Xosmas integrallar. Integrallash sohasi chegaralanmagan xosmas integral. Chegaralanmagan funksiya xosmas integralining xossalari

3-ta’rif. Agar da (r) funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa, bu limit f(x) funksiyaning oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi va u kabi belgilanadi. Demak,(2)
4-ta’rif. Agar da (r) funksiyaning limiti mavjud bo‘lib, u chekli bo‘lsa, (2) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi, f(x) esa cheksiz oraliqda integrallanuvchi funksiya deb ataladi. Agar da (r) ning limiti cheksiz bo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa, (2) integral uzoqlashuvchi deyiladi. 3-misol. ni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi, chunki da funksiya limitga ega emas.
4-misol. ni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Demak, integral yaqinlashuvchi va. Aytaylik, f(x) funksiya (-;+) da uzluksiz bo‘lsin. U holda biror c(-;+) uchun va integrallar yig‘indisi bu funksiyaning ikkala integrallash chegaralari ham cheksiz bo‘lgan xosmas integrali deyiladi va quyidagicha yoziladi: .
Demak,=+va ta’rif bo‘yicha = + (3) deb qabul qilamiz.
Agar (3) dagi ikkala limit ham mavjud va chekli bo‘lsa, integral yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi. 5-misol. integralni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. (3) formulada c=0 deb olamiz. U holda Geometrik nuqtai nazardan yaqinlashuvchi (x)dx xosmas integral y=f(x)0 egri chiziq, x=a, y=0 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan va Ox o‘qi yo‘nalishida cheksiz cho‘zilgan figuraning chekli S yuzaga ega ekanligini anglatadi (7-rasm). Shunga o‘xshash, va yaqinlashuvchi xosmas integrallarga ham geometrik talqin berish mumkin. 7 -rasm
1⁰. Agar f(x) funksiyaning [a;b) dagi xosmas integrali yaqinlashuvchi bo‘lsa, bu funksiyaning [c;b), (a) oraliq bo‘yicha integrali ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bunda (x)dx = (x)dx + (x)dx tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2⁰. Agar (x)dx va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy ,  sonlar chun
integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib, = tenglik o‘rinli bo‘ladi.
3⁰. Agar (x)dx integral yaqinlashuvchi bo‘lib, [a;b) da f(x) 0bo‘lsa, u holda
(x)dx0 bo‘ladi. 4⁰.
Agar (x)dx va (x)dx integrallar yaqinlashuvchi bo‘lib, [a;b) da f(x)  (x) bo‘lsa, u holda (x)dx  (x)dx
bo‘ladi. 5⁰. f(x) va (x) funksiyalar [a;b) da uzluksiz bo‘lib, b esa ularning maxsus nuqtasi va 0  f(x)(x), x[a;b) bo‘lsin. U holda
a) (x)dx yaqinlashuvchi bo‘lsa, (x)dx ham yaqinlashuvchi bo‘ladi;
b) (x)dx uzoqlashuvchi bo‘lsa, (x)dx ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Misol tariqasida 3⁰ xossaning isbotini keltiramiz. Qolgan xossalar bevosita xosmas integral va uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan kelib chiqadi.
3⁰ xossaning isboti. Aniq integralning xossalariga asosan f(x)0 bo‘lsa, ixtiyoriy t[a;b) uchun (x)dx  0 bo‘ladi. Bundan
(x)dx = (x)dx  0 ekanligi kelib chiqadi.