Terminologia degli archi

Terminologia degli archi

• Terminologia degli archi

• Asse : linea media dell’arco;

• Sesto : la forma dell’asse dell’arco;

• Imposta : la sezione in cui l’arco si appoggia alla spalla o al piedritto;

• Chiave : il punto più alto dell’arco;

• Altezza : la lunghezza del segmento perpendicolare alla tangente all’asse;

• Luce : la dimensione orizzontale fra le spalle o i piedritti (per archi di piccola luce coincide con la luce netta della apertura; per archi di grande luce coincide con la distanza presa fra le due intersezioni dell’asse con le imposte);

Terminologia degli archi

• Terminologia degli archi

• Estradosso : la linea esterna dell’arco;

• Intradosso : la linea interna dell’arco;

• Concio : elemento base a forma di cuneo che genera l’arco;

• Linea d’appoggio : linea dove il piedritto interseca la sezione d’imposta (per archi di piccola luce); intersezione dell’imposta con l’asse dell’arco (per archi di grande luce);

• Monta : la massima altezza della sommità dell’intradosso rispetto alla linea di appoggio (per archi di piccola luce); la massima altezza dell’asse rispetto alla linea d’appoggio (per archi di grande luce).

Cenni storici

• Cenni storici

• Una prima teoria statica dell’arco fu stabilita solo alla fine del XVII secolo.

• In epoca precedente si ebbero solo alcuni tentativi anche se i costruttori medievali

Solo Leonardo da Vinci (secolo XV) fornì i primi spunti di corretta interpretazione meccanica del comportamento di un arco affermando nel manoscritto del Codice Foster:

• Solo Leonardo da Vinci (secolo XV) fornì i primi spunti di corretta interpretazione meccanica del comportamento di un arco affermando nel manoscritto del Codice Foster:

• Arco non è altro che una fortezza causata da due debolezze, imperoché l’arco negli edifizi è composto di due quarti di circulo, i quali quarti circuli, ciascuno debolissimo per sé, desidera cadere e oponendosi alla ruina l’uno dell’altro, le due debolezze si convertono in una unica fortezza.

• Leonardo sperimentò anche un metodo per la verifica al ribaltamento degli archi, stabilendo una condizione secondo la quale le sezioni dell’arco non ruotano: l’arco è assimilato a due barre rettilinee, ab e bc e si afferma che: L’arco non si romperà se la corda dell’archi di fori non tocherà l’arco di dentro. Ciò dimostra l’intuizione della

• condizione che la curva

• delle pressioni risulti

• interna all’arco.

METODO DI MERY

• METODO DI MERY

• L'analisi di Mery considera come situazione limite per l'arco quella corrispondente alla formazione delle prime fessure.

• Lo studio e la pratica mostrano che le prime fessure, in archi simmetrici e simmetricamente caricati, si verificano in corrispondenza della sezione di chiave e delle due sezioni (reni) simmetriche rispetto all’asse verticale di simmetria ed inclinate rispetto a tale asse di 60 °

Negli archi ribassati ed a tutto sesto le fessure si verificano all’intradosso nella sezione di chiave ed all’estradosso nella sezione di rene; viceversa per gli archi a sesto acuto.

• Negli archi ribassati ed a tutto sesto le fessure si verificano all’intradosso nella sezione di chiave ed all’estradosso nella sezione di rene; viceversa per gli archi a sesto acuto.

• Dato che il materiale è scarsamente resistente a trazione, si suppone che nei punti dove si hanno delle fessure il materiale sia stato sollecitato a trazione

• Affinché non si abbiano tensioni di trazione, il centro di applicazione degli sforzi normali deve essere interno al “terzo medio” delle sezioni critiche.

Nella condizione limite, H è applicata all'estremo superiore del “terzo medio”.

• Nella condizione limite, H è applicata all'estremo superiore del “terzo medio”.

• La reazione S della sezione di rene, nella condizione limite, è applicata all’estremo inferiore del “terzo medio”.

• Le azioni H ed S dovranno formare un sistema di forze equilibrato con la risultante dei carichi applicati, R.

Per l’equilibrio, H, R ed S devono passare per uno stesso punto, O.

• Per l’equilibrio, H, R ed S devono passare per uno stesso punto, O.

• La direzione di S è la congiungente del punto O, di incontro delle rette di azione di R ed H, con l'estremo inferiore del terzo medio della sezione di rene.

Una volta determinata la curva delle pressioni, si è in grado di effettuare le verifiche di resistenza delle sezioni dell'arco e di stabilità delle spalle.

• Una volta determinata la curva delle pressioni, si è in grado di effettuare le verifiche di resistenza delle sezioni dell'arco e di stabilità delle spalle.

La verifica degli archi fra elasticità e plasticità

• La verifica degli archi fra elasticità e plasticità

• Nel 1867 Winkler sostenne che la vera curva delle pressioni, sulla base della teoria dell’elasticità, è quella che meno si scosta dalla linea d’asse dell’arco.

• La applicazione della teoria dell’elasticità alle strutture murarie non è però giustificata in un ambito di calcolo a rottura per il quale si prescinde dalla deformabilità, e si considerano rigidi i conci.

La teoria di Heyman – The safe theorem

• La teoria di Heyman – The safe theorem

• Il problema è stato ricondotto, da Jacques Heyman in The masonry arch (1982), a una formulazione coerente con i metodi del calcolo a rottura.

• Ipotesi di base:

• Non può avvenire rottura a scorrimento: due conci non possono scorrere relativamente nel piano di contatto;

• La muratura non ha resistenza a trazione;

• La muratura ha resistenza a compressione illimitata .

La teoria di Heyman – The safe theorem

• La teoria di Heyman – The safe theorem

• Il teorema di Heyman, che fornisce una delimitazione inferiore del carico di collasso di un arco afferma che:

• “Se esiste una linea di pressioni per l’arco completo, che sia in equilibrio con i carichi applicati, incluso il peso proprio, e che risulti ovunque e in ogni sezione interna allo spessore dell’arco,

• allora l’arco può considerarsi in condizioni di sicurezza.”

Secondo Heyman, quindi, non ha interesse determinare l’effettiva curva delle pressioni, mentre è sufficiente mostrare che esiste almeno un sistema di forze interne equilibrato e che soddisfi le condizioni imposte dal teorema.

• Secondo Heyman, quindi, non ha interesse determinare l’effettiva curva delle pressioni, mentre è sufficiente mostrare che esiste almeno un sistema di forze interne equilibrato e che soddisfi le condizioni imposte dal teorema.

• La differente posizione della curva di pressione sulla sezione può produrre la formazione di fessure localizzate, corrispondenti, in termini cinematici, alla formazione di cerniere interne che possono coalizzarsi a formare un meccanismo.

Per ogni concio conosciamo il valore

• Per ogni concio conosciamo il valore

• di M (N·e) e del taglio agenti nelle

• sezioni di estremità

• Il valore di T dovrà essere inferiore

• alla forza di attrito (f · N); considerando

• un opportuno coefficiente di sicurezza, dovrà risultare:

• T ≤(f · N)/1,5

• Dovrà inoltre essere verificato che le tensioni tangenziali non siano superiori a quelle ammissibili e dunque:

• per centro di pressione interno al terzo medio:

• τ max =3·T/(2·b·s) ≤ τ amm

per centro di pressione esterno al terzo medio:

• per centro di pressione esterno al terzo medio:

• τ max =T/(b·u) ≤ τ amm

• Infine si dovrà effettuare la verifica delle tensioni normali:

• per centro di pressione interno al terzo medio:

• σ = [ N/(b·s) ] · (1 ± 6·e/s) ≤ σ amm

• per centro di pressione esterno al terzo medio:

• σ = [ 2·N/(3·b·u) ] ≤ σ amm

Si considera una volta in materiale lapideo a sostegno di uffici

• Si considera una volta in materiale lapideo a sostegno di uffici

• sovraccarico accidentale: 800 kg/m2

• pietrame:

• σ amm = 3,5 N/mm2 τ amm = 1,4 N/mm2

Si suddivide la volta in sei conci

• Si suddivide la volta in sei conci

• Si determinano le porzioni di carichi permanenti e accidentali che gravano su ogni concio

• Per determinare l'entità di questi carichi, si riducono a volumi di materiale equipesante con riferimento al peso dell’arco, ovvero si considera che su ogni concio gravi una porzione di materiale con peso unitario uguale a quello dell'arco, γv, e di altezza fittizia, hv, pari a:

• hv=hi·(γi/γv)

I materiali presenti sono:

• I materiali presenti sono:

• Pavimento di mattoni γp=1800 kg/m3
• Sottofondo di allettamento γs=2300 kg/m3
• Rinfianco in coccio o calcinaccio γr=1300 kg/m3
• Arco di pietrame γv = 2600 kg/m3

• Coefficienti di omogeneizzazione:

• γp/ γv =0,69 kg/m3
• γs/ γv =0,88 kg/m3
• γr/ γv =0,50 kg/m3

I pesi dei conci si valutano tramite

• I pesi dei conci si valutano tramite

• Pi = [(hi-1+hi)·bi·γv]/2

Si applica il procedimento di Méry

• Si applica il procedimento di Méry

• Si costruisce la risultante di tutte le forze tramite il poligono funicolare

• La reazione H, passante per il terzo medio superiore della sezione di chiave, per la simmetria di struttura e di carico ha direzione orizzontale, h-h

• La reazione S agisce in direzione s-s, congiungente il punto di intersezione delle rette r-r e h-h con il terzo medio inferiore nella sezione di rene

• Sullo stesso sostegno del poligono delle forze, si riportano le direzioni s-s e h-h, il cui punto di intersezione, Ps, individua, nella scala delle forze, l’entità delle reazioni al rene e in chiave

• Infine si traccia la curva delle pressioni

Sezione di chiave

• Sezione di chiave

• N=6800 kg (azione nel terzo medio superiore)

• σmax=2·N/(b·s)= 3,4 kg/cm2 < 35 kg/cm2

• Sezione di rene

• N=12635 kg (azione giacente al terzo medio inferiore)

• T=600 kg

• σmax=2·N/(b·s)= 5 kg/cm2 < 35 kg/cm2

• τmax=3·T/(2·b·s)= 0,2 kg/cm2 < 14 kg/cm2

• Sezione con minor spessore più sollecitata (4) (s=40 cm)

• N=9330 kg

• T=550 kg

• σmax = [ N/(b·s) ] · (1 + 6·e/s) = 4 < 35 kg/cm2

• τmax=3·T/(2·b·s)= 0,21 kg/cm2 < 14 kg/cm2

Analisi dei carichi:

• Analisi dei carichi:

• Muratura di Mattoni s=50 cm Psup= 7960 Kg

• Muratura di Mattoni s=80 cm P1= 2520 Kg

• Muratura di Pietrame s=80 cm P2= 4656 Kg

• P3=720 kg

Componendo graficamente i carichi verticali con l’azione S prodotta dalla volta otteniamo

• Componendo graficamente i carichi verticali con l’azione S prodotta dalla volta otteniamo

• Sezione K – K

• Rk=27380 kg

• Nk=26500 kg

• Tk = 6800 kg

• e = 25 cm > 97/6=16,17 cm (azione esterna al terzo medio)

• u = (97/2) – 25=23,5 cm

• σmax=2·N/(3·b·u)= 7,52 kg/cm2 < 35 kg/cm2

• τmax=·T/(b·u)= 1,45 kg/cm2 < 14 kg/cm2

Sezione J – J

• Sezione J – J

• con l’azione aggiuntiva P4=6395 kg

• Rj=33500 kg

• Nj=32895 kg

• Tj = 6800 kg

• e = 50 cm > 130/6=22 cm (azioni esterna al terzo medio)

• u = (130/2) – 50=15 cm

• σmax=2·N/(3·b·u)= 14,62 kg/cm2 < 35 kg/cm2

• τmax=·T/(b·u)= 2,27 kg/cm2 < 14 kg/cm2

• L’arco risulta verificato in tutte le sezioni critiche

Renato S. Olivito, Statica e stabilità delle costruzioni murarie, Pitagora Ed. Bologna, 2003

• Renato S. Olivito, Statica e stabilità delle costruzioni murarie, Pitagora Ed. Bologna, 2003

• Jacques Heyman, The masonry arch, 1982

• Mario Como, Statica delle costruzioni storiche in muratura