Soustractif atmosphérique à la vitesse de tsiolkovski
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- Altitude instantanée de Tsiolkovski
- Vitesse Instantanée En Phase Propulsive
- Altitude Instantanée en Phase Propulsive du Vol de la Fusée
ALTITUDE DE TSIOLKOVSKILa formule donnant ce que nous avons appelé la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski (formule qui néglige la Traînée atmosphérique) est intégrable sans difficultés particulière dans le temps. Le résultat de cette intégration est ce que nous nommerons l’Altitude de Tsiolkovski, altitude de Fin de Propulsion de la fusée 68 , calculée également sans considération pour la Traînée Atmosphérique. Une première écriture en est : H(T) = T Véject {1 + LnR [1- ]} – 1/2 g T² Valeur de l’Altitude de Tsiolkovski, c à d l’altitude de Fin de Propulsion d’une fusée calculée en considérant nulle la Traînée atmosphérique. Cette écriture est donc référencée à la Vitesse d’éjection de la Masse d’appui, toujours supposée constante. Mais une autre écriture peut également servir, qui prend pour référence la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski calculé sans Influence de la gravité (et nommée pour cette raison VTsiolSansG) : H(T) = T VTsiolSansG {1 + - } – 1/2 g T² Autre valeur de l’Altitude de Tsiolkovski, c à d l’altitude de Fin de Propulsion d’une fusée calculée en considérant nulle la Traînée atmosphérique. Elle est intéressante en ceci qu’elle exprime, entre les crochets, ce que l’on pourrait nommer le coefficient d’intégration de la courbe de Vitesse Instantanée de la fusée dans sa composante exempte de la gravité, c à d le coefficient de concavité de cette courbe de vitesse calculée sans g 69 . Quelle est l’évolution de ce coefficient d’intégration selon R ?
Cette courbe du terme en R admet deux régressions assez précises : La première est -0,077LnR + 0,498 , ici tracée en violet : 
…régression qui est précise à moins de 0,9 % près sur une plage de R allant de 1 à 10 . 71 Et la deuxième est : 0,5036 R -0,19 également en violet ci-dessous : 
qui suit la courbe à moins de 7 millièmes près (sur une plage de R allant de 1 à 10). On peut donc légitimement assimiler l’Altitude de Tsiolkovski à :
Régression de l’Altitude de Tsiolkovski, c à d de l’altitude de Fin de Propulsion d’une fusée calculée en considérant nulle la Traînée atmosphérique, précise à moins de 0,9 % près sur une plage de R allant de 1 à 10 .. qui, au besoin peut évidemment s’écrire : H(T) ≈ T VTsiolSansG Ln – 1/2 g T² Régression de l’Altitude de Tsiolkovski, c à d de l’altitude de Fin de Propulsion d’une fusée calculée en considérant nulle la Traînée atmosphérique, précise à moins de 0,9 % près sur une plage de R allant de 1 à 10 .. ou encore par le biais de l’autre régression :
Régression de l’Altitude de Tsiolkovski, c à d de l’altitude de Fin de Propulsion d’une fusée calculée en considérant nulle la Traînée atmosphérique, précise à moins de 7 millièmes près sur une plage de R allant de 1 à 10 .. D’autres régressions peuvent évidemment être adoptées qui rendront mieux compte du coefficient d’intégration de la vitesse pour des plages de Rapports de Masses plus étroites (en particulier pour celle correspondant aux minifusées et fusex. Mais l’important est que ce coefficient d’intégration évolue doucement selon R entre 0,5 (pour les minifusées à moteur type Kodou Vérifier) et 0,36 , par exemple, pour une fusée à eau type à Rapport de Masses de 6 72 . L’Altitude de Tsiolkovski en devient assez facilement calculable. Cette altitude sera d’autant plus proche de l’altitude réellement atteinte par la fusée en fin de propulsion que la durée de propulsion sera brève (du fait que cette brièveté limite la durée d’action du freinage atmosphérique)(et c’est effectivement le cas pour les fusées à eau ainsi que les micro et minifusées, tout engins dont on établira ci-dessous que leur altitude de Fin de Propulsion est très proche de l’Altitude de Tsiolkovski. Altitude instantanée de TsiolkovskiNous avons jusque là exprimé l’Altitude de Tsiolkovski en fonction de R, le rapport de Masses Final, ce qui donne l’Altitude de Fin de Propulsion de Tsiolkovski. Mais il peut être intéressant à présent d’exprimer à chaque instant l’altitude en fonction du temps passée depuis le lancement de la fusée. On parlera alors d’Altitude Instantanée de Tsiolkovski. Cette altitude est : H(t) = tVéject – Véject Ln{}[ – t] – 1/2 g t² Ce qui donne plus simplement : H(t) = tVéject – – 1/2 g t² Voici la courbe de cette Altitude Instantanée de Tsiolkovski selon le temps (en violet) en comparaison avec l’Altitude Réelle ou du moins celle que calcule notre tableau pas à pas en tenant compte de la Traînée (courbe rouge), ici pour une fusée moyenne Wapiti Moyenné : 
Notre surprise est grande de constater que l’écart entre les deux courbes est minime (1,34 % en Fin de Propulsion) alors que l’écart entre la Vitesse de Tsiolkovski et la vitesse réelle est, lui, de 2,42 %. Il en est d’ailleurs de même pour une fusée moyenne à moteur Cariacou : 
… pour laquelle l’écart sur l’Altitude n’atteint que 0,29 % (0,69 % d’écart sur la vitesse) Une fusée à moteur Isard Moyenné les écarts sont de 0,45 % sur l’Altitude et 1 % sur la Vitesse… Il n’y a que pour une fusée moyenne propulsée par un moteur Chamois que l’on relève un écart plus important (respectivement 4,1 % et 10,3 %) : 
Il nous reste à envisager l’influence de la Traînée sur l’Altitude de Fin de Propulsion atteinte par les fusées à eau. Elle est presque insensible pour une fusée type plein goulot : 0,44 % (contre 1,18 % de perte de vitesse). Pour une fusée à eau de 1 seconde de temps de propulsion, on obtient les courbes suivantes, (4,1% et 10,3 %) :
Pour une fusée à eau vraiment extrême à très petite tuyère, cependant (phase propulsive de 4 secondes) l’écart d’altitude passe à 7,7% (contre 18 % pour l’écart de vitesse)… 73 À quoi peut-on attribuer cette faible influence de la Traînée sur l’Altitude de Fin de Propulsion ? La raison de cette faible influence de la Traînée Aérodynamique sur la Hauteur de Fin de Propulsion tient au fait que le gros de la perte de vitesse sous l’effet de la Traînée se produit principalement vers la fin de la Propulsion (du fait que cette Traînée dépend du carré de la vitesse). On peut alors subodorer que la réduction de vitesse qui en résulte produit peu d’effet relatif sur l’altitude de Fin de Propulsion puisque ce déficit de vitesse a eu peu de temps pour s’exprimer… Cette faible durée d’expression relative sur la hauteur du tardif déficit de vitesse peut d’ailleurs être expérimentée dans le cas simple de la chute d’un corps soumis à la seule pesanteur, encore nous faudra-t-il, dans ce cas, mieux définir la notion d’influence de la Traînée sur la Vitesse en valeur relative. En effet l’influence relative de la Traînée sur la vitesse peut se quantifier de deux façons : (VVide – VAir) / VVide …ou : VVide – VAir) / VAir Dans le cas de nos fusées en phase propulsive, la Vitesse dans le vide n’est autre que la Vitesse de Tsiolkovski. Nous avons vu que, pour les fusées d’amateurs, cette vitesse est du même ordre de grandeur que la vitesse réelle (vitesse prenant en compte la Traînée atmosphérique).
(VVide – VAir) / VVide et : VVide – VAir) / VAir …peuvent être très différents puisque la vitesse "Air" placée au numérateur de la dernière fraction est limitée physiquement pour les temps importants… Nous y reviendrons… On sait que la vitesse de chute d’un corps croît comme gt et que son altitude (prise vers le bas) croît comme 1/2 gt².
Voici par exemple la vitesse d’un corps dans l’air (appelée ici réelle bien qu’elle ne soit que calculée) et dans le vide : 
La vitesse réelle est ici calculée pas à pas, mais sa valeur est conforme, à 2 millièmes près pour t = 0,8’’ 74, à la vitesse analytique dont nous reparlerons dans un instant 75. Sur la base de gt , la vitesse dans le vide, il est assez facile de calculer un premier amendement atmosphérique à la vitesse dans le vide. La vitesse amendée une première fois vaut alors gt – kg2t3/(3m) (si m est la masse du corps et K le coefficient de proportionnalité entre la Traînée et le carré de la vitesse). On voit cette vitesse amendée en trait plein bleu dense ci-dessous : 
Cette vitesse amendée peut évidemment être intégrée pour obtenir l’altitude instantanée amendée une première fois. Cette dernière se monte alors à 1/2gt² - kg2t4/(12m) (les hauteurs sont les courbes pointillées ci-dessus, dans les mêmes couleurs que les vitesses). C’est à ce point de la réflexion que l’on peut noter que le quotient entre les deux rapports suivants :
…et :
… ce quotient RVVideAm / RHVideAm est constant et égal à 2. Chacun des deux rapports représente bien sûr l’écart relatif existant entre la vitesse (ou la hauteur) dans le vide et la vitesse (ou la hauteur) amendée une première fois. Ces deux écarts relatifs sont donc dans un rapport 2. Voici la représentation graphique de ces deux erreurs relatives (à lire, par exemple, sur la verticale rouge, au Temps Balistique) :  
Vitesse amendée et hauteur amendée sont en bleu toutes deux, les hauteurs (en pointillés) étant à lire sur l’axe de droite. On note sur ce graphe que l’erreur relative demeurant après le premier amendement est plus de deux fois plus forte pour la vitesse (construction verte) que pour la hauteur (construction orange)… De plus amples réflexions quantifieraient analytiquement de la même façon l’erreur relative RVAirAm subsistant entre la vitesse réelle dans l’air et la vitesse amendée une première fois, de même que l’erreur relative RHAirAm subsistant entre la hauteur réelle dans l’air et la hauteur amendée une première fois. En dehors de toute volonté d’amendement, ce graphe représentatif d’un mouvement uniformément accéléré nous aide à comprendre que, dans un mouvement sur-accéléré comme celui d’une fusée, le freinage atmosphérique peut avoir moins d’effet relatif sur l’altitude que sur la vitesse… Rappelons d’ailleurs que l’intégration du Vol de la Fusée de Gil Denis présuppose un mouvement uniformément accéléré durant la phase propulsive (poussée constante et masse constante égale à la moyenne des masse initiale et finale), ce qui place tout à fait le phénomène dans le cadre la présente note.
Il semble donc que l’influence relative de la Traînée atmosphérique sur la vitesse de chute d’un corps soit d’un ordre de grandeur deux fois plus grand que l’influence de la Traînée sur sa hauteur de chute. Ainsi que nous l’avons dit, cet ordre de grandeur est donné par le quotient des deux rapports : (VVide – VAir) / VVide HVide – HAir) / HVide …ou, si l’on choisit l’autre définition de ces écarts relatifs (qui, au lieu de prendre pour numérateurs la Vitesse et la Hauteur dans le vide mais Vitesse et Hauteur dans l’air) : (VVide – VAir) / VAir HVide – HAir) / HAir Il y a bien une différence entre ces deux définitions, puisque, lorsque le temps de chute devient grand (et que la Vitesse de chute aérienne tend vers la vitesse limite 76 ), le quotient des deux couples tendent l’un vers 1 et l’autre vers 2. La valeur analytique de la Vitesse et la Hauteur dans l’air étant connue par ailleurs 77, on peut expliciter analytiquement la variation desdits quotients avec le temps : 
La verticale fuchsia représente le rapport t / TBal où le corps atteint 99% de sa vitesse limite. On doit donc convenir que l’évolution des deux quotient vers leur asymptote est due essentiellement à un phénomène de dilution des paramètres de vitesse et d’altitude atteints dans les mêmes paramètres atteints lorsque le corps fraye avec le mur de l’atmosphère (en s’approchant de sa Vitesse Limite). Ce graphe nous incite à penser, que pour le phénomène étudié (la chute aérienne d’un corps) et pour les temps où le corps se tient assez loin de sa vitesse limite) la valeur du rapport entre l’influence relative de la Traînée sur la Vitesse et sur la Hauteur 78 se tient plutôt à la hauteur de 2… Cela doit nous être un indice pour expliquer que dans le cas des fusées évoqué plus haut, la Traînée occasionne des pertes relatives plus faible sur l’altitude que sur la vitesse… Si l’on s’intéresse plus profondément à ce cas du mouvement uniformément accéléré, on peut noter qu’il est assez facile de proposer pour la vitesse instantanée du corps, un deuxième amendement aérodynamique calculé sur la base de la vitesse amendée une première fois. L’intégration de ce deuxième amendement ne posant pas plus de problème que celle du premier, l’on peut derechef se lancer dans l’établissement d’un troisième amendement, et ainsi de suite : 
(les hauteurs sont toujours représentées en pointillés, dans les mêmes couleurs que les vitesses) Et quand on représente vitesses et hauteurs par des ordonnées équivalentes (ci-dessous pour le Temps Balistique, par exemple), on peut constater de nouveau que les erreurs relatives successives sur les hauteurs sont nettement moins fortes que les erreurs relative successives sur les vitesses (à peu près d’un facteur 2) : 
Par ces intégrations simples, on en arrive sans trop d’efforts à une suite dont les coefficients se stabilisent assez rapidement et qui, puisque le monde est monde, doit être égale à la valeur qu’en propose Fred Cerutti dans son texte La chute de la Fusée : V(t) = Vlim …ou plutôt, puisque est l’inverse d’un temps de référence Tbal (qu’il faut oser appeler Temps Balistique 79 ): V(t) = Vlim …du moins si l’on appelle τ le rapport caractéristique . Il faut d’ailleurs se souvenir que cette formulation est celle de la Tangente Hyperbolique, ce qui est sans doute plus mnémotechnique :
avec :
VLim la Vitesse limite de chute aérienne de l’objet. Sa valeur est VLim = τ =t/TBal , TBal étant le temps de référence que nous prenons sur nous d’appeler Temps Balistique 80 . C’est le temps qu’il faut à l’objet pour atteindre sa VLim sous l’effet de sa seule force motrice (sans frottement de l’air, donc, et sous l’action de son seul poids). Rappelons que ce travail d’intégration par amendements successifs fait l’objet d’un texte annexe CHUTE AÉRIENNE D’UN CORPS qui constitue une assez belle aventure de l’esprit. Il présente également l’intérêt d’offrir une alternative à la classique et massive intégration en Arc Tangente Hyperbolique…
Mais nous pouvons proposer une démonstration graphique de cette curiosité qui vaudra pour tous les engins présentant un Rapport de Masses proche de l’unité et des qualités de pénétration dans l’air suffisante (les fusées à feu d’amateurs, donc) : Attention à la construction et au T et au ΔV dans Word !  
En noir sur ce graphe est la vitesse du corps dans le vide. En fuchsia est la vitesse dans l’air (calculée au premier ordre). En rouge, au dessus de l’axe horizontal, est le report de l’écart entre les deux courbes noire et fuchsia (pertes instantanées de vitesse par Traînée). En bleu dense est l’évolution du Quotient des Pertes Relatives par Traînée en Vitesse et hauteur, tel que constaté par notre tableur. En vert clair est la valeur analytique de cette même évolution (valeur analytique disponible uniquement pour la Chute Aérienne). Cette valeur analytique, exprimée en langage Excel est : (1 - t /TANH(t) ) / ( 1 - t^2/(2*LN((EXP(t)+EXP(-t))/2 )) ) …t étant le temps rapporté au Temps Balistique. Cette même valeur analytique manifeste, pour les très petites valeurs du temps, des errements que nous ne pouvons expliquer ; peut-être sommes-nous aux limites de la précision de calcul de notre tableur Excel… Lorsque le Rapport de Masses d’une fusée est proche de l’unité, son mouvement dans le vide peut être assimilé à un mouvement uniformément accéléré ; dans l’air, le mouvement de cette même fusée peut être assimilé à celui, bien connu, des corps en chute libre (chute qu’on devrait qualifier de Chute Aérienne). La vitesse dans le vide de l’engin est : γt (droite noire ci-contre). Au premier ordre, l’engin étant donné pour suffisamment pénétrant, la Traînée peut être considérée comme étant k(γt)² (k étant un coefficient de proportionnalité). L’accélération instantanée du corps en Chute Aérienne est donc, au premier ordre : γ – k²γ²t². L’intégration de cette accélération au premier ordre donne la vitesse aérienne instantanée, au premier ordre également, à savoir : γt – ⅓ k²γ²t3 . À l’issue de la phase propulsive de durée T, cette vitesse aérienne est γT – ⅓k²γ²T3 (courbe fuchsia). Le terme ⅓ k²γ²T3 représente évidemment ΔV (construction orange ci-contre), la perte de vitesse par Traînée à l’instant T (par rapport à la vitesse γT que le corps aurait acquise dans le vide)(calcul au premier ordre, toujours). En s’en tenant à ce même premier ordre, on peut dégager par intégration de la vitesse γT – ⅓ k²γ²T3 , la hauteur dans l’air au temps T. C’est : ½ γT2 – ¼ ⅓ k²γ²T4 . Cette Hauteurair peut être réécrite : ½ γT2 – ¼ ΔVT . Le terme ¼ ΔVT représente ΔH les pertes de hauteur par Traînée qu’a subies l’engin (par rapport à la hauteur à laquelle il se trouverait s’il chutait dans le vide). Remarquons que ces pertes de hauteur représentent l’aire de l’onglet situé entre la droite noire et la courbe fuchsia ci-contre (par définition du principe d’intégration de ces vitesses) (l’aire de cet onglet figure également en rouge au dessus de l’axe horizontal). Remarquons aussi que son aire est égale au produit de sa base (T) par sa hauteur (ΔV) affecté du coefficient d’intégration ¼ (cet onglet serait un triangle, ce coefficient d’intégration serait ½ ; ce serait une parabole ce coefficient serait ⅓ ). Au premier ordre toujours, le Quotient des pertes relatives par Traînée en Vitesse et en Hauteur est donc : Q = [ΔV /Vair ] / [ΔH / Hair ] = [ΔV /Vair ] / [ ¼ ΔVT / Hair ] D’où il sort : Q = 4Hair / Vair T Comme on peut tirer de l’observation du graphe que Hair , intégration de la Vitesseair , est un peu plus grand que ½ Vair T , disons (½ + ε)Vair T , on peut rédiger la conclusion que le Quotient des pertes relatives par Traînée en Vitesse et en Hauteur est : Q = (½ +ε) / ¼ = 2 + 4ε Q représente donc le quotient des coefficients d’intégration de la hauteur dans l’air et des pertes de vitesse par Traînée. Ceci explique que dans ce cas du rapport de masse unitaire, les pertes relatives de vitesse par Traînée sont d’un ordre de grandeur deux fois plus grand que les pertes relatives d’altitude. Finissons en observant que nous n’avons posé aucune hypothèse sur la durée T du mouvement, ce qui fait que la valeur du Quotient G est la même pour toutes les valeurs de T. Le calcul par notre tableur de l’évolution de la valeur de Q, illustrée en bleu dense sur notre graphe, est donc fallacieux pour les temps faibles. Ce problème doit être dû à la rusticité de notre procédé d’intégration graphique qui cadre mal avec l’extrême modicité des pertes par Traînée pour les temps faibles… 
Lorsque le Rapport des Masses n’est plus unitaire, on peut pressentir intuitivement que, la courbe rouge se creusant, son coefficient d’intégration (intégration de l’onglet existant entre les courbes noire et fuchsia ou de l’onglet rouge) tend à diminuer beaucoup plus que le coefficient d’intégration de la vitesse aérienne (intégration de la courbe en fuchsia qui donne la Hauteur aérienne). Cette moindre sensibilité de l’aire de la Vitesse aérienne est due à sa moindre concavité sur le graphe (la concavité est limitée par le fait que, pour les temps faibles, les courbes noire et fuchsia sont quasiment identiques)… Dans la pratique, les tableaux que nous avons bâtis montrent que, lorsque le Rapport de Masses de la fusée croît, le Quotient des Pertes Relatives de Vitesse et de Hauteur par Traînée ne fait que grandir. Ainsi, pour le Rapport de Masses de 2 (inusité en fuséologie d’amateurs), ce Quotient est déjà de 2,22 (c’est la valeur de droite sur la courbe bleue ci-contre, issue d’un calcul pas à pas du mouvement de cette fusée de Rapport de Masses 2)… Mais revenons au problème général de nos fusées, que nous n’avons quitté que pour tenter de comprendre pourquoi l’atmosphère, durant leur phase propulsive, occasionnait moins de pertes relatives sur l’altitude que sur la vitesse. Toujours dans ce domaine, voici la fraction de Vitesse de Tsiokovski perdue par Traînée, ainsi que la fraction d’Altitude de Tsiolkovski perdue également par traînée, ceci pour des Rapport de Masses étagés de 1 +ε à 1,5, pour un moteur Wapiti Moyenné (ce Rapport de Masses n’est en fait jamais possible pour un tel moteur, d’après les règlements de sécurité) pour une plage très large de Cx :
la Fraction d’Altitude de Tsiolkovski perdue du fait de la Traînée est à peu près la moitié de la Fraction de Vitesse Instantanée de Tsiolkovski perdue pour la même raison. Ceci légitime de façon satisfaisante notre hypothèse que pour les fusées à feu d’amateurs, la Perte en Altitude occasionnée au terme de la Phase Propulsive par la Traînée Atmosphérique peut être négligée (plus facilement du moins que la perte sur la vitesse). Les deux Fractions susnommées sont à peu près proportionnelles au Cx de la fusée dans la partie droite du graphe. Cela corrobore donc notre assimilation de la perte de vitesse à un Premier Amendement (le calcul d’un deuxième amendement ne produisant pas un SCx en facteur commun)… Voici pour le même moteur Wapiti Moyenné, mais cette fois pour des Rapports de Masses étagés de 1 +ε à 2,45 , les deux mêmes fractions de Vitesse et d’Altitude de Tsiolkovski perdue par traînée, et ceci pour la même palette très large de Cx : 
Pourquoi les courbes s’infléchissent-elles toutes ensemble dans leur partie supérieure ? Une réponse possible est que les deux fractions (de vitesse et d’altitudes) ne peuvent dépasser l’unité : Par exemple, la fraction de Vitesse Instantanée de Tsiolkovski perdue du fait de la Traînée s’écrit : Si la poussée est très efficace et dure très longtemps, la Vitesse Réelle de la fusée, nous l’avons vu, ne pourra que s’approcher de la Vitesse Limite de montée (qui est finie) alors que, la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski continuera de croître indéfiniment.. La droite horizontale Y = 1 représente donc bien une limite asymptotique à toutes ces courbes.
Le débit massique q , la Vitesse d’Éjection Véject et le Temps de Propulsion T de la fusée étant connus pour chaque type de moteur pyrotechnique, on peut présenter une famille de courbes donnant à la surface de notre planète l’Altitude Instantanée de Tsiolkovski en fonction du temps et de M0 , la Masse sur le pas de Tir : À faire Pour mémoire, précisons qu’on peut écrire également l’Altitude Instantanée de Tsiolkovski sous la forme suivante : À vérifier !!!
On se rapprochera alors de l’altitude réellement atteinte par la fusée et ceci avec des scrupules de réalisme atténués par rapport au cas de notre Premier Amendement sur la vitesse)… À faire * NOTE SUR L’INFLUENCE DE LA TRAÎNÉE SUR LA VITESSE DE MONTÉE D’UNE FUSÉE Lorsque la fusée accroît sa vitesse sous l’effet de sa poussée, sa Traînée s’en trouve accrue quadratiquement. Il peut arriver alors que la Traînée atteigne une importance de même ordre que la poussée. Si cela arrive, il est évident que la vitesse ne pourra plus s’accroître aussi facilement (la poussée ne passant plus principalement dans l’accélération de l’engin, mais se dissipant en grande partie dans le frottement atmosphérique). À la limite, en supposant que la fusée puisse accélérer indéfiniment (avec un moteur qui disposerait d’une énergie et d’une masse d’appui illimitées), la fusée en arriverait à la vitesse où toute sa poussée se dissipe en Traînée. Dans cette situation extrême, on pourrait écrire : ½ ρSCxVLimMont² = P (si P est la poussée du moteur) 81 La vitesse limite de montée aérienne, indépassable, qu’on peut tirer de cette égalité des forces est alors évidemment : VLimMont = …racine dans laquelle P peut prendre sa valeur qVéject . Il apparaît alors que le critère d’appréciation de l’importance de l’aérodynamique dans la vitesse de Fin de Propulsion d’une fusée est de comparer cette vitesse limite à la Vitesse Finale de Tsiolkovski, c à d la Vitesse qu’obtiendrait la fusée sans frottement atmosphérique (on cherche de cette façon à savoir à quel point la fusée va se frotter au ‘‘mur de l’atmosphère’’). Ce quotient pourrait s’appeler le Taux de Stationnarité de la vitesse de montée. Il pourrait aussi s’appeler, Taux de Stationnarité Aérodynamique de Montée. Ce taux est assez aisé à déterminer en tenant compte de la gravité à partir des caractéristiques propulsives d’un engin et de sa Vitesse Finale de Tsiolkovski (gravité non négligée). Il est ainsi de : 0,20 pour une fusée à eau développant sa poussée pendant 1/10éme de seconde. 0,58 pour une fusée à eau développant sa poussée pendant 1 seconde. 0,73 pour une fusée à eau développant sa poussée pendant 4 secondes. 0,2 pour une fusée mue par un moteur Wapiti Moyenné 0,15 pour une fusée mue par un moteur Cariacou 0,18 pour une fusée mue par un moteur Isard Moyenné. Ces trois dernières fusées sont donc relativement peu sensibles au freinage atmosphérique. Mais une fusée à eau à très petite tuyère (4’’ de propulsion) possède un Taux de Stationnarité Aérodynamique très important : bien qu’elle atteigne une Vitesse Finale de Tsiolkovski moins grande qu’une fusée à tuyère standard (du fait que la longueur de sa phase propulsive prête le temps à la gravité pour agir) sa propulsion est effectivement très tributaire de la Traînée par le fait qu’une bonne partie de sa faible poussée est dissipée dans le freinage aérodynamique. Si l’on désire encore trouver un coefficient rendant compte de la sensibilité d’une fusée à l’aérodynamique, il nous semble qu’on pourrait songer à multiplier ce Taux de Stationnarité Aérodynamique par la durée de la Phase Propulsive T : ce nouveau nombre caractériserait assez bien l’importance des pertes relatives par Traînée en Altitude de Fin de Propulsion. On pourrait l’appeler, par exemple, Susceptibilité Aérodynamique de la fusée : exprimé en seconde, il qualifierait la susceptibilité de la fusée à perdre une partie de sa Vitesse de Fin de Propulsion par Traînée Aérodynamique… Cette Susceptibilité Aérodynamique est, pour les mêmes fusées : 0,02 pour une fusée à eau développant sa poussée pendant 1/10éme de seconde. 0,58 pour une fusée à eau développant sa poussée pendant 1 seconde. 2,93 pour une fusée à eau développant sa poussée pendant 4 secondes. 0,67 pour une fusée mue par un moteur Wapiti Moyenné (du fait de sa très longue phase propulsive de 3,4") 0,14 pour une fusée mue par un moteur Cariacou 0,28 pour une fusée mue par un moteur Isard Moyenné. On remarque que, comme la fusée à eau à tuyère réduite (T = 1"), la fusée moyenne à moteur Wapiti Moyenné est susceptible de perdre une bonne partie de sa vitesse de Fin de Propulsion dans le freinage aérodynamique… Quant à la fusée à eau à très petite tuyère (T = 4") elle en perdra encore plus si l’on en croit cet augure de sa Susceptibilité Aérodynamique… Explicitons quand-même la valeur analytique de ce taux de stationnarité, mais à présent en comparant la Vitesse Limite de Montée à la Vitesse Finale de Tsiolkovski sans G. Nommons ce taux τstat : τstat = avec VLimMont = Si maintenant on élève τstat au carré, on obtient : τstat 2 = Cette rédaction comporte de grandes parties communes avec le Premier Terme de notre Premier Amendement exprimé selon la Vitesse de Tsiolkovski sans G : - ½ ρ SCx (VTsiolSansG)2 {} Ces similitudes nous conduisent à rédiger cette nouvelle version du Premier Terme de notre Premier Amendement : - ou encore, comme Véject LnR n’est autre que VTsiolSansG : - …qui est une nouvelle rédaction possible du Premier Terme de notre Premier Amendement à la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski, où τstat est le taux de stationnarité de vitesse de montée de la fusée exprimé en comparaison de la Vitesse de Tsiolkovski sans référence à la gravité… Bien sûr, puisque τstat équivaut à , on peut aussi donner cette autre rédaction :
…autre rédaction possible du Premier Terme de notre Premier Amendement à la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski, où VLimMont est la vitesse limite de montée sous l’effet de la poussée du moteur, soit IMPORTANCE DES DERNIERS INSTANTS DE LA PHASE PROPULSIVE SUR LE BILAN DE TRAÎNÉE D’UNE FUSÉE Le propre d’une fusée étant d’accélérer énormément dans les derniers instants de sa propulsion (du fait qu’en ces instants elle s’est considérablement allégée), sa vitesse connaît dans ces mêmes instants un accroissement très net. 82 Ce qui implique que le carré de la vitesse (qui entre en jeu dans le calcul de la Traînée) connaît un accroissement plus grand encore. L’idée peut naître alors d’estimer quelle fraction de la perte de Vitesse de Fin de Propulsion par Traînée est imputable, par exemple, au dernier dixième du temps de propulsion : il serait en effet édifiant de pouvoir prétendre que le dernier dixième du temps de propulsion est responsable, par exemple, des 9/10émes de la perte de Vitesse de Fin de Propulsion par Traînée. Il semble légitime d’effectuer cette estimation en se basant sur le Premier Terme de notre Premier Amendement à la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski. Ce terme primordial est : - ½ ρ SCx { Ln3R(t)}. 83 que l’on peut d’ailleurs écrire, on s’en souvient, en référence à la Vitesse de Tsiolkovski calculée sans influence de la gravité (nommé ici VTsiolSansG ) : - ½ ρ SCx (VTsiolSansG)2 {} Supposons pour mener à bien ce calcul, que la fusée ne fonctionne que durant t secondes = nT , n étant un nombre < 1 et T le temps normal de fonctionnement du propulseur. Ainsi que nous l’avons déjà établi, le rapport de masses instantané, à cet instant t = nT, est : R(t) = Ce rapport est égal, si l’on se souvient que q vaut par définition Q/T , à : R(t) = La perte par Traînée, estimée d’après le Premier Terme de notre Premier Amendement est alors, à cet instant t = nT : ½ ρ SCx { Ln3R(t)}. soit : ½ ρ SCx { Ln[]3}. Rapportée à la perte totale par Traînée, qui est, d’après le Premier Terme de notre Premier Amendement : - ½ ρ SCx { Ln3R} la perte relative f est donc : f = {}3 Il est utile de remarquer à ce point que Mo et Q sont liés ensemble par la relation Mo = Q(R/R-1). Dans ces conditions, la perte relative f attachée à la fraction n du Temps de Propulsion T est : f = {}3 Une fois simplifiée, cette équation nous donne la fraction de perte relative de Vitesse de Fin Propulsion occasionnée par la fraction n du temps de propulsion T : f = {}3 Cette équation f est donc la fraction de perte de Vitesse par Traînée attachée à la fraction n du temps normal de propulsion T, fraction de propulsion commençant à t = 0. Évidemment, dans la pratique les deux fractions qui nous intéressent vraiment sont plutôt les deux fractions correspondant à la fin de la propulsion, à savoir : 1-n et 1-f. Voici, par exemple, la famille de courbes des fractions de perte relative en Vitesse de Fin de Propulsion par Traînée pour les derniers 10 % de la phase propulsive (en bleu sombre), ses derniers 20 % (en bleu clair), ainsi de suite jusqu’au dernier 50 %, et ceci selon le Rapport de Masses Final de la fusée. 
Nous nous en sommes tenus ici aux Rapports de Masses Finaux de 1 à 10 qui sont les plus usuels. Mais il est très clair que pour des Rapports de Masses Finaux plus importants, les derniers 10 % de la propulsion finissent par créer 80% de la perte en Vitesse par Traînée (cette limite est atteinte pour un Rapport de Masses Final de 35, ce qui correspond à une fusée mono-étage (non pédagogique) de niveau technologique moyen). La verticale blanche et rouge, à droite, signale les Rapports de Masses Finaux de 1,1. L’autre verticale, en traits interrompus rouges, signale les rapports de Masses Finaux de 6, lesquels sont typiques des fusées à eau et courants dans les fusées à plusieurs étages. À gauche du graphe, cette famille de courbe naît évidemment au Rapport de Masses Final unitaire. À ce Rapport de Masses extrême et quelque peu théorique, la Masse d’Appui étant négligeable par rapport au reste de la fusée, on peut considérer que les fusées se propulsent sans modification de leur masse (à masse constante, donc). La force propulsive étant supposée constante dans notre étude, ces engins se trouvent alors dans un mouvement uniformément accéléré. Prenant acte de ce fait, il est assez facile d’établir que les points de naissance des courbes à gauche du graphe ci-dessus s’étagent selon le cube de la fraction de propulsion n , (attention, cette fraction de propulsion n vaut 1 moins la fraction indiquée dans le cartouche). 84 Les fusées Wapiti Moyenné et , à moindre titre Isard Moyenné, sont à ranger dans cette catégorie. Et c’est ainsi que le monde est monde… * VITESSE DE FIN DE PROPULSION LORSQUE LE DÉBIT MASSIQUE OU LA VITESSE D’ÉJECTION NE SONT PLUS CONSTANTS Nous avons établi la Formule de Tsiolkovski au début de cette réflexion en supposant que le débit Massique q et la Vitesse d’éjection de la masse d’appui étaient constants. Mais qu’en est-il quand ces deux paramètres ne sont plus supposés constants ? Dans ces cas-là, il convient de reprendre la réflexion au point où l’on pose habituellement que le Débit Massique est constant, c à d à la formulation : VFinProp=∫γ.dt = ∫ dt - ∫g dt …équation où P(t) est la poussée (variable) de la fusée (cette égalité à été posée en supposant la Traînée comme négligeable). INTÉGRATION DE LA VITESSE DE FIN DE PROPULSION LORSQUE LA VITESSE D’ÉJECTION EST SUPPOSÉE CONSTANTE MAIS LE DÉBIT MASSIQUE VARIABLE La loi de conservation des Quantités de Mouvement nous donne accès à la poussée du moteur. Cette poussée P(t) est P(t) = q(t)Véject (t) Il est alors facile d’écrire : VFinProp= ∫ dt - ∫g dt Ou encore : VFinProp= Véject ∫ dt - ∫g dt Cherchons la loi qui peut rendre compte de l’évolution de la Masse Instantanée de la fusée. Cette loi est bien sûr : M(t) = M0 -∫q(t) dt où ∫q(t) t représente la quantité de Masse d’Appui que la fusée a déjà éjectée à l’instant t , cette éjection s’étant effectuée au débit instantané variable q(t). Si nous introduisons cette Masse Instantanée M(t) de la fusée dans notre projet de VFinProp , nous obtenons : VFinProp= Véject ∫ dt -∫g dt Cette intégration double du terme indépendant de g peut nous sembler un peu compliquée. Mais nous pouvons nous sortir de ce mauvais pas en songeant que l’allègement Instantané de la fusée se produit proportionnellement au Débit Massique instantané. En effet la différentielle : dM(t) = d[M0 -∫q(t) dt ] peut s’écrire, puisque M0 est constant : dM(t) = -d∫q(t) dt soit : dM(t) = -q(t) dt ce qui nous permet de poser que dt = - . L’intégration à effectuer devient alors : VFinProp= -Véject ∫ -∫g dt et comme par définition M(t) = M0 -∫q(t) dt VFinProp= -Véject ∫ -∫g dt ce qui conduit à la même formulation que celle de Tsiolkovski : Formule de Tsiolkovski pour Débit Massique variable mais Véject constante VFinProp = Véject.Ln(R) - gT avec : Véject est la vitesse d’éjection, supposée constante, g est la gravité de la planète dont la fusée cherche à se soustraire et T est la durée de la phase propulsive. R est le Rapport de Masses Final de la fusée. Il n’a pas été effectué ici de supposition sur la constance du Débit Massique. Mais il faut rappeler que cette formule est établie en supposant nulle la résistance de l’air. Au reste, il faut admettre que notre intuition nous laissait pressentir que, quelque soit le rythme de l’éjection de la masse d’appui, du moment que cette éjection est faite à une certaine vitesse, la somme des gains instantanés en vitesse de la fusée 85 reste la même. 86 Cette indifférence de la fusée à la constance du débit peut d’ailleurs être démontrée facilement, par exemple dans le cas d’une fusée possédant deux régimes de propulsion, ou plus exactement deux Débits Massique q1 et q2 successifs à Vitesse d’éjection constante. Il faut alors reprendre la démonstration de la formule historique de Tsiolkovski à l’étape : VFinProp=∫γ.dt = ∫ dt - ∫g dt La Poussée variable P(t) valant q(t)Véject , on peut écrire : VFinProp= Véject ∫ -∫g dt Ces deux intégrations sont à effectuer de 0 à T, mais il est plus sage de les effectuer successivement sur les deux phases envisagées, c à d la phase de 0 à T1 et la phase de T1 à T. Les deux gains de vitesse apportés par ces deux phases étant cumulables, on obtient, à l’issue des deux phases : VFinProp= [Véject ∫ -∫g dt ]de 0àT1+ [Véject ∫ -∫g dt ]de T1 à T Les deux débits q1 et q2 pouvant, comme constants, être sortis des intégrales et , durant chacune des deux phases, les lois : M(t) = M0 –q1t et M(t) = MT1 –q2t nous permettant toujours d’affirmer que : dM(t) = -q1 dt ou -q2 dt soit dt = - ou - la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski (Traînée négligée) s’intègre alors évidemment en : VFinProp = Véject { [LnR(t) -gt]de 0àT1 } + Véject {[LnR(t) -gt]deT1àT } Après mise aux bornes des Rapports de t et des Masses Instantanés R(t), le bilan de Fin de Propulsion est le suivant : VFinProp = Véject { LnR(T1) + [LnR(T) –LnR(T1)] } + {gT1 – [gT – gT1]} égalité dont ressort tout bonnement la formule historique de Tsiolkovski, même dans ce cas d’une fusée à deux débits massiques successifs. Exprimée graphiquement, cette indifférence des fusées aux changements de débits (à Véject constant) est encore plus évidente (ici pour une fusée mue par un moteur Cariacou) : 
Le débit correspondant à ce que nous avons appelé un coup de rein de départ est de 3 fois le débit moyen (calculé par Q/T) et ce coup de rein dure 0,2 fois T le temps total de propulsion. De tels coups de rein de départ sont assez courants sur les fusées à feu. Ils permettent à ces engins de quitter leur rampe de lancement avec une vitesse déjà suffisante pour rendre moins critique l’influence d’éventuelles rafales de vent dans la zone de départ. Sur le graphe ci-dessus, la vitesse avec coup de rein et avec traînée (en rouge) est recouverte par notre Vitesse Instantanée de Tsiolkovski amendée une première fois dessinée en jaune. On voit que ces deux courbes rejoignent la vitesse d’une fusée de même masse d’appui et Véject , mais à un seul régime de propulsion (un seul débit), en bleu. Du point de vue intuitif, cette belle unanimité n’était pas évidente, car le premier régime de propulsion, si fort qu’il soit, nous paraît devoir accélérer une fusée encore alourdie par une grande quantité de Masse d’Appui. Mais en réalité cette conception est trompeuse : Si l’on met de côté comme d’habitude l’influence de la gravité (et l’on peut le faire puisque cette influence peut s’évaluer en dernier, ceci quel que soit l’historique de l’évolution des masses de la fusée 87 ) on peut raisonner comme si la fusée fonctionnait en l’absence de gravité (en orbite autour d’une planète). Il faut alors s’attacher à penser que chaque valeur M(t) de la masse instantanée de la fusée à comme destin d’être accélérée par éjection d’une quantité élémentaire dM(t) prélevée sur elle-même, éjection effectuée à la vitesse constante de Véject et ceci, à un rythme quelconque (c à d à un Débit Massique indifférent), car en apesanteur chaque gain de vitesse par la fusée (gain déterminé par chaque éjection d’une quantité élémentaire de masse) lui est acquis pour toujours. Ceci en apesanteur. En présence de pesanteur, il convient évidemment de diminuer a posteriori le bilan final de vitesse de la valeur gT.
Le fait que les courbes se rejoignent à très peu près en fin de propulsion est évidemment subordonné au fait que la perte par traînée est négligeable. Rappelons que celle-ci peut l’être pour deux raisons : principalement parce que la phase Propulsive dure très peu de temps et, de façon annexe, parce que la vitesse de la fusée connaît un très net pic en fin de propulsion (ce qui limite le temps où les forte traînées freinent l’engin. Il faut alors admettre que si la fusée acquière une très forte vitesse dès les premiers instants de sa phase propulsée (par éjection de masse à très fort débit) la Traînée aérodynamique se fera sentir dès le début de cette phase propulsive, et ceci avec une importance relative d’autant plus grande qu’à débit moyen constant, le débit massique de la Masse d’Appui restant après le coup de rein sera évidemment très réduit, c à d que la poussée du moteur à son deuxième débit ne créera que peu de gain en vitesse pour la fusée. Cette influence de la Traînée se vérifie sur le graphe suivant, représentatif de l’accroissement de vitesse d’une fusée propulsée par un moteur Wapiti Moyenné (rapport de masse de 1,1 mais phase propulsive de 3,4 secondes) : 
Les courbes rouge et bleue ne se rejoignent plus, puisque la fusée est freinée, durant la majeure partie de sa phase propulsive, par la grande vitesse qu’elle a acquise très tôt. La perte en vitesse due à la Traînée est de 2,6 m/s, soit quand-même 7 % au lieu de 0,8 m/s soit 2,5 % … Pour ce qui est du seul calcul de la Traînée Aérodynamique, il faut cependant mettre en garde sur le fait que l’application de notre amendement à une fusée dont la phase propulsive est découpée en tranches (ce qui conduit à des bornes d’intégration différentes de celles que nous nous sommes fixées) est quand-même sujette à caution !! Nous livrons cependant tel quel ce résultat de notre Premier Amendement aérodynamique, puisqu’il coïncide avec la réalité des pertes aérodynamiques calculées Pas à Pas… INTÉGRATION DE LA VITESSE DE FIN DE PROPULSION LORSQUE VITESSE D’ÉJECTION ET DÉBIT MASSIQUES SONT VARIABLES Lorsque ni Vitesse d’Éjection ni Débit Massique ne sont constant, le travail d’intégration de la vitesse doit évidemment être repris à l’étape : VFinProp= Véject ∫ dt - ∫g dt Le terme dépendant de la gravité pouvant toujours être traité en dernier, l’intégration qui nous retiendra est donc : ∫ dt Comme précédemment, on pourrait exprimer M(t) par rapport à q(t), en intégrant la perte de masse de t = 0 à t = t : M(t) = M0 -∫q(t) dt Mais cette voie conduirait à la prise en compte d’une intégrale double. Il est donc plus sage d’en passer par la constatation que dM(t) = -q(t) dt (constatation qu’on peut faire en dérivant la valeur précédente de M(t) ). Cette constatation permet d’écrire : - ∫ Cette intégration vaut d’être tentée par partie, en posant Véject(t) = U et = V’ . L’intégration se ramène alors à UV -∫VU’ , soit : [- Véject(t) LnM(t) + ∫Ln[M(t)] Véject(t)’ dt ]0T où : Véject(t)’ est la dérivée de la vitesse d’éjection instantanée ; M(t) la Masse Instantanée de la fusée à connaître par l’évolution du Débit Massique ; et 0 et T sont les bornes à utiliser. La Vitesse de Fin de propulsion d’une fusée à Débit Massique et Vitesse d’Éjection quelconques est alors :
avec Véject(t)’ la dérivée de la vitesse d’éjection instantanée ; M(t) la Masse Instantanée de la fusée. Il est difficile de savoir si cette formule peut être d’un grand secours… * RÉFLEXION ADDITIVE SUR LES FORMULES DE VITESSE ET D’ALTITUDE EN PHASE PROPULSIVE DU VOL DE LA FUSÉE DE GIL DENIS Vitesse Instantanée En Phase PropulsiveLe document de Planète-Sciences Le Vol de la Fusée réalise l’intégration de l’équation de la phase propulsive en considérant comme constante la masse de la Fusée. Cela peut paraître surprenant aux amateurs de Conquête Spatiale qui savent trop à quel point le Rapport de Masses est déterminant dans l’extraction d’une fusée à la gravité terrestre. Pourtant, si l’on se réfère aux propriétés des propulseurs utilisés sur les Minifusées et sur les Fusées Expérimentales, force est de constater que les rapports de Masses Finaux sont extrêmement proches de 1 : ils vont ainsi (selon les Masses à Vide autorisées) de1,07 à 1,11 pour une fusée propulsée par un moteur Wapiti Moyenné et de 1,09 à 1,20 pour une fusée propulsée par un moteur Isard Moyenné Cette quasi constance de la masse de la fusée étant admise, il est loisible à chacun de remarquer que, comme la poussée P du moteur est présentée également comme constante dans le Vol de la Fusée, la fusée n’est soumise qu’à une force motrice constante de valeur P - Mg (si M est la masse constante de l’engin) Quoique se produisant vers le haut, le mouvement de la fusée se ramène donc à celui d’un objet chutant dans l’air depuis un point donné. En effet dans ce cas de la Chute Aérienne (voir notre texte Chute Aérienne sur ce sujet) la force motrice est également constante (elle n’est autre que le poids de l’objet). L’intégration du mouvement d’un objet en chute aérienne donne l’équation de la vitesse instantanée suivante : V(t) = VLim Tanh(t/Tbal) avec : VLim la Vitesse limite de chute de l’objet Tbal le temps de référence que nous prenons sur nous d’appeler Temps Balistique 89 . C’est le temps qu’il faut à l’objet pour atteindre sa Vitesse Limite de Chute Aérienne sous l’effet de sa seule force motrice (sans frottement de l’air, donc, et sous l’action, ici, de son seul poids) (voir également notre texte LA FUSÉE EN VOL BALISTIQUE ) Nous démontrons ci-dessous que la formule donnée pour la vitesse de la fusée en phase propulsive par Gil Denis est bien du type Tanh, sauf que cette Tangente Hyperbolique est exprimée sous sa forme exponentielle. En effet, la fonction Tanh admet également les présentations suivantes : Tanh(x) = = Que dit le Vol de la Fusée pour la Vitesse Instantanée en Phase Propulsive ? Cet ouvrage dit :
Il est d’ailleurs heureux que soit l’inverse d’un temps, car alors 2t est un nombre sans dimension et il n’est pas concevable de calculer l’exponentielle (comme le logarithme ou d’ailleurs le sinus comment appelle-t-on ces fonction ?) d’autre chose qu’un nombre sans dimension. Rappelons que ce Temps Balistique de Montée TBalMont est le Temps qu’il faut à la fusée pour atteindre sans freinage atmosphérique et sous l’effet de sa seule force motrice (sa poussée diminuée de son poids) sa Vitesse Limite de Montée Aérienne. En effet, le mouvement de la fusée respecte une loi du type V = γ t. Cela nous donne : TBalMont = = avec VLimMont = Ce qui donne : TBalMont = Si l’on prend la précaution de poser τ = , on tient alors une écriture de la formule du Vol de la Fusée qui est bien du type Tanh(x) = La formule du Vol de la Fusée en devient alors :
(Vitesse Instantanée en phase Propulsive) : V(t) = VLimMont avec τ = Nous venons donc de prouver que la formule du Vol de la Fusée : Attention aux 2 barres de racine, ci-dessous : V  (t) =
…est bien équivalente à : V(t) = VLimMont Tanh(t/TBalMont) Altitude Instantanée en Phase Propulsive du Vol de la FuséeNous nous devons de comparer également notre écriture de l’Altitude Instantanée de Tsiokovski : H(t) = tVéject – – 1/2 g t² … à celle que propose Gil Denis dans Le Vol de la Fusée : Attention aux 2 barres de racine, ci-dessous : H  (t) = Ln
formule du Vol de la Fusée 93 , avec : a représente l’accélération du système = (P/M) – g
b représente l’inverse de la Distance Balistique de la fusée . Il est égal à = ½ ρ SCx / M 94 Cette écriture peut être simplifiée en : Attention aux 2 barres de racine, ci-dessous : H  (t) = 2 Ln
…qu’on peut encore simplifier en : Attention à la barre de racine, ci-dessous :
Donc est l’inverse d’un temps. La réflexion que nous menions à l’instant nous en a même fourni la valeur. C’est : = …qui est bien l’inverse de notre Temps Balistique de Montée TBalMont , temps nécessaire à la fusée pour acquérir sans air sa Vitesse Limite de Montée Aérienne. Quant à 1/b, nous savons qu’il représente la Distance Balistique DBal de notre mobile aérien. 95 Ce travail d’explicitation nous permet donc de réécrire la formule donnant l’altitude dans Le Vol de la Fusée comme suit : Attention à la barre de racine, ci-dessous : H  (t) = DBal [ Ln(e2t √ab +1) - Ln2 - t]
…formulation qui se simplifie quelque peu si l’on accepte de remplacer les quotients par le symbole τ : Nouvelle présentation de la formule du Vol de la Fusée (Vitesse Instantanée en phase Propulsive) : H(t) =DBal [Ln(e2τ +1) - Ln2 - τ] avec τ = Au demeurant, on est également conduit à cette formulation lorsque l’on prend comme base de l’intégration le libellé en Tangente Hyperbolique de la Vitesse Instantanée (dont nous avons déjà fait état) : V(t) = VLimMont Tanh(t/TBalMont) La primitive d’une Tangente Hyperbolique Tanh(ax) est en effet : Ln[Ch(ax)] + C Dans ces conditions, il est peut-être plus mnémotechnique d’écrire que, selon Le Vol de la Fusée, l’Altitude Instantanée de la fusée est : Valeur en Ch. Sans doute. À vérifier : H(t) = DBal [Ch(τ)] avec τ = --------------------------------------------------------- Ce travail d’unification des deux démarches (celle du Vol de la Fusée et la notre) reste à faire… Logiquement lorsque t tend vers l’infini (bien que ce temps ne puisse pas dépasser théoriquement le Temps de Propulsion T), l’altitude instantanée doit tendre vers une certaine altitude plus Vlim t… Bernard de Go Mars ! le 02 01 10
intégré, chapitre 8, dans le document de Léo Côme : http://www.planete-sciences.org/espace/publications/techniques/vol_de_la_fusee.pdf D’une façon générale, les textes de la page Physique de la fusée du site Go Mars ! :
et spécialement : CHUTE AÉRIENNE D’UN CORPS http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/chute_aerienne.doc LA FUSÉE EN VOL BALISTIQUE http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/la_fusee_en_vol_balistique7.doc Yüklə 1,76 Mb. Dostları ilə paylaş:
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