:

• Pokiaľ B1 = ln RGDP1960 a B2 = ln (l+r), môžeme to prepísať nasledovne:

• ln RGDPt = B1 +B2 t

• B2 je semi-elasticita, alebo aj okamžitá miera rastu.
• Zložená miera rastu (r) je rovná (eB2 – 1).

Lin-log má všeobecnú formu:

• Lin-log má všeobecnú formu:

• Všimnite si že B2 je absolútnou zmenou vY zodpovedajúcou percentuálnej (alebo relatívnej) zmene v X

• Ak X vzrastie o 100%, predikované Y vzrastie o B2 jednotiek
• Používané pri odhade Engelovej výdajovej funkcie: “Celkové výdavky vynaložené na potraviny rastú aritmetickou mierou zatial čo celkové výdavky rastú geometrickou mierou.”

Všeobecná forma modelu:

• Všeobecná forma modelu:

• Všimnite si že:

• Ak X vzrastie nekonečne, člen dosiahne nulu a Y dosiahne limitnú teda asymptotickú hodnotu B1.
• Sklon sa vypočíta:
• Platí teda, ak B2 je pozitívne, sklon je negatívny, a pokiaľ B2 je negatívne, sklon je pozitívny.

Nasledujúci príklad modelu predikujúceho HDP je príklad kvadratickej funkcie, alebo vo všeobecnosti, polynóm druhého stupňa vysvetlujúcej premennej čas:

• Nasledujúci príklad modelu predikujúceho HDP je príklad kvadratickej funkcie, alebo vo všeobecnosti, polynóm druhého stupňa vysvetlujúcej premennej čas:

• Sklon je nelineárny:

Problému s premennými meranými v rozdielnych jednotkách môžeme predísť ich vyjadrením v štandardizovanom tvare:

• Problému s premennými meranými v rozdielnych jednotkách môžeme predísť ich vyjadrením v štandardizovanom tvare:

• kde SY a SX sú výberové štandardné odchýlky a sú výberové priemery Y a X

• Stredná hodnota štandardizovanej premennej je vždy nulová a jej štandardná odchýlka je vždy 1.

R2: Meria podiel variability závisle premennej ktorá je vysvetlená nezávisle premennými, resp. modelom.

• R2: Meria podiel variability závisle premennej ktorá je vysvetlená nezávisle premennými, resp. modelom.

• Korigovaný R2: označuje sa ako , zohľadňuje počet vysvetľujúcich premenných v modeli:

• Akaikeho informačné kritérium (AIC): Tvrdšie penalizuje pridanie ďalších premenných do modelu:

• Zvyčajne je vybratý model s najnižšou hodnotou AIC.
• Schwarzove informačné kritérium (SIC): Alternatíva k AIC kritériu vyjadrená ako:
• Penalizačný faktor je prísnejší ako pri AIC.