Soustractif atmosphérique à la vitesse de tsiolkovski

ANALYSE DE CETTE FORMULE DE TSIOLKOVSKI

Dans le texte ci-dessous, nous appellerons Vitesse Finale de Tsiolkovski d’une fusée sa vitesse de Fin de Propulsion tirée de cette formule V_FinProp = V_éject.Ln(R) - gT.

De même, il nous arriva d’appeler Altitude Finale de Tsiolkovski l’altitude de Fin de Propulsion d’une fusée tirée de l’intégration de cette Vitesse Finale de Tsiolkovski, c à d sans tenir compte de la résistance de l’air. Le calcul de cette Altitude de Tsiolkovski est effectué en fin de texte.

En première analyse de cette formule, il peut apparaître que la vitesse de fin de propulsion ne dépend pas du débit massique q des moteurs (que nous avons cependant posé comme constant) mais uniquement du Rapport de Masses Final R et de la Vitesse d’Éjection. C’est à dire, par exemple, qu’une fusée dont la tuyère n’émettrait qu’un très mince dard de gaz enflammés (à une vitesse d’éjection donnée) pourrait acquérir une vitesse comparable à une fusée éjectant, comme on le voit à Kourou ou à Cap Kennedy, des dizaines de tonnes des gaz brûlés par secondes (à même vitesse d’éjection).

Ce n’est pourtant qu’une impression, car le temps de propulsion lui-même est immédiatement lié au débit massique, par le quotient q = Masse d’appui/T  : Si ce débit q est faible (pour une très faible section de tuyère, à vitesse d’éjection donnée) le temps de propulsion sera plus important : la gravité agira donc sur la fusée un temps plus long et la vitesse de fin de propulsion s’en trouvera diminuée en proportion de   gT.

Par contre, en l’absence de gravité ou en impesanteur (cas des vaisseaux spatiaux déjà satellisés) quand g se trouve annulé, le débit massique devient effectivement un paramètre indifférent ⁶ . Cette configuration est celle des vaisseaux accélérés par moteurs ioniques ou à plasma, vaisseaux qui présentent des débits massiques ridiculement faibles ⁷ , et qui pourtant offrent de très forts gains en vitesse de fin de propulsion et des rendements énergétiques sans comparaison. ⁸

Il est alors troublant de constater que la formule de Tsiolkovski appliquée à de tels vaisseaux spatiaux ne comporte aucune référence à q , le Débit Massique.
Or nous avons, pour la démontrer, posé que ce paramètre q demeurait constant : Cela signifie, si les mathématiques ont un sens, que lorsque le Débit Massique q est constant, il peut être d’une valeur indifférente !!
C’est cela qui, de fait, peut apparaître intuitivement comme paradoxal.

Mais nous ferons justice de ce paradoxe à la fin de ce texte, dans les cas où le Débit ou la Vitesse d’Éjection sont variables . Nous y démontrerons qu’effectivement le Débit Massique d’une fusée peut être variable sans que la Vitesse de Fin de propulsion en soit modifiée.

INTRODUCTION DE LA TRAÎNÉE ATMOSPHÉRIQUE

Revenons à la formule de Tsiolkovski appliquée à la propulsion de fusée dans l’atmosphère de notre planète.

Nous avons déjà précisé qu’elle donne la Vitesse de Fin de Propulsion (appelée par nous Vitesse Finale de Tsiolkovski) en supposant nulle la résistance de l’air, c à d le freinage subi par la fusée dans sa traversée de l’atmosphère.
Cette approximation est parfaite lorsque l’engin spatial décolle d’une planète dénuée d’atmosphère ou développe sa phase propulsive au-dessus de l’atmosphère de cette planète.

Mais dans le cas d’une fusée décollant de la surface de notre planète, elle conduit inévitablement à une erreur. Ce cas est d’ailleurs celui qui nous intéresse le plus, puisque nous destinons ce texte à l’usage des fuséistes amateurs.

Est-il possible de corriger la Formule de Tsiolkovski pour prendre en compte le frottement atmosphérique ?

C’est ce que nous allons tenter.

Avant de nous lancer dans ce travail, il nous faut cependant revenir sur un fait : La fameuse formule de Tsiolkovski ci-dessus est souvent utilisée pour prédire la Vitesse à l'instant de la fin de Propulsion.

Pourtant, à tout instant, en cas de panne du moteur, la vitesse atteinte est calculable d'après la formule de Tsiolkovski, et donc le rapport de masse atteint au moment de la panne. En effet, cette formule de Tsiolkovski n’exige pas qu’on y spécifie si la fin de propulsion s’est produite du fait que les réservoirs se sont trouvés à sec ou du fait d’une panne ⁹ . La formule demande juste qu’on y précise le Rapport des Masses de la fusée à l’instant de la fin de propulsion (que celle-ci intervienne par défaut de carburant ou par panne d’une quelconque turbo-pompe).

On comprend alors que le Rapport de Masses peut être un rapport instantané ¹⁰ , atteint à un instant donné et donc que la démarche de Tsiolkovski nous donne également accès à la vitesse atteinte à chaque instant de la fusée…
Pour connaître cette vitesse instantanée de la fusée, on doit juste présenter la formule comme suit :

Formule (2) donnant la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski.

V_{Tsiol (t)} = Véject Ln(R_(t)) –g t
où :

 R_(t) est le Rapport de Masses atteint à l’instant t, soit le rapport M₀/M_(t)) , avec M₀ la masse de la fusée sur le Pas de Tir à l'instant t = 0 et M_(t) la masse instantané de la fusée (M_(t) vaut évidemment (M₀ – qt), si q est le débit massique).

Répétons encore que cette formulation donne une approximation par excès de la vitesse de la fusée à chaque instant t (‘‘par excès’’ du fait qu’il n’a pas été tenu compte dans sa détermination de la Traînée atmosphérique qui a pourtant bien freiné la fusée depuis le décollage jusqu’à l’instant t ).
Dans cette étude, nous nommerons V_{Tsiol (t)} ou V_Tsiol tout court cette Vitesse Instantanée de Tsiolkovski.
Voici le graphe représentant cette Vitesse Instantanée de Tsiolkovski selon l’évolution du Rapport de Masses Instantané :

À observer ce graphe, on pourrait croire que l’accélération de la fusée est plus forte au décollage que par la suite. Ce serait une erreur, puisque la pente de cette courbe de vitesse n’est pas exprimée en référence au temps mais en référence au Rapport de Masses Instantané.
Il est donc plus parlant de représenter l’évolution de cette Vitesse Instantanée de Tsiolkovski d’après le temps. Voici cette représentation pour une fusée à feu lourde de 22,2 t sur le Pas de Tir expulsant à la vitesse d’éjection de 2800 m/s une Masse d’Appui de 17 t pendant 150 secondes. ¹¹ …

Dans ce cas, comme dans celui qui suit, l’accélération de la fusée est évidemment beaucoup plus faible au décollage qu’en fin de propulsion. Cette forme de courbe est d’ailleurs typique de la propulsion des fusées, propulsion qui produit un mouvement non-uniformément accéléré qu’on pourrait qualifier de sur-accéléré…
Le Rapport de Masses de la fusée, à la fin de propulsion est de 4,27. À cet instant, la masse de la fusée réside dans la structure du premier étage vidé de ses ergols et dans les deux étages supérieurs pleins de leurs propres ergols.
Rappelons toujours que ce graphe de vitesse est bâti sans tenir compte du freinage aérodynamique.

Voici également le graphe de la même Vitesse Instantanée de Tsiolkovski (compte non tenu de la Traîné, donc) pour une fusée à eau type de 600 g de Masse sur le pas de Tir éjectant à la vitesse supposée constante de 50 m/s ¹² une masse d’eau de 500g :

La concavité de cette courbe est comparable à celle de la précédente, du fait que les rapports de masses des deux fusées sont du même ordre (ici 6 contre 4,27 pour la fusée de 22 t).

Spécifions une fois pour toutes que, dans le présent texte, les réflexions touchant les fusées à eau resteront quelque peu théoriques du fait qu’elles ne prendront pas en compte la grande variation de la pression interne et donc de la vitesse d’éjection de ces engins, variation qui entache nos calculs de Traînée d’une certaine erreur. Ce que l’on peut dire cependant c’est que l’Impulsion donnée à ces fusées par la brusque décharge de l’air comprimé résiduel (décharge transsonique se produisant lorsque toute l’eau a été éjectée) est délivrée en un temps si bref qu’elle ne peut s’accompagner que d’une perte de vitesse par Traînée négligeable (en regard de la même perte existant durant la propulsion due à l’eau).

Les courbes que nous produirons dans ce texte à propos des fusées à eau dessineront donc toujours des Pertes de Vitesse par Traînée plus fortes que celles qui existeraient dans la réalité de la propulsion hydropneumatique, ce qui nous semble aller dans le sens de la pédagogie…
Insistons par ailleurs sur le fait que la propulsion hydropneumatique est strictement de même nature que la propulsion thermochimique qui porte au ciel les fusées d’amateurs : les deux propulsions sont justiciables de la même loi sur la conservation des Quantités de Mouvements…

La seule différence entre la propulsion hydropneumatique (propulsion à réaction… froide, comme je l’appelle parfois) et la propulsion thermochimique des fusées d’amateurs (propulsion à réaction chaude) est que la première se produit moyennant une forte variation du Rapport de Masses alors que le Rapport de Masses de la deuxième, du moins pour les fusées à feu d’amateurs, ne s’écarte que très peu de l’unité. ¹³

S’intéresser aux fusées hydropneumatiques équivaut donc à s’approcher par la pensée (et souvent par l’expérience) non pas de jouets enfantins mais des vraies fusées lanceuses de satellites, puisque ces dernières utilisent des Rapports de Masses du même ordre que ceux des fusées à eau.

Nous avons dessiné ces deux derniers graphes par rapport au temps : lorsque l’on part de la Formule (2) donnant la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski, ce changement de variable ne présente pas de difficulté puisque R_(t) vaut M₀/M_(t) , avec M₀ la masse de la fusée à l'instant t = 0 et M_(t) la masse instantané de la fusée qui s’écrit (M₀ – qt) si q est le débit massique (nous y revenons quelques lignes plus bas).

Une question annexe se pose cependant : ce changement de variable opéré (et donc la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski exprimée selon le temps écoulé depuis le décollage de la fusée (et non plus selon R_(t) le Rapport de Masses Instantané), quelle est la forme de la courbe ci-dessus tracée et dont nous venons de dire qu’elle est typique de la propulsion à réaction ?
Est-ce encore un logarithme ?
Pour le découvrir, faisons un instant abstraction, dans la formule de la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski du terme –g t (relatant l’action de la gravité) pour ne considérer que le terme logarithmique Véject Ln(R_(t)). Appelons la portion de la vitesse qui y est attachée V_TsiolSansG ¹⁴ .

Dès lors qu’on a opéré le changement de variable substituant à R_(t) , on peut s’attendre à ce que le graphe dessinant l’évolution de cette V_TsiolSansG , à savoir :

V_{TsiolSansG (t)} = Véject Ln()
…ait perdu l’allure d’un logarithme : en effet, si par exemple y = f(x) dessine une droite, poser x = 1/z conduit à un graphe y = f(z) qui ne dessine plus une droite.
Mais c’est oublier la propriété fondamentale de la fonction logarithme ! : Écrire Véject Ln() revient à écrire Véject Ln(M₀) -Véject Ln(M₀ - qt)
Dans ces conditions, comme Véject Ln(M₀) est une constante et que  Véject Ln(M₀ - qt) est (au coefficient multiplicateur  Véject près) le logarithme d’une variable diminuant linéairement avec le temps, la courbe V_{TsiolSansG (t)} demeure celle d’un logarithme.

Cette conservation de la forme logarithmique est due, rappelons le, à une propriété particulière de la fonction logarithme…

Voici ci-dessous, pour les lecteurs visuels, un graphe où l’on peut reconnaître, en bleu dense la courbe Ln(R) , en bleu clair la courbe -Ln(R) (R est ici le rapport de masses instantané, variant de 1 à 6). En vert est représentée également la courbe -Ln(6-t) et en rouge la courbe Ln(6) -Ln(6-t) qui schématise la courbe V_{TsiolSansG (t)} (Vitesse Instantanée de Tsiolkovski sans influence de la gravité que nous venons d’évoquer), sur les bases d’une Masse Initiale de la fusée M₀ = 6 kg et d’un débit massique de 1kg / seconde pendant 5 secondes (t représente le temps, s’écoulant de 0 à 5 secondes et est représenté également en abscisse) :


La prise en compte de l’effet de la pesanteur se résumant au retrait de gt, il nous est donc légitime de dire que la courbe de la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski possède bien la forme d’une courbe logarithmique appuyée sur une droite oblique… ¹⁵

Retour à l’estimation de la Traînée.
Ces nuances assimilées, et puisque nous disposons de cette Vitesse Instantanée par excès de la fusée (V_{Tsiol (t)}), nous pouvons nous enticher d’en déduire la Traînée Instantanée (qui sera alors déduite par excès également). Cette approximation par excès de la Traînée Instantanée peut s’écrire :
F< ½ ρ SCx V_{Tsiol (t)}².
Dans tout ce texte, nous considérerons le Cx des fusées comme constant (ce qu’il n’est pas tout à fait, dans la pratique)(voir à ce sujet notre texte Le Cx des Fusées).
Le bilan des forces instantanées sur la fusée en devient alors :
ΣF < -g M_(t)+ P - ½ ρ SCx V_(t)²
où :

 M_(t) est la masse instantanée de la fusée = M₀ - qt (q = débit massique supposé constant)

 et P est la Poussée de son moteur (supposée également constante)
Et l’on sait depuis Newton que ΣF = γ.M_(t) formule fondamentale de la dynamique ou γ est l’accélération instantanée et M_(t) la masse instantanée de la fusée à l’instant t.
Si l'on donne sa valeur surestimée à cette vitesse V_(t) on obtient :

 

γ.M_(t) < -g M_(t) + P - ½ ρ SCx {Véject Ln[R(t)] -g.t)}²

 

L’accélération γ est donc déductible de cette inégalité en divisant tous les termes par M_(t) .

Nous pouvons alors songer à intégrer cette accélération sur le temps t (ce qui nous donnera la vitesse instantanée V_(t)à chaque instant) ¹⁶  :
V(t)=∫γ.dt < ∫-g dt + ∫ -∫
Ce qui, en développant le carré de la dernière intégrale, donne :
Équation (3)

V(t)=∫γ.dt < ∫-g dt + ∫ -∫

l’ensemble des intégrations étant à effectuer de t = 0 à t = t .

Notons que tous les termes variables de toutes ces intégrations peuvent être exprimés par rapport au temps (en particulier M_(t) et R_(t)), ce qui est la condition nécessaire à l’intégration.

Notons aussi que les deux premières intégrales après le signe < sont celles-là même que Tsiolkovski a intégrées pour découvrir sa célèbre formule : Leur résolution ne présentera donc pas de difficultés.

Nous avons réalisé ‘‘graphiquement’’ ¹⁷ l’intégration de cette équation (3).Voici, pour une fusée à eau de 1,5L et de 100g de masse à vide ¹⁸ , le graphe montrant la valeur de cette vitesse instantanée V_(t) (en jaune). Cette courbe jaune (établie par une méthode ‘‘graphique’’) préfigure donc notre projet de correctif analytique. On peut ici la comparer avec la vitesse instantanée de Tsiolkovski (en violet) ainsi qu’avec la vitesse instantanée réelle de la fusée, celle que nous cherchons au bout du compte, obtenue facilement par l’intégration pas à pas de l’équation différentielle complète (courbe rouge) ¹⁹ .

Il est patent que, même en Fin de Propulsion, les courbes rouge (vitesse réelle) et jaune (vitesse corrigée) sont très proches.

Le point isolé rouge cerclé de noir représente la vitesse de Fin de Propulsion calculée d’après l’intégration du Vol de la Fusée de Gil Denis. Cette intégration est réalisée en considérant la masse de la fusée comme constante durant la propulsion et égale à la somme de la Masse à Vide et de la moitié de la Masse d’Appui. On voit que ce réflexe d’ingénieur ne fonctionne pas ici (il faudrait sans doute, vu le grand Rapport de Masses Final des fusées à eau, prendre une autre masse supposée constante pour l’intégration) ²⁰ (voir en fin de texte notre réflexion sur cette formule du Vol de la Fusée) :

Au vu de ce graphe, on note que la vitesse prédite par Tsiolkovski (courbe violette) n’est pas si mauvaise, par rapport à la vitesse réelle (courbe rouge), du moins dans cette configuration de paramètres. Ceci est principalement dû au fait que la traînée, si elle existe bien ²¹ , ne dispose pas d’assez de temps pour freiner significativement la fusée : lorsque le Temps de Propulsion est bref, la formule de Tsiolkovski approche donc tout à fait bien la vitesse réelle de fin de propulsion.
Allongeons alors le temps de propulsion. Portons le à 4 secondes, ce qui est extrêmement long pour une fusée à eau et devrait laisser au freinage atmosphérique suffisamment de temps pour se faire sentir sur la vitesse de Fin de Propulsion :

La vitesse réelle est effectivement sensiblement plus faible que la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski ²² . Vérifier que la diff entre les deux vitesses pour ces T de 1 et 4 est bien (4-1)g !! Quant à la vitesse du Vol de la Fusée, elle n’a pas gagné en précision.
Ces constatations sont d’ailleurs plus aisées si nous effectuons un zoom sur la partie terminale de la propulsion :

Le résultat annoncé par Tsiolkovski n’est donc pas si mauvais, du moins pour ce type de fusée, mais son erreur maximum se produit pour la vitesse de fin de propulsion, qui est justement celle qui a le plus de d’intérêt pour nous.

Attention cependant : il convient de rendre à César ce qui lui appartient : la vitesse de Fin de Propulsion donnée par Le Vol de la Fusée redevient tout à fait compétitive dès lors que l’on traite de fusées à feu. Voici le même graphe des vitesses, établi pour une fusée propulsée par un moteur Wapiti ou plutôt une moteur Wapiti qui sera ramené à ses caractéristiques moyennes de Poussée de Débit et de Vitesse d’éjection et que pour cette raison nous appellerons Wapiti moyenné (un tableau des caractéristiques des fusées moyennées étudiées est disponible en fin de texte) ²³  :

Remarquons que sur ces graphes, la courbe représentative de la vitesse est très tendue : ceci est dû au fait que le rapport de Masse d’une fusée moyenne propulsée par un moteur Wapiti Moyenné est très près de l’unité : il tourne en moyenne autour de 1,077 à 1,11 pour les fusées admises par le règlement. Cette courbe est donc très proche de la droite. Sa pente est calculer ---------

Comme plus haut, un zoom peut avantageusement être effectué sur la fin de la propulsion :

Ici, la vitesse prédite par Gil Denis est tout à fait similaire à celle prédite par notre tableau (et, incidemment à la préfiguration ‘‘graphique’’ de notre vitesse analytiquement corrigée). L’explication de l’intégration de Gil Denis est donnée en additif à la fin de ce texte.

Les écarts entre les différentes courbes de vitesses étant constatés sur les graphes, il faut insister sur le fait que nous ne cherchons pas à produire un logiciel prédisant la vitesse de Fin de Propulsion d’une fusée en prenant en compte sa traînée atmosphérique ²⁴  : nous cherchons à affiner analytiquement le pronostic de cette même vitesse.
Il nous reste à dresser les mêmes courbes pour la fusée à feu de 22,2 t déjà évoquée, ou plutôt de son premier étage surmonté des étages suivants. Nous avons choisi de le faire en nous basant sur un calcul de Traînée en subsonique, bien que la vitesse de cet engin dépasse les 760 m/s en fin de propulsion (soit 2 fois la vitesse du son) : il n’est pas dans notre dessein, en effet, de réaliser des calculs supersoniques : nos réflexions ne visent qu’à améliorer notre compréhension des fusées pédagogiques réalisées par des amateurs ²⁵ :

Nous avons doté cette fusée d’un diamètre de 1,5 m et d’un Cx de 0,4…
En observant la courbe rouge (représentant la Vitesse Instantanée calculée en tenant compte, pas à pas, de la Traînée), on perçoit bien à quel point la fusée tend à buter contre le mur de l’atmosphère : Nous avons dessiné ce mur comme une horizontale bleu claire, calée à la hauteur de la Vitesse Limite de Montée. (nous définirons plus loin cette Vitesse Limite de Montée comme la vitesse qu’atteindrait dans l’air la fusée si sa poussée durait indéfiniment ; dans une telle hypothèse, il viendrait en effet un moment où la Traînée atmosphérique égalerait la force propulsive, ce qui interdirait à la fusée d’accroître sa vitesse).

On peut tout à fait apprécier que la Vitesse Instantanée de la fusée vient buter contre cette horizontale qui constitue donc pour elle une asymptote.

Pour mieux imager ce qu’est ce mur de l’atmosphère, supposons que la même fusée prolonge sa propulsion (au même débit massique) en puisant dans les réserves d’ergols emportées par les étages supérieurs (la Masse d’appui du premier étage passant alors de 17 t à 21 t) : alors que sa Vitesse de Tsiolkovski atteindrait des sommets, la fusée buterait en réalité très explicitement sur l’asymptote de sa Vitesse Limite de Montée :

La Vitesse pronostiquée par Le Vol de la Fusée est, quant à elle assez réaliste, preuve que, si elle ne prend pas en compte de façon satisfaisante les grands Rapport de Masses, elle prend très bien en compte le freinage atmosphérique…
Quant à la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski corrigée par notre Premier Amendement (courbe jaune ci-dessous) elle diverge notablement de la courbe rouge, preuve que l’amendement que nous nous proposons de calculer ne convient pas aux fusées exposées trop longtemps, comme celle-ci, au freinage de la gravité et de l’atmosphère :

Ceci étant, il n’a pas été tenu compte, dans les deux graphes ci-dessus d’un facteur d’une très grande importance : lorsqu’une fusée s’élève en altitude, la Masse Volumique de l’air qu’elle traverse se fait de moins en moins forte !

Le Vol de la Fusée indique, par exemple qu’une fusée qui s’est élevée à 1000 m, la Masse Volumique de l’air a déjà baissée de 10 % . Ce n’est pas rien, d’autant plus que notre fusée de 22 t atteint bien plus que 1000 m (une façon de calculer l’altitude atteinte en fin de phase propulsive est d’utiliser la formule de l’Altitude de Tsiolkovski que nous déterminerons plus loin) : En fait la fin de sa phase propulsive la surprend à 82 Km d’altitude. À cette altitude, nous savons qu’il n’y a plus d’air autour d’elle, donc plus de Traînée…
Prenons en compte, dans notre tableau donnant la vitesse instantanée, de la variation de la Masse Volumique de l’air traversé, d’après la formule simple donnée par Le Vol de la Fusée jusqu’à 8 Km d’altitude ( ρ_(h) = ρ₀ ), puis en utilisant ensuite la modélisation de Chapman ( ρ_(h) = 1,735 e ^{( h/6700)} ).
La vitesse et l’altitude atteintes par la fusée sont alors beaucoup plus importantes.

Sur le graphe ci-dessous, nous avons représenté la Vitesse Limite de Montée que pourrait approcher la fusée compte tenue de la Masse Volumique de l’air traversé par la fusée à chaque instant, et en prenant comme masse de la fusée sa Masse à Vide, c à d sa Masse en fin de propulsion (courbe bleu claire).

Nous avons aussi représenté la Vitesse limite de montée que pourrait approcher la fusée compte tenu de sa poussée efficace instantanée : cette poussée efficace est la force qui accélère la fusée lorsqu’on a retranché à la poussée de son moteur le poids instantané de la fusée : cette poussée efficace (courbe bleu plus foncé) est donc, dans les premiers instants de la propulsion, un peu plus faible que la poussée efficace dans les derniers instants, grevée qu’elle est par la forte masse d’appui restant dans la fusée… Évidemment, ces deux courbes de Vitesses Limites (bleu claire et bleu plus foncé) se rejoignent en fin de propulsion, mais cela se passe en dehors de notre graphe et d’ailleurs pour des Masses Volumiques de l’air presque nulles :

Il est alors frappant que ces vitesses limites ne sont plus qu’un obstacle toujours lointain pour la fusée : le mur de l’atmosphère recule à mesure que la fusée s’élève en altitude, ce qui lui permet de ne pas trop souffrir du freinage due à la Traînée. De ce fait, la vitesse réelle de la fusée (courbe rouge, calculée en prenant en compte la Masse Volumique locale de l’air) se trouve assez peu différente de la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski (courbe violette, calculée sans influence de l’air).

Dans le cas de cette fusée "spatiale", l’instituteur russe avait donc eu raison de négliger la Traînée pour intégrer sa fameuse formule…

Voici ci dessous, en complément, les courbes des paramètres instantanés de la même fusée "spatiale" en phase propulsive : Vitesse Instantanée de Tsiolkovski (sans Traînée, en violet), Vitesse avec Traînée (calculée pas à pas en tenant compte de la variation de la Masse Volumique de l’air avec l’altitude, en rouge), Altitude (en noir, mesurée sur l’axe de gauche) et Masse Volumique de l’air variant depuis sa valeur au sol (1,225 Kg/M³) à presque rien (en bleu clair, échelle secondaire placée à droite). Effectivement, elle est presque nulle pour le dernier tiers de la phase propulsive…

En jaune apparaît la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski corrigée par notre Premier Amendement : on voit que cet amendement analytique est caduque parce qu’il ne tient pas compte de la variation de la masse Volumique de l’air…

le recalculer à tout hasard Instantanément avec Rho variable…
La Vitesse du Vol de la Fusée est également caduque puisqu’elle ne peut prendre en compte non plus la variation de Masse Volumique de l’air selon l’altitude : nous ne la faisons figurer ici que pour mémoire…

Reprendre ce graphe avec le nouveau diam de 1,5m

Je crois que c’est le cas !