Talan er óræð



Yüklə 8,91 Kb.
tarix26.09.2017
ölçüsü8,91 Kb.

Stærðfræði – stærðfræðinemandinn

KHÍ – september 2004 – MÞ
Sönnun þess að sé óræð tala

Talan er óræð. Sýnt með sönnun er byggist á mótsögn (reductio ad absurdum). Gerum ráð fyrir að sé ræð. Þá er = m/n þar sem m og n eru tvær heilar tölur, n ≠ 0 og brotið m/n fullstytt (t.d. m/n = 61/50).

Þá gildir að 2 = m2/n2 og þar með að m2 = 2n2. Af þessu leiðir að m2 er slétt tala og þar með er m það einnig (margfeldi oddatalna er ekki slétt). Þess vegna gildir að m = 2p, þar sem p er einhver náttúruleg tala. Þar með fæst að 2n2 = m2 = (2p) 2 = 4p2 og að n2 = 2p2 sem þýðir að n2 er slétt tala og n þar af leiðandi einnig. Þá eru bæði m og n sléttar tölur, en það er mótsögn við að m og n séu sitthvor talan og brotið m/n fullstytt. Talan getur ekki verið ræð (p/q) og er því óræð.
Sönnun þess að sé óræð tala sbr. dæmi I.5 bls. 121

Talan er óræð. Sýnt með óbeinni sönnun (reductio ad absurdum). Gerum ráð fyrir að sé ræð. Þá er = b/c þar sem b og c eru tvær heilar tölur, c ≠ 0 og brotið b/c er fullstytt.



Þá gildir að 5 = b2/c2 (þ.e. báðar hliðar hafnar í annað veldi) og að b2 = 5c2 , sem getur ekki merkt annað en að talan b sé deilanleg með 5 (Ef b2 er deilanleg með 5 þá er b deilanleg með 5 og b því ekki frumtala). Með öðrum orðum þá getum við ritað b = 5d þar sem d er einhver jákvæð heil tala. Og þá getum við sagt að b2 = 25d2 og þar af leiðir að 25d2= 5c2 sem þýðir að 5d2 = c2. Þetta segir manni að 5 gangi upp í c. Nú höfum við sýnt fram á að 5 gangi upp í teljara og nefnara brotsins b/c og það sé því ekki fullstytt fyrir =b/c, Þetta er fráleitt miðað við það sem sagt var í upphafi; talan getur því ekki verið ræð.
Sönnun þess að sé óræð tala sbr. dæmi II.5 bls. 122

Teningsrótin af 2, táknað er þannig að ef hún er hafin í þriðja veldi, þá er hún jöfn tölunni 2, eða með öðrum orðum, þá fengist að ()3 = 2. Út frá þessu viljum við sýna að sé óræð tala. Við segjum þá að = a/b þar sem b og c eru tvær heilar tölur, b ≠ 0 og brotið a/b er fullstytt. Setjum báðar hliðar í þriðja veldi þannig: 2 = a3/b3 . Þá höfum við að 2b3 = a3. Þetta gefur til kynna að a3 sé slétt tala, sem leiðir af sér að a sé einnig slétt tala (margfeldi oddatalna er oddatala), sem þýðir að a = 2n þar sem n er jákvæð heil tala. Þá höfum við 2b3 = 8n3 eða b3 = 4n3 . Talan 4n3 er þá augljóslega slétt tala sem leiðir til þess að b3 er slétt og þar með að b sé slétt. Við höfum þar með sýnt fram á að bæði a og b eru sléttar tölur, sem þýðir að brotið a/b er ekki fullstytt sem er mótsögn við það sem við gengum út frá í upphafi, þ.e. að brotið a/b væri fullstytt ræð tala.


Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə