Tayanch iboralr: Matritsa, matritsa rangi, minor, algebraik to`ldiruvchi. Mashg`ulotning

Teorema 11.4.  Matrisaning rangi, uning noldan farqli eng kata minorlarining tartibiga tengdir.

Isbot. Faraz qilaylik, matrisaning rangi ga teng bo’lib, uning birinchi ta ustunlari chiziqli erkli bo’lsin. Shu ustunlarning elementlarida bosh minorni tuzib va uni o’z ichiga oluvchi ixtiyoriy tartibli minorni qaraymiz. Shuni ta’kidlaymizki lemmaga asosan va agar tartibli minor mavjud bo’lsa teorema shu yerni o’zida isbot bo’ladi. Faraz qilaylik tartibli minor

ko’rinishda bo’lsin.

Bu minorni oxirgi ustun bo’yicha yoyib chiqamiz:

bu yerda

dan iboratdir. Hocil bo’lgan tenglikda bo’lganligi uchun

tenglik kelib chiqadi. Bu tenglik barcha uchun to’g’ri bo’lib, uning koeffisiyentlari ga bog’liq bo’lganligi tufayli matrisaning ustuni aynan mos holda koeffisiyentlari bilan olingan birinchi ta ustunining yig’indisidan iborat bo’ladi.
Bu teoremaning isbotlash davomida biz muhim xulosaga keldik, ya’ni agar determinant nolga teng bo’lsa, uning bir usutuni qolgan ustunlarining chiziqli kombinasiyalaridan iborat bo’ladi, ya’ni biz determinantning xossasiga teskari xossani ham o’rinli bo’lishligini ko’rsatdik. Ikkinchidan teorema shartiga asosan biz tartibi dan katta bo’lgan hamma minorlarning nol bo’lishini ko’rsatishimiz kerak edi, ammo teoremani isbotining davomida faqat noldan farqli o’z ichiga oluvchi minorni nol bo’lishini ko’rsatsak kifoyadir. Albatta bu matrisani rangini hisoblashga ancha yengillashtiradi.
Biz teoremadan kelib chiqqan holda bir xulosaga kelamizki agar biz matrisani rangi ta’rifini, uning satrlaridan tuzilgan vektorlarning rangiga teng deb olganimizda ustun va satr bo’yicha kiritilgan ranglar teng bo’ladi, chunki noldan farqli minor uni transponirlash natijasida noldan farqlicha qolaveradi.
Misol. Ushbu matrisani
tartibli matrisani rangini hisoblaymiz. Shuni ta’kidlaymizki bu matrisada eng yuqori tartibli minor, bu uchinchi tartibli minordir.
Bu minorni o’z ichiga oluvchi ikkinchi tartibli minorini qaraymiz:

,

Endi bu noldan farqli minorini o’z ichiga oluvchi minorlarini qaraymiz:

, ,
va demak noldan farqli eng kata minori ikkinchi tartibli minori bo’lganligidan bo’ladi.

Matrisalarni rangini ya’ni bitta qulay usuli, bu matrisalarga elementar almashtirishlar qo’llash yordamida topish usulidir, chunki bizga ma’lumki matrisalarga elementar almashtirishlar ta’sir etishi natijasida unining noldan farqli minori noldan farqlicha va nolga teng minori nolga tengligicha qolaveradi va demak, agar bo’lsa, u holda

bo’ladi.

Natijada biz matrisada yetarlicha nollarni paydo qilib, so’rnra uning minorlarini hisoblasak matrisaning rangini hitsoblash ancha oson kechadi. Bundan tashqari biz elementar almashtirishlar nafaqat matrisaning satri uchun balki ustunlari uchun bajarilishini talab qilsak, u holda biz matrisa unga ekvivalent bo’lgan va bosh diagonalida birlar soni ta bo’lgan matrisaga keladi. Bu usulni yuqorida keltirgan matrisaga bajaramiz:

hosil qilamiz. Bu matrisada faqat bitta noldan farqli eng katta minor mavjud va uning bosh diagonalida ikkita bir sonlari joylashgan va demak uning rangi 2 ga, bundan esa berilgan matrisani rangi 2 ekanligini hosil qilamiz.

Shuni ta’kidlaymizki butun sonlar halqasida berilgan matrisani rangi to’g’ridan to’g’ri kiritishimiz hisoblashimiz mumkin, albatta halqalar tipiga qarab ayrim muammolar paydo bo’lishi mumkin. Masalan halqada berilgan matrisa elementar almashtirishlar qullash natijasida, ung ekvivalent bo’lgan matrisa diagonal shaklga keladi, ammo bu diagonalda hamma vaqt ham bir sonlari joylashavermaydi. Biz Algebra va sonlar nazariyasi kursida bunday holatlarni ko’ramiz, lekin keyinchalik ayrim tipdlagi halqada, anqrog’i ko’phadlar halqasida berilgan matrisalarni o’rganishda bu masalaga batafsil to’xtalib o’tamiz.