Terence Tao



Yüklə 7,48 Mb.
Pdf görüntüsü
tarix01.08.2018
ölçüsü7,48 Mb.
#60240


Terence Tao

 

         

 

     

A M E R I C A N   M A T H E M A T I C A L   S O C I E T Y

Compactness and 

Contradiction


Compactness and Contradiction

Terence Tao

 

Compactness and Contradiction

           

 

A M E R I C A N   M A T H E M A T I C A L   S O C I E T Y



Compactness and Contradiction

Terence Tao

 

           

 

A M E R I C A N   M A T H E M A T I C A L   S O C I E T Y

http://dx.doi.org/10.1090/mbk/081




2010 Mathematics Subject Classification. Primary 00B15.

For additional information and updates on this book, visit

www.ams.org/bookpages/mbk-81

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data has been applied for by the AMS.

See www.loc.gov/publish/cip/

ISBN: 978-0-8218-9492-7

Copying and reprinting.

Individual readers of this publication, and nonprofit libraries

acting for them, are permitted to make fair use of the material, such as to copy a chapter for use

in teaching or research. Permission is granted to quote brief passages from this publication in

reviews, provided the customary acknowledgment of the source is given.

Republication, systematic copying, or multiple reproduction of any material in this publication

is permitted only under license from the American Mathematical Society.

Requests for such

permission should be addressed to the Acquisitions Department, American Mathematical Society,

201 Charles Street, Providence, Rhode Island 02904-2294 USA. Requests can also be made by

e-mail to reprint-permission@ams.org.

c 2013 Terence Tao. All rights reserved.

Printed in the United States of America.

The paper used in this book is acid-free and falls within the guidelines



established to ensure permanence and durability.

Visit the AMS home page at http://www.ams.org/

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

18 17 16 15 14 13




To Garth Gaudry, who set me on the road;

To my family, for their constant support;

And to the readers of my blog, for their feedback and contributions.




Contents

Preface


xi

A remark on notation

xi

Acknowledgments



xii

Chapter 1.

Logic and foundations

1

§1.1. Material implication



1

§1.2. Errors in mathematical proofs

2

§1.3. Mathematical strength



4

§1.4. Stable implications

6

§1.5. Notational conventions



8

§1.6. Abstraction

9

§1.7. Circular arguments



11

§1.8. The classical number systems

12

§1.9. Round numbers



15

§1.10. The “no-self-defeating object” argument, revisited

16

§1.11. The “no-self-defeating object” argument, and the vagueness



paradox

28

§1.12. A computational perspective on set theory



35

Chapter 2.

Group theory

51

§2.1. Torsors



51

§2.2. Active and passive transformations

54

§2.3. Cayley graphs and the geometry of groups



56

§2.4. Group extensions

62

vii



viii

Contents


§2.5. A proof of Gromov’s theorem

69

Chapter 3.



Analysis

79

§3.1. Orders of magnitude, and tropical geometry



79

§3.2. Descriptive set theory vs. Lebesgue set theory

81

§3.3. Complex analysis vs. real analysis



82

§3.4. Sharp inequalities

85

§3.5. Implied constants and asymptotic notation



87

§3.6. Brownian snowflakes

88

§3.7. The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta



function, and real-variable analytic continuation

88

§3.8. Finitary consequences of the invariant subspace problem



104

§3.9. The Guth-Katz result on the Erd˝os distance problem

110

§3.10. The Bourgain-Guth method for proving restriction theorems 123



Chapter 4.

Non-Standard analysis

133

§4.1. Real numbers, non-standard real numbers, and finite precision



arithmetic

133


§4.2. Non-Standard analysis as algebraic analysis

136


§4.3. Compactness and contradiction: the correspondence principle

in ergodic theory

137

§4.4. Non-Standard analysis as a completion of standard analysis 150



§4.5. Concentration compactness via non-standard analysis

168


Chapter 5.

Partial differential equations

181

§5.1. Quasilinear well-posedness



181

§5.2. A type diagram for function spaces

189

§5.3. Amplitude-frequency dynamics for semilinear dispersive



equations

194


§5.4. The Euler-Arnold equation

203


Chapter 6.

Miscellaneous

217

§6.1. Multiplicity of perspective



217

§6.2. Memorisation vs. derivation

220

§6.3. Coordinates



222

§6.4. Spatial scales

227

§6.5. Averaging



228

§6.6. What colour is the sun?

231



Contents

ix

§6.7. Zeno’s paradoxes and induction



232

§6.8. Jevons’ paradox

233

§6.9. Bayesian probability



236

§6.10. Best, worst, and average-case analysis

242

§6.11. Duality



244

§6.12. Open and closed conditions

246

Bibliography



249

Index


255



Preface

In February of 2007, I converted my “What’s new” web page of research

updates into a blog at terrytao.wordpress.com. This blog has since grown

and evolved to cover a wide variety of mathematical topics, ranging from my

own research updates, to lectures and guest posts by other mathematicians,

to open problems, to class lecture notes, to expository articles at both basic

and advanced levels. In 2010, I also started writing shorter mathematical

articles on my Google Buzz feed at

profiles.google.com/114134834346472219368/buzz .

This book collects some selected articles from both my blog and my Buzz

feed from 2010, continuing a series of previous books [Ta2008], [Ta2009],

[Ta2009b], [Ta2010], [Ta2010b], [Ta2011], [Ta2011b], [Ta2011c] based

on the blog.

The articles here are only loosely connected to each other, although many

of them share common themes (such as the titular use of compactness and

contradiction to connect finitary and infinitary mathematics to each other).

I have grouped them loosely by the general area of mathematics they pertain

to, although the dividing lines between these areas is somewhat blurry, and

some articles arguably span more than one category. Each chapter is roughly

organised in increasing order of length and complexity (in particular, the first

half of each chapter is mostly devoted to the shorter articles from my Buzz

feed, with the second half comprising the longer articles from my blog).

A remark on notation

For reasons of space, we will not be able to define every single mathematical

term that we use in this book. If a term is italicised for reasons other than

xi



xii

Preface


emphasis or for definition, then it denotes a standard mathematical object,

result, or concept, which can be easily looked up in any number of references.

(In the blog version of the book, many of these terms were linked to their

Wikipedia pages, or other on-line reference pages.)

I will, however, mention a few notational conventions that I will use

throughout. The cardinality of a finite set E will be denoted

|E|. We will

use the asymptotic notation X = O(Y ), X

Y , or Y

X to denote the

estimate

|X| ≤ CY for some absolute constant C > 0. In some cases we will

need this constant C to depend on a parameter (e.g., d), in which case we

shall indicate this dependence by subscripts, e.g., X = O

d

(Y ) or X



d

Y .


We also sometimes use X

∼ Y as a synonym for X

Y

X.

In many situations there will be a large parameter n that goes off to



infinity. When that occurs, we also use the notation o

n

→∞



(X) or simply

o(X) to denote any quantity bounded in magnitude by c(n)X, where c(n)

is a function depending only on n that goes to zero as n goes to infinity. If

we need c(n) to depend on another parameter, e.g., d, we indicate this by

further subscripts, e.g., o

n

→∞;d



(X).

Asymptotic notation is discussed further in Section 3.5.

We will occasionally use the averaging notation

E

x



∈X

f (x) :=


1

|X|


x

∈X

f (x)



to denote the average value of a function f : X

→ C on a non-empty finite

set X.

If E is a subset of a domain X, we use 1



E

: X


→ R to denote the

indicator function of X, thus 1

E

(x) equals 1 when x



∈ E and 0 otherwise.

Acknowledgments

I am greatly indebted to many readers of my blog and buzz feed, including

Rex Cheung, Dan Christensen, David Corfield, Quinn Culver, Tim Gow-

ers, Greg Graviton, Zaher Hani, Bryan Jacobs, Bo Jacoby, Sune Kristian

Jakobsen, Allen Knutson, Ulrich Kohlenbach, Diego Maldona, Mark Meckes,

David Milovich, Timothy Nguyen, Michael Nielsen, Matthew Petersen, An-

thony Quas, Pedro Lauridsen Ribeiro, Jason Rute, Am´

erico Tavares, Willie

Wong, Qiaochu Yuan, Pavel Zorin, and several anonymous commenters, for

corrections and other comments, which can be viewed online at

terrytao.wordpress.com

The author is supported by a grant from the MacArthur Foundation, by

NSF grant DMS-0649473, and by the NSF Waterman award.





Bibliography

[Ar1966] V. Arnold, Sur la g´

eom´

etrie diff´



erentielle des groupes de Lie de dimension in-

finie et ses applications `

a l’hydrodynamique des fluides parfaits, Ann. Inst. Fourier

(Grenoble) 16 1966 fasc. 1, 319–361.

[ArKh1998] V. Arnold, B. Khesin, Topological methods in hydrodynamics. (English sum-

mary) Applied Mathematical Sciences, 125. Springer-Verlag, New York, 1998.

[AuTa2010] T. Austin, T. Tao, On the testability and repair of hereditary hypergraph

properties, Random Structures and Algorithms 36 (2010), 373–463.

[AvGeTo2010] J. Avigad, P. Gerhardy, H. Towsner, Local stability of ergodic averages,

Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010), no. 1, 261–288.

[BeCaTa2006] J. Bennett, A. Carbery, T. Tao, On the multilinear restriction and Kakeya

conjectures, Acta Math. 196 (2006), no. 2, 261–302.

[BeHoMcPa2000] V. Bergelson, B. Host, R. McCutcheon, F. Parreau, Aspects of unifor-

mity in recurrence. Colloq. Math. 84/85 (2000), part 2, 549–576.

[BeTaZi2010] V. Bergelson, T. Tao, T. Ziegler, An inverse theorem for the uniformity

seminorms associated with the action of F

p

, Geom. Funct. Anal. 19 (2010), no. 6,



1539–1596.

[Bo1991] J. Bourgain, Besicovitch type maximal operators and applications to Fourier

analysis, Geom. Funct. Anal. 1 (1991), no. 2, 147–187.

[Bo1995] J. Bourgain, Estimates for cone multipliers, Geometric aspects of functional

analysis (Israel, 1992–1994), 41–60, Oper. Theory Adv. Appl., 77, Birkh¨

auser, Basel,

1995.

[BoGu2010] J. Bourgain, L. Guth, Bounds on oscillatory integral operators based on mul-



tilinear estimates, Geom. Funct. Anal., 21 (2011), no. 6, 1239–1295.

[BoSm1975] J. Bona, R. Smith, The initial-value problem for the Korteweg-de Vries equa-

tion, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 278 (1975), no. 1287, 555–601.

[CeMaPeRa2003] H. Cendra, J. Marsden, S. Pekarsky, T. Ratiu, Variational principles

for Lie-Poisson and Hamilton-Poincar´

e equations, Dedicated to Vladimir Igorevich

Arnold on the occasion of his 65th birthday. Mosc. Math. J. 3 (2003), no. 3, 833-867,

1197–1198.

249



250

Bibliography

[ChSzTr1992] F. Chung, E. Szemer´

edi, W. T. Trotter, The number of different distances

determined by a set of points in the Euclidean plane, Discrete Comput. Geom. 7

(1992), no. 1, 1–11.

[CoMi1997] T. Colding, W. Minicozzi, II. Harmonic functions on manifolds, Ann. Math.

146 (1997), 725–747.

[Co1982] A. C´

ordoba, Geometric Fourier analysis, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 32

(1982), no. 3, vii, 215–226.

[Co1985] A. C´

ordoba, Restriction lemmas, spherical summation, maximal functions,

square functions and all that, Recent Progress in Fourier Analysis (El Escorial, 1983),

57–64, North-Holland Math. Stud., 111, North-Holland, Amsterdam, 1985,

[De1912] M. Dehn, Transformation der Kurven auf zweiseitigen Fl¨

achen, Math. Ann. 72

(1912), no. 3, 413–421.

[Dv2009] Z. Dvir, On the size of Kakeya sets in finite fields, J. Amer. Math. Soc. 22

(2009), no. 4, 1093–1097.

[EbMa1970] D. Ebin, J. Marsden, Groups of diffeomorphisms and the motion of an in-

compressible fluid, Ann. of Math. 92 (1970) 102–163.

[ElSz2007] G. Elek, B. Szegedy, Limits of Hypergraphs, Removal and Regularity Lemmas.

A Non-standard Approach, arXiv:0705.2179

[ElSh2010] G. Elekes, M. Sharir, Incidences in three dimensions and distinct distances in

the plane, Computational geometry (SCG’10), 413–422, ACM, New York, 2010.

[Er1946] P. Erd˝

os, On sets of distances of n points, Amer. Math. Monthly 53 (1946),

248–250.

[FrVi1990] S. Friedlander, M. Vishik, Lax pair formulation for the Euler equation, Phys.

Lett. A 148 (1990), no. 6-7, 313–319.

[Ge1936] G. Gentzen, Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie, Mathematische

Annalen 112 (1936), 493–565.

[Go2008] W. T. Gowers, How can one equivalent statement be stronger than another?,

gowers.wordpress.com/2008/12/28

[Go2010] W. T. Gowers, Decompositions, approximate structure, transference, and the

Hahn-Banach theorem, Bull. Lond. Math. Soc. 42 (2010), no. 4, 573–606.

[Gr2005] B. Green, Roth’s theorem in the primes, Ann. of Math. (2) 161 (2005), no. 3,

1609–1636.

[GrTa2008] B. Green, T. Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions,

Annals of Math. 167 (2008), 481–547.

[Gr1981] M. Gromov, Groups of polynomial growth and expanding maps, Inst. Hautes

´

Etudes Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.



[Gu2010] L. Guth, The endpoint case of the Bennett-Carbery-Tao multilinear Kakeya con-

jecture, Acta Math. 205 (2010), no. 2, 263–286.

[GuKa2010] L. Guth, N. Katz, Algebraic methods in discrete analogs of the Kakeya prob-

lem, Adv. Math. 225 (2010), no. 5, 2828–2839.

[GuKa2010b] L. Guth, N.H. Katz, On the Erd˝

os distinct distance problem in the plane,

arXiv:1011.4105v1 [math.CO]

[HeJeKoSt2009] S. Herrmann, A. Jensen, M. Joswig, B. Sturmfels, How to draw tropical

planes, Electron. J. Combin. 16 (2009), no. 2, Special volume in honor of Anders

Bjorner, Research Paper 6, 26 pp.




Bibliography

251


[KaTa2004] N. Katz, G. Tardos, A new entropy inequality for the Erdos distance problem,

Towards a theory of geometric graphs, 119–126, Contemp. Math., 342, Amer. Math.

Soc., Providence, RI, 2004.

[KiVa2008] R. Killip, M. Visan, Nonlinear Schr¨

odinger Equations at Critical Regularity,

www.math.ucla.edu/

∼visan/ClayLectureNotes.pdf

[Kl2010] B. Kleiner, A new proof of Gromov’s theorem on groups of polynomial growth, J.

Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 3, 815–829.

[KoSc1997] N. Korevaar, R. Schoen, Global existence theorems for harmonic maps to non-

locally compact spaces, Comm. Anal. Geom. 5 (1997), no. 2, 333–387.

[LaPi2011] M. Larsen, R. Pink, Finite Subgroups of Algebraic Groups, J. Amer. Math.

Soc. 24 (2011), no. 4, 1105–1158.

[Li2001] Y. Li, A Lax pair for the two dimensional Euler equation, J. Math. Phys. 42

(2001), no. 8, 3552–3553.

[Lo1955] J. Los, Quelques remarques, th´

eor`

emes et probl`



emes sur les classes d´

efinissables

d’alg`

ebres, in: Mathematical Interpretation of Formal Systems, North-Holland, Am-



sterdam, 1955, 98–113.

[MaRa1999] J. Marsden, T. Ratiu, Introduction to mechanics and symmetry, A basic

exposition of classical mechanical systems. Second edition. Texts in Applied Mathe-

matics, 17. Springer-Verlag, New York, 1999.

[Mi1968] J. Milnor, Growth of finitely generated solvable groups, J. Diff. Geom. 2 (1968),

447–449.


[Mo1995] N. Mok, Harmonic forms with values in locally compact Hilbert bundles, in

Proceedings of the Conference in Honor of Jean-Pierre Kahane (Orsay 1993), Special

Issue, 1995, pp. 433–454.

[Na1999] K. Nakanishi, Scattering theory for the nonlinear Klein-Gordon equation with

Sobolev critical power, Internat. Math. Res. Notices 1999, no. 1, 31–60.

[ReTrTuVa2008] O. Reingold, L. Trevisan, M. Tulsiani, S. Vadhan, New Proofs of the

Green-Tao-Ziegler Dense Model Theorem: An Exposition, preprint. arXiv:0806.0381

[Ro1953] K.F. Roth, On certain sets of integers, J. London Math. Soc. 28 (1953), 245-252.

[Ro2009] T. Roy, Global existence of smooth solutions of a 3D log-log energy-supercritical

wave equation, Anal. PDE 2 (2009), no. 3, 261–280.

[RuSz1978] I. Ruzsa, E. Szemer´

edi, Triple systems with no six points carrying three tri-

angles, Colloq. Math. Soc. J. Bolyai 18 (1978), 939–945.

[Sa1915] G. Salmon, A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions, Vol. 2,

5th edition Hodges, Figgis and Co. Ltd. (1915).

[ScTi2002] I. Schindler, K. Tintarev, An abstract version of the concentration compactness

principle, Rev. Mat. Complut. 15 (2002), no. 2, 417–436.

[ShTa2010] Y. Shalom, T. Tao, A finitary version of Gromov’s polynomial growth theorem,

Geom. Funct. Anal. 20 (2010), no. 6, 1502–1547.

[ShSt1998] J. Shatah, M. Struwe, Geometric wave equations. Courant Lecture Notes in

Mathematics, 2. New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences,

New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.

[Se1954] A. Seidenberg, A new decision method for elementary algebra, Ann. of Math. (2),

60 (1954), 365–374.

[Sh2011] H.-W. Shih, Some results on scattering for log-subcritical and log-supercritical

nonlinear wave equation, to appear, Analysis & PDE.




252

Bibliography

[St1979] E. M. Stein, Some problems in harmonic analysis. Harmonic analysis in Euclidean

spaces (Proc. Sympos. Pure Math., Williams Coll., Williamstown, Mass., 1978), Part

1, pp. 3–20, Proc. Sympos. Pure Math., XXXV, Part, Amer. Math. Soc., Providence,

R.I., 1979.

[Sz1975] E. Szemer´

edi, On sets of integers containing no k elements in arithmetic pro-

gression, Acta Arith. 27 (1975), 299–345.

[Sz1978] E. Szemer´

edi, Regular partitions of graphs, in “Problem´

es Combinatoires et

Th´

eorie des Graphes, Proc. Colloque Inter. CNRS,” (Bermond, Fournier, Las Vergnas,



Sotteau, eds.), CNRS Paris, 1978, 399–401.

[SzTr1873] E. Szemer´

edi, W. T. Trotter Jr., Extremal problems in discrete geometry, Com-

binatorica 3 (1983), 381–392.

[Ta1951] A. Tarski, A decision method for elementary algebra and geometry, University

of California Press, Berkeley and Los Angeles, Calif., 1951.

[Ta1999] T. Tao, The Bochner-Riesz conjecture implies the restriction conjecture, Duke

Math. J. 96 (1999), no. 2, 363–375.

[Ta2003] T. Tao, A sharp bilinear restrictions estimate for paraboloids, Geom. Funct.

Anal. 13 (2003), no. 6, 1359–1384.

[Ta2003b] T. Tao, Recent progress on the Restriction conjecture, arXiv:math.CA/0311181

[Ta2004] T. Tao, A remark on Goldston-Yıldırım correlation estimates, unpublished.

www.math.ucla.edu/

∼tao/preprints/Expository/gy-corr.dvi

[Ta2006] T. Tao, Spacetime bounds for the energy-critical nonlinear wave equation in three

spatial dimensions, Dyn. Partial Differ. Equ. 3 (2006), no. 2, 93–110.

[Ta2006b] T. Tao, Nonlinear dispersive equations: local and global analysis, CBMS re-

gional conference series in mathematics, 2006.

[Ta2006c] T. Tao, Analysis Vols. I, II, Hindustan Book Agency, 2006.

[Ta2007] T. Tao, Global regularity for a logarithmically supercritical defocusing nonlinear

wave equation for spherically symmetric data, J. Hyperbolic Differ. Equ. 4 (2007), no.

2, 259–265.

[Ta2007b] T. Tao, A correspondence principle between (hyper)graph theory and probability

theory, and the (hyper)graph removal lemma, J. d.Analyse Mathematique 103 (2007),

1–45.

[Ta2008] T. Tao, Structure and Randomness: pages from year one of a mathematical blog,



American Mathematical Society, Providence RI, 2008.

[Ta2008b] T. Tao, Norm convergence of multiple ergodic averages for commuting trans-

formations, Ergodic Theory and Dynamical Systems 28 (2008), 657–688.

[Ta2009] T. Tao, Poincar´

e’s Legacies: pages from year two of a mathematical blog, Vol.

I, American Mathematical Society, Providence RI, 2009.

[Ta2009b] T. Tao, Poincar´

e’s Legacies: pages from year two of a mathematical blog, Vol.

II, American Mathematical Society, Providence RI, 2009.

[Ta2010] T. Tao, An epsilon of room, Vol. I, American Mathematical Society, Providence

RI, 2010.

[Ta2010b] T. Tao, An epsilon of room, Vol. II, American Mathematical Society, Provi-

dence RI, 2010.

[Ta2011] T. Tao, An introduction to measure theory, American Mathematical Society,

Providence RI, 2011.

[Ta2011b] T. Tao, Higher order Fourier analysis, American Mathematical Society, Provi-

dence RI, 2011.



Bibliography

253


[Ta2011c] T. Tao, Topics in random matrix theory, American Mathematical Society, Prov-

idence RI, 2011.

[TaVaVe1998] T. Tao, A. Vargas, L. Vega, A bilinear approach to the restriction and

Kakeya conjectures, J. Amer. Math. Soc. 11 (1998), no. 4, 967–1000.

[TaVu2006] T. Tao, V. Vu, Additive combinatorics. Cambridge Studies in Advanced

Mathematics, 105. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

[TaZi2010] T. Tao, T. Ziegler, The inverse conjecture for the Gowers norm over finite

fields via the correspondence principle, Anal. PDE 3 (2010), no. 1, 1–20.

[TaZi2011] T. Tao, T. Ziegler, The inverse conjecture for the Gowers norm over finite

fields in low characteristic, Ann. Comb. 16 (2012), no. 1, 121–188.

[Th1994] W. Thurston, On proof and progress in mathematics, Bull. Amer. Math. Soc.

(N.S.) 30 (1994), no. 2, 161–177.

[Ti1972] J. Tits, Free subgroups in linear groups, J. Algebra 20 (1972), 250–270.

[To1975] P. Tomas, A restriction theorem for the Fourier transform, Bull. Amer. Math.

Soc. 81 (1975), 477–478.

[Tz2006] N. Tzvetkov, Ill-posedness issues for nonlinear dispersive equations, Lectures on

nonlinear dispersive equations, 63–103, GAKUTO Internat. Ser. Math. Sci. Appl., 27,

Gakkotosho, Tokyo, 2006.

[Va1959] P. Varnavides, On certain sets of positive density, J. London Math. Soc. 39

(1959), 358–360.

[Wo1968] J. Wolf, Growth of finitely generated solvable groups and curvature of Riemann-

ian manifolds, J. Diff. Geom. 2 (1968), 421–446.

[Wo1995] T. Wolff, An improved bound for Kakeya type maximal functions, Rev. Mat.

Iberoamericana 11 (1995), no. 3, 651–674.

[Wo2001] T. Wolff, A sharp bilinear cone restriction estimate, Ann. of Math. (2) 153

(2001), no. 3, 661–698.





Index

a priori estimate, 185

active transformation, 54

Archimedean principle, 133

Arzel´

a-Ascoli diagonalisation trick, 139



asymptotic notation, xii

Balog-Szemer´

edi-Gowers lemma, 230

barrier, 107

Bayes’ formula, 236

Bayesian probability, 236

Bernoulli numbers, 96

Bolzano-Weierstrass theorem, 160

Burgers’ equation, 185

busy beaver function, 27

Cantor’s theorem, 21, 32

Cartan-Killing form, 211

Cayley graph, 57

cell decomposition, 121

characteristic subgroup, 67

Christoffel symbols, 205

cogeodesic flow, 205

continuity method, 232

coordinate system, 222

decomposition into varieties, 163

difference equation, 186

differentiating the equation, 185

direct product, 66

Duhamel’s formula, 182

elemengary convergence, 154

energy, 197

equipartition of energy, 203

Erd˝


os distance problem, 110

Euclid’s theorem, 19

Euler equations of incompressible fluids,

213


Euler-Arnold equation, 209

Euler-Maclaurin formula, 98

explicit formula, 102

extension problem, 124

Faulhaber formula, 90

finitely generated group, 57

friendship paradox, 229

Furstenberg correspondence principle,

137

Furstenberg recurrence theorem, 143,



164

G-space, 51

odel incompleteness theorem, 25



odel sentence, 24

odel’s universe, 34



Grandi’s series, 91

Gromov’s theorem, 69, 140

growth function, 105

harmonic function, 70

Heine-Borel theorem, 161

hereditary property, 68

homogeneous space, 51

impredicativity of truth, 24

indicator function, xii

interesting number paradox, 31

invariant subspace problem, 104

255



256

Index


Jordan’s theorem, 76

Klein geometry, 112

Kleiner’s theorem, 70

lamplighter group, 52

length contraction, 226

Loeb measure, 165

mean ergodic theorem, 149

metabelian group, 66

metacyclic group, 66

modus ponens, 239

Morawetz inequality, 201

nilpotent group, 67

non-standard universe, 158

nonlinear wave equation, 194

Notation, xi

null hypothesis, 238

omnipotence paradox, 28

oracle, 39

overspill principle, 162

passive transformation, 54

phase polynomial, 148

Picard iteration, 181

Poincar´

e inequality, 75

polycyclic group, 66

polynomial ham sandwich theorem, 120

problem of induction, 238

product rule, 220

profile decomposition, 174, 177

quasilinear equation, 183

Quining trick, 24

quotient rule, 220

regulus, 114

restriction problem, 124

semi-direct product, 66

semilinear equation, 182

sequential Banach-Alaoglu theorem, 169

Simpson’s paradox, 230

smoothed sums, 91

solvable group, 67

sorites paradox, 30

split exact sequence, 62

standard part, 172

stationary process, 142

supersolvable group, 66

Szemer´


edi regularity lemma, 166

Szemer´


edi’s theorem, 142, 164

Tarski’s undefinability theorem, 24

torsor, 51

tragedy of the commons, 235

transfer principle, 159

transport equation, 183

trapezoidal rule, 94

tropical algebra, 80

Turing’s halting theorem, 26

ultrapower, 158

underspill principle, 162

uniquely transitive, 51

universal set, 22

van der Waerden theorem, 163

virtual properties, 68

vorticity, 214

vorticity equation, 214

wave equation, 194

wave packet, 190

word metric, 57

Zorn’s lemma, 34



/…iÀiÊ>Àiʓ>˜ÞÊLˆÌÃÊ>˜`Ê«ˆiViÃʜvÊvœŽœÀiʈ˜Ê“>̅‡

i“>̈VÃʠ̅>ÌÊ >ÀiÊ «>ÃÃi`Ê `œÜ˜Ê vÀœ“Ê >`ۈÜÀʠ̜ʠÃÌՇ

`i˜Ì]ʜÀÊvÀœ“ÊVœ>LœÀ>̜ÀÊ̜ÊVœ>LœÀ>̜À]ÊLÕÌÊ܅ˆV…Ê

>Àiʠ̜œÊ vÕââÞÊ >˜`Ê ˜œ˜Àˆ}œÀœÕÃʠ̜ʠLiÊ `ˆÃVÕÃÃi`Ê ˆ˜Ê

̅iÊvœÀ“>ÊˆÌiÀ>ÌÕÀi°Ê/À>`ˆÌˆœ˜>Þ]ʈÌÊÜ>ÃÊ>ʓ>ÌÌiÀʜvÊ

ÕVŽÊ >˜`Ê œV>̈œ˜Ê >Ãʠ̜ʠ܅œÊ i>À˜i`Ê ÃÕV…Ê ºvœŽœÀiÊ

“>̅i“>̈Vû°Ê  ÕÌʠ̜`>Þ]Ê ÃÕV…Ê LˆÌÃÊ >˜`Ê «ˆiViÃÊ V>˜Ê

LiÊ Vœ““Õ˜ˆV>Ìi`Ê ivviV̈ÛiÞÊ >˜`Ê ivvˆVˆi˜ÌÞʠۈ>ʠ̅iÊ

Ãi“ˆvœÀ“>Ê“i`ˆÕ“ÊœvÊÀiÃi>ÀV…ÊLœ}}ˆ˜}°Ê/…ˆÃÊLœœŽÊ

}ÀiÜÊvÀœ“ÊÃÕV…Ê>ÊLœ}°

/…iÊ >À̈ViÃ]Ê iÃÃ>ÞÃ]Ê >˜`Ê ˜œÌiÃÊ ˆ˜Ê Ì…ˆÃÊ LœœŽÊ >ÀiÊ `iÀˆÛi`Ê vÀœ“Ê Ì…iÊ >Õ̅œÀ½ÃÊ

“>̅i“>̈V>Ê Lœ}Ê ˆ˜Ê Óä£ä°Ê ÌÊ Vœ˜Ì>ˆ˜ÃÊ >Ê LÀœ>`Ê ÃiiV̈œ˜Ê œvÊ “>̅i“>̈V>Ê

iÝ«œÃˆÌˆœ˜Ã]Ê Vœ““i˜Ì>ÀÞ]Ê >˜`Ê Ãiv‡Vœ˜Ì>ˆ˜i`Ê ÌiV…˜ˆV>Ê ˜œÌiÃÊ ˆ˜Ê “>˜ÞÊ >Ài>ÃÊ

œvʓ>̅i“>̈VÃ]ÊÃÕV…Ê>Ãʏœ}ˆV]Ê}ÀœÕ«Ê̅iœÀÞ]Ê>˜>ÞÈÃ]Ê>˜`Ê«>À̈>Ê`ˆvviÀi˜Ìˆ>Ê

iµÕ>̈œ˜Ã°Ê/…iÊ̜«ˆVÃÊÀ>˜}iÊvÀœ“Ê̅iÊvœÕ˜`>̈œ˜Ãʜvʓ>̅i“>̈VÃÊ̜Ê`ˆÃVÕÇ

Ȝ˜ÃʜvÊÀiVi˜Ìʓ>̅i“>̈V>ÊLÀi>ŽÌ…ÀœÕ}…ð

iVÌÕÀiʘœÌiÃÊvÀœ“Ê̅iÊ>Õ̅œÀ½ÃÊVœÕÀÃiÃÊ̅>ÌÊ>««i>Ài`ʜ˜Ê̅iÊLœ}ʅ>ÛiÊLii˜Ê

«ÕLˆÃ…i`ÊÃi«>À>ÌiÞʈ˜Ê̅iÊGraduate Studies in MathematicsÊÃiÀˆið



MBK/81

AMS on the Web  

www.ams.org

For additional information

and updates on this book, visit

www.ams.org/bookpages/mbk-81

Reed Hutchinson/UCLA




Yüklə 7,48 Mb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2023
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə