01 develerleesekler pdf



Yüklə 22,12 Kb.
tarix25.06.2018
ölçüsü22,12 Kb.
#51717


Bir Tavla Sorusu

83

B



ir tavla maç› 5’te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu

tavla maç›n› kazan›r. Kimi tavlac›lar maç›n 5-4 bitmesi-

ne raz› olmazlar, aradaki fark›n en az 2 olmas›n› isterler,

6-4, 7-5, 8-6 gibi... Maç›n skorunda en az iki fark olmas› kimin

ifline gelir? Zay›f oyuncunun mu yoksa güçlü oyuncunun mu?

‹lginç bir soru. En az›ndan ben ilginç buldum.

fiöyle bir ak›l yürütme yapabiliriz. Aradaki fark›n en az 2

de¤il  de  en  az  100  olmas›n›  istedi¤imizi  düflünelim.  Elbette  o

zaman güçlü oyuncunun kazanma flans› artacakt›r. Dolay›s›yla

aradaki fark›n en az 2 olmas› kural› güçlü oyuncunun maç› ka-

zanma olas›l›¤›n› art›racakt›r.

Bu flimdilik yaln›zca bir tahmin. Bakal›m matematiksel he-

saplar ne sonuç verecek?

Tavlac›lar›m›za A ve B diyelim. A, B’den daha iyi bir tavla-

c› olsun, örne¤in A’n›n bir oyunu kazanma olas›l›¤› 2/3 olsun.

Beraberlik olamayaca¤›ndan,

1

B’nin bir oyunu kazanma olas›-



l›¤› da 1/3 elbette.

1

Do¤rusunu söylemek gerekirse, her tavla oyununun sonlu bir zaman içinde yüzde



yüz olas›l›kla bitece¤inin kan›t›n› bilmiyorum. San›r›m biter. Bu yaz›da, her tavla

oyununun sonlu bir zaman içinde yüzde yüz olas›l›kla bitece¤ini varsayal›m.




Soruyu biraz basitlefltirelim: Mars olmad›¤›n› varsayal›m.

Birinci Soru: Beflte biten bir tavla maç›n› A’n›n (iyi oyuncu-

nun) kazanma olas›l›¤› kaçt›r?

2

‹kinci Soru: “En az iki puan fark” kural›yla oynanan tavla

maç›n› A’n›n kazanma olas›l›¤› kaçt›r?

3

Birinci Sorunun Yan›t›. Oyunun alaca¤› durumu afla¤›daki

›zgarada gösterebiliriz.

Sol alt köfleden, yani (0, 0) noktas›ndan bafllayarak, A’n›n

kazand›¤› her oyun için bir sa¤a, B’nin kazand›¤› her oyun için

bir  yukar›  gidelim.  Sa¤daki  (dikey)  kal›n  çizgiye  eriflildi¤inde

maç› A kazan›r, yukardaki (yatay) çizgiye eriflildi¤inde maç› B

kazan›r. Sa¤a bir ad›m gitme olas›l›¤›m›z 2/3, yukar› bir ad›m

ç›kma olas›l›¤›m›zsa 1/3’tür. Sa¤daki yatay çizgiye ulaflma ola-

s›l›¤›n› hesaplayaca¤›z.

Maç bir türlü 5-0 bitebilir: Her oyunu A’n›n kazanmas› ge-

rekmektedir, yani hep (tam 5 kez) sa¤a gitmeliyiz. Dolay›s›yla

maç›n 5-0 bitme olas›l›¤› (2/3)

5

dir.


84

B

A



2

Mars olmad›¤›n› varsayal›m, yani kazanan hep 1 puan als›n, kaybeden de 0

puan.

3

“En az iki puan fark” kural›yla oynanan tavla maç› ilk bak›flta sonsuza dek



uzayabilirmifl gibi görünse de siz görünüfle aldanmay›n. Bu kuralla oynanan bir

tavla maç›n›n sonsuza dek uzama olas›l›¤› s›f›rd›r. 




Maç kaç türlü 5-1 bitebilir? B’nin bir tek oyun kazanmas›

gerekiyor. B, befl ayr› zamanda oyun kazanabilir. Yani, yukar-

daki flekilde 1 ad›m yukar›, 5 ad›m sa¤a gitmeliyiz, yukar› at›-

lacak ad›m› befl ayr› zamanda yapabiliriz. (Son ad›m sa¤a ya-

p›lmal›.) Bir baflka deyiflle, (0, 0) noktas›ndan (5, 1) noktas›na

5 de¤iflik biçimde gidebiliriz. Dolay›s›yla maç›n 5-1 bitme ola-

s›l›¤› 5 u (1/3) u (2/3)

5

tir.



Maç        türlü 5-2 skoruyla bitebilir. Neden? Çünkü en son 

oyunu A kazanmal› ve bu en son oyunu saymazsak, oynanan

5+2, yani yedi oyunun ilk alt›s›ndan ikisini B kazanmal›. Dola-

y›s›yla maç›n 5-2 bitme olas›l›¤›

dir.

Maç,        türlü 5-3 bitebilir, çünkü oynanan 5+3, yani se



kiz oyunun ilk yedisinde B üç oyun kazanmal›. Dolay›s›yla ma-

ç›n 5-3 bitme olas›l›¤›

dir.

Bunun gibi maç›n 5-4 bitme olas›l›¤›,



dir.

fiimdi art›k maç› A’n›n kazanma olas›l›¤›n› hesaplayabiliriz.

Bu befl say›y› toplayal›m:

85



‹kinci Sorunun Yan›t›. Maç›n 5-0, 5-1, 5-2 ve 5-3 skoruyla

bitme olas›l›klar›n› yukarda hesaplam›flt›k. fiimdi, maç›n, t 4

için, (n+2)-sonucuyla A’n›n lehine bitme olas›l›¤›n› hesapla-

yal›m. Toplam 2+ 2 oyun oynan›yor ve son iki oyunu A ka-

zan›yor. Geri kalan 2oyunun tanesini B kazanmal›.

Örne¤in e¤er maç 6-4 bitmiflse, son iki oyunu A kazanm›fl

olmal›. Yani maç ancak 4-4 olduktan sonra 6-4 bitebilir. Maç,

de¤iflik biçimde 4-4 skoruna ulaflabilir.

Dolay›s›yla maç›n 6-4 bitme olas›l›¤› 

d›r.


Maç›n 7-5 bitme olas›l›¤›n› hesaplayal›m. Maç›n 7-5 bitebil-

mesi için son iki oyunu A almal›, yani skor bir ara 5-5 olmal›.

Skorun 5-5 olabilmesi için de skorun daha önce 4-4 olmas› ge-

rekir. Skor 4-4 olduktan sonra, 5-5 skoruna iki de¤iflik biçimde

ulafl›l›r: Ya ilk oyunu A, ikinci oyunu B kazan›r ya da ilk oyunu

B ikinci oyunu A kazan›r. Yani maç›n 7-5 bitme olas›l›¤›, 

86



d›r.

Genel  olarak  maç›n  (n+2)-skoruyla  bitme  olas›l›¤›n›  he-

saplayal›m. Maç›n bu skorla bitmesi için, son iki oyunu A al-

m›fl olmal›, yani skor bir ara n-olmufl olmal›. Ama skor daha

önce de (1)-(1) olmufl olmal›... Hatta oyun ilk önce 4-4 ol-

mufl olmal›. Bir eflitlikten bir sonraki eflitli¤e 2 de¤iflik biçimde

ulafl›l›r. Yani 4-4’ten n-skoruna 2

4

de¤iflik biçimde ulafl›l›r.

Demek ki maç›n (n+2)-skoruyla bitme olas›l›¤›,

d›r.


Bu  say›lar›  toplarsak,  maç›  A’n›n  kazanma  olas›l›¤›n›  bul-

mufl oluruz. Toplayal›m.

say›s›yla,

say›s›n› toplayaca¤›z.

‹kinci sonsuz toplam› toplayal›m:

87



Birinci  toplam›n  0,7413504039...  oldu¤u  kolayl›kla  bulu-

nur. Demek ki olas›l›k

0,7413504039... + 0,136564548... = 0,87791495....

dir.  Demek  ki  “aradaki  fark›n  en  az  2  olma”  kural›,  güçlü

oyuncunun  kazanma  flans›n›  yüzde  iki  kadar  art›r›yor.  Pek  o

kadar fazla de¤il, ilk tahminimden daha az.



88

Yüklə 22,12 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə