Stærðfræði – stærðfræðinemandinn misseri – haustönn 2004 IV náttúrulegar tölur

Stærðfræði – stærðfræðinemandinn 1. misseri – haustönn 2004 - IV

• Náttúrulegar tölur

• Frumtölur

• Samsettar tölur

• Deilanleiki

• Stærsti samdeilir

• Minnsta samfeldi

• Meyvant Þórólfsson

• September 2004

Frumtölur og samsettar tölur

• Talnafræði

• Fjallar aðallega um náttúrlegar tölur og eiginleika þeirra.

• Skipta má öllum n  N í þrjá flokka:a)Töluna 1, b)frumtölur og c)samsettar tölur.

• Hægt er að rekja samsettar tölur í frumþætti og reikna fjölda deila þeirra.

• Skilgreining 1 (sbr. bls. 65 í Hjartanu):

• Látum a og b vera heilar tölur. Við segjum að talan a gangi upp í b ef til er heil tala c þannig að a·c = b. Ef a gengur upp í b kallast a deilir tölunnar b og ef a er hvorki 1 né b er a eiginlegur deilir tölunnar b.

• Dæmi: a=3 og b=12 , þá er til c = 4 af því 3· 4 = 12. Talan 3 er eiginlegur deilir 12. Á talan 12 sér fleiri eiginlega deila?

Frumtölur og samsettar tölur

• a er deilir b má tákna þannig:

• a|b.

• Dæmi: Er setningin 15|60 sönn eða ósönn? Skráum alla eiginlega deila tölunnar 60.

• Skilgreining 2:

• Frumtala (prímtala) er náttúrleg tala, sem er ekki deilanleg með öðrum tölum en 1 og sjálfri sér.

• Beita má ýmiss konar tækni við að finna frumtölur. Sjá t.d. sáldur Eratosþenesar.

• Skilgreining 3:

• Við segjum að tala sé samsett ef hægt er að rita hana sem margfeldi tveggja minni talna, m.ö.o. ef hún á sér þrjá eða fleiri deila.

Frumtölur og samsettar tölur

• Setning 1:

• Minnsti eiginlegi deilir samsettrar tölu er frumtala.

• Sönnun:

• Látum s tákna samsetta tölu og látum d tákna minnsta eiginlega deili s. Ef d væri ekki frumtala, væri hún samsett og ætti því eiginlegan deili p. Talan p væri því eiginlegur deilir s og p < d. Þetta stenst ekki því gefið var að d táknaði minnsta eiginlegan deili tölunnar s.

• Skoðun framangreinda sönnun ef s=27, d=9 og p=3 til að sannfærast um að minnsti eiginlegi deilir samsettrar tölu sér frumtala.

Frumtölur og samsettar tölur

• Ath. reglu um deilingu bls. 65.

• Ef n og m eru náttúrulegar tölur, þá eru til heilar tölur q (kvóti) og r (afgangur) þannig að: m = nq + r

• Og 0 ≤ r ≤ n – 1 (þ.e. r er stærri en eða jöfn og 0, en minni en eða jöfn n – 1 .

Könnun á deilanleika talna

• Ef síðasti stafur tölu er deilanl. með 2, þá er talan deilanleg með 2.

• Ef þversumma tölu er deilanleg með 3, þá er talan það líka.

• Ef síðustu tveir stafir tölu eru deilanlegir með 4, þá er talan það líka.

• Ef síðast stafur tölu er 5 eða 0, þá er talan deilanleg með 5.

• Ef tala er deilanleg með 3 og 2, þá er hún líka deilanleg með 6.

• Tökum síðasta staf tölu, tvöföldum hann og drögum frá því sem eftir er af tölunni. Ef svarið er deilanlegt með 7 (0 meðtalið), þá er talan deilanleg með 7.

• Ef síðustu þrír stafirnir mynda tölu sem er deilanleg með 8, þá er talan sjálf líka deilanleg með 8.

• Ef þversumma tölu er deilanleg með 9, þá er talan það líka.

Könnun á deilanleika talna

• Ef tala endar á 0, þá er hún deilanleg með 10.

• Tökum tölustafi í tölu og drögum frá og leggjum saman á víxl. Ef útkoman er deilanleg með 11 (0 meðtalið), þá er talan deilanleg með 11. Dæmi: 1518, þá tökum við 1 – 5 + 1 - 8= -11

• Ef tala er deilanleg bæði með 3 og 4, þá er hún líka deilanleg með 12.

• Tökum burt síðasta staf tölu og níföldum hann. Drögum þá tölu frá því sem stendur eftir. Ef afgangurinn er deilanlegur með 13, þá er talan það líka.

Frumtölur og samsettar tölur

• Kanna má hvort einhver tala “t” sé frumtala eða samsett með því að athuga hvort hún sé deilanleg með einhverri frumtölu sem er minni en eða jöfn t.

• Dæmi: Könnum hvort talan 131 er frumtala. Nóg er að kanna hvort frumtölurnar 2, 3, 5, 7 og 11 ganga upp í hana. Ef ekki þá er talan 131 frumtala, af því 131  11,4. Næsta frumtala er 13 og 13 · 13 = 169.

• Er talan 133 frumtala eða samsett? En talan 357? En talan 311? En talan 1111? En 1187?

Frumtölur og samsettar tölur

• Setning 2:

• Frumtölurnar eru óendanlega margar. Við ritum því mengi frumtalna sem {2, 3, 5, 7, 11 ...}

• Setning 3:

• Sérhver náttúruleg tala, önnur en 1, er frumtala eða hana má rita sem margfeldi frumtalna á námkvæmlega einn veg burt séð frá röð frumþáttanna.

• Frumþáttum töluna 60. Þá höfum við 60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5

Frumtölur og samsettar tölur

• Setning 4:

• Ef frumtala gengur upp í margfeldi tveggja talna þá gengur hún upp í aðra hvora töluna.

• Þetta má líka setja þannig fram: Ef p|a·b þá p|a eða p|b.

• Dæmi: Margfeldi talnanna 2 og 14 er 28. Við vitum að 7|28 og 7|14.

• Fjölda deila náttúrulegrar tölu má finna með því að frumþátta hana, taka veldisvísa frumþáttanna, hækka hvern þeirra um 1 og margalda saman.

• Hve margar tölur ganga upp í töluna 60? Við frumþáttum hana í 2² · 3 · 5. Hún ætti því að hafa (2+1)(1+1)(1+1) = 12 deila.

• Finnum tölu sem hefur nákvæmlega 8 náttúrulega deila.

Stærsti samdeilir

• Skilgreining 3:

• Látum a og b vera tvær náttúrulegar tölur. Stærstu töluna sem gengur bæði upp í a og b köllum við stærsta samdeili a og b, táknað ssd(a,b).

• Dæmi: ssd(1400,240) = 40

• Ef við frumþáttum tölurnar a og b, þá er ssd(a,b) margfeldi frumþátta a og b og hver frumþáttur tekinn í lægra veldinu sem finnst.

• Dæmi: Frumþáttum tölurnar 1400 og 240:

• 1400 = 23*52*7 og 240 = 24*3*5.

• Þá fáum við að ssd(1400,240) = 23*5

Minnsta samfeldi

• Skilgreining 3:

• Látum a og b vera tvær náttúrulegar tölur. Minnstu töluna sem bæði a og b ganga upp í köllum við minnsta samfeldi a og b, táknað msf(a,b).

• Dæmi: ssd(1400,240) = 8400

• Ef við frumþáttum tölurnar a og b, þá er msf(a,b) margfeldi frumþátta a og b og hver frumþáttur tekinn í hærra veldinu sem finnst.

• Dæmi: Frumþáttum tölurnar 1400 og 240:

• 1400 = 23*52*7 og 240 = 24*3*5.

• Þá fæst að msf(1400,240) = 24*3*52*7 sem gefur 8400.

• Sýna má fram á að ssd(a,b)*msf(a,b)=a*b