Soustractif atmosphérique à la vitesse de tsiolkovski
AUTRE COMPARAISON ENTRE LES TERMES DE NOTRE PREMIER AMENDEMENT
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- Comparaison de notre Premier Amendement complet avec son Premier Terme
- Premier Amendement ≈ Son Premier Terme (1 + Rpip* A + *Rpip 2 * B)
- AUTRE RÉDACTION DU PREMIER TERME DE NOTRE AMENDEMENT EN RÉFÉRENCE À LA VITESSE DE TSIOLKOVSKI
AUTRE COMPARAISON ENTRE LES TERMES DE NOTRE PREMIER AMENDEMENTNous aurions pu découvrir cette loi rapprochant, fusée par fusée, les différents termes de notre Amendement 1 en effectuant le quotient du Deuxième Terme sur le Premier et celui du Troisième Terme sur le Premier. Le quotient du Deuxième Terme (le terme en g) sur le Premier est : -6 Rpip [ + + - ] Ici il faut rappeler que Rpip représente le rapport Poids Initial / Poussée de la fusée (attention : Rpip est d’autant plus faible que la Poussée de la fusée est plus forte, relativement à son poids, c à d à mesure que l’accélération initiale est plus forte). Dans la pratique, ce Rpip a donc une valeur comprise entre 1 pour une fusée qui ne décollerait qu’au bout d’un moment (et uniquement par allègement de son carburant) et disons 1/20ème (en gros c’est l’inverse de l’accélération initiale exprimée en g). Quelle courbe peut bien dessiner cette nouvelle cohorte des termes en R ? Celle-ci (établie pour une plage de Rapport de Masses allant jusqu’à 6, ce qui correspond au Rapport de Masses d’une fusée à eau type) : 
L’évolution est assez importante. Mais nous devons penser que : d’une part la durée de propulsion de ces fusées à eau est extrêmement brève, ce qui minimise l’importance des Deuxième et Troisième Termes de notre Premier Amendement (en minimisant le Rpip) d’autre part c’est la partie droite des courbes qui compte le plus puisque c’est en fin de propulsion que se détermine la majorité de la Perte de Vitesse par Traînée.
Effectuons à présent le quotient du Troisième Terme de notre amendement 1 sur son Premier Terme : Le résultat en est : 3Rpip2 [ - + - ] Voici l’évolution de cette cohorte des termes en R pour une plage de Rapport de Masses allant jusqu’à 6 : 
L’évolution est assez importante. Mais on sait que pour les fusées à eau, par exemple, la valeur très faible du carré du Rpip minimise énormément son impact… Voici à présent l’évolution de la même cohorte de termes en R pour le moteur Wapiti : 
On remarque pour ce moteur, la cohorte des termes en R du quotient susnommé varie peu. Comparaison de notre Premier Amendement complet avec son Premier TermeNous venons d’établir que, pour les moteur Wapiti Moyenné les cohortes en R des Deuxième et Troisième Termes de notre Premier Amendement se montrent quasi proportionnels à celle du Premier Terme au cours de la propulsion… Cette situation se retrouve, à un titre à peine moindre, pour une fusée motorisée avec un Isard Moyenné. Il résulte de ceci que, pour les mêmes moteurs, le Premier Amendement doit également être quasi proportionnel à son Premier Terme : Premier Amendement ≈ Son Premier Terme (1 + Rpip*A+ *Rpip2*B)Pour le vérifier, faisons calculer à notre ordinateur le Rapport entre le Premier Amendement complet et son Premier Terme. Voici, selon le Rapport de Masses Instantané, ce rapport entre notre Premier Amendement et son Premier Terme, pour des fusées mues par un moteur Wapiti Moyenné et présentant sur le Pas de Tir les masses minimum, moyenne et maximum admises : 
Les verticales représentent les rapports de masses finaux atteints par les fusées Wapiti (en bleu clair par la fusée de Masse minimum et ainsi de suite) Force nous est de convenir que si ce rapport du Premier Amendement à son Premier Terme varie en fonction de la Masse Initiale, il varie très peu durant la propulsion (c à d avec le Rapport de Masses Instantané). Il ne s’éloigne guère de 0,3 pour le Masse Initiale de 0,5 Kg, de 0,22 pour 0,6 Kg et de 0,14 pour une Masse Initiale de 0,7 Kg. Il n’y a donc qu’un petit pas à franchir pour dire que ce rapport de notre Premier Amendement à son Premier Terme est très peu différent de : Premier Amendement ≈ (0,22 + 0,8(0,6 – Minit) soit : Premier Amendement ≈ (0,7 – 0,8 Minit) Ce qui affecte à notre Premier Amendement pour le moteur Wapiti Moyenné la valeur approchée : Premier Amendement ≈ Son Premier Terme (0,7 – 0,8 Minit) pour les fusées à moteur Wapiti Moyenné Nous verrons plus loin que cette propriété ouvre les portes d’une excellente valeur des Pertes de Vitesse de Propulsion par Traînée. Même comparaison de notre Premier Amendement avec son Premier Terme pour le moteur Isard Moyenné Il est difficile de résister au désir de calculer le Rapport de notre Premier Amendement complet à son premier Terme. Cela donne pour ce moteur Isard Moyenné et des fusées de 4, 6 et 8 Kg : 
On en tire comme précédemment que le rapport de notre Premier Amendement à son Premier Terme pour ce moteur Isard Moyenné est très peu différent de : Premier Amendement ≈ Son Premier Terme (0,84 + 0,0275 (6 – Minit) soit : Premier Amendement ≈ Son Premier Terme (1,005– 0,0275 Minit) pour les fusées à moteur Isard Moyenné Même comparaison pour une fusée à eau Pour une fusée à eau de 1/10ème de seconde de temps de propulsion, le rapport du Premier Amendement à son Premier Terme est encore plus proche de l’unité : 
Ce graphe exprime assez bien la primordialité du Premier terme de notre Premier Amendement dans ce cas précis de la fusée à eau à propulsion non ralentie, surtout si l’on songe que ce sont les valeurs ultimes de ce Premier Terme qui seront le plus prises en compte par l’intégration de la Perte de Vitesse de Fin de Propulsion par Traînée… Il en résulte la quasi égalité suivante : Premier Amendement ≈ Son Premier Terme (1,03– 0,1 Minit) pour une fusée à eau de 1,5L, T = 1/10’’ Pour une fusée à eau à phase propulsive de 1’’, le graphe est également très intéressant, surtout si l’on pense que ce sont les derniers Rapports de Masses Instantanés qui créent l’essentiel de la Traînée de la fusée : 
Nous aurons l’occasion de revenir sur cette propriété de quasi proportionnalité du Premier Amendement avec son Premier Terme pour les fusées expérimentales et les fusées à eau non ralenties. Les calculs des pertes Réelles par Traînée, effectués pas à pas par notre tableur, nous permettrons même de pondérer notre Premier Amendement pour le rendre parfaitement réaliste, du moins pour les fusées à eau, et les fusées expérimentales Wapiti et Isard… AUTRE RÉDACTION DU PREMIER TERME DE NOTRE AMENDEMENT EN RÉFÉRENCE À LA VITESSE DE TSIOLKOVSKILe Premier Terme de notre Premier Amendement peut encore se réécrire en y faisant apparaître la Vitesse de Fin de Propulsion de Tsiolkovski calculée sans influence de la gravité (que pour nous écrivons ci-dessous VTsiolSansG) : - ½ ρ SCx (VTsiolSansG)2 {} avec toujours : : R le Rapport de Masses Final à T = instant de fin de propulsion : Q la Masse d’Appui, le Débit Massique de cette Masse d’Appui étant toujours supposé constant. : VTsiolSansG la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski calculée sans influence de la gravité. Rappelons cependant que ce Premier Terme, amendement approché de la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski, ne peut plus alors prétendre à la qualité de se présenter par excès. 38 Il nous apparaît comme indexé sur le carré de cette Vitesse Instantanée de Tsiolkovski. Ce carré est, de plus, pondéré par l’inverse du Débit Massique q = Q/T , ainsi que (une nouvelle fois) par le logarithme du Rapport de Masses Final : Le Débit Massique q = Q/T parce que il est représentatif de la durée d’action de la Traînée atmosphérique (quand T est très court pour un Q donné le freinage aérodynamique sur la fusée est trop bref pour peser sur le bilan de la Vitesse de Fin de Propulsion : la perte de vitesse par traînée en devient très faible). le logarithme du Rapport de Masses Final parce que celui-ci est représentatif de la forme de la courbe de la vitesse instantanée (de la creuseté , la concavité, de cette courbe). On pourrait tout à fait instantané fier cette nouvelle écriture du Premier Terme de notre Amendement, mais il faudrait alors prendre pour VTsiolSansG la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski calculée sans référence à la gravité. Cette instantanéification paraît alors nous renvoyer à la valeur classique du Premier Terme de notre Premier Amendement. À savoir :
Néanmoins, si l’on opère la même confusion de notre Premier Amendement avec son seul Premier Terme pour une fusée à feu doté d’un moteur Wapiti Moyenné 39 on constate une nette divergence de la vitesse ainsi corrigée (en marron) par rapport à la Vitesse Réelle (en rouge). : 
Cette non représentativité du Premier Terme doit être attribuée à la forte influence de la durée de la phase propulsive (le moteur Wapiti fonctionne 3,4’’) sur le deux autres termes de notre Premier Amendement (Rpip assez fort). Et en effet, l’action de la gravité sur la fusée, calculée par v = gT , se solde par une réduction finale de vitesse de 3,4*g = 33m/s, soit autant que la Vitesse Finale de Tsiolkovski complète (les 32 m/s qui apparaisse en violet sur le graphe). Autant dire que la moitié de l’impulsion du moteur est perdue à lutter contre la gravité ! Ceci doit nous être l’indice que la représentativité du seul Premier Terme de notre Premier Amendement ne saurait être satisfaisante. Rassurons-nous cependant en visualisant la valeur de notre Premier Amendement complet pour cette même fusée moyenne Wapiti Moyenné :
Gageons que le même phénomène de non représentativité du seul Premier Terme existera a fortiori pour la fusée de22,2 t, développant sa poussée durant 150 secondes (tous ces calculs étant effectués à partir d’une Masse Volumique de l’Air constante) : 
Il ne faut pas cacher en effet que même un Premier Amendement complet de la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski (effectué ci-dessous graphiquement en jaune) ne serait en rien réaliste pour traiter de cette fusée de 22,2 t : 
Ou, si l’on exprime les vitesses en fonction du temps : 
On pourrait même dire que la Vitesse ainsi amendée (en jaune toujours) diverge nettement… Ceci ne nous étonne pas s’agissant de cette fusée pour laquelle, nous l’avons explicité plus haut par des graphes, la traînée devient prépondérante : ici, prendre la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski comme base pour le calcul de la Traînée devient inconséquent : dans le cas de ces fusées butant sur le mur de l’atmosphère, les pertes en Vitesse Instantanée occasionnées par la Traînée (et donc par la Vitesse Instantanée elle-même) sont trop importantes…
Mais il faut noter pourtant que cette divergence de notre Premier Amendement pour cette fusée n’intervient que vers la moitié de la phase propulsive, lorsque l’engin a quand même atteint un Rapport de Masse Instantané de plus de 1,60 , ce qui est supérieur à ce que la majorité des fusées d’amateurs peuvent atteindre (le seul Premier Terme de notre Premier Amendement, quand à lui diverge bien avant). Ceci nous conforte dans l’idée que notre amendement, s’il ne peut être utile aux professionnels, est néanmoins très profitable aux amateurs… On verra pourtant plus bas qu’un deuxième amendement, bien que calculé sur la base de ce Premier Amendement améliore nettement ce résultat. Il existe encore une écriture intéressante du Premier Terme de notre Premier Amendement, celle qui se base sur le taux de stationnarité de la vitesse de montée de la fusée. Nous y reviendrons plus bas… Cette analyse des propriétés de notre Premier Amendement étant faite, on peut s’avancer dans sa confrontation avec la réalité. Cela donnera de nouvelles simplifications, simplifications impliquant une dégradation (que nous jugeons raisonnable) de sa précision. * VALEURS PRATIQUE DE NOTRE PREMIER AMENDEMENT POUR LES DIFFÉRENTS TYPES DE FUSÉES D’AMATEURS : Si à présent l’on remarque que, dans notre Premier Amendement, les termes ½ρSCx apparaissent toujours en multiplicateur général des trois Termes, on peut penser à établir pour chaque moteur pyrotechnique le graphe donnant le quotient de notre amendement par ½ρSCx pour chaque valeur de R, le Rapport de Masses Final. Il faut convenir cependant que le calcul d’un deuxième amendement basé sur le Premier Amendement nous conduirait à la constatation que le Cx ne demeure pas ainsi en facteur commun de tout le reste : cette position attentiste ne se rencontre donc en réalité que dans l’énoncé de notre Premier Amendement 41 . Elle n’est donc réaliste que si l’on s’en tient au premier ordre des choses, ordre qui, nous l’avons vu, est souvent admissible pour les fusées à faible temps de propulsion. En théorie, donc, les effets de la Traînée sont bien tributaire de la Traînée elle-même (et donc du SCx) puisque cette Traînée, en minimisant la vitesse atteinte, se limite elle-même en retour… 42 L’informatique domestique dont nous disposons nous suggère néanmoins l’idée de calculer, grâce à notre tableau Pas à pas, le quotient par SCx de la vitesse réellement perdue aérodynamiquement, noter cette formulation différente de la sempiternelle « par Traînée » ceci en fonction du Rapport de Masses de la fusée et pour plusieurs valeurs du SCx. Nous pouvons d’ailleurs nous enhardir à pronostiquer que les courbes correspondant aux différents Cx se montrerons très proches. Voici cette famille de courbes pour un moteur Wapiti Moyenné, et pour une plage de Rapport de Masses Finaux correspondant à ce que les règles de sécurité autorisent comme plage de Masses sur le Pas de Tir (de 0,5 à 0,7 Kg) : 
Ces courbes sont réalisées par calcul pas à pas et en considérant comme variable avec l’altitude la Masse Volumique de l’air. À notre grande satisfaction, nous constatons effectivement que la famille de courbes correspondant aux différents Cx est très compacte : on vérifie bien ici que, de façon primordiale, le SCx intervient en facteur commun de la perte de Vitesse par Traînée , du moins pour ces fusées propulsées par le moteur Wapiti Moyenné : l’écart entre les courbes est de 2,2 % en haut et de 1,2 % en bas. Ceci est une constatation d’importance… En observant bien, on croit voir que c’est la courbe rouge (correspondant aux plus fort Cx, c à d à la moins bonne pénétration dans l’air) qui s’y présente la plus basse. Un zoom sur les Rapports de Masses maximum permet de mieux l’apprécier : 
Le quotient des pertes réelles de vitesse par freinage atmosphérique est donc plus faible pour les fusées possédant un SCx plus forts ! Cela peut troubler un instant, mais on se rassérène en songeant que, à l’occasion du produit de ces quotients par le SCx qui leur a donné naissance, les pertes réelles absolues par Traînée seront quand même largement plus fortes pour les faibles SCx… Au demeurant, cette position des courbes de forts SCx est tout à fait normale : Comme ces forts SCx limitent les gains en vitesse des fusées, les pertes aérodynamiques réelles (par rapport à la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski) sont un peu plus faibles. Et leur quotient par le SCx également… Mieux encore, on peut voir dans l’épaisseur de l’arc en ciel des quotients le défaut de primordialité de notre Premier Amendement Complet. C à d que moins ce Premier Amendement sera réaliste (pour modéliser le comportement d’une fusée) et plus l’arc en ciel sera épais… La courbe violette ci-dessus représente, quand à elle, les quotients par le SCx des valeurs finales de notre Premier Amendement (dans ses trois Termes). On la note très proche de l’arc en ciel. Rappelons que ces quotients produisent des valeurs indépendantes du SCx (c’est pourquoi il n’existe qu’une seule courbe violette pour toutes les fusées de Masses Initiales différentes et de Cx différents). Mais le quotient par le SCx des valeurs instantanées du seul Premier Terme de notre Premier Amendement produit un résultat inconvenant ; rappelons que ce quotient a des valeurs instantanées liées au Rapport de Masses Instantané, mais, par définition, il est indépendant du SCx et du Rpip 43 . C’est la courbe marron ci-après, qui vaut donc pour toutes les fusées : 
On doit admettre qu’elle n’est pas très représentative du quotient des pertes réelles. 44 Voici à présent cette même famille de courbes pour un moteur Isard Moyenné, et pour une plage de Rapport de Masses Finaux de à Kg : renseigner ci dessus 
La courbe marron, qui représente le quotient par le SCx du Premier Terme de notre Premier Amendement se trouve être moins décalée vers le haut que pour le moteur Wapiti Moyenné. La courbe violette, quotient par le SCx de la valeur finale de notre Premier Amendement (dans ses trois Termes) se montre relativement proche de l’arc en ciel des quotients réels. Il faut pourtant se garder d’instantanéifier ces courbes de quotients de vitesse aérodynamiquement perdue par le SCx comme on l’a souvent fait ci-dessus pour la Vitesse de Tsiolkovski : Pour preuve, voici en noir la montée de ce quotient par le SCx des pertes instantanées en Vitesse par Traînée pour le moteur Wapiti Moyenné précité, pour huit Rapports de Masses Finaux étagés de 1,077 à 1,111 et pour le Cx moyen de 0,4 : 
On doit donc admettre que les courbes noires ne se placent pas dans le prolongement de l’arc en ciel du quotient par le SCx des pertes de Vitesse Finale par Traînée et que, de plus, elles sont très différenciées (les ordonnées de la courbe noire du haut sont proche du double des ordonnées de celle du bas).… Attention au fait que le Rapport de Masses Instantané et le Temps entretiennent des rapports hyperboliques. Voici par exemple, en bleu clair, les temps correspondant à la moitié et au 3/4 de la phase propulsive selon les différentes Masses Initiales. 
Il est naturel que l’arc en ciel lui-même présente une courbure proche de l’hyperbole puisqu’il se dessine au temps 3,4 ’’ fin de la propulsion du moteur Wapiti… Mais comment expliquer cette très nette différenciation de ces courbes réelles, d’autant plus surprenante qu’à Rapport de Masses Instantané égaux (à abscisses égales, sur le graphe) les Vitesses Instantanées de Tsiolkovski (qui ont servi de bases à notre approche de la Traînée) sont égales ? On se souvient en effet que la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski croît comme le Ln du Rapport de Masses Instantané et que le Premier Terme de notre Premier Amendement croît, lui, comme le cube du Rapport de Masses Instantané. Il en va donc de même évidemment pour leur quotient par le SCx qui est dessiné ci-dessus. Donc, à même R(t) le logarithme LnR(t) et son cube Ln3R(t) sont chacun équivalents pour deux fusées Wapiti Moyenné de Masses Initiales différentes. Mais justement, le moteur Wapiti moyenné possède ceci de particulier qu’il est très mal décrit par le seul Premier Terme de notre Premier Amendement (reproduisons sa courbe marron ci-dessous) : 
À cet instant de notre réflexion, il faut se souvenir qu’il est aisé, dans notre calcul Pas à Pas de ces Pertes Réelles, d’annuler la gravité g. Nous savons que cela annule alors les Deuxième et Troisième Termes de notre Premier Amendement. Les courbes noires correspondant aux huit masses sur le pas de tir vont alors se regrouper : 
Ceci prouve bien que la différentiation selon les Masses Initiales des quotients des Pertes Réelles par Traînée est liée à l’existence de la gravité… Incidemment, on peut vérifier qu’en l’absence de gravité le quotient par le SCx des valeurs finales de notre Premier Amendement complet (courbe violette ) se retrouve assez près du quotient des pertes réelles par Traînée. La très légère différence ne peut être imputée ici qu’au fait que ce Premier Amendement est basé sur la seule Vitesse Instantanée de Tsiolkovski (Vitesse sans Traînée, donc) alors que la vitesse réelle de la fusée est légèrement inférieure (du fait de la Traînée) : L’écart entre la courbe violette et l’arc en ciel représente donc bien ce qu’on pourrait appeler l’erreur de notre Premier Amendement ! (On voit donc que cette erreur est assez faible et que le Premier Amendement, dans ce cas où la gravité n’existe pas, est réaliste) 45 . Au fait, nous venons de montrer l’instantanéification des quotients par le SCx des pertes réelles par Traînée. Que donne le même quotient de notre Premier Amendement complet par le SCx pour les différentes masses sur la Pas de Tir ? Voici ces quotients, en jaune, pour 3 masses initiales : 
On voit que ce Premier Amendement est assez représentatif quoique toujours excessif (rappelons que le quotient du Premier Amendement par le SCx donne un résultat totalement indépendant du SCx puisque ce SCx est présent en facteur commun dans les trois termes du Premier Amendement) Mais laissons le moteur Wapiti et revenons au tableau des quotients pour le moteur Isard Moyenné : 
Dans ce cas, les quotients par le SCx des pertes instantanées de vitesse par Traînée (courbes noires) sont dans l’épaisseur de l’arc en ciel. Cet arc en ciel est donc raisonnablement instantanéifiable… Au demeurant, pour cette dernière motorisation Isard Moyenné, on peut proposer (ci-dessous en noir) une régression très précise des courbes de l’arc en ciel (cette régression a été demandée pour le Cx moyen de 0,4) : 
Il en résulte que pour le moteur Isard Moyenné, la Vitesse de Fin de Propulsion peut être très convenablement approchée par la formule : VFinProp = Véject.Ln(R) – gT – SCx [290160 R2 –615445 R +326701] Attention cependant à ne par «instantanéifier » cette Vitesse de Fin de Propulsion : la parabole énoncée entre crochet remonte très vite sur la gauche de l’arc en ciel… Mais, puisque nous en sommes aux régressions, on peut noter qu’une simple pondération du Premier Terme de notre Premier Amendement (en marron) le remet tout à fait dans ses marques (les carrés bleus ci-dessous) : 
Si l’erreur commise par cette régression est de 7,4 % en bas de l’arc en ciel (sur les valeurs qui sont d’ailleurs les plus faibles, ce qui minimisera l’erreur sur la vitesse) elle est presque nulle au milieu et n’est plus que de 1 % en haut (erreur établie pour un Cx de 0,4) Cela nous donne donc une autre régression possible de notre arc en ciel et une autre écriture de la vitesse de Fin de Propulsion d’une fusée propulsée par un moteur Isard Moyenné : VFinProp = Véject.Ln(R) – gT – 0,84 ½ ρ SCx { Ln3R} Sur le graphique ci-dessus, les ronds noirs et rouges représentent la Vitesse de Fin de propulsion calculée selon la formule du Vol de la Fusée… On voit que cette prédiction est un peu optimiste. 46 Il est d’ailleurs épatant de constater que cette pondération par 0,84 du Premier Terme de notre Premier Amendement est, quant à elle, instantanéifiable, c’est à dire qu’elle donne une très bonne approximation de la perte instantanée de vitesse de la fusée par Traînée. 
On peut donc admettre, pour la vitesse instantanée de la fusée, en cours de propulsion par un moteur Isard Moyenné : V(t) = Véject.Ln(R(t)) – g t – 0,84 ½ ρ SCx { Ln3R(t)} Cette valeur pratique est évidemment à rapprocher de la valeur trouvée plus haut lorsque nous calculions le rapport de notre Premier Amendement à son Premier Terme puisque pour la valeur moyenne de la Masse au Décollage, on retrouve le même coefficient de 0,84… Intéressons nous, sur cette lancée, au moteur Wapiti Moyenné. Nous bénéficions de toutes les chances : On peut en effet remarquer sur les trois graphes ci-dessous que l’application d’une pondération (de 0,14 pour la Masse Maximum de 0,7 kg , 0,225 pour une masse moyenne de 0,6 Kg valeur (je ne l’ai pas noté, elle correspond à un calcul intermédiaire de la macro, et de 0,3 pour la masse mini admissible de 0,5 Kg ) au simple Premier Terme de notre Premier Amendement donne très précisément les valeurs instantanées du Quotient des Pertes de Vitesses par Traînée par le SCx : 
(notre calcul a prolongé inutilement la suite de carrés bleus, comme d’ailleurs sur le graphe suivant) 
Ces coefficient de 0,14, 0,225 et 0,3 sont à rapprocher de ceux que nous avons découvert lorsque nous calculions le rapport entre notre Premier Amendement et son Premier Terme : ce sont quasiment les mêmes ! Il s’ensuit que les vitesses Instantanée en Phase Propulsive d’une fusée mue par un moteur Wapiti Moyenné est très proche de : V(t) = Véject.Ln(R(t)) – g t – C ½ ρ SCx { Ln3R(t)} … le coefficient pondérateur C prenant la valeur 0,14, 0,225 ou 0,3 pour une fusée de 0,7 Kg , 0,6 ou 0,5 Kg sur le Pas de Tir. Ce que l’on peut généraliser, en privilégiant la précision autour de la Masse Moyenne, sous la forme : V(t) = Véject.Ln(R(t)) – g t – (0,695 – 0,8 Minit) ½ ρ SCx { Ln3R(t)} …qui représente la Vitesse Instantanée d’une fusée à moteur "Wapiti Moyenné" compte tenu de la Traînée aérodynamique. Cette formule donne, pour toute la plage des Masses admises par le règlement les résultats suivant (courbes jaunes ainsi qu’orange pour la masse de 0,6 Kg , à comparer aux courbes noires qui représentent la Perte Réelle de Vitesse Instantanée due à la Traînée) : 
Il serait évidemment possible de bâtir un tableau de coefficient pondérateur qui améliorerait les résultats sur les deux courbes hautes et la courbe basse du graphe ci-dessus. Mais nous avons néanmoins l’immodestie de juger satisfaisant ce graphe. Ceci est passionnant et établit tout à fait la représentativité du Premier Terme de notre Premier Amendement pour les fusées propulsées par le moteur Wapiti Moyenné, pourvu qu’il soit corrigé en fonction de la Masse sur le Pas de Tir ! Rappelons que la représentativité du seul Premier Terme de notre Premier Amendement vis à vis de ce Premier Amendement a été établie implicitement lorsque nous étudiions les rapports entre les Premiers et Deuxième Termes, dans notre chapitre Comparaison des Deuxième et Troisième Termes de notre Premier Amendement avec son Premier Terme… Les résultats ci-dessus corroborent, si besoin était, la représentativité du Premier Amendement vis à vis des Pertes Réelles par Traînée…Fusée à eau de 1,5 L et de 1/10ème de seconde de propulsion Qu’en est-il de la fusée à eau ? Voici ce qu’il en est pour une fusée à eau type de 1,5L, à propulsion allongée à 1’’ : 
Ici encore on constate que l’arc en ciel des quotients est assez compact (de 1,5 % en bas à 7,3 % en haut vérifier que c’est bien cette valeur (nouveau graphe)), mais surtout pour les Rapport de Masses Finaux inférieurs à 6 (ce qui correspond à la moyenne des fusées soit une masse à vide de 100g) : au dessus de 6, les fortes vitesses atteintes par la fusée le font se rapprocher de sa Vitesse Limite de Montée : la traînée occasionnée par un trop fort Cx diminue alors sensiblement les performances de Fin de Propulsion de la fusée : le Cx intervient donc non seulement au premier ordre dans les amendements mais également au deuxième ordre… Est-ce un indice ? : Le quotient du Premier Amendement (en violet) diverge également un peu plus du quotient des Perte de Vitesses Réelles par Traînée. Par contre, nous avons la satisfaction d’observer que les courbes noires (quotient des Pertes Aérodynamique Instantanées en Vitesse selon les masses sur le Pas de Tir) sont très compactes. De plus, elles passent quasiment dans l’arc en ciel des quotients des Pertes réelles : on pourrait donc instantanéifier cet arc en ciel sans grande erreur. Mais mieux encore, comme le Quotient du Premier Terme de notre Premier Amendement (en marron) épouse la forme de l’arc en ciel, on peut pondérer ce Quotient du Premier Terme pour le faire représenter le Quotient des Pertes Instantanées par Traînée. Voilà cette pondération par 0,67 ci-dessous en jaune : 
(les verticales ci-dessus représentent les Rapports de Masses Finaux : Faible, Moyen et Fort) On peut en tirer la valeur approchée de la Vitesse Instantanée de Propulsion d’une fusée à eau type de 1,5L à phase propulsive de 1’’ : V(t) = Véject.Ln(R(t)) – g t – 0,67 ½ ρ SCx { Ln3R(t)} vérifier cet encadré, je l’ai fait très vite Lorsque la propulsion de cette fusée à eau type est réglée à 1/10ème de seconde, le bilan des pertes aérodynamique est beaucoup plus faible ; il passe de ~ 6000 à ~ 900 pour les plus forts Rapports de Masses : 
C’est un peu plus du dixième, ce qui était prévisible vu la division par dix du temps d’expression des pertes aérodynamiques (la chute des pertes par gravité doit expliquer la petite différence entre ce dixième et le résultat réel le vérifier)… L’arc en ciel des quotients (du rouge au bleu dense) est large de ? %en bas et de ? % en haut On peut noter ici également que le Premier Terme de notre Premier Amendement (quotient en marron) donne également un quotient assez proche du Premier Amendement lui même (quotient en violet)… Il est donc tentant de pondérer le Quotient par SCx du Premier Terme de notre Premier Amendement pour le faire exprimer le quotient des Pertes Réelles par Traînée. Voici cette pondération par 1,07 : 
(les verticales ci-dessus représentent les Rapports de Masses Finaux : Faible, Moyen et Fort) En noirs sont les Quotients de Pertes par Traînée pour les différentes Masses sur le Pas de Tir. On voit qu’ils sont très serrés. En rouge sont les Pertes par Traînée en Fin de Propulsion pour les différentes Masses (à peine visibles, car confondues avec les Pertes Instantanées). On peut en tirer la valeur approchée de la Vitesse Instantanée de Propulsion d’une fusée à eau type de 1,5L à phase propulsive de 1/10ème : V(t) = Véject.Ln(R(t)) – g t – 1,07 ½ ρ SCx { Ln3R(t)} vérifier cet encadré, je l’ai fait très vite *
À ce stade, nous pouvons nous demander s’il est possible d’améliorer encore la précision de cet amendement analytique à la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski que nous venons de mettre en pratique, c à d s’il est possible de réduire encore la fourchette de notre estimation de la Vitesse de Fin de Propulsion… L’idée germe alors d’utiliser la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski amendée une première fois comme base de calcul pour un nouveau calcul de la traînée instantanée et pour son intégration sur la durée de la propulsion, bref, pour effectuer un Deuxième Amendement… On pourrait croire que l’on ne va rien gagner dans cette tentative d’amendement. Mais c’est oublier que : d’une part la vitesse instantanée de Tsiolkovski amendée une première fois est une valeur plus proche de la vitesse réelle que la vitesse instantanée de Tsiolkovski sur laquelle nous avons basé le calcul de notre Premier Amendement ; d’autre part que cette vitesse instantanée amendée une première fois qui va nous servir de base pour le calcul de la traînée à chaque instant est une valeur plus faible que la vitesse instantanée réelle (puisque notre Premier Amendement est excessif, ainsi que nous l’avons toujours assuré, ce qui apparaît d’ailleurs sur nos graphes). Si nous nous lançons dans ce Deuxième Amendement, nous retirerons donc à la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski une vitesse (perdue par traînée) plus faible que ce que nous devrions retirer : le résultat de ce deuxième amendement sera donc une vitesse plus forte que la vitesse réelle. Cette nouvelle vitesse amendée deux fois sera donc la limite haute de la vitesse réelle (en bleu clair ci-dessous, calculée graphiquement), alors que nous connaissons déjà la limite basse de cette même vitesse réelle, qui est la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski amendée une première fois (c’est la courbe jaune, sur les graphes ci-dessus et ci-dessous, correspondant à une fusée à eau de 1,5L et de 100g de masse à vide à propulsion très longue de 4’’) : nous venons ainsi de réduire la fourchette de calcul de la vitesse réelle de la fusée à l’écart entre les courbes jaune et bleu clair :
Cette création d’un Deuxième Amendement gagnerait, nous l’avons vu, à s’effectuer par Type de moteur : Par exemple, nous avons trouvé en effet pour les fusées de Rapports de Masses Finaux allant jusqu’à 1,2 une formulation régressée toujours excessive de notre Premier Amendement. Cette formulation est : - ½ ρ SCx {1- 1,86 Rpip + Rpip2 } avec bien sûr : R(t) le Rapport de Masses Instantané à l’instant t q le débit massique Q/T , supposé constant Rpip le rapport Poids Initial/Poussée de la fusée, c à d M0 g / P 47 . Nous n’avons pas effectué cette intégration analytique qui semble parfaitement réalisable. Ce travail reste donc à faire. Rêve d’avenir : On peut imaginer que le résultat puisse lui même servir de base de calcul à une nouvelle intégration, laquelle, etc… Il est alors très possible, qui sait ?, que l’agencement des différents termes fasse songer au développement de plusieurs séries. À supposer que ces séries soient convergentes 48 il serait possible que leur valeur soit connue des mathématiciens. Cet ensemble de souhaits peut sembler naïf, mais l’expérience démontre que de tels souhaits sont assez souvent comblés dans le domaine de la Science Physique… 49 Yüklə 1,76 Mb. Dostları ilə paylaş:
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