Tugunlar orasidagi masofa teng bo’lmaganda Nyuton interpolyatsion formulasi. Bo’lingan chekli ayirmalar

Bo’lingan chekli ayirmalar jadvali.

X	Y	BO’LINGAN chekli ayirmalar
		1-tartibli	2-tartibli	3-tartibli	4-tartibli
X0	y 0
		[x0, x1]
X1	y 1		[x0 ,x1 , x2]
		[x1, x2]		[x0 ,x1 , x2 , x3]
X2	y2		[x1 ,x2 , x3]		[x0 ,x1 , x2 , x3]
		[x2, x3]		[x1 ,x2 , x3 , x4]
X3	y3		[x2 ,x3 , x4]
		[x3, x4]
X4	y4

Bo’lingan chekli ayirmalar tushunchasi yordamida Lagranj interpolyatsion formulasini Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasiga o’xshash interpolyatsion formula bilan yechish mumkin. Buning uchun bitta lemma isbot qilamiz.

n –tartibli ko’phadning n+1 tartibli bo’lingan chekli ayirmasi haqidagi lemma.

Lemma: n – tartibli ko’phadning tartibli bo’lingan chekli ayirmasi nolga teng.

Isbot qilish kerak

Isbot:



ko’phad tartiblidir.



tartibli ko’phaddir.

Chunki ko’phadning ildizi. .

Demak Bezu teoremasiga asosan ga bo’linadi. Huddi shunday mulohaza qilsak

ko’phad nolinchi darajali ko’phaddir ya’ni

Bundan

Lemma isbot qilindi.

- n-darajali Lagranj interpolyatsion formulasi bo’lsin

(1)

Tubandagi belgilashlarni kiritamiz.

(2)

Lemmaga asosan

(3)

Ta’rifga asosan

(4)

Bundan

(5)

Bo’lingan chekli ayirmaning ta’rifiga asosan

(6)

(5) va (6) dan foydalanib

Lemmaga asosan.

(7)

(7) formulaga tugunlar orasidagi masofa teng bo’lganda Nyuton interpolyatsion formulasi deyiladi.

Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi. Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasini keltirib chiqarish uchun chekli ayirmalar tushunchasi kiritiladi. Bunda interpolyatsiya qadamlari bir-biriga teng deb hisoblanadi.

Birinchi tartibli chekli ayirma deganda tushuniladi. Huddi shuningdek, ikkinchi tartibli chekli ayirma deganda

amallar tushuniladi.

Amaliy jihatdan chekli ayirmalar hisoblash uchun chekli ayirmalar jadvalidan foydalanilgan ma’qul. Bu jadval quyidagicha.

Chekli ayirmalar jadvali.

xi

(1)

Nyuton o’zining birinchi interpolyatsion formulasini quyidagicha axtaradi.

(2)

(2) interpolyatsion formulaning noma’lum koeffitsientlarini aniqlasak, interpolyatsion formula yozilgan bo’ladi. Buning uchun quyidagi shartlardan foydalanamiz.

shartdan ,

shartdan .

Bundan bo’lgani uchun, bo’ladi.

shartdan va bo’lgani uchun

tenglikka ega bo’lamiz. Bu erdan ni topamiz:

Va hakoza bu jarayonni davom qildirsak

, (3)

umumiy formulaga ega bo’lamiz.

Topilgan a_i larni (2) formulaga qo’ysak ushbu

(4)

formulaga ega bo’lamiz. Bu formulaga Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi deyiladi.

Ushbu

(5)

dan foydalanib, (4) formulada h ni 0 ga intiltirsak ushbu
(6)

(6) bizga ma’lum bo’lgan Teylor qatori.

Demak, Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasida interpolyatsiya qadamini nolga intiltirib limitga o’tsak Teylor qatori kelib chiqar ekan.

Agar (4) formulaning faqat ikki hadini olsak, kvadratik interpolyatsiya deyiladi.

Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasini yangi o’zgaruvchi kiritib quydagicha yozish mumkin.

yangi o’zgaruvchi kiritamiz. U holda

formulani hosil qilamiz.

Nyutonning interpolyatsion formulasidan bo’lsa, chiziqli interpolyatsiya deb aytiladi.

(7)

bo’lgani uchun (7) ni quydagicha yozish mumkin

. (8)

(8) formula ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidir.

bo’lganda kvadratik yoki parabolik interpolyatsiya deb ataladi.

(9)

(9) formula uch nuqtadan o’tuvchi parabola tenglamasidir.

Misol. [3,5; 3,7] oraliqda qadam bilan funktsiya jadval usulida berilgan Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi yordamida analitik ko’rinishga keltiring.

	3,50	3,55	3,60	3,65	3,70
	33,115	34,813	36,598	38,475	40,447

Qulaylik uchun chekli ayirmalar jadvalini keltiramiz.

xi
=3,5	=33,115
		=1,698
=3,55	=34,813		=0,087
		=1.785		=0,005
=3,6	=36,598		=0,092		= -0,002
		=1,877		=0,003
=3,65	=38,475		=0,095
		=1,972
=3,7	=40,447

Jadvalga va (4) ga asosan

kelib chiqadi.

Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi.
Funktsiyaning ma’lum qiymatlariga ko’ra uning analitik ifodasini topish masalasi, geometrik nuqtai nazardan, nuqtalar berilganda, bu nuqtalar orqali o’tuvchi egri chiziqni topishni bildiradi (6-chizma).

Berilgan nuqtalardan cheksiz ko’p egri chiziqlar o’tkazish mumkinligi o’quvchiga ravshan bo’lishi kerak. Shunday qilib, funktsiyaning qiymatlariga ko’ra, uning analitik ifodasini topish masalasi juda ko’p yechimlarga egadir, yani bunday funktsiyalarni cheksiz ko’p tuzish mumkin.

Berilgan nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi istalgan funktsiyani bilan belgilaymiz. Yuqorida aytib o’tilganidek, funktsiya istalgancha ko’p bo’lishi mumkin.

Faraz qilaylik, funktsiya ixtiyoriy bo’lmay, bazi shartlarni qanoatlantirish kerak bo’lsin, unda bu funktsiyani topish anchagina aniq masalaga aylanib qoladi. Ko’pincha funktsiya darajasi izlanayotgan funktsiyaning berilgan qiymatlari sonidan bitta kam bo’lgan ko’phad bo’lishi talab qilinadi.

Shunday qilib, biz quyidagi ko’rinishdagi masalaga keldik. ning va qiymatlari uchun shunday ko’phadni topish kerakki, bu ko’phad n-chi darajali bo’lsin va shartlarni qanoatlantirsin:

(1)

Boshqacha qilib aytganda, bu erda, berilgan nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi ko’phadni topish masalasi qo’yilgan.