Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

---

1
8-MA’RUZA
TASODIFIY MIQDORLARNING SONLI XARAKTERISTIKALARI. 
MATEMATIK KUTILISH VA UNING XOSSALARI. BOSHLANG’ICH VA 
MARKAZIY MOMENTLARI DISPERSIYA, O’RTACHA KVADRATIK 
CHETLANISH 
Reja: 
8.1. Tasodifiy miqdorning matematik kutilish 
8.2. Matematik kutilishning xossalari 
8.3. Tasodifiy miqdorning dispersiyasi 
Tayanch iboralar: Diskret tasodifiy miqdor, uzluksiz tasodifiy miqdor, 
matematik kutilish, dispersiya, taqsimot zichligi, o’rtacha kvadrat chetlanish. 
8.1. 
Tasodifiy miqdorning matematik kutilish
 
Ushbu diskret tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin: 
n
n
p
x
p
x
p
x
X
...
...
2
2
1
1




8.1– ta’rif. X
diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
 
 
X
M
(
yoki 
x
m bilan belgilanadi) deb, X  miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarini mos 
ehtimolliklarga ko’paytmalari yig’mndisiga teng songa aytiladi, ya’ni

 







n
k
k
k
n
n
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
1
2
2
1
1
...
(8.1) 
X  tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari soni cheksiz, ya’ni X  miqdor 
...
...
...
...
2
2
1
1
n
n
p
x
p
x
p
x
X




taqsimotga ega bo’lgan holda uning matematik kutilishi 
 









1
2
2
1
1
...
...
k
k
k
n
n
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
(8.2) 
formula bilan aniqlanadi. Bunda (8.2) qator absolyut yaqinlashadi deb faraz qilinadi. 
Aks holda bu tasodifiy miqdor matematik kutilishga ega bo’lmaydi.

---

2
8.2– ta’rif. Mumkin bo’lgan qiymatlari 


b
a,
intervalga tegishli bo’lgan X  
uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
 deb 
 
 
dx
x
xf
X
M
b
a


 
aniq integralga aytiladi, bunda 
 

x
f
taqsimot zichligi. Bu formula (8.1) 
formulaning integral shaklidir. Agar X  miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari 
butun 
Ox
o’qni qoplasa, u holda uning matematik kutilishi ushbu formula bilan 
ifodalanadi: 
 
 





dx
x
f
x
X
M
. 
Bunda (8.2) integral absolyut yaqinlashadi deb faraz qilinadi. Aks holda bu 
X tasodifiy miqdor matematik kutilishga ega bo’lmaydi.
8.2. 
Matematik kutilishning xossalari 
1– xossa. 
O’zgarmas miqdorning matematik kutilishi shu o’zgarmasning 
o’ziga teng, 
ya’ni 
 
C
C
M

. 
Isbot. 
C
o’zgarmas miqdorniyagona 
C
qiymatini 1 ga teng ehtimollik bilan 
qabul qiladigan tasodifiy miqdor deb qarash mumkin. Shu sababli 
 
C
C
C
M



1
. 
2– xossa. 
Chekli sonlagi tasodifiy miqdorlar yig’indisining matematik kutilishi 
ular 
matematik 
kutilishlarning 
yig’indisiga 
teng,
 
ya’ni








n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M







...
...
2
1
2
1
. 
3– xossa. 
Chekli sondagi bog’liqmas tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining 
matematik kutilishi ular matematik kutilishlarining ko’paytmasiga teng,
ya’ni


  



n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M
...
....
2
1
2
1

. 
4 – xossa. 


 
b
X
aM
b
aX
M



. 
8.3. 
Tasodifiy miqdorning dispersiyasi 
X-tasodifiy miqdor, M(X) uning matematik kutilishi bo’lsin. Yangi tasodifiy 
miqdor sifatida X-M(X) ayirmani qaraymiz. 
8.3-ta’rif
. Chetlanish deb ,tasodifiy miqdor bilan uning matematik kutilishi 
orasidagi farqqa aytiladi. 

---

3
Praktikada ko’pincha tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarini uning 
o’rtacha qiymati atrofida tarqoqligini baholash talab qilinadi. Masalan, arteilleriyada 
otilgan snaryadlar urib tushirilishi lozim bo’lgan nishon atrofiga qanchalik yaqin 
tushishini bilish muqimdir. Birinchi qarashda, tarqoqlikni baholash uchun eng sodda 
yo’l tasodifiy miqdor chetlanishining mumkin bo’lgan barcha qiymatlarini hisoblash, 
keyin uning o’rtacha qiymatini topishdan iboratdek tuyuladi. Ammo bunday yo’l 
hyech qanday natija bermaydi, chunki chetlanishning o’rtacha qiymati, ya’ni M(X-
M(X)) istalgan tasodifiy miqdor uchun nolga teng. U musbat bo’lsa, boshqalar 
manfiy, ularning o’zaro yo’qotilishi natijasida chetlanishning o’rtacha qiymati nolga 
teng bo’ladi. Bu molohazalar mumkin bo’lgan chetlanishlarni ularning absalyut 
qiymatlari yoki kvadratlari bilan almashtirish maqsadga muvofiqligi xaqida darak 
beradi. Amalda ham shunday qilinadi. To’g’ri, mumkin bo’lgan chetlanishlarni 
ularning absolyut qiymatlari bilan almashtirilganda, absalyut miqdorlar bilan ish 
tutishga to’g’ri keladi, bu esa ba’zan jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning 
uchun ko’pincha boshqacha yo’l tutiladi, ya’ni chetlanish kvadratining o’rtacha 
qiymati hisoblanadi va uni odatda dispersiya deyiladi. 
8.4-ta’rif
. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb, tasodifiy 
miqdorni o’zining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratning matematik 
kutilishiga aytiladi. 


.
)
(
)
(
2
X
M
X
M
X
D


8.5-ta’rif. X 
tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadrat chetlanishi deb, 
dispersiyadan olingan kvadrat ildiziga aytiladi: 
)
(
)
(
X
D
X


Dispersiyaning o’lchamligi tasodifiy miqdor o’lchamining kvadratiga 
tengligini ko’rsatish qiyin emas. O’rtacha kvadrat chetlanish dispersiyadan olingan 
kvadrat ildiziga teng bo’lgani uchun 
)
(
)
(
X
D
X


ning ulchamligi X ning 
o’lchamligi bilan bir xil bo’ladi.
Shu sabali tarqoqlik bahosi o’lchamligi tasodifiy mikdor o’lchamligi bilan bir 
bo’lishi maksadga muvofik bo’lgan hollarda dispersiya emas, balki o’rtacha 
kvadratik chetlanish hisoblanadi. Masalan, chiziq metrlarda o’lchansa, u xolda

---

4
)
(
)
(
X
D
X


ham chiziqli metrlarda o’lchanadi. D(X) esa kvadrat metrlarda 
o’lchanadi. 
Dispersiyani hisoblash
uchun ko’pincha ushbu formuladan foydalanish 
qulay bo’ladi:
 
 
 
,
2
2
X
M
X
M
X
D


 
ya’ni 
dispersiya tasodifiy miqdor kvadrati matematik kutilishi bilan uning matematik 
kutilishi kvadrati orasidagi ayirmaga teng. 
Isbot.
 
 


 
 









X
M
X
M
X
X
M
X
M
X
M
X
D
2
2
2
2
 
 


 


 
 
 
 
 
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
X
M
X
M
X
M
X
M
X
M
X
M
M
X
M
X
M
X
M











Isbotda biz matematik kutilishining xossalaridan hamda 
 
X
M
va 
 
X
M
2
ning o’zgarmas sonlar ekanligidan foydalandik. 
Misol. X  tasodifiy miqdorning dispersiyasini formula bo’yicha hisoblang: 
5
,
0
6
2
,
0
4
3
,
0
2




X
Yechish
 
 
 
 
 
.
16
,
12
24
,
10
4
,
22
,
4
,
22
5
,
0
36
2
,
0
16
3
,
0
4
,
2
,
3
5
,
0
6
2
,
0
4
3
,
0
2
2
2
2




















X
M
X
M
X
D
X
M
X
M
Dispersiyaning xossalari. 
1– xossa. 
O’zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng,
 ya’ni 
 
0

C
D
 
2– xossa. 
O’zgarmas ko’paytuvchini kvadratiga ko’tarib dispersiya belgisidan 
tashqariga chiqish mumkin,
 ya’ni ushbu formulaga o’rinli: 


 
X
D
k
X
k
D
2

 
Isboti:  






 







2
2
X
kM
kX
m
kX
M
kX
M
kX
D
 




 




 


 
.
2
2
2
2
2
2
X
D
k
X
M
X
M
k
X
M
X
k
M
X
M
X
k
M







3– xossa. 
Chekli sondagi bog’liqmas tasodifiy miqdorlar yig’indisining 
dispersiyasi ular dispersiyalarining yig’indisiga teng: 


 




n
n
X
D
X
D
X
D
X
X
X
D







...
...
2
1
2
1
 

---

5
4– xossa. 
Bog’liqmas tasodifiy miqdorlar ayirmasining dispersiyasi ular 
dispersiyalarining yig’indisiga teng,
 ya’ni 


 
 
.
Y
D
X
D
Y
X
D



 
Isboti 


 


 
 










Y
D
X
D
Y
X
D
Y
X
D
1
1
   
 
 
 
Y
D
X
D
Y
D
X
D





2
1
. 
O’z - o’zini tekshirish uchun savollar. 
1.
Diskret tasodifiy miqdor matematik kutilishining ta’rifini bering. Misol 
keltiring. 
2.
Uzluksiz tasodifiy miqdor matematik kutilishining ta’rifini bering. Misol 
keltiring. 
3.
Matematik kutilishining ehtimollik ma’nomini aytib bering. 
4.
Matematik kutilishining asosiy xossalarini aytib bering. 
5.
Dispersiyaning asosiy xossalarini aytib bering. 
6.
O’rtacha kvadratik chetlanish deb nimaga aytiladi? 
 
8- ma’ruza bo’yicha muammoli topshiriqlar 
1.Tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb nimaga aytiladi? Uning vazifasi nimadan 
iborat ? 
2. Dispersiyani hisoblash formulasini yozing. 
 
Ma’ruzada foydalanilgan va keltirilgan atamalarning
GLOSSARIYSI 
 
Diskret tasodifiy miqdor deb
 mumkin bo’lgan qiymatlari chekli yoki cheksiz 
sonli ketma – ketligidan iborat miqdorga aytiladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdor deb,
mumkin bo’lgan qiymatlari son o’qining 
biror (chekli yoki cheksiz) oralig’ining butunlay to’ldiradigan miqdorga aytiladi. 
X  
diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
 
 
X
M
(
 yoki 
x
m bilan 
belgilanadi) deb, X  miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarini mos ehtimolliklarga 
ko’paytmalari yig’mndisiga teng songa aytiladi, ya’ni

 







n
k
k
k
n
n
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
1
2
2
1
1
...