Soustractif atmosphérique à la vitesse de tsiolkovski


AMENDEMENT ATMOSPHÉRIQUE À LA VITESSE DE TSIOLKOVSKI DANS LE CAS D’UNE FUSÉE À DEUX ÉTAGES



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AMENDEMENT ATMOSPHÉRIQUE À LA VITESSE DE TSIOLKOVSKI DANS LE CAS D’UNE FUSÉE À DEUX ÉTAGES


Dans le cas d’une fusée à deux étages, le même travail d’intégration de la traînée pourra être mené durant la propulsion du deuxième étage seul. La différence avec le travail que nous venons d’effectuer étant que la vitesse initiale n’est plus zéro mais V1, c à d celle qu’à produite la propulsion du premier étage 67 .

La valeur de l’amendement excessif de la vitesse de fin de propulsion du deuxième étage (calculée selon Tsiolkovski) deviendra alors :

générer une fraction :
ΔV(T) = ½ ρ S2Cx2(1/M(t)){V1 + Véject Ln[R(t)] -g.t)}2 dt

- cette intégration étant à effectuer sur l’intervalle de temps de la propulsion du deuxième étage

- S2Cx2 étant le produit SCx correspondant au deuxième étage.
Le développement, sous le signe d’intégration, du carré de la vitesse instantanée de Tsiolkovski (carré de la parenthèse verte) produira 3 termes nouveaux par rapport à ceux que nous avons déjà rencontrés. Ces termes nouveaux (en V1² , - 2gV1² et 2V1Véject ) nous semblent tout à fait intégrables analytiquement.
Ce travail reste donc à faire.
*

PRISE EN COMPTE DE LA VARIATION DE LA DENSITÉ DE L’AIR AVEC L’ALTITUDE



Le Vol de la Fusée indique bien que, pour un gain d’altitude de 1000 m, la masse volumique de l’air varie de 10 %. Bien que les calculs de traînée que nous effectuons soient basés sur des Cx estimés souvent trop grossièrement, ces 10% ne sont pas tout à fait négligeable.
Comment est-il possible de prendre en compte la variation de la masse volumique ρ de l’air ?
L’ingénieur pensera à deux méthodes :
D’UNE PART LA MÉTHODE MATHÉMATIQUE utilisant les formidables implications scientifiques de la fameuse loi mathématique dite de l’Intégration par parties :
VdU = UV – UdV
Ces implications scientifiques sont que cette loi permet la correction (opérée dans un deuxième temps) d'une intégration effectuée en considérant, dans un premier temps, un paramètre V comme constant.
Pour plus de clarté, d’ailleurs, il est bénéfique de réécrire la loi mathématique de l’intégration par parties en remplaçant V par ρ . Nous possédons donc une nouvelle rédaction de cette loi :
ρ dU = ρU – Udρ
Dans notre cas, ρ représentera la densité de l'air, supposée peu variable avec l'altitude.
Appliquons cette démarche au cas où la gravité de la planète est négligée. Notre projet est alors de réaliser l’intégration de :
- ∫
ceci lorsque ρ est une variable du temps.

Comparons ce libellé avec le premier membre du libellé de la loi, à savoir ρ dU :


ρ est clairement identifiable.
Quant à dU on peut l’identifier comme étant :
-
À quelques coefficients près, nous avons déjà effectué cette intégration, dans la première partie de ce texte. Le résultat en est évidemment notre Premier Amendement lorsqu’il ne comporte, dans ce cas où g est négligé, qu’un seul terme :
[ Ln3R ]
Dans l’expression de la loi, ρ dU = ρU – Udρ , cette expression représente évidemment ρU .
À présent, dans un deuxième temps, en application de la loi de l’intégration par parties, nous allons retrancher à ce premier résultat l'intégrale Udρ , U étant alors tiré du Premier Amendement que nous venons de rapporter (en le divisant par ρ) et étant tiré de la loi d'évolution de ρ selon l’altitude, évolution que l'on est censé connaître par hypothèse...

C’est à dire qu’à notre amendement, nous allons retrancher Udρ :


La valeur de notre Premier Amendement lorsque la variation de la densité de l’air est prise en compte est donc :
[ Ln3R ] + [ Ln3R ]dρ :
toutes ces primitives étant à prendre de 0 à T (y compris le produit doté d’un signe moins).
Reste à déterminer la loi d’évolution de ρ par rapport au temps.
Le Vol de la Fusée donne, une loi d’évolution de ρ par rapport à l’altitude où se trouve la fusée :
ρ(h) = ρ0
Cette loi nous fournira une valeur de par rapport à h :

On aura ainsi apporté une première solution à l'un des problèmes classiques des ingénieurs : Comment améliorer une loi pour tenir compte de la variation d'un paramètre jusque là considéré comme constant ?


Il est d’ailleurs extrêmement satisfaisant de noter que cette amélioration que nous effectuons dans un deuxième temps n’est entachée d’aucune erreur : la loi d’intégration par parties nous assure en effet que cette amélioration est parfaitement exacte !

Mais là où l’on va introduire une erreur c’est lorsque l’on va devoir apprécier h d’après une formule ne tenant pas compte de la traînée.




LA DEUXIÈME MÉTHODE de prise en compte de la variation de la densité de l’air avec l’altitude est de chercher à déterminer une masse volumique équivalente qui serait considérée comme constante durant le vol. Appelons ρéqu celle-ci.
Bien sur, cette Masse Volumique Équivalente ρéqu doit être déterminée avant de l’injecter dans la formule de Tsiolkovski ou même dans nos amendements de celle-ci.
Quels seront les paramètres qui présideront à la détermination de cette Masse Volumique Équivalente ?
Sans doute pas la couleur de la fusée. Par contre, étant donné que la fusée connaît une courbe de vitesse d’autant plus pentue et creuse que le Rapport de Masses Final est fort, il est évident que ce R interviendra principalement dans l’établissement de ρéqu . Mais posons le problème mathématiquement.
Si dans une première approche nous considérons que la Traînée peut être passablement estimée d’après la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski (non amendée) , ρéqu est la valeur de la Masse Volumique de l’air qui satisfera à l’équation :
1/2 ρéqu SCx dt = 1/2 SCx ρ(t)dt
(à gauche on considère la Masse Volumique comme constante et égale à ρéqu alors qu’à droite on la considère comme une variable ρ(t))
Après simplification par 1/2 SCx, on peut facilement extraire la valeur mathématique de ce ρéqu que nous cherchons :

ρéqu =
dans cette équation ρ(t), VTsiol et bien sûr M(t) sont variables avec le temps. D’autre part, VTsiol doit intégrer ici l’influence de la gravité.
La première constatation que l’on peut faire à la vue de cette équation, c’est que nous sommes en train de calculer une certaine moyenne de la masse Volumique de l’air : pourtant ce n’est ni la moyenne arithmétique, ni la moyenne quadratique, mais une sorte de moyenne, qu’on pourrait évidemment appeler aérodynamique et qui promet d’être exprimée à base de logarithmes. Voir à ce sujet notre texte : Existe-t-il une Masse Volumique Équivalente pour l'air traversé par nos fusées ?.
La deuxième constatation intéressante résultant de cette simple mise en équation mathématique est que le SCx de la fusée s’est trouvé élidé explicitement dans notre formule. Attention cependant qu’il peut encore être présent, implicitement, dans ρ(t).

Mais si l’on admet que, primordialement, ρ(t) ne dépend pas du SCx (et ce sera le cas si nous calculons sa valeur selon la formule de l’altitude de Tsiolkovski (altitude calculée ci-dessous et qui ne prend pas en compte la Traînée), on pourra prétendre que, primordialement, la Masse Volumique Équivalente ρéqu ne dépend pas du SCx


qu’en est-t-il de la même intégrale lorsqu’on tient compte du Premier Amendement ? je pense que le Cx doit s’annuler également…
On pourrait s’en tenir là et fonder sur cette équation une évaluation satisfaisant de ρéqu, .
Mais on peut également, dans une deuxième démarche, confier le problème à notre tableur afin de jauger l’influence réelle du Cx sur ρéqu .
La loi d’évolution de la Masse Volumique de l’air selon l’altitude étant celle proposée par Le Vol de la Fusée à sa page 16 :
ρ(h) = ρ0
… loi qui présente la propriété intéressante de comporter en facteur ρ0, la Masse Volumique à l’altitude du Pas de Tir (cette ρ0 dépend, dans les faits, de la météo du jour et de l’altitude du Pas de Tir).
Voici les valeurs de la Masse Volumique Équivalente ρéqu selon les valeurs du Rapport de Masses R et selon le SCx, ceci pour une minifusée dotée d’un moteur Wapiti Moyenné.

Bâtir ce tableau


Voici l’évolution de la même ρéqu pour fusée expérimentale à moteur Isard Moyenné :
Bâtir ce tableau
ou équipée d’un moteur Chamois…

Bâtir ce tableau


L’étude de ces courbes nous incite donc à penser que le SCx des minifusées et des fusées expérimentales n’est pas un élément déterminant dans l’estimation d’une densité équivalente de l’air traversé durant la phase propulsive. On peut cependant le prendre en ligne de compte en le tirant des graphes ci-dessus.
à terminer

*


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