11.1-misol.
integralni ta’rif asosida hisoblang.
Yechish: Berilishiga ko’ra
f ( x)
a va
b [0, 1] oraliqni
quyidagi x0
x 1 , x
1 n 2
nuqtalar yordamida
n ta teng elementar kesmalarga ajratamiz va berilgan funksiyaning ularga mos qiymatlarini topamiz:
f (x0) f (x1)
f (x2 )
U holda, integral yig’indining qo’shiluvchilari
f (xk )
Integral yig’indi quyidagicha bo’ladi:
Sn
U holda, S
Demak,
1
x 2dx
0
1 kv. birlik.
3
1.2-ta’rif. {sp (f )}
to’plamning aniq yuqori chegarasi
f (x)
funksiyaning
oraliqdagi quyi integrali deb ataladi va quyidagicha belgilanadi:
b
I
{Sp (f )} to’plamning aniq quyi chegarasi
yuqori integrali deb ataladi va
f (x) funksiyaning
oraliqdagi
b
I
kabi belgilanadi.
integrallari bir-biriga teng bo’lsa, u holda
f ( x)
funksiya
oraliqda
integrallanuvchi deyiladi va ularning umumiy qiymati
I
f ( x) funksiyaning oraliqdagi aniq integrali (Riman integrali) deyiladi va u
b
kabi belgilanadi. Demak,
b b b.
Agar
b b
bo’lsa, u holda
f (x) funksiya
oraliqda integrallanuvchi emas deyiladi.
2.2-§. Aniq integralning mavjudligi. Integrallanuvchi funksiyalar sinfi
2.1-teorema.
f (x)
funksiya
oraliqda aniqlangan va chegaralangan
bo’lsin. Bu funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lishi uchun
bo’lgan har qanday p bo’linishga nisbatan
Sp (f )
(2.1)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Agar avvalgidek
f (x) funksiyaning (k
oraliqdagi
tebranishini orqali belgilasak, u holda (2.2.1) tengsizlik
Sp ( f )
ko’rinishga ega bo’ladi.
integrallanuvchi bo’ladi.
2.3-teorema.
f (x)
funksiya
oraliqda chegaralangan va monoton
bo’lsa, funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
2.2.4-teorema.
f (x) funksiya
oraliqda chegaralangan va bu oraliqning
chekli sondagi nuqtalarida uzilishga ega bo’lib,qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
b2.1-misol.
integralni hisoblang.
Yechish:
f (x)
funksiya
oraliqda uzluksiz bo’lgani uchun 2.2.2-
teoremaga ko’ra u qaralayotgan oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
Demak, bu funksiyaning oraliq bo’yicha integralini ta’rifga ko’ra hisob-
lashda
oraliqning bo’linishini hamda har bir
bo’lakda
nuqtalarini
integral yig’indi va uning limitini hisoblashga qulay qilib olish imkoniyatiga ega bo’lamiz.
Shuni e’tiborga olgan holda
nuqtalar sifatida
oraliqni n ta teng bo’lakka bo’lib, segmentlarning chap chetki nuqtalarini
olamiz. Natijada
da limitga o’tib, topamiz:
bDemak,
2.3-§. Aniq integralning xossalari
1°. Agar
f (x)
funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u istalgan
oraliqda ham integrallanuvchi bo’ladi.
2°. Agar
f (x)
funksiya
va oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
funksiya oraliqda ham integrallanuvchi bo’ladi va ushbu
b c b
formula o’rinli bo’ladi.
3°. Agar
f ( x)
funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda C
(C ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va ushbu
b b
formula o’rinli bo’ladi.
4°. Agar
f (x) va
g(x)
funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
f (x) g(x)funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va ushbu
b b b
formula o’rinli bo’ladi.
3.1-natija. Agar
f1( x), f2( x), ….
fn ( x)
funksiyalar
oraliqda
integrallanuvchi bo’lsa, u holda ushbu
C1f1( x)
funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi va
b b b
(C1f1(x)
a
C2f2(x) ...
Cn fn (x))dx
5 . Agar
f (x)va
g(x)funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
f (x) funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
bo’lsa,
uchun (f (x))n
funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
6 . Agar
f (x) va
g(x)
funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi bo’lib,
lar uchun f ( x) 0 bo’lsa, u holda
b
bo’ladi.
3.3-natija. Agar
f (x)va
g(x)
funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi
bo’lib,
lar uchun
f ( x)
tengzislik o’rinli bo’lsa, u holda ushbu
b b
tengzislik ham o’rinli bo’ladi.
7 . Agar
f (x)
funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
f (x)
funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va
tengzislik o’rinli bo’ladi.
f (x)
funksiya
oraliqda aniqlangan va chegaralangan bo’lsin. U holda
funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va oraliqda m
inf
f (x) , M
sup
f (x)
mavjud va
lar uchun
m
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
8 . Agar
f (x)funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda shunday
o’zgarmas
b
son mavjudki, ushbu
tenglik
o’rinli bo’ladi (Bu o’rta qiymat haqidagi teorema).
3.4- natija. Agar
f (x)funksiya
oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda bu
oraliqda shunday c ( c a, b ) ) nuqta topiladiki,
b
tenglik o’rinli bo’ladi.
9 . Agar
f (x)va
g(x)funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi bo’lib,
g(x)
funksiya shu oraliqda o’z ishorasini o’zgartmasa, u holda shunday o’zgarmas son mavjudki
b b
tenglik o’rinli bo’ladi.
10 . Agar
f (x)funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa,
F(x) funksiya shu
oraliqda uzluksiz bo’ladi.
11 . Agar f ( x)funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lib, x0
nuqtada
uzluksiz bo’lsa, u holda F( x) funksiya x0
F
nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi va
2.4-§.Aniq integralni hisoblash
Nyuton-Leybnits formulasi
4.1-teorema.
f (x)funksiya
segmentda uzluksiz bo’lsa, u holda bu
funksiyaning ixtiyoriy boshlang’ich funksiyasi F( x) uchun
formula o’rinlidir.
Odatda bu formula Nyuton- Leybnits formulasi deyiladi.
|