Vinkelmåling med sekstant
I dette lille projekt skal vi se på princippet i hvordan man
måler vinkler med en sekstant, og du skal forklare hvorfor det
virker! Hvis du er i besiddelse af en sekstant, eventuelt bare
en billig plastikmodel, samt et lille vaterpas, så kan du slutte
af med at anvende sekstanten til at bestemme højden af en
mast, regnet i meter. Første del af projektet kan løses ved at
regne på vinkler i diverse trekanter og det sidste involverer
brugen af trigonometriske funktioner, passende til 1g niveau.
Lidt historie
Et skibs position på havet kan bestemmes ved brug af en sekstant, et nøjagtigt ur, en
nautisk almanak og et søkort. Det vil føre for vidt her at komme nærmere ind på hvor-
dan, da proceduren faktisk ikke er helt enkel. Sekstantens opgave er at måle et himmel-
legemes højde, dvs. den vinkelbue, som himmellegemets midtpunkt ligger over kimin-
gen. Kimingen er den linje, som i rum sø begrænser vor udsigt på jorden – den linje,
som vi i daglig omtale kalder horisonten. Sekstanten er med andre ord et vinkelmålings-
instrument. Man kan hævde, at sekstanten er et instrument, som er blevet udviklet til
perfektion. Igennem århundreder blev der udviklet mekaniske instrumenter til vinkelmå-
ling på havet. Blandt de første instrumenter i den henseende er kvadranten og astro-
labiet. Siden fulgte instrumenter som Jacobsstaven (Cross-staff), Davis-kvadranten
(Backstaff) og oktanten. Oktanten med dens påmonterede spejle kom til i begyndelsen
af 1730’erne og i 1757 foreslog kaptajn John Campbell at instrumentmageren John Bird
skulle udvide oktantens bue fra 1/8 af en cirkel til en 1/6 af en cirkel. Dengang kunne
sekstanter måle med en nøjagtighed på 1 bueminut. De bedste af nutidens sekstanter ga-
ranterer en præcision på helt ned til
9′′
(9 buesekunder), hvilket svarer til 0,0025
°,
eftersom der går 60 bueminutter på en grad og 60 buesekunder på et bueminut. Hvis
man har vinklen med så stor nøjagtighed og man regner med at ens ur er meget nøj-
agtigt, så vil man i praksis være i stand til at bestemme skibets position indenfor 1 sø-
mils nøjagtighed.
Opbygning og brug af sekstant
På figur 1 på næste side kan du se et billede af en typisk sekstant med betegnelser for de
enkelte bestanddele. Sekstanten har to spejle: For det første er der Alhidade-spejlet, der
sidder fast på den bevægelige arm kaldet alhidaden. Det andet spejl er horisont-spejlet,
der er ubevægeligt og hvis ene halvdel er et gennemsigtigt vindue. På cirkelbuen, kaldet
limben er der en gradinddeling, hvor 1 ”limbe-grad” svarer til en buevinkel, som i virke-
ligheden kun er
1
2
grad. Nulpunktet for inddelingen er sat så det svarer til, at alhidade-
spejlet står parallelt med horisont-spejlet. I opgaven nedenfor skal du gøre rede for,
hvorfor denne inddeling er fornuftig, når instrumentet skal benyttes til at bestemme høj-
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
2
den af et himmellegeme eller objekt. Men hvordan benyttes instrumentet da? Jo, man
kigger igennem kikkerten, så kimingen ses igennem den gennemsigtige del af horisont-
spejlet. Herefter benytter man fingergrebet til at dreje alhidaden hen i en position, som
betyder, at objektet kan ses i kikkerten. Det der sker er, at lyset fra objektet – objektstrå-
len – reflekterer i alhidade-spejlet og siden i den spejlbelagte halvdel af horisont-spejlet,
hvorfra den rammer ind i kikkerten, så navigatøren kan se kimingsstrålen og objektstrå-
len samtidigt. Endelig finindstiller man ved at dreje på det riflede hoved, så objektet står
i niveau med kimingen. Vinklen mellem objektstrålen og kimingsstrålen kan nu aflæses
på limben og korrigeres denne værdi for forskellige forhold, herunder lysets afbøjning i
atmosfæren, fås objektets højde. Blændglassene bruges til at beskytte øjnene, hvis lyset
er for stærkt. De kan skydes foran spejlene.
Figur 1
1.
2.
3.
Håndtag
Limben
Alhidaden
4.
5.
6.
Fingergreb
Riflet hoved
Tromle
7.
8.
9.
Alhidadespejl
Horisontspejl
Kikkert
10.
11.
12.
Blændglas
Blændglas
Objekstrålen
13. Kimingstrålen
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
3
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
4
Opgaver vedrørende sekstantens virkemåde
Betragt figur 2 og 3 på forrige side. Jeg har med vilje undladt at tegne limben ind, da det
nemt vil føre til forvirring at medtage denne i sine argumenter. Det er en fordel kun at se
på den vinkel, som det bevægelige alhidade-spejl drejes. Eftersom alhidade-spejlet sid-
der fast på alhidaden vil den vinkel, som alhidade-spejlet drejes nemlig være lig med
den vinkel, som overstryges på limben, regnet i ”rigtige grader”. Kig på figur 3: Vinklen
mellem objektstrålen og kimingsstrålen er åbenlyst lig med
ACB
∠
.
a) Argumenter for, hvorfor alhidade-spejlet fra figur 2 til figur 3 må være drejet en
vinkel, som er lig med
.
ADB
∠
Objektstrålens indfaldsvinkel på alhidade-spejlet betegner vi med
u og den reflekterede
objektstråles indfaldsvinkel på horisontspejlet betegner vi med
v. Husk, at indfaldsvink-
len regnes i forhold til
normalen til fladen. Normalerne er også indtegnet på figuren og
med en lille firkant er det indikeret, at de står vinkelret på spejlene.
b) Eftervis med en vinkelmåler, at
1
2
ADB
ACB
∠
= ⋅∠
på figur 3.
c) Du skal i dette spørgsmål bevise, at sammenhængen fra b) gælder uanset hvordan
alhidadespejlet står. Bestem først udtryk for vinklerne
ACB
∠
og
ved at
regne i diverse trekanter på figur 3. Udtrykkene skal indeholde størrelserne
u og v.
Brug udtrykkene til at konkludere, at
ADB
∠
1
2
ADB
ACB
∠
= ⋅∠
.
d) Styk resultaterne ovenfor sammen til konklusionen, at hvis inddelingen på limben
er foretages, så en ”limbegrad” er lig med 0,5 rigtige grader, så vil visningen på
limben angive vinklen mellem objektstrålen og kimingsstrålen. Efter diverse kor-
rektioner af denne vinkel fås herefter objektets højde.
På billedet bagest i noten kan du se, hvordan en rigtig professionel sekstant ser ud.
Opgaver vedrørende beregning af højden af en mast
Hvis du er i besiddelse af en rigtig sekstant eller bare en simpel plastik sekstant som for
eksempel en
Mark 3 sekstant fra firmaet Davis (vist på figuren på side 6), kan du bruge
den til at bestemme højden af en mast regnet i meter. Da man på landjorden ikke kan se
en brugbar horisont, er vi nødsaget til at finde
vandret på en anden måde. En oplagt
måde er simpelthen at købe et mini-vaterpas i et byggemarked. Vaterpasset kan så limes
eller sættes på sekstanten. Hvis der er tale om Mark 3 sekstanten – se figuren på side 6 –
er det nemt, da den har en vandret bøjle på bagsiden! Til forsøget skal du desuden bruge
et langt målebånd, helst på 25 meter eller mere.
Find en passende mast eller høj bygning, som du ønsker at bestemme højden af, målt i
meter. Gå nu et passende stykke væk fra masten. Afstanden
d måles med målebåndet.
Så sørger du ved hjælp af vaterpasset for, at sekstanten holdes vandret. Drej nu alhida-
den indtil du får toppen af masten midt i billedet! Skriv vinklen på limben op. Mål også
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
5
din øjenhøjde
. Ved anvendelse af passende trigonometriske funktioner beregner du
dernæst højden af masten. Lad eventuelt flere personer foretage tilsvarende målinger,
gerne med forskellige afstande
d. Hvor tæt på hinanden ligger værdierne for mastens
højde? Hvor godt tror du man kan regne med resultaterne? Eventuelt kan du lave lidt
statistik på det ....
øje
h
Figure 4
Praktiske oplysninger
Mark 3 plastik sekstanten fra firmaet
Davis
kan i Danmark købes hos firmaet
Soldata
,
som har hjemme på følgende hjemmeside:
HTU
www.soldata.dk
UTH
. Sekstanten kan også
skaffes fra følgende amerikanske side:
HTU
www.starpath.com
UTH
. Producentens egen
hjemmeside finder du på
HTU
www.davisnet.com
UTH
.
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
6
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
7
Document Outline - Vinkelmåling med sekstant
- Lidt historie
- Opbygning og brug af sekstant
- Figur 1
- 1.
- Håndtag
- 4.
- 7.
- Alhidadespejl
- 10.
- Blændglas
- Objekstrålen
- 13.
- Kimingstrålen
- Opgaver vedrørende sekstantens virkemåde
- Opgaver vedrørende beregning af højden af en mast
- Praktiske oplysninger
Dostları ilə paylaş: |