Sonli ifodlar va ularni hisoblash reja: «Boshlang’ich sinf o’quvchilarini sonli ifodalar ustida ishlashga o’rgatish metodlari»

O'zgaruvchili A(x) va B(x) ifodalarga kiruvchi harflarning joiz qiymatlarida ular
bir xil qiymatlar qabul qilsa, bu ifodalar aynan teng deyiladi. Masalan, (x + 3) va
x + 6x + 9 ifodalar aynan teng.
Ammo noldan farqli sonlar sohasida bu ikkala ifoda ay nan teng. O'zgaruvchiii ikki ifodaning aynan tengligi haqidagi tasdiq mulohazadir. Masalan, (x + 3) ifoda x + 6x + 9 ifodaga aynan tengligi haqidagi tasdiqni bunday yozish mumkin:
(Vx)((x + 3)² =x² +6x + 9).
Odatda, qisqalik uchun Vx kvantor tushirib qoldiriladi va qisqacha bunday yoziladi: (x + 3) = x + 6x + 9. Ammo bunday yozuv uncha aniq emas — bu tenglikni tcnglama deb ham qarash mumkin.
Masala qaraymiz: «Qafasda tustovuq va quyonlar bor. Ularning boshlari 19 ta, oyoqlari 62 ta. Qafasda nechta tustovuq va nechta quyon bor?» Bu masalani arifmetik yechish mumkin. Ammo eng sodda yechish usuli tenglama tuzib yechishdir. Tustovuqlar sonini x harfi bilan belgilay-miz. U holda tustovuqlar oyoqlari 2x ta. Quyonlar soni 19 - x ta, ularda oyoqlar soni 4(19 - x) ta. Algebraik materialni o’rganishning boshlangich kursiga algebra elemeitlarini kiritishning maqsadi o’quvchilarning son haqidagi, arifmetik amal haqidagi, matematik munosabat haqidagi umumlashtirishlarini yuksakroq darajaga ko’tarishdan, bundan keyin algebra elementlarini muvaffaqiyatli o’rganish uchun asos hosil qilishdan iborat. Bu tushunchalarning hammasi o’zaro uzviy bog’langandir.

3. Sonli ifodalar va ularni taqqoslashni o’rgatish metodikasi

Boshlang'ich sinf matematika kursiga algebraik elementlarni kiritishning maqsadi, o'quvchilarni son haqidagi, teng, katta, kichik, amal haqidagi, matematik munosabat haqidagi ma'lumotlarni tasavvurida uyg'otish va ularga algebra elementlarini o'ganish uchun asos hosil qilishdir.

Boshlang'ich matematika darsligi o’z oldiga bolalarni sonlar bilan matematik ifodalarni taqqoslash, natijalarini ">", "<", "=" belgilari yordamida yozish va hosil bo'lgan tenglik va tengsizliklarni o'qishga o'rgatishni vazifa qilib qo'yadi.
Ikkita teng son yoki ikkita ifodaning qiymatlari teng bo'lsa, ular orasiga teng belgi qo'yiladi. Shuningdek, ikki son teng bo'lmasa, yoki ikki ifoda va ularning qiymatlari teng bo'lmasa, bular orasiga tengsizlik belgisi qo'yiladi. Shuning uchun eng avvalo o'quvchilarga ishonchli tenglik va tengsizliklar haqida tushuncha berish kerak.
Tenglik va tengsizlik tushunchalarini hosil qilishning boshlang’ich bosqichi narsalar to'plamlarini ularning miqdorlari bo’yicha taqqoslash va katta (ortiq), kichik (kam), shuncha (teng) munosabatlarini o'rganishdan iborat "Katta", "kichik", "teng" munosabatlarining mazmunini o'quvchilar ongiga yetkazishning eng yaxshi usuli sonlarni taqqoslashga doir turli mashqlarni bajarishdan iborat.
Misol: 47 > 13 deganda, 4 ta o'nlik 1 ta o'nlikdan katta degan mazmunda tushuntiriladi.
"Katta", "kichik", "teng" munosabatlarining mazmunini tushuntirishdagi muhim qadam taqqoslanayotgan narsalar soni ikkinchisiga nisbatan nechta ortiqligini, kamligini aniqlashga o’rgatish va shu asosida narsalar sonini ikki usul bilan tenglashtirishga doir mashqlarni bajarishdan iborat.
O'qitishning boshidanoq aniq misollarda tenglik va tengsizlik munosabatlari orasidagi bog'lanishni arifmetik amallar orqali ochib berish muhimdir: kvadratlar va uchburchaklar soni teng bo'lsa u holda uchburchaklar ortiq bo'lishi uchun yoki bir nechta uchburchak qo'shish kerak; agar doirachalar kvadratlardan ko'p bo’lsa u holda doirachalarni olish, yoki yetishmayotgan kvadratlarni qo’shish kerak.
Keyinchalik sonlarni taqqoslashda o'quvchilar bu sonlarning natural qatoridagi o'rinlarini bilishlariga asoslanishi mumkin: "olti soni yettidan kichik, chunki olti sanoqda yettidan oldin aytiladi" yoki "yetti oltidan katta, chunki yetti sanoqda oltidan keyin aytiladi". 100 ichida sonlarni nomerlashni o'rganishda sonlarni taqqoslash yoki ularning natural qatoridagi o'rinlari asosida, yoki sonlarning tarkibini bilish asosida va tegishli xona sonlarini yuqori xonasidan boshlab taqqoslash asosida amalga oshiriladi.
Masalan, 87 > 65, chunki 8 o'nlik 5 o'nlikdan katta ; 27 > 21, o'nliklari teng lekin, birinchi sonnnig birligi ikkinchi son birligidan katta.
Sonlani taqqoslash bilan birga o'quvchilarni uzunlik o'lchovlarida ifodalangan ismli sonlarni taqqoslashga ham o'rgatish kerak bo'ladi. Ismli sonlarni taqqoslshda oldin kesmalarni taqqoslashga o'rgatiladi. O'quvchilar, masalan, 1 dm va 6 sm sonlarini taqqoslash uchun, oldin tegishli kesmalarni chizishadi va bu kesmalarni taqqoslab, qaysi son katta, qaysi son kichik ekanligi haqida xulosa chiqarishadi (1dm > 6sm).
Ba'zan taqqoslash ishoralarining to'g'ri qo'yilganligini natijalarni hisoblash va ularni taqqoslash yo'li bilan tekshirish foydalidir.
O'quvchilarda katta kesmaga katta son, teng kesmalarga teng sonlar mos kelishi haqida yaqqol tasavvur hosil bo'lgunicha ismli sonlarni taqqoslash kesmalarni taqqoslashga asoslanib o'rgatiladi. Shundan keyin ismli sonlarni taqqoslashga o'tish mumkin, buning uchun berilgan ismli sonlar bir xil o'lchov birliklarida ifodalanadi.
O'qitishning ikkinchi yili boshida "tenglik", "tengsizlik" terminlarining o'zi kiritiladi. Buni o'qituvchi quyidagidek tushuntiradi: agar sonlar orasida yoki ifodalar orasida "tenglik" belgisi tursa, bu tenglik, agar "katta" yoki "kichik" belgi turgan bo'lsa, bu tengsizlik bo'ladi. Keyinchalik mashqlar murakkablashadi va ulardan munosabatlar, bog'lanishlar, arifmetik amallar xossalari haqidagi bilimlarni mustahkamlash va qo'llash, hisoblash ko'nikmalarini tarkib toptirish maqsadlarida foydalaniladi. Tenglik va tengsizliklar haqidagi boshlang’ich tasavvurlarni bolalar tayyorgarlik davridayoq oladilar. Ikkita to’plam orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatish, bir xil miqdorda bo’lmagan narsalar guruhlarini bir xil miqdordagi narsalar guruhlariga ( ikki usul bilan ) aylantirish va , bir xil miqdordagi narsalar guruhlarini bir xil miqdorda bo’lmagan narsalar guruhlariga ( ikki usul bilan ) aylantirish bilan — katta —, —kichik —, — kam —, —teng — tushunchalari mustahkamlanadi. Ish bunday olib boriladi. O’qituvchi katakli taxtachada 5 ta doiracha tayyorlab qo’yadi.
O’ q i t u v c h i . — Men hozir doirachalar tagiga kvadratchalar qo’yaman, men kvadratchalardan ko’p qo’yamanmi yoki kam qo’yamanmi ?” ( 3 - rasm ). Degan savol bilan o’quvchilarga murojaat qiladi. Bolalar ko’zlari bilan har bir kvadratchaga doirachani mos qo’yadilar va kvadratchalar doirachalardan kam ekanligini aniqlaydilar ( — Katta —, — teng — tushunchalari han shunga o’xshash shakllantiriladi ).

• 
  Doirachalar qancha bo’lsa, kvadratchalar ham shuncha bo’lishi uchun nima qilish kerak ( Birinchi usulni bolalar tez topadilar ) ?
  
• 
  Yana kvadratchalar qo’yish kerak. Har bir doirachaning tagida kvadratcha turibdi, demak, ular teng.
  
• 
  Doirachalar va kvadratchalarni yana qanday tenglashtirish mumkin O’qituvchi bolalarni ortiqcha doirachalarni olib tashlash kerak degan fikrga olib keladi.
  

Keyingi topshiriqda shakllar ixtiyoriy tartibda terilgan ( 4 - rasm ). O’quvchilar shakllarni surib, bir - birining tagiga keltirish mumkinligini topadilar va xulosa chiqaradilar.
O’qituvchi gullar solingan ikkita vaza ( guldon ) qo’yadi. Bir vazada oq gullar, ikkincni vazada qizil gullar bor. Qaysi vazadagi gullar ko’p ? O’quvchi vazalardan bittalab gul olib , ularni juftlab qo’yadi, qaysi vazada gullar qolgan bo’lsa, o’sha vazada gullar ko’p.
Nihoyat, shakllarni ko’chirish mumkin bo’lmagan holat yaratiladi. Plakatning turli qismlarida qizil uchburchaklar va ko’k doirachalar joylash- tirilgan ( 5 - rasm ). Qaysi shakllar ko’p ? Bolalar uchlariga plastilin yopishtirilgan ipchalar yordamida shakllarni titashtirib, bunday xulosa qiladilar : — shakllar teng “. Bu bosqichda to’plamlarni taqqoslash sanoq bilan olib borilmasligini o’qituvchiga aytib o’tamiz. Narsalarni ko’rib qabul qilish

• 
  katta —, — kichik —, — teng — tushunchalarni chuqurroq tushunishga yordam beradi.
  
• 
  chapdagi pallasiga bitta sharcha qo’shish kerak yoki tarozining o’ngdagi pallasidan bitta sharchani olish kerak ) ? So’ngra pallalar olinadi. Shayinga 6 va 7 raqamlari ilinadi. 7 raqami 6 ni bosib ketadi. 6 raqamiga 1 ni qo’shib, tarozini muvozanatga keltiramiz. Majmuada raqamlar massalari shunday tanlanganki, sonlar yigindisi massalar yig’indisiga tehg.
  
• 
  Keyinchalik, 100, 1000 ichida sonlarnu nomerlashni o’rganishda, shuningdek, ko’p xonali sonlarni nomerlashda sonlarni taqqoslash ularning natural qatordagi o’rnini taqqoslash asosida, yoki sonni xona qo’shiluvchilari yig’indisi bilan almashtirish asosida, yoki sonlarni tegishli xona bo’yicha taqqoslash asosida amalga oshiriladi : masalan, 857 > 785, chunki 8 yuzlik 7 yuzlikdan katta.
  
• 
  Abstrakt sonlarni taqqoslash bilan birga o’quvchilarni uzunlik o’lchovlarida ifodalangan ismli sonlsrni taqqoslashga ham o’rgatish kerak.
  
• 
  Ismli sonlarni taqqoslashda oldin kecmalarni taqqoslashga asoslaniladi. O’quvchilar , masalan, 1 dm va 6 sm sonlarni taqqoslar ekanlar, oldin tegishli kesmalarni chizishadi va bu kesmalarni taqqoslab, qaysi son katta, qaysi son kichik ekanligi haqida xulosa chiqaradilar ( 1 dm > 6 sm ) .
  
• 
  O’quvchilarga katta kesmaga katta son, teng kesmalara teng sonlar mos kelishi haqida yaqqol tasavvur hosil bo’lgunicha ismli sonlarni taqqoslash kesmalarni taqqoslashga asoslanib olib boriladi. Shundan keyin ismli sonlarni taqqoslashga o’tish mumkin, buning uchun beilgan ismli sonlar bir xil o’lchov birliklarida ifodalanadi. Masalan :
  
• 
  Fazoviy tasavvurlarning rivojlanishi, narsalarning xossalarining mustahkamlanishi bilan bir vaqtda — katta —, — kichik —, — teng — munosabatlarining shakllanishida Piaje shakllari bilan ishlash katta yordam beradi. Plakatlarda rasmlar tayyorlangan ( 6 - 7 rasmlar ). Yakka tartibda ishlash uchun topshiriqlar paketda tarqatiladi. O’zaro bir qiymatli moslik o’rnatib, bolalar to’g’ri javobni topadilar.
  

Birinchi o’nlik sonlarini nomerlashda > , < , = belgilari kiritiladi. O’qituvchi bolalarga bunday o’rgatadi : — > — belgisining uchi doimo kam sondagi narsalar tomonga qarab turadi — Narsalarni sanashni o’rganilayotgan bir vaqtda sonlarni taqqoslash ishi ham bajariladi ( Beshta doiracha to’rtta uchburchakdan ko’p, demak, 5 > 4 ). Natural sonlar qatorining hosil bo’lishini o’rganish vaqtida ham bunday qonuniyat ahiqlanadi : natural qatorda son qancha uzoqda tursa, u shuncha katta bo’ladi. Keyinchalik sonlarni taqqoslashda bolalar shu xossaga tayanadilar. 5 < 7, chunki sanoqda 5 soni 7 sonidan oldin aytiladi, 9 > 8, chunki sanoqda 9 soni 8 sonidan keyin aytiladi.
Munosabatlarni — > — , — < — , — = — belgilari yordamida yozib, bolalar tengliklar va tengsizliklarni o’qish va yozishni mashq qiladilar.
Bunday qo’shimcha savollarni berish foydalidir: 6 < 7 .

1. 
   6 < 7 tengsizlikning chap tomonini, o’ng tomonini aytib ber.
   
2. 
   6 < 7 yozvni o’ngdan chapga, chapdan o’ngga o’qi.
   
3. 
   Noto’g’ri yozuvlarni o’chir. Ular nima uchun noto’g’ri ?
   

9. 
   > 7, 4 > 3, 8 < 9, 7 < 5, 5 > 3, 0 > 4.
   

4. 
   7 > 5 da to’g’ri yozuv hosil bo’lishi uchun 7 ning o’rniga qanday sonlatni yozish mumkin ?
   
5. 
   T o’g’ri yozuv hosil bo’lishi uchun □ < 7 darchaga qanday sonlatni yozish mumkin ?
   

Bu bosqichda — Arifmetik tarozi — foydalidir. Richagli tarozining zap pallasiga 6 ta bir xil sharcha, o’ng pallasiga esa 7 ta shunday sharca qo’yamiz. Nechta sharchaning massasi og’irroq, engilroq ? Tarozining pallalaridagi sharchalarning massalari teng bolishi uchun nima qilish kerak ( tarozining

2. 
   dm 3 sm * 15 sm 2 dm * 1 dm 7 sm
   

12. 
    sm < 15 sm 20 sm > 17 sm
    

Keltirilgan almashirishlar yozma ravishda ham, ozaki ravishda ham ajarilishi mumkin.
Arifmetik amallarni ( qo’shish va ayirishni ) o’rganishda tenglik va tengsizlikiar bilan bajariladigan mashqlar murakkablashadi. Dastlab, ifodalarni va sonlarni ( yoki sonlar va ifodalarni ) taqqoslashga doir topshiriqlar kiritiladi.
M i q d o r l a r n i t a q q o s l a s h avval narsalarning o’zlarini berilgan xossasi bo’yicha taqqoslashga tayanib bajariladi, keyin esa miqdorlarning son qiymatlarini taqqoslash asosida amalga osiriladi, buning uchun berilgan miqdorlar bir xil o’lchovlarda ifodalab olinadi. Miqdorlarni taqqoslash o’quvchilarda qiyinchilik tug’diradi, shuning uchun 2 - 4 sinflarda rang barang masqlarni muntazam taklif qilish kerak :

1. 
   Tengliklar to’g’rimi yoki noto’g’rimi, tekshirib ko’r :
   

3. 
   m 5 sm = 25 sm, 1 t 800 kg = 4800 kg, 100 min = 1 soat.
   

2. 
   Teng miqdorni tanlab qo’y :
   

7. 
   km 500 m = m , 3080 kg = ...t ... kg .
   

3. 
   Son qiymatlarni shunday tanlab qo’yki, yozuv to’g’ri bo’lsin :
   

□ soat < □ min, □ sm = □ dm, □ kg □ g > □ kg .

4. 
   Miqdorlarning ismlarini yozuv to’g’ri bo’ladigan qilib qo’y : 35 km = 35000 ... , 16 min > 16 ... , 17 t 500 st < 17500 ...
   

Bunga o’xshash masqlar bolalarning teng va thengmas miqdorlar haqidagi tushunchalarning o’zlarinigina emas, balki o’lchov birliklari orasidagi munosabatlarni ham o’zlashtirishlariga yordam beradi.
Shuni ham aytib o’tish kerakki, bu davrda, son va ifodalarni taqqoslashlar vaqtida o’quvchilar mulohazalarga ham asoslanishlari ham mumkin. Masalan, 10 - 2 * 10 ifodani taqqoslashda ba’zi o’quvchilar natijani hisoblashlari va chiqqan sonlarni taqqoslashlari ( 8 < 10 ) mumkin, ba’zi o’quvchilar esa ushbu ko’rinishdagi mulohazalarga asoslanishlari ham mumkin : 10 = 10 edi. Tenglikning o’ng tomoni o’zgarmadi, ya’ni

9. 
   ligicha qoldi. Uning chap tomoni - 10 ni 2 taga kamaytirdik. Demak, chapda o’ngdagidan kam qoldi. Shuning uchun — < — belgisini qo’yaman.
   

Agar taqqoslash hatijasi mulohazalarga asoslangan bo’lsa, u holda javobning to’g’riligini hisoblash yordamida tekshirish foydali ( 10 - 2 = 8,

7. 
   < 10 ).
   

Navbatdagi qadam - o’quvchilarni ifodalarni taqqoslashga o’rgatishda ishni ko’rsatmali qo’llanmalani qo’llashdan boshlash kerak.
Dastlab, ifodalarni va sonlarni ( yoki sonlar va ifodalarni ) taqqoslashga doir topshiriqlar kiritiladi. 3 + 1 > 3 , 3 - 1 < 3 kabi dastlabki ifodalarni 3 = 3 tenglikdan to’plamlar ustida tegishli amallarni bajarish bilan hosil qilinadi. Katakli taxtada ko’k va qizil rangdagi 3 tadan doiracha qator qilib qo’yiladi. 3 = 3 tenglik tuziladi . Chapga uana bitta yashil doirasha qo’yiladi. Ifoda tuziladi. Dourachalar nechta bo’ldi ? 3 + 1. O’ngdagi doirachalar miqdori o’zgardimi ? Qaerdagi doirachalar ko’p ? Belgi qo’yamiz. Yozuvni o’qishadi: uch qo’shuv bir uchdan katta.