Soustractif atmosphérique à la vitesse de tsiolkovski

CALCUL DE NOTRE CORRECTIF ANALYTIQUE

À LA VITESSE DE TSIOLKOVSKI

Concentrons nous donc sur la dernière intégration de l’équation (3), qui nous donnera, par excès, ΔV_(T) , la perte de vitesse occasionnée par la traînée durant la phase propulsive :

ΔV_(T) =∫

Si l'on retire de l'intégrale, comme invariable, ½ ρ SCx , il s'agit donc de calculer :

Équation (4)

∫

 

avec R_(t) = M₀/(M₀-qt)
… cette intégration devant être effectuée (mais ce n'est même pas obligatoire) de 0 à T, date de fin de propulsion ²⁶ .

LA LOGIQUE DE L’INGÉNIEUR

Entendons-nous bien : nous allons calculer ici la perte de vitesse de fin de propulsion causée par la traînée aérodynamique, et ceci d’après une vitesse établie par excès d’après la formule de Tsiolkovski qui ne tient justement pas compte de cette traînée.

Cette logique est un peu particulière, mais elle est parfaitement correcte, du moins autant que l’on précisera que la perte de vitesse ainsi trouvée est approchée par excès.

Remarquons d’ailleurs que c’est typiquement une logique d’ingénieur.

La valeur par excès que nous trouverons sera d'autre part très intéressante parce qu'elle fixe la valeur inférieure de la vitesse, celle que la fusée atteindra à coup sûr .
En d’autres termes, toute fusée atteint en fin de propulsion une vitesse située entre la Vitesse Finale de Tsiolkovski et cette Vitesse Finale de Tsiolkovski diminuée de notre valeur de la perte de vitesse par Traînée calculée par excès.
Ce constat est d’une grande utilité puisque, sans lui, nous ne pouvons, en toute rigueur mathématique, situer la vitesse réelle de fin de propulsion qu’entre la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski (calculée sans la traînée) et zéro.

La suite de ce texte montrera, tout comme les graphes présentés ci-avant l’ont fait, que, pour les fusées à propulsion brève, le fameux excès n’est pas si important que ça, ce qui signifie que la fourchette définie ci-dessus n’est pas d’une très grande largeur…

RÉSULTAT DE L’INTÉGRATION

de la Perte de Vitesse de Fin de Propulsion due à la Traînée atmosphérique

L’intégration de l’équation (4) est quelque peu fastidieuse. Nous en faisons l’économie dans ce texte ²⁷ .Son résultat donne la valeur par excès du correctif ΔV_(T) recherché. Nous allons appeler Amendement ce correctif ²⁸ . Et même, comme c’est c à d premier fruit de notre travail, nous l’appellerons Premier Amendement…

Cette valeur n’est pas très simple ²⁹  ; elle se présente comme la somme des trois termes suivants, où R représente le Rapport de Masses atteint en fin de propulsion (c à d celui qu’on évoque le plus souvent) :
(Amendement 1 à la Vitesse Finale de Tsiolkovski)

- ½ ρ SCx { Ln³R}

- ½ ρ SCx { - [ + + - 1]}
- ½ ρ SCx { [LnR - + - ]}



avec bien sûr :

R le Rapport de Masses Final à T , l’instant de fin de propulsion,

q le débit massique Q/T , supposé constant.

Il est très utile de remarquer ici que cet amendement peut également prendre un caractère instantané : En effet, si nous avons précisé sous l’encadré que R est le Rapport de Masses Final à T l’instant de fin de propulsion, rien ne nous empêche de prendre T comme une portion du temps réel de propulsion (on l’écrira alors à nouveau t).

Cette instantanéisation de notre amendement ne devrait pas manquer de nous servir incessamment dans de nouveaux calculs mathématiques.
On peut donc écrire également :
(Amendement 1i à la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski)

- ½ ρ SCx { Ln³R_(t)}

- ½ ρ SCx { - [ + + - 1]}
- ½ ρ SCx { [Ln R_(t) - + - ]}



avec bien sûr :

R_(t) le Rapport de Masses Instantané à l’instant t,

q le débit massique Q/T , supposé constant.

Autre présentation de ce résultat :

On peut reporter les valeurs de et dans les trois termes de l’Amendement 1 ci-dessus. On obtient alors :

(Amendement 1’ à la Vitesse Finale de Tsiolkovski, à l’usage des pyrofuséistes)

- ½ ρ SCx { Ln³R}

- ½ ρ SCx { - (1-) [ + + - 1]}
- ½ ρ SCx { (1-)² [LnR - + - ]}

avec bien sûr :

R le Rapport de Masses Final à T = instant de fin de propulsion

et Q la Masse d’Appui, le Débit Massique de cette Masse d’Appui étant toujours supposé constant.

C’est parce que Q et T apparaissent nettement dans cette nouvelle écriture de l’amendement que nous le qualifions de ‘‘à l’usage des pyrofuséistes’’.

Dans cette nouvelle rédaction, le temps de propulsion T apparaît plus nettement et, surtout, le paramètre Q (la masse d’appui, c à d de poudre ou de carburant ou d’eau pour les fusées à eau) indique la taille de la fusée (Q est évidemment proportionnel à la masse de la fusée sur le Pas de Tir et représente souvent l’énergie chimique embarquée)(pour les fusées à feu lancées par des amateurs, Q est lié au type de moteur à poudre utilisé, comme d’ailleurs T).
Notons que cette présentation de notre Premier Amendement est également instantanéifiable (en prenant R comme la variable R_(t) du temps. Mais il faut tout de même se garder de transformer alors T en t, puisque T/Q n’est rien d’autre que le Débit Massique q qui n’est en rien variable. Cependant cette instantanéification de notre Premier Amendement ne donne pas une écriture très intéressante.