Vzpěrná pevnost



Yüklə 99,75 Kb.
tarix17.11.2018
ölçüsü99,75 Kb.

IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ

Téma: Posudek - poruchy - havárie

23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISBN XX-XX-XXXXX-X





POSUDEK SPOLEHLIVOSTI KLOUBOVÉ PRUTOVÉ KONSTRUKCE METODOU SBRA UŽITÍM PŘÍMÉ METODY MONTE CARLO A METODY IMPORTANCE SAMPLING V MKP PROSTŘEDÍ AFEM

Pavel Praks1 a Jiří Brožovský 2
Abstract

In this paper, we compare the direct Monte-Carlo simulation and the variance reduction technique based on Importance Sampling in order to estimate the probability of occurence of a rare events (failures) on a truss-girder using SBRA (Simulation-based Reliability Assessment) method. The effective computer simulations of these rare events can accelerate the reliability asessment process.


  1. Úvod

Rozvoj vědy a technologií vede k hledání nových postupů pro určení spolehlivosti konstrukcí. Nově vyvíjené metody jsou často založeny na aplikaci simulačních metod, jmenovitě metody Monte Carlo (MC). Metodou Monte Carlo rozumíme numerické řešení deterministických úloh pomocí mnohokrát opakovaných náhodných pokusů (simulací), které jsou vyhodnocovány statisticky. Plně pravděpodobnostní posudek spolehlivosti konstrukce vždy obsahuje odhad pravděpodobnosti poruchy, která je pro reálné konstrukce blízká nule [4]. Efektivita posudku konstrukce proto přímo závisí na schopnosti použité simulační techniky odhadovat pravděpodobnost (kritických) událostí, které obvykle nastávají s velmi malou pravděpodobností [3]. Cílem příspěvku je porovnat přesnost metody Monte Carlo a metody redukce rozptylu Importance Sampling (IS) v závislosti na počtu simulací [6]. Efektivitu těchto simulačních technik demonstrujeme posudkem spolehlivosti příhradového nosníku, který je zatěžován třemi skupinami náhodně proměnných sil.

Náhodnost vstupních veličin je vyjádřena useknutými neparametrickými histogramy metody SBRA [5]. Posudek spolehlivosti je proveden bez využití apriorních informací o strukturálním chování nosníku a předpokládá vzájemnou statistickou nezávislost náhodných veličin. Použitý model nosníku vychází z předpokladů lineární statiky a teorie pružnosti: deformace konstrukce jsou považovány za malé a materiál konstrukce je lineárně pružný. Chování nosníku je modelováno metodou konečných prvků (programem AFEM) a analyticky.

Cílem tohoto článku je posudek spolehlivosti příhradového nosníku užitím simulační techniky Importance Sampling, která je matematicky ekvivalentní s přímou metodou Monte Carlo. Teorie i naše numerické experimenty však ukazují vyšší rychlost konvergence metody Importance Sampling v případě odhadů událostí, které nastávají s velmi malou pravděpodobností (obvykle poruchy) [6].


  1. Zadání příkladu

Uvažujme příhradový nosník (Obrázek 1). Jedná se o staticky určitou konstrukci, tedy při poruše kteréhokoliv z prutů dochází ke kolapsu celé konstrukce. Na nosník působí tři skupiny náhodně proměnných sil (Tabulka 1), které jsou statisticky nezávislé.



Obrázek 1 Osové síly v MKP modelu nosníku (AFEM) pro maximální kombinaci zatížení.
Model předpokládá platnost všech obvyklých předpokladů lineární statiky a teorie pružnosti (deformace jsou považovány za malé, materiál konstrukce za lineárně pružný). Jde o rovinnou prutovou kloubovou konstrukci, ve styčnících prutů se tedy nepřenáší moment. Jednotlivé pruty při zatížení pouze ve styčnících (tak jako je tomu ve studovaném příkladě) přenášejí pouze osovou sílu, která je po celé délce jednotlivého prutu konstantní.

Tento fakt umožňuje provést posouzení únosnosti konstrukce jen na základě hodnot osových sil v jednotlivých prutech.

V této práci budeme analyzovat sílu na prutu č. 22 (dále jen prut). Poznamenejme, že posudek spolehlivosti nosníku byl řešen přímou metodou Monte Carlo v [4], kde autoři použili jiného číslování uzlů a prut byl označen číslem 57. Sílu S na tomto prutu lze díky výše uvedeným předpokladům vyjádřit analyticky [4] vztahem
S = 4.5*50*DLvar + 1.5*45*Slvar + 2*30*Llvar
Správnost analytického vyjádření síly na prutu jsme navíc ověřili MKP modelem v programovém balíku AFEM [1], [2]. Náš MKP model měl 14 uzlů o dvou stupních volnosti (svislé a vodorovné posunutí). Z posunutí se vypočetla síla na jednotlivých prutech.

Tab. 1 Vstupní veličiny



 

Symbol

Jednotky

Nominální hodnota

Histogram

Stálé zatížení

Dlvar

[kN]

50

Dead2

Krátkodobé zatížení

Slvar

[kN]

45

Short2

Dlouhodobé zatížení

Llvar

[kN]

30

Long1

Rozpětí nosníku




[m]

18,0

-

  1. Numerické experimenty

Cílem numerických experimentů bylo odhadnout pravděpodobnost nepřekročení kritické hodnoty síly S na prutu. Za kritickou jsme považovali hodnotu síly 252.1, 290 a 300 [kN], viz [4]. Úlohu jsme řešili přímou metodu Monte Carlo pro N= 50 000 a N= 100 000 simulací a metodou IS pro N= 250, N= 500, N= 1 000, N= 2 000, N= 5 000 a N= 50 000 simulací. Všechny simulace byly prováděny bez užití apriorní informace o problému. Náhodný výběr metody IS byl prováděn podle distribuční funkce rovnoměrného rozdělení, která zajišťuje rovnoměrné prohledávání celé domény náhodných parametrů [6].

Tab. 2 Pravděpodobnosti nepřekročení síly na prutu
(metoda Importance Sampling)


N=250

 

 

 

 

 

Síla [kN]

Pokus1

Pokus2

Pokus3

Průměr

Směr.odch.

252.1

0.939625

0.619906

0.695830982

0.751787

167.043E-3

290

0.981162

0.945714

0.968831407

0.965236

17.995E-3

300

0.998092

0.986441

0.988408892

0.990981

6.237E-3

N=500

 

 

 

 

 

Síla [kN]

Pokus1

Pokus2

Pokus3

Průměr

Směr.odch.

252.1

0.923337

0.573767

0.829478149

0.775527

180.922E-3

290

0.990333

0.899191

0.98447187

0.957999

51.013E-3

300

0.992735

0.983819

0.994149203

0.990234

5.601E-3

N=1 000

 

 

 

 

 

Síla [kN]

Pokus1

Pokus2

Pokus3

Průměr

Směr.odch.

252.1

0.953108

0.824038

0.695805289

0.824317

128.651E-3

290

0.99381

0.97335

0.979306044

0.982155

10.524E-3

300

0.998497

0.991008

0.987908434

0.992471

5.444E-3

N=2 000

 

 

 

 

 

Síla [kN]

Pokus1

Pokus2

Pokus3

Průměr

Směr.odch.

252.1

0.653307

0.847093

0.869224199

0.789875

118.788E-3

290

0.973385

0.982053

0.984207262

0.979882

5.728E-3

300

0.989096

0.991323

0.99497152

0.991797

2.966E-3

N=5 000

 

 

 

 

 

Síla [kN]

Pokus1

Pokus2

Pokus3

Průměr

Směr.odch.

252.1

0.952665

0.879865

0.881953047

0.904828

41.441E-3

290

0.994196

0.984049

0.984173654

0.987473

5.823E-3

300

0.99755

0.992938

0.993935339

0.994808

2.427E-3

N=50 000

 

 

 

 

 

Síla [kN]

Pokus1

Pokus2

Pokus3

Průměr

Směr.odch.

252.1

0.905597

0.885069

0.88065024

0.890439

13.312E-3

290

0.989118

0.989511

0.988406504

0.989012

559.938E-6

300

0.995567

0.995379

0.995110602

0.995352

229.376E-6

Simulační výpočty jsou pro stejný počet simulací vždy třikrát opakovány. Výsledné tři hodnoty určující odhad pravděpodobnosti nepřekročení kritické hodnoty pro daný počet simulací jsou průměrovány. Pro získání představy o chybě (rozptylu) odhadu je dále vypočtena směrodatná odchylka.


Tab. 3 Pravděpodobnosti nepřekročení síly na prutu
(přímá metoda Monte Carlo)


N=50 000

 

 

 

 

 

Síla [kN]

Pokus1

Pokus2

Pokus3

Průměr

Směr.odch.

252.1

0.8953

0.89702

0.89778

0.8967

1.271E-3

290

0.98876

0.98974

0.98856

0.98902

631.506E-6

300

0.99466

0.99582

0.99526

0.995247

580.115E-6

N=100 000

 

 

 

 

 

Síla [kN]

Pokus1

Pokus2

Pokus3

Průměr

Směr.odch.

252.1

0.89626

0.89579

0.89844

0.89683

1.414E-3

290

0.98917

0.98846

0.98869

0.988773

362.261E-6

300

0.99542

0.99495

0.99521

0.995193

235.443E-6



    Závěr

Z Tab. 3 plyne efektivita metody IS pro odhad pravděpodobnosti překročení hodnoty S= 300 N na prutu. Jedná se o událost, která nastává s malou pravděpodobností. Metodou IS dostáváme průměrný odhad 0.990981 s přesností na dvě desetinná místa již pro N= 250 simulací (verifikováno přímou metodou MC pro N=100 000 simulací, kde průměrný odhad činí 0.995193).

Cílem další společné práce je propojit programový balík AFEM se simulačním programem a řešit pravděpodobnostní posudky nelineárních úloh metodou konečných prvků.



Literatura

  1. BROŽOVSKÝ J.: Program AFEM pro analýzu konstrukcí metodou konečných prvků, In Modelování v mechanice 2003, Katedra stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava, 2003, 26-34, ISBN 80-248-0253-8

  2. BROŽOVSKÝ J.: Internetová stránka programu AFEM, http://www.penguin.cz/~jirka/afem/

  3. DOSTÁL, Z., PRAKS, P.: Numerické aspekty aplikace SBRA na systémy, In Sborník spolehlivosti konstrukcí. Ed. Pavel Marek, Dům techniky Ostrava, 2001, 39-42, ISBN 80-02-01410-3

  4. MAREK, P., BROZETTI, J., GUŠTAR, M. (Editors): Probabilistic Assesment of Structures using Monte Carlo Simulation, ÚTAM AV ČR, Praha, 2001.

  5. MAREK, P., GUŠTAR, M., ANAGNOS, T.: Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press, Inc., Boca Raton, Florida, 1995.

  6. PRAKS P.: Numerical Aspects of Simulation Based Reliability Assessment of Systems, In International Colloquium Euro-SiBRAM’2002. Volume II. Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic, Prague, Praha 24.-26. 6. 2002, ISBN 80-86246-17-5

1 Pavel Praks, Ing., Kat. matem. a dekript. geometrie, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Kat. aplik. matematiky, VŠB – Technická univerzita Ostrava, 17. listopadu 15, 708 00 Ostrava - Poruba,

tel.: (+420) 59 732 4457, e-mail: pavel.praks@vsb.cz,



2 Jiří Brožovský, Ing., VŠB – Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, 708 00 Ostrava - Poruba, tel.: (+420) 597 321 321, e-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz


Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə