Toshkent viloyati chirchiq davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti



Yüklə 2,35 Mb.
səhifə4/5
tarix18.05.2022
ölçüsü2,35 Mb.
#87348
1   2   3   4   5
Kurs ishi

11.1-misol.


integralni ta’rif asosida hisoblang.

Yechish: Berilishiga ko’ra


f (x)
a va
b [0, 1] oraliqni


quyidagi x0
x 1 , x
1 n 2

nuqtalar yordamida




n ta teng elementar kesmalarga ajratamiz va berilgan funksiyaning ularga mos qiymatlarini topamiz:


f (x0) f (x1)

f (x2 )


U holda, integral yig’indining qo’shiluvchilari
f (xk )




Integral yig’indi quyidagicha bo’ladi:



Sn





U holda, S


Demak,
1


x 2dx
0
1 kv. birlik.
3


1.2-ta’rif. {sp (f )}
to’plamning aniq yuqori chegarasi
f (x)
funksiyaning


oraliqdagi quyi integrali deb ataladi va quyidagicha belgilanadi:



b


I



{Sp (f )} to’plamning aniq quyi chegarasi
yuqori integrali deb ataladi va
f (x) funksiyaning
oraliqdagi



b
I


kabi belgilanadi.




1.3-ta’rif. Agar
f (x)
funksiyaning
oraliqdagi quyi va yuqori



integrallari bir-biriga teng bo’lsa, u holda


f (x)
funksiya
oraliqda


integrallanuvchi deyiladi va ularning umumiy qiymati




I
f (x) funksiyaning oraliqdagi aniq integrali (Riman integrali) deyiladi va u





b

kabi belgilanadi. Demak,




b b b.

Agar




b b


bo’lsa, u holda
f (x) funksiya
oraliqda integrallanuvchi emas deyiladi.



2.2-§. Aniq integralning mavjudligi. Integrallanuvchi funksiyalar sinfi

2.1-teorema.
f (x)
funksiya
oraliqda aniqlangan va chegaralangan



bo’lsin. Bu funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lishi uchun




olinganda ham shunday


son topilib,
oraliqning diametri


bo’lgan har qanday p bo’linishga nisbatan

Sp (f )
(2.1)

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.




Agar avvalgidek
f (x) funksiyaning (k
oraliqdagi


tebranishini orqali belgilasak, u holda (2.2.1) tengsizlik


Sp (f )

ko’rinishga ega bo’ladi.



2.2-teorema.


f (x)funksiya
oraliqda uzluksiz bo’lsa, u shu oraliqda



integrallanuvchi bo’ladi.


2.3-teorema.


f (x)
funksiya
oraliqda chegaralangan va monoton



bo’lsa, funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.


2.2.4-teorema.


f (x) funksiya
oraliqda chegaralangan va bu oraliqning



chekli sondagi nuqtalarida uzilishga ega bo’lib,qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.






b2.1-misol.


integralni hisoblang.


Yechish:
f (x)
funksiya
oraliqda uzluksiz bo’lgani uchun 2.2.2-



teoremaga ko’ra u qaralayotgan oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.


Demak, bu funksiyaning oraliq bo’yicha integralini ta’rifga ko’ra hisob-



lashda
oraliqning bo’linishini hamda har bir


bo’lakda
nuqtalarini



integral yig’indi va uning limitini hisoblashga qulay qilib olish imkoniyatiga ega bo’lamiz.




Shuni e’tiborga olgan holda



nuqtalar sifatida


oraliqni n ta teng bo’lakka bo’lib, segmentlarning chap chetki nuqtalarini

olamiz. Natijada






da limitga o’tib, topamiz:






bDemak,



2.3-§. Aniq integralning xossalari




1°. Agar
f (x)
funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u istalgan



oraliqda ham integrallanuvchi bo’ladi.



2°. Agar
f (x)
funksiya
va oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda


funksiya oraliqda ham integrallanuvchi bo’ladi va ushbu





b c b

formula o’rinli bo’ladi.



3°. Agar
f (x)
funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda C


(C ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va ushbu





b b

formula o’rinli bo’ladi.




4°. Agar
f (x) va
g(x)
funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda


f (x) g(x)funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va ushbu





b b b


formula o’rinli bo’ladi.

3.1-natija. Agar

f1(x), f2(x), ….
fn (x)

funksiyalar

oraliqda



integrallanuvchi bo’lsa, u holda ushbu


C1f1(x)

funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi va




b b b


(C1f1(x)
a
C2f2(x) ...
Cn fn (x))dx

formula o’rinli bo’ladi.




5 . Agar
f (x)va
g(x)funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda


f (x) funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.


3.2-natija. Agar
f (x)va
g(x)
funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi



bo’lsa,
uchun (f (x))n


funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.

6 . Agar
f (x) va
g(x)
funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi bo’lib,


lar uchun f (x) 0 bo’lsa, u holda





b

bo’ladi.



3.3-natija. Agar
f (x)va
g(x)
funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi



bo’lib,
lar uchun


f (x)
tengzislik o’rinli bo’lsa, u holda ushbu






b b

tengzislik ham o’rinli bo’ladi.




7 . Agar
f (x)
funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
f (x)



funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va

tengzislik o’rinli bo’ladi.


f (x)
funksiya
oraliqda aniqlangan va chegaralangan bo’lsin. U holda


funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va oraliqda m


inf
f (x) , M
sup
f (x)
mavjud va
lar uchun





m
tengsizlik o’rinli bo’ladi.

8 . Agar
f (x)funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda shunday

o’zgarmas


b

son mavjudki, ushbu


tenglik

o’rinli bo’ladi (Bu o’rta qiymat haqidagi teorema).




3.4- natija. Agar
f (x)funksiya
oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda bu


oraliqda shunday c (c a,b )) nuqta topiladiki,





b

tenglik o’rinli bo’ladi.




9 . Agar
f (x)va
g(x)funksiyalar
oraliqda integrallanuvchi bo’lib,
g(x)



funksiya shu oraliqda o’z ishorasini o’zgartmasa, u holda shunday o’zgarmas son mavjudki





b b

tenglik o’rinli bo’ladi.




10 . Agar
f (x)funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lsa,
F(x) funksiya shu



oraliqda uzluksiz bo’ladi.


11 . Agar f (x)funksiya
oraliqda integrallanuvchi bo’lib, x0

nuqtada



uzluksiz bo’lsa, u holda F(x) funksiya x0


F
nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi va


tenglik o’rinlidir.


2.4-§.Aniq integralni hisoblash




  1. Nyuton-Leybnits formulasi


4.1-teorema.


f (x)funksiya
segmentda uzluksiz bo’lsa, u holda bu


funksiyaning ixtiyoriy boshlang’ich funksiyasi F(x) uchun


formula o’rinlidir.

Odatda bu formula Nyuton- Leybnits formulasi deyiladi.




Yüklə 2,35 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə