Teoremaning tuzilishi va ularning turlari Reja



Yüklə 60,42 Kb.
tarix05.12.2017
ölçüsü60,42 Kb.

Teoremaning tuzilishi va ularning turlari

Reja:

  1. Teoremaning tuzilishi haqida umumiy tushuncha.

  2. Teorema turlari.

  3. Matematik isbotlar.

  4. To`liqsiz induksiya

  5. To`la matematik induksiya

  6. Bevosita va bilvosita isbotlash usullari

Ma’ruza matni.

1.Teoremaning tuzilishi haqida umumiy tushuncha. O`rta maktab kursidan ma’lumki, matematikani o`rganishda teoremalar deb ataluvchi so`zlar bilan ishlashga to`g`ri keladi. Tushunchalarning asosiy bo`lmagan va ta’riflarga kiritilmagan xossalari, odatda isbotlanadi. Tushunchalarning isbot qilinadigan xossalari teoremalar deyiladi.

Ular har xil ko`rinishda ifodalanishidan qat’iy nazar, isbotlashni talab qiladigan fikrlardir. Shunday qilib, teorema-bu xossadan xossaning kelib chiqishi haqidagi fikr. Bu fikrning rostligi isbotlash yo`li bilan aniqlanadi.

Isbotlashni amalga oshirish uchun mulohaza, predikat va kvantorlarga asoslangan teoremalarni tuzilishini bilish lozim. Quyidagi teoremani qaraylik: “Agar nuqta kesmaning o`rta perpendikularida yotsa, u holda nuqta kesmaning uchlaridan teng uzoqlikda yotadi.”

Bunda “ nuqta kesmaning o`rta perpenikularida yotadi” ga’i teoremaning sharti, “nuqta kesmaning uchlaridan teng uzoqlikda yotadi” ga’i teoremaning xulosasi hisoblanadi.

Teoremaning sharti va xulosasi tekislikdagi barcha nuqtalarning R to’plamida aniqlangan predikatdan iborat. Bu predikatlarni mos ravishda va deb belgilaymiz. U holda teorema implikatsiya ko`rinishda belgilanib, umumiylik kvantorini qo`llab quyidagi ko`rinishda yoziladi:

.

Bundan ko`rinadiki, teorema tuzilishi uch qismdan iborat bo`ladi.

Teorema sharti: predikat tekislikdagi barcha nuqtalarning R to’plamida berilgan; teoremaning xulosasi: predikat tekislikdagi barcha nuqtalarning R to’plamida berilgan; tushuntirish qismida teoremada so`z yuritilayotgan ob’yektlar to’plami tasvirlanadi.

We write this in symbols as .

Bu qism simvolik tarzda ko`rinishda yoziladi. 1

Tushuntirish qismini teorema mazmunidan ham bilib olish mumkin. Ixtiyoriy teoremani so`zlar yordamida ifodalaganda “Agar …bo’lsa, u holda …bo’ladi” so`zlari ishlatiladi, formula quyidagi



(1)

ko`rinishda ifodalandi. Bu yerda - va predikatlar berilgan to’plam. Agar teorema (1) ko`rinishda berilgan bo`lsa, uning sharti va xulosasi implikatsiya tashkil etadi. Shu sababli teorema xulosasi predikat teoremaning sharti uchun yetarli sharti, shart esa teoremaning xulosasi uchun zaruriy shart deyiladi. Quyidagi teoremani qaraylik:

“Agar to`rtburchak romb bo`lsa, u holda uning diagonallari perpendikular bo`ladi”.

Bu teoremaga (1) formulani tadbiq etamiz. - tekislikdagi barcha to`rtburchaklar to’plami, tekislikdagi ixtiyoriy to`rtburchak, : “ to`rtburchak –romb”, : “ to`rtburchak diagonallari o`zaro perpendikular”.

Zaruriy shart: “to`rtburchak romb bo`lishi uchun uning diagonallari perpendikular bo`lishi zarur.”

Yetarli shart: “to`rtburchak diagonallari perpendikulyar bo`lishi uchun uning romb bo`lishi yetarli.”

(1) teoremaga ko`ra bir nechta yangi teoremalarni hosil qilish mumkin. (1) teoremaning sharti va xulosasi o`rni almashsa, berilgan teoremaga teskari teorema hosil bo`ladi.

(2)
Masalan,

Teorema: “ Agar natural son raqamlari yig`indisi 3 ga bo`linsa, shu sonning o`zi ham 3 ga bo`linadi.”

Teskari teorema: “ Agar natural son 3 ga bo`linsa, uning raqamlarini yig`indisi ham 3 ga bo`linadi.”

Teskari teorema ham to`g`ri bo`lgani uchun ikkita teoremani bittaga birlashtirish mumkin. “ Natural son 3 ga bo`linishi uchun uning raqamlarini yig`indisi 3 ga bo`linishi zarur va yetarli.” Bu holda teoremani ko`rinishda ifodalash mumkin.

Teskari teorema hamma vaqt ham to`g`ri bo`lmaydi.

Agar teoremaning sharti va xulosasi ularning inkorlari bilan almashtirilsa, berilgan teoremaga qarama-qarshi teorema hosil bo`ladi.



(3)

(1)- teoremaga qarama-qarshi teorema: “Agar nuqta kesmaning o`rta perpendikularida yotmasa, u holda nuqta kesmaning uchlaridan teng

uzoqlikda yotmaydi.” va bu teorema rostdir.

(4)

ko`rinishidagi teorema teskari teoremaga qarama-qarshi teorema deyiladi.

(2)teskari teoremaga qarama-qarshi teorema: “Agar natural son 3 ga bo`linmasa, uning raqamlari yig`indisi ham 3 ga bo`linmaydi.” bu teorema rostdir. Endi teoremalarni isbotlash usullarini ko`rsatamiz.

Matematik isbotlar. Deduktiv mulohazalar



teoremani isbotlash- bu har doim xossa bajarilganda, xossa ham bajarilishini mantiqiy yo`l bilan ko`rsatishdir.

Matematikada isbotlash ko`rgazmali va tajribalarga biror-bir yo`naltirishsiz logika qoidalari bo`yicha o`tkaziladi.

Isbotlash asosida mulohaza-logik (mantiqiy) o’eratsiya yotadi. Bu o’eratsiya natijasida ma’nosiga ko`ra o`zaro bog`langan yoki bir necha jumlalardan yangi (berilgan bilimlarga nisbatan) bilimlarni o`z ichiga olgan jumla hosil bo`ladi. Masalan, boshlang`ich sinf o`quvchisining 6 va 7 sonlari orasidagi «kichik» munosabatini aniqlashdagi mulohazasini ko`raylik. O`quvchi bunday deydi: « 6<7 chunki, 6 sanoqda 7 dan oldin keladi.»

Hosil qilingan bu mulohazada xulosa qanday faktlarga asoslanganini aniqlaylik. Asoslar ikkita: agar soni sanoqda sonidan oldin aytilsa, u holda bo`ladi (ixtiyoriy va natural sonlar uchun).

6 sanoqda 7 dan oldin keladi.

Birinchi jumla umumiy xarakterga ega, chunki unda jumla ixtiyoriy va natural sonlar uchun o`rinli bo`lishini tasdiqlovchi umumiylik kvantori mavjud, shuning uchun umumiy asos deyiladi.

Ikkinchi jumla konkret 6 va 7 sonlariga tegishli, xususiy hollarni ifodalaydi, shunga ko`ra u xususiy asos deyiladi.

Ikki asosdan esa yangi mulohaza (6<7) keltirib chiqariladi, u xulosa deyiladi.

Umuman har qanday mulohazada ham asos, ham xulosa bor. Asos va xulosa orasida ma’lum bog`lanish mavjud, bu bog`lanish yordamida ular mulohazani tashkil etadi.

Asos bilan xulosa orasidagi kelib chiqishlik munosabati o`rinli bo`ladigan mulohaza deduktiv mulohaza deyiladi.

Boshqacha aytganda, agar mulohaza yordamida rost asosdan yolg`on xulosa chiqarish mumkin bo`lmasa, u holda bu mulohaza deduktiv bo`ladi. Aks holda deduktivmas hisoblanadi.

Mulohaza deduktiv bo`ladigan shartlarni aniqlaymiz. Buning uchun misollarga murojaat qilamiz.

1-misol. Ushbu mulohaza berilgan, unda: umumiy asos: «agar natural son 6 ga karrali bo`lsa u 3 ga karrali bo`ladi»; xulosa: «18 soni 3 ga karrali».

Bu mulohazada asos ham, xulosa ham rost. Uni deduktiv deb taxmin qilish mumkin.

2-misol. Ushbu mulohaza berilgan, unda:

umumiy asos: «Agar natural son 6 ga karrali bo`lsa, u holda u 3 ga karrali bo`ladi»;

xususiy asos: «39 soni 3 ga karrali»;

xulosa: «39 soni 6 ga karrali»;

berilgan mulohazada asoslar rost, xulosa esa yolg`on-39 soni 6 ga bo`linmaydi. Demak, bu mulohaza deduktiv emas, bundan kelib chiqadiki, asoslarning rostligi mulohazaning deduktivligini ta’minlovchi yagona shart emas ekan.

Endi keltirilgan mulohazalarni solishtiramiz. Buning uchun ularni simvolik shaklda tasvirlaymiz. Agar A orqali « x natural son 6 ga karrali» jumlani, B orqali esa « natural son 3 ga karrali» jumlani belgilasak, u holda ikkala mulohaza uchun umumiy asos ko`rinishga ega bo`ladi. 1-misolda ikkinchi asos xususiy asos, u jumlada o`rniga 18 ni qo`yish bilan hosil qilinadi. Uni bilan belgilaymiz. U holda birinchi mulohazada xulosani bilan belgilash mumkin. Ikkinchi misol uchun: ikkinchi asos ko`rinishga, xulosa esa ko`rinishga ega bo`ladi.

Kiritilgan belgilashlarga ko`ra berilgan mulohazalarni bunday ko`rinishda tasvirlash mumkin:

1-misol. 2- misol.

1-asos:

2-asos:

xulosa:

Birinchi misolda mulohaza () va () sxema bo`yicha, ikkinchi misolda esa, () va () sxema bo`yicha o`tkaziladi. Ko`rib turibmizki, mulohazalar sxemalari turlicha. Birinchi holda foydalanilgan sxema rost xulosaga, ikkinchi mulohaza sxemasi esa yolg`on xulosaga olib keladi. Mulohazalarni solishtirish ham asoslarning rostligi har doim ham xulosaning rost bo`lishiga kafolat bera olmasligini tasdiqlaydi.

Endi deduktiv mulohazalarning eng sodda sxemalarini ko`rib chiqamiz.

Har bir deduktiv mulohazaning asosida xulosa chiqarishning ma’lum qoidasi yotadi. Biz shunday qoidalardan faqat uchtasini qaraymiz, ularni isbotsiz qabul qilamiz.

Xulosa qoidasi. (( va ), bu yerda - umumiy asos, -xususiy asos, - xulosa.

Inkor qoidasi: ( va ) .

Sillogizm qoidasi: (va ).

Bu qoidalarni qo`llanishi mulohazaning deduktiv bo`lishiga kafolat beradi, ya’ni rost asoslardan rost xulosalar chiqarishga imkon beradi.

Mulohazalarning to`g`riligini tekshirish uchun berilgan qoidalardan qanday foydalanishni ko`rsatamiz.

Quyidagi mulohazalar deduktiv bo`ladimi yoki yo`qmi yuqoridagi sxemalarga asosan tekshiramiz.

1-misol. Agar natural son raqamlari yig`indisi 9 ga bo`linsa, shu sonning o`zi ham 9 ga bo`linadi; son 9 ga bo`linmaydi, demak, son raqamlarining yig`indisi ham 9 ga bo`linmaydi:

2-misol. Agar natural son 8 ga karrali bo`lsa, u holda u 4 ga karrali bo`ladi, agar natural son 4 ga karrali bo`lsa, u holda u 2 ga karrali bo`ladi, demak son 8 ga karrali bo`lsa, u holda u 2 ga karrali bo`ladi.

3-misol. Agar sonning yozuvi nol bilan tugasa, u holda u 5 ga bo`linadi; son nol bilan tugamasa, demak u 5 ga bo`linmaydi.

Yechish: 1) Keltirilgan mulohazaning sxemasini aniqlaymiz.

Dastlab umumiy asosni «Agar natural son raqamlari yig`indisi 9 ga bo`linsa, shu sonning o`zi ham 9 ga bo`linadi» shartli jumla ko`rinishida ifodalaymiz. harfi bilan «Son raqamlari yig`indisi 9 ga bo`linadi» jumlani, harfi bilan «Sonning o`zi ham 9 ga bo`linadi» jumlani belgilaymiz. U holda umumiy asos ko`rinishida xususiy asos , xulosa ko`rinishga ega bo`ladi, ya’ni ( va ) ko`rinishdagi sxemaga ega bo`lamiz. Bu qoida xulosaning rostligiga kafolat beruvchi inkor qoidasidir. Demak, mazkur mulohaza deduktivdir.

2) Agar «Natural son 8 ga karrali» jumlani A orqali, « Natural son 4 ga karrali» jumlani B orqali va «Natural son 2 ga karrali» jumlani C orqali belgilasak, u holda mazkur mulohazaning sxemasi ushbu ko`rinishga ega bo`ladi:

( va ).

Bunday sxema sillogizm qoidasidir, u asos rost bo`lganda xulosaning ham rost bo`lishiga kafolat beradi.

3) harfi bilan «Sonning yozuvi nol bilan tugaydi» jumlani, harfi bilan «Son 5 ga bo`linadi» jumlani belgilaymiz. U holda berilgan mulohazaning sxemasi (va ) ko`rinishga ega bo`ladi. U yolg`on xulosaga olib keladi: masalan, 15 soni nol bilan tugamaydi, ammo u 5 ga bo`linadi. Mulohazaning bu sxemasi xulosaning rost bo`lishiga kafolat bera olmaydi, u rost xulosaga ham, yolg`on xulosaga ham olib kelishi mumkin.

Ba’zi hollarda rost xulosaga, ba’zi hollarda yolg`on xulosaga olib keluvchi sxema bo`yicha mulohaza deduktivmas mulohaza hisoblanadi. Demak, berilgan mulohaza deduktivmas mulohaza ekan.

Deduktivmas mulohazalarning ushbu ikkita sxemasini yodda saqlash masadga muvofiq:

1) 2)

Bu sxemalar, asoslar rost bo`lganda xulosalarning ham rost bo`lishiga kafolat bera olmaydi.

Teoremalarni isbotlashda to`liqsiz induksiya usulidan ham foydalaniladi.

To`liqsiz induksiya

Biz 10 soni 5 ga bo`linadi, 20 soni 5 ga bo`linadi, 100 soni 5 ga bo`linadi, 1000 soni 5 ga bo`linadi degan mulohaza yordamida yozuvi 0 raqami bilan tugaydigan ixtiyoriy son 5 ga bo`linadi deb, shuningdek 15 soni 5 ga bo`linadi, 25 soni 5 ga bo`linadi, 35 soni 5 ga bo`linadi degan mulohaza yordamida yozuvi 5 raqami bilan tugaydigan ixtiyoriy son 5 ga bo`linadi deb xulosa chiqaramiz. Bu mulohazalarni umumlashtirib yozuvi 0 va 5 raqamlari bilan tugaydigan ixtiyoriy son 5 ga bo`linadi deb xulosa chiqaramiz.

Xuddi shuningdek, ifodada o`rniga 1,2,3,4 va hokazo sonlar qo`yilsa, u holda da ifodaning qiymati tub son 43 ga teng, da ifodaning qiymati tub son 47 ga teng, da ifodaning qiymati tub son 53 ga teng ekanligini ko`rish mumkin. n ning qiymatlarida ham natija tub son bo`ladi.

Bu natijalarga suyangan holda n ning ixtiyoriy natural qiymatlarida ifodaning qiymati tub son bo`ladi deb xulosa chiqarish mumkin.

To`liqsiz induksiya bu shunday mulohazalarki, bunda ob’yektlar to’plamining ba’zi ob’yektlari ma’lum xossalarga ega bo`lishdan bu to’plamning barcha ob’yektlari ham shu xossalarga ega deb xulosa chiqarishga asoslanadi.

To`liqsiz induksiya natijasida olingan xulosalar rost ham, yolg`on ham bo`lishi mumkin. Masalan, yozuvi 5 raqami bilan tugaydigan sonning 5 ga bo`linishi haqidagi xulosa rost. n ning ixtiyoriy natural qiymatida ifodaning qiymati tub son bo`ladi» degan xulosa esa yolg`on. Haqiqatan ham, agar bo`lsa, biz ga ega bo`lamiz, bu esa ifodaning qiymati murakkab son ekanligini ko`rsatadi.

Induktiv mulohazalar har doim to`g`ri xulosalarga olib kelavermasa ham, matematika va boshqa fanlarni o`rganishda ularning roli juda katta. Induktiv mulohazalar yuritish davomida konkret xususiy hollarda umumiylikni ko`ra bilish, o`z taxminlarini ayta olish malakalari shakllanadi.

Boshlang`ich sinflarda to`liqsiz induktiv xulosadan tashqari analogiya bo`yicha (taqqoslab) xulosa chiqarishdan keng foydalaniladi, bunda bilimlarni o`rganilgan ob’yektlarga nisbatan kam o`rganilgan ob’yektlarga ko`chirish amalga oshiriladi. Ko`chirish uchun bu ob’yektlarning o`xshashlik va farq qilish alomatlari haqidagi bilimlar asos bo`lib xizmat qiladi.

Analogiya bizni taxmin va farazlarga olib keladi, matematik induksiyani rivojlantirish imkonini beradi.

Shuning bilan birga analogiya natijasida hosil qilingan xulosalar rost bo`lishi ham, yolg`on bo`lishi ham mumkin. Analogiya natijasida hosil qilingan xulosalar deduktiv metod bilan isbot qilinishi lozim.

Fikrlarning rostligini isbotlash usullari.

Deduktiv xulosa matematik isbotlashlarning asosiy usulidir. Bunda matematik isbot deduktiv mulohazalarning shunday zanjirini ifodalaydiki, ulardan har birining xulosasi, oxirgisidan tashqari, undan keyin keluvchi mulohazalardan biriga asos bo`ladi.

6<7 da’voning rostligining isboti bitta qadamni o`z ichiga olgan bitta mulohazadan tashkil topgan.

Ikki va undan ortiq qadamdan tashkil topgan mulohazaning isbotiga doir misollar ko`rib chiqamiz.

Misol. Har bir diagonal ‘arallelogramni ikkita teng uchburchakka ajratishini isbotlang.

Isboti: 1) ixtiyoriy ‘arallelogramning qarama-qarshi tomonlari teng; - ‘arallelogram (1-rasm), demak , . Mulohaza xulosa qoidasi asosida olib borildi, demak, olingan xulosa rost.



группа 1116

A

B

C

D

1-rasm


Agar bir uchburchakning uchta tomoni mos ravishda ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga teng bo`lsa, u holda bunday uchburchaklar teng bo`ladi: , , tomon umumiy. Demak, va uchburchaklar teng.

Bu holda ham mulohaza xulosa qonuni asosida olib borildi, demak xulosa rost. Teorema isbotlandi.

Teoremaning isboti hamma asoslarni ko`rsatish bilan to`la mantiqiy formada olib borilgan mulohazalarning ikki qadamidan tashkil topganini eslatib o`tamiz. Biroq bunday isbotlash uzundan-uzoq shuning uchun odatda ularni mulohazalar sxemasidagi alohida asoslarni tushirib qoldirish bilan ixchamlangan qisqartirilgan formada olib boriladi.

Masalan, biz o`tkazgan isbotning ixchamlangan shakli bunday bo`lishi mumkin: va uchburchaklarda va , va tomonlar teng, chunki ular ‘arallelogramning qarama-qarshi tomonlari, tomon ular uchun umumiy, demak, va uchburchaklar teng.



Nazorat savollari.

  1. Teoremaning tuzilishi haqida umumiy tushuncha deganda nima tushunasiz?

  2. Teoremaning qanday turlari bor?

  3. Matematik isbotlarlarga misol keltiring.

  4. To`liqsiz induksiyaga misol keltiring.

  5. To`la matematik induksiya deganda nima tushunasiz?

  6. Bevosita va bilvosita isbotlash usullarining farqi.

Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati

Asosiy adabiyotlar

  1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b.(47-50 bet)

Qo‘shimcha adabiyotlar

  1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (106-117 bet)

  2. Herbert Gintis. Mathematical Literacy for Humanists. Printed in the United States of America, 2010. 8-b.


1 Herbert Gintis. Mathematical Literacy for Humanists. Printed in the United States of America, 2010. 8-b.




Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə