2003-ii-duzletilmis

---

A

postolos Doxiadis’in Petros Amca ve Gold-

bach  San›s› adl›  roman›

1

matematik  etra-

f›nda dönüyor. Bafllang›çta parlak bir ma-

tematikçi olan, anlat›c›n›n amcas› Petros Papahris-

tou’nun Goldbach problemine musallat olmas›n›n

ve yaflam› boyunca bu problemi çözemeyip kendi-

siyle girdi¤i iddiay› kaybediflinin öyküsü. 

Hardy,  Littlewood,  Ramanujan,  Gödel,  Tu-

ring, Carathéodory ve ad› verilmeden Avusturyal›

Rademacher gibi birçok tan›nm›fl matematikçi ka-

rakter olarak serbestçe kullan›lm›fl. Ço¤u matema-

tikçinin kafas›nda bu kiflilere iliflkin imgeler zaten

vard›r, ama kitapta yüzeysel olarak serpifltirilen bu

karakterler matematikçi olmayanlara ne ifade eder

bilemiyorum.

Hemen  her  seferinde,  haks›zca,  desteksizce,

yüzeysel bir biçimde ve hatta aras›ra galizce mate-

matikçiler  olumsuz  karakterler  olarak  çiziliyor.

Örne¤in  intihara  e¤ilimli  olmalar›,  bir  probleme

saplan›p kalmalar›, “vasat matematikçi” olup “yü-

rüyen trajedi” haline gelmeleri vb.

Kitaptaki  karakterlerin  ruhsal  durumlar›n›

matematiksel  problemler  derinden  etkiler,  ancak

adlar›n›n uyand›rabilece¤i gizem d›fl›nda bu prob-

lemlerin en küçük bir aç›klamas› yok! Nitekim Pet-

ros Amca’n›n tutkusu matematikten ziyade flan ve

flöhrete yönelik: fiu genç adama bir bak, hani be-

nim − hâlâ bana ait diye düflünüyorum − do¤al sa-

y›lar›n partisyonlar› teoremini benden önce yay›m-

layan Avusturyal› vard› ya, elde etti¤i sonuçla aca-

ba bir Hilbert’in, bir Poincaré’nin payesine yüksel-

di  mi?  Tabii  ki  hay›r!  Belki  Matematik  Saray›n›n

arka odalar›ndan birinde portresine bir yer edine-

bildi... Veyahut Hardy ve Littlewood’u düflün, iki-

si de birinci s›n›f matematikçiler. Herhalde Ünlüler

Galerisine  − çok  genifl  bir  Ünlüler  Galerisidir  bu,

dikkatini  çekerim  − ç›kabildiler,  ama  heykellerini

Saray›n ulu giriflinde Evklides, Arkhimedes, New-

ton,  Euler,  Gauss’un  heykellerinin  yan›na  diktir-

meyi baflaramad›lar. Benim tek emelim buydu, ve

asal say›lar›n iyice derinlerdeki gizemlerini çözmek

anlam›na gelen Goldbach Kestirimi’nin ispat›ndan

daha az› bana bu yolu açamazd›

2

... (s. 93)

Peki  kim  bu  Doxiadis

de böyle bir roman kaleme

alm›fl?  Biliflim  a¤›ndaki  si-

tesinde  yazd›¤›na  göre

1953’te  do¤mufl.  On  befl

yafl›nda New York’taki Co-

lumbia 

Üniversitesi’nin

Matematik  Bölümü’ne  öz-

gün bir makale sunarak girmifl, Paris’te lisansüstü

düzeyde  uygulamal›  matematik  çal›flm›fl  (tamam-

lay›p tamamlamad›¤› belli de¤il.) Sonradan kendi-

ni  tiyatro,  film  ve  edebiyata  vermifl,  uluslararas›

ödüller alm›fl. 

Burada saptamadan geçemeyece¤imiz bir olgu,

hem Petros Amca’n›n hem de Doxiadis’in dâhi ço-

cuk olarak vas›fland›r›l›p umut vaadeden matema-

tikçiler  olarak  yetifltirilmiflken,  ihtirastan  dolay›

Petros Amca’n›n çözemeyece¤i bir probleme sapla-

n›p mesleki geliflimine ve gönül maceralar›na s›rt›-

n›  dönüp  içine  kapanmas›,  Doxiadis’in  ise  mate-

mati¤i b›rakmas›d›r. 

Doxiadis’in  yans›t›fl›ndan  ç›kar›labilece¤inin

aksine,  matematikçilerin  ço¤u  bunal›m  içinde  de-

¤ildir.  En  ünlülerden  örnek  vermek  gerekirse,

Pythagoras,  Euler,  Gauss,  Hilbert,  Hadamard  ve

daha birçok matematikçi uzun, verimli ve sa¤l›kl›

yaflam›fllard›r.  Herhangi  bir  u¤raflta  ilerleme  kay-

detmek için tutkunun vazgeçilmez oldu¤u kesindir.

Kitab›n, matematik tutkusunun genellikle hastal›k-

l› oldu¤u izlenimini vermeye yönelik olmas› herhal-

de yazar›n travmalar›ndan kaynaklan›yor.

Doxiadis’in yanl›fl fikirleri, üstelik birçok kifli-

72

Matematik Dünyas›, 2003 Yaz

“Petros Amca ve Goldbach San›s›” ve

Düflündürdükleri

Cem Yalç›n Y›ld›r›m* / [e-mail]

* Virgül dergisinin Mart 2001 say›s›nda yay›mlanan yaz›n›n

asl›na yak›n bir uyarlamas›d›r.

Bo¤aziçi Üniversitesi Matematik Bölümü ö¤retim üyesi.

1 Yunanca: “O Theios Petros kai i Eikasia tou Goldbach”, 1992,

Kastioniotis. ‹ngilizce: “Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture”,

Faber and Faber, 2000. Türkçe: Everest Yay›nlar›, 2000, çeviren

Devrim Denizci.

2 Bu ve afla¤›daki al›nt›larda Türkçe çeviriden yararland›m. Ba-

z› paragraflar›n ‹ngilizcesi de elimdeydi, onlar›n çevirisinde de-

¤ifliklikler yapmay› uygun gördüm.

Apostolos Doxiadis

---

nin kolayca inanabilece¤i türden olanlar› bunlarla

bitmiyor: Bildi¤iniz gibi, matematik bir genç oyu-

nudur.  Mükemmelli¤e  ulaflmak  için  genç  olmay›

flart koflan birkaç kiflinin u¤rafl›ndan biridir... (Bu

aç›dan  spora  çok  benzer.)  Matematik  tarihinde

otuz befl k›rk yafl›n üzerinde büyük bulufllara imza

atanlar›n say›s› çok azd›r. Riemann otuz dokuz ya-

fl›nda  öldü,  Niels  Henrik  yirmi  yedisinde,  Galois

ise ne yaz›k ki yirmisinde; yine de isimleri matema-

tik tarihinin sayfalar›na alt›n harflerle yaz›ld›... Eu-

ler  ve  Gauss  da  teoremlerini  ileri  yafllarda  ortaya

koymakla  birlikte  temel  bulufllar›n›  gençlik  y›lla-

r›nda  yapm›fllard›.  Yirmi  dört  yafl›ndaki  Petros,

baflka  bir  alanda  çal›flsayd›  umut  verici  bir  genç

olabilirdi... Ama matematikte ancak yeni yeni gü-

cünün doruklar›ndayd›... On y›l içinde baflarama-

d›¤›  takdirde  gerçek  bir  Büyük  Bulufl  için  ihtiyaç

duyulan icat yetene¤inin parlakl›¤› ve giriflimci ru-

hun  coflkusu,  tamamen  yok  olmasa  da,  sönmeye

bafllayacakt›...  (s.  64-65;  Niels  Henrik’in  soyad›

unutulmufl, Abel olacak!)

Bu  örnekler  asl›nda  öne  sürülen  sav›  baltal›-

yor! Galois yirmisinde düelloda öldü¤üne göre ile-

ri  yafllarda  matematik  yapamamaya  örnek  teflkil

edemez. Euler ve Gauss’un ise ileri yafllarda mate-

matiksel  sonuçlar  ç›karmay›  sürdürdükleri  zaten

belirtiliyor. Hem matematik art›k o denli ilerlemifl

ki, oluflmufl bilgi birikimini yirmi yafl›na dek ö¤re-

nip üstüne yeni geliflmeler yaratmak mucize say›l-

mal›. Yüzelli y›l önce durum böyle de¤ildi. Üstelik,

matematiksel bilgi üretiminde olgunlu¤un getirile-

ri öteden beri bilinir.

Konuda  uzman  olmayan  okurlar›  aldatabile-

cek  bir  nokta  da  flu:  Petros,  Riemann  Hipotezi’ni

küçümser (s. 66), onun için önemli olan Goldbach

Kestirimi’dir.  Hele  hele  Hardy  ve  Littlewood’un

Riemann  Hipotezi’ni  varsayarak  ispatlad›klar›  te-

oremlere Petros’un itibar etmesi nas›l beklenebilir?

(s. 71). ‹flin asl› flu: Riemann Hipotezi’ne dayanan

ve matemati¤in gelifliminde dönüm noktas› olan te-

oremler  vard›r.  Riemann  Hipotezi,  ortaya  at›ld›-

¤›ndan beri geçen yüz k›rk y›l boyunca birçok so-

nuçla desteklenmesine karfl›n ispatlanamam›fl mer-

kezi konumda bir önermedir. ‹nsanlar›n öngörüle-

rini art›rmak için ille de bu hipotezin ispat›n› bek-

lemeleri mi gerekir? Üstelik bu hipotezi do¤ru var-

say›nca ç›kan sonuçlar› irdelemek de pekâlâ sayg›n

bir u¤raflt›r. Asal say›lara iliflkin gizemler aras›nda

Goldbach  Kestirimi’nin  Riemann  Hipotezi’nden

daha derinde oldu¤u matematikçiler aras›nda yay-

g›n  bir  kan›d›r.    Riemann  Hipotezi’nin  asallar›n

da¤›l›m›na  iliflkin  gerektirmelerini  umursamadan

Goldbach Kestirimi’ni ispatlamaya u¤raflmak ger-

çekçi de¤ildir. Yukar›daki ilk al›nt›da ima edilenin

tersine  Riemann  Hipotezini  ispatlayabilenin  hey-

keli Saray›n ulu giriflinde yer alacakt›r.

Birkaç ufak hataya da (baz›lar› çeviri esnas›n-

da ortaya ç›km›fl olabilir) çabucak de¤ineyim. Hil-

bert’in en önemli diye ilan etti¤i problemlerin say›-

s› otuz üç de¤il yirmi üçtür (s. 130); Pythagoras te-

oremindeki  eflitlik  x

2

+  y

2

=  z

2

biçimindedir  (s.

161); Gauss’un ve ondan sonra gelenlerin asal say›

teoremine varmak yolunda do¤ru bir ad›m atama-

d›klar›  (s.  69)  ve  herhangi  bir  zaman  diliminde

dünyan›n  tek  say›  kuramc›s›  olarak  Hadamard’›n

kabul edildi¤i (s. 72) düpedüz yanl›flt›r. fiaka yollu

sözü geçen (s. 35) Nobel matematik ödülü diye bir-

fley  yoktur.  Bir  de  eklemeliyim  ki  Dört  Renk  Te-

oremi  ve  Fermat’n›n  Son  Teoremi  kitab›n  dedi¤i-

nin  (s.  130)  aksine  ispata  kavuflmufl  durumdad›r-

lar.  Kitapta  Fermat’n›n  Son  Teoremi’nin  1993’te

ispatland›¤› her nedense ancak 161. sayfada yaza-

r›n  dipnotunda  verilmifl.  Dört  Renk  Teoremi  (bir

haritada  ülkeler  − flekilleri  nas›l  olursa  olsun  −

komflu ülkeler farkl› renkler olmas› kofluluyla dört

renge  boyanabilir  önermesi;  komfludan  kastedilen

bir  e¤ri  boyunca  komfluluktur,  bir  veya  birkaç

noktada birbirine de¤en ülkeler komflu say›lm›yor-

lar) 1976’da Appel ve Haken taraf›ndan bilgisayar

marifetiyle  ispatlanm›flt›r.  Bilgisayar  kullan›lmas›-

n›n  nedeni  ikibin  kadar  hali  h›zl›ca  denetleyebil-

mek içindir. Bu halleri tespit edenler ve gerekli bil-

gisayar program›n› yazanlar matematikçilerdir, ya-

ni bir yapay zekâ uygulamas› söz konusu de¤ildir.

Matematikçilere iliflkin edindirdi¤i yan›lt›c›, ek-

sik, genelleyici izlenimler ve uzmanlar›n hemen tep-

ki gösterece¤i yanl›fl laflar›n d›fl›nda, diyebilece¤im,

Doxiadis zekice ve sürükleyici bir kurgu kurdu¤u.

Ayr›ca matematikçi ruhunu do¤ru verdi¤i bölümler

de yok de¤il. Örne¤in Petros Amca matematikçi ol-

may›  düflünen  ye¤enine  yaz  tatili  ödevi  olarak

Goldbach problemini verir (sorunun ad›n› ve ünü-

nü belirtmeyerek), çocuk çok u¤raflt›ktan sonra ye-

nilgiyi  kabullenir.  Y›llar  sonra,  Petros  Amca  bu

ödevi  vermekteki  amac›n›n  çocu¤un  problemi  çö-

züp çözemeyece¤ini s›namak de¤il, gerekli tutkuyu

tafl›y›p tafl›mad›¤›n› a盤a ç›karmak oldu¤unu söy-

ler: Üstün baflar› için gerekli − ama seni temin ede-

73

Matematik Dünyas›, 2003 Yaz

---

rim, yeterli olmayan − ilk önkoflul kararl›l›kla ken-

dini adamakt›r. E¤er sahip olmay› arzulad›¤›n yete-

nek  gerçekten  içinde  olsayd›,  sevgili  evlat,  gelip

benden inayet istemezdin, kendi bafl›na gidip yapar-

d›n.  Bu,  durumunu  ilk  ele  veren  alametti!..  Uzak

bir ihtimalle senin hakk›nda yan›lm›fl olsayd›m, ve

sen gerçekten yüce olmak için seçilmifl olsayd›n, bu

deneyim seni ezmezdi. Asl›nda senin tabirinle “deh-

fletengiz” de¤il, bilakis heyecan, ilham ve yaflamgü-

cü verici olabilirdi... Ama sen... Sen çözümü sora-

cak merak› bile göstermedin! (s. 127-128).

Kitap matematik dergilerinde ve bakt›¤›m baz›

biliflim a¤› sayfalar›nda genellikle olumlu karfl›lan-

m›fl. Herhalde bunun esas nedeni baflkiflileri mate-

matikçi olan romanlar›n azl›¤› dolay›s›yla bu kita-

b›n  “medyatik”likten  çok  uzak  olan  matemati¤in

gündeme  gelmesine  olan  katk›s›.  Kitab›n  ‹ngilizce

yay›nc›s› Faber & Faber, 1742’den beri çözüleme-

yen Goldbach problemini 15 Mart 2002’ye dek çö-

zene bir milyon dolar ödül verecekti. 

Velhas›lkelam  Petros  Amca  Goldbach  proble-

mine belas›n› satm›fl diyorum. Yazar›n matemati¤e

karfl› h›nc› oldu¤una inan›yorum. Ortaya koymufl

oldu¤um üzere, kitab›n yanl›fllarla dolu olmas› da

cabas›.  Okurlara  Hardy’nin  Bir  Matematikçinin

Savunmas›,  J.P.  King’in  Matematik  Sanat›,  Sinan

Sertöz’ün Matemati¤in Ayd›nl›k Dünyas› ve Cemal

Y›ld›r›m’›n Matematiksel Düflünme adl› kitaplar›n›

öneririm.

Gelelim çeviriye. Y›¤›nla dizgi hatas›n› ve basit

yanl›fl›  belirterek  burada  vakit  tüketmek  yerine,

daha  hassas  bir  konunun,  matematik  terimlerinin

Türkçeye çevirisi üzerinde dural›m. Bence ‹ngilizce

“conjecture” sözcü¤üne karfl›l›k olarak “san›” ye-

rine “kestirim” daha uygun. “San›” daha çok duy-

gularda  ve  kiflisel  anlamlar  dünyas›nda  gibi,  öte

yandan “kestirim” düflünceye ve çözümlemeye da-

yal›  tahmin  anlam›n›  veriyor.  Çevirmen  dilimizde

yerleflmifl  birçok  terimi  bilmiyor.  Örne¤in  “say›

kuram›”,  “paralelogram”,  “çeliflkisizlik  ispat›”,

“basit  analiz”,  “grup  tasviri”,  “do¤al  say›lar›n

parçalanmas›” diyor ki, bunlar›n do¤rular› s›ras›y-

la flöyle: “say›lar kuram›”, “paralelkenar”, “tutar-

l›l›k ispat›”, “analize girifl”, “grup temsilleri”, “do-

¤al  say›lar›n  partisyonu”.  Reductio  ad  absur-

dum’un  Türkçesi  var,  “olmayana  ergi”.  Hele  “e.

prof”taki e.’nin “eski”nin k›saltmas› olarak belir-

tilmesine  ne  demeli;  “e.  prof”,  “professor  emeri-

tus”un k›saltmas›d›r, “memuriyet unvan›n› sürdü-

ren  emekli  profesör”  anlam›na  gelir.  En  vahimi

“karmafl›k say›lar”a (complex numbers) iliflkin ha-

talar: ‹lk olarak 70. sayfan›n dipnotunda “karma-

fl›k say›lar” yazar taraf›ndan do¤ru tarif ediliyorsa

da,  “gerçel  say›”  ve  “sanal”  olmas›  gereken  söz-

cükler  yerine  çevirmen  “gerçek  say›”  ve  “düflsel”

kullanm›fl; sonra 102. sayfada “karmafl›k say›lar”

terimi  “asal  olmayan  say›lar”a  (composite  num-

bers) karfl›l›k geliveriyor! 106. sayfan›n dipnotun-

da çevirmen çok basamakl› say›lar› yazarken nok-

ta  ve  virgüllerin  kullan›l›fl›n›  bilmedi¤ini  gösteri-

yor. Ayr›ca 70. sayfan›n ilk paragraf›nda “sonsuz

bir hesaplama yöntemi” ve “karmafl›k say›lar düz-

lemine uygulanan son derece küçük hesaplar” gibi

hiçbir  anlam  ifade  etmeyen  ifadelerle  karfl›laflt›m.

Son  olarak  bir  de  flu  komiklikten  sözedeyim:  59.

sayfada “ihtiyar Ramanujan” deniyor, ama Rama-

nujan  32  yafl›nda  öldü  (s.  72);  ‹ngilizce’de  “old”

bazan  “dostumuz”  ya  da  “emektar”  anlam›nda

kullan›l›r.

* * *

Tarihte asal say› kavram›na ilk Eski Yunan’da

rastl›yoruz. Eski Yunan uygarl›¤›, Thales ve Pytha-

goras’›n öncülü¤ünde (M.Ö. 6. yüzy›l) matemati¤i

M›s›r  ve  Babil’den  ö¤rendi.  Çok  geçmeden  mate-

matik Yunan filozoflar›nca tart›fl›l›r oldu. Bulduk-

lar› sonuçlar›n yan›s›ra, süreklilik, hareket, sonsuz-

luk, herhangi bir uzunlu¤un seçilmifl bir birim cin-

sinden ölçülebilmesi gibi, matematiksel kavramla-

r›n içerdi¤i zorluklar›n fark›na varmaya bafllad›lar.

Böylelikle matematiksel ispat ve aksiyomatik yap›

anlay›fllar› do¤du. Bilindi¤i kadar›yla ispat›n ilk ör-

neklerini geometride Thales verdi. Sonra Pythago-

ras  (ya  da  onun  kurdu¤u  okul)  diküçgenler  için

Pythagoras Teoremi’ni ve bu teoremden yola ç›ka-

rak  dikkenarlar›  birim  olan  diküçgenin  hipotenü-

sünün  uzunlu¤u  olan  √2’nin  irrasyonelli¤ini  (yani

iki  tamsay›n›n  oran›  olarak  ifade  edilemedi¤ini)

gösterdi. 

O  zamandan  beri  matematiksel  ispat  denince

bir önermenin, do¤rulu¤u aflikâr olan (ya da varsa-

y›lan) daha basit önermelerden uygun mant›k zin-

cirinin kurulmas› sonucu gösterilmesini anl›yoruz.

‹spat›n en önemli özelliklerinden birisi kal›c›l›¤›d›r:

Matematikte do¤ru bilinenler de¤iflmezler (bilimle-

rin tersine), zamanla bunlar›n üzerine yeni bilgiler

eklenir. Matematikte do¤ru bilinenlerin de¤iflmez-

li¤i  matematikçileri  u¤rafllar›n›n  evrenselli¤ine

inand›r›r. Bu noktada flu soru hemen akla gelebilir:

74

Matematik Dünyas›, 2003 Yaz

---

Bir  ispat›n  do¤ru  oldu¤una  nas›l  emin  olabiliriz?

‹spatland›¤›  iddia  edilen  ç›kar›m  birçok  kifli  tara-

f›ndan incelenir, hiç yanl›fl bulunmazsa (ya da bu-

lunan yanl›fllar düzeltilebilirse) matematikçiler za-

manla ispat›n geçerlili¤i yönünde hemfikir olurlar

ve o ç›kar›ma ispat denmeye bafllan›r.

Zaten √2 ya da (1+√5)/2 (alt›n oran) gibi irras-

yonel say›larla geometrik problemler yüzünden ta-

n›flan Eski Yunanl›lar, belki de irrasyonel say› kav-

ram›n›n getirdi¤i zorluklardan  ötürü, matemati¤in

temel  ögeleri  olarak  say›lar›n  yerine  geometrik

kavramlar› (nokta ve do¤ru) görmeyi seçtiler. Sözü

geçen  zorluklarla  bafla  ç›kmak  için  Evdoksos  ge-

ometrik süreklilik (continuum) kuram›n› ortaya at-

t›.  fiimdi  bize  apaç›km›fl  gibi  gelen  bir  do¤runun

deliksiz  olarak  noktalardan  olufltu¤unu  söyleyen

bu kuram›n getirdi¤i geliflim düzeyi ancak 19. yüz-

y›lda kurulabilen irrasyonel say›lar kuram›yla afl›-

labildi.  Eski  Yunanl›lar  matematikte  bildiklerini,

varsay›mlardan  bafllay›p  sonuçlara  varan  dizgesel

bir  yap›ya  kavuflturmaya  çal›flt›lar.  Bu  çal›flmalar

Evklides’in  (M.Ö.  4.  yüzy›l)  kitaplar›yla  doru¤a

ulaflt›. Matematik art›k yaln›zca uygulama amaçl›

bilgiler y›¤›n› olman›n ötesine geçmifl, salt kendisi

için  de  yap›lmaya  bafllanm›flt›.  Eski  Yunanl›lar›n

geometrik  yaklafl›mlar›,  sonradan  temel  konumu

ele geçiren say› ve cebirsel ifllem kavramlar›n› bü-

yük  ölçüde  ›skalayarak  matemati¤in  ve  bilimlerin

geliflmesine ket vurdu. Yine de asal say›lar hakk›n-

daki  en  temel  teoremler  Evklides’in  kitaplar›nda

ortaya ç›km›flt›. Evklides yazmamas›na karfl›n her-

halde her tamsay›n›n bir ve yaln›z bir flekilde asal

çarpanlara ayr›labildi¤ini (aritmeti¤in temel teore-

mi) biliyordu. Üstelik Evlikdes asal say›lar dizisinin

sonsuzlu¤unu ispatlad›. Eski Yunan’da say›lar ku-

ram›n›n son sesi Diofantus’tan (M.S. 3. yüzy›l) gel-

di. Sonra say›lar kuram› karanl›k ça¤lara girdi, ta

ki  Diofantus’un  ‹skenderiye  yang›n›ndan  beri  ka-

y›p kitaplar›n›n baz›lar› bulunana ve Bachet tara-

f›ndan  1621’de  Latinceye  çevrilene  dek  (Diofan-

tus’un on üç kitab›ndan alt›s› 1464’de Almanya’da

bir  kütüphanede  ortaya  ç›kt›  ve  astronom  Regi-

omantus’un eline geçti. Son y›llarda Diofantus’un

dört kitab› daha ortaya ç›km›flt›r.) K›sa süre içinde

bu  kitaplar›  okuyup  etkilenen  Mersenne  ve  Fer-

mat’dan bafllayarak asal say›lar ve say›lar kuram›-

n›n di¤er konular› günümüze dek uzanan h›zl› ge-

liflme dönemine girdi.

1742’de,  matematikte  ad›  baflka  hiçbir  yerde

geçmeyen  Goldbach,  meflhur  Euler’e  yazd›¤›  bir

mektupta,  2’den  büyük  her  çift  say›n›n  iki  asal›n

toplam› olarak ifade edilebilece¤inin ispat›n›, ya da

bu önermenin yanl›fll›¤›n›n ispat veya örnek yoluy-

la  gösterilmesini  istedi.  Goldbach  denedi¤i  bütün

örneklerde önermenin tuttu¤unu görmüfltü (4 = 2

+ 2, 16 = 5 + 11, 114 = 7 + 107 gibi.) Aradan ge-

çen çeyrek biny›lda kimse Goldbach Kestirimi de-

nilen bu önermeyi veya aksini ispatlayamad›. Buna

çok  yak›n  olan  ikiz  asallar  dizisinin  sonsuzlu¤u

önermesi  de  ispatlanamad›  (ikiz  asallar,  aralar›n-

daki fark sabit olan asal say› çiftleridir; 5 ve 7, 17

ve  19,  101  ve  103  gibi.)  Dile  getirilifli  çok  kolay

olan  bu  tür  önermelerin  tüm  insanl›k  için  en  zor

problemler  kümesinde  yer  ald›¤›  anlafl›ld›.  Zorlu-

¤un temel nedeni yal›nl›kla flöyle belirtilebilir: Asal

olmak,  tan›m›  gere¤i,  çarp›msal  bir  özellik  iken,

Goldbach  veya  ikiz  asal  problemlerinde  toplama

ifllemi iflin içindedir.

Euler,  Goldbach  Kestirimini  ispatlayamad›ysa

da, asal say›lar dizisi ve tüm do¤al say›lar›n dizisi

aras›nda iliflkiler veren analitik ifadeler buldu. Son-

radan  Riemann’›n  (1859)  ç›¤›r  aç›c›  fikirleri  bun-

lardan kaynakland›. Arada geçen sürede en önem-

lileri Gauss, Legendre, Dirichlet, Çebiçev  ve Mer-

tens taraf›ndan olmak üzere asal say› teoremi hak-

k›nda  çal›flmalar  yo¤unluk  kazand›.  ‹lk  Gauss’un

tahmin etti¤i bu teorem (1792), genel olarak, x çok

büyük bir say›ysa, 1’le x aras›nda yaklafl›k x/ln(x)

tane asal say› oldu¤unu söyler. Asal say› teoremi-

nin  ispat›,  ancak  Riemann’›n  tan›mlad›¤›  ve  baz›

özelliklerini  gösterdi¤i  zeta  fonksiyonu’nun  iyice

incelenmesiyle, 1896’da Hadamard ve de la Vallée

Poussin taraf›ndan ayr› ayr› verildi. Riemann, zeta

fonksiyonuna  iliflkin  baz›  önermeleri  ispats›z  yaz-

m›flt›. Bunlardan biri d›fl›nda hepsi zamanla ispata

kavufltu:  Karmafl›k  say›lar  düzleminde  tan›mlan-

m›fl zeta fonksiyonunun sa¤ yar›-düzlemde s›f›r de-

¤erini ald›¤› noktalar›n tümünün bir do¤ru üzerin-

de (gerçel k›sm› 1/2 olan noktalar›n do¤rusu) bu-

lundu¤u  önermesi  ise  ispats›z  kald›,  ve  Riemann

Hipotezi ad›yla  an›l›r  oldu.  Riemann’›n  açt›¤›  yol

20. yüzy›lda kâh zeta fonksiyonunun yeni özellik-

lerinin keflfine, kâh asal say› teoremindeki hata pa-

y›n›n  ayr›nt›l›  olarak  incelenmesine  ve  yeni  kesti-

rimlerin  ortaya  ç›kmas›na  olanak  sa¤lad›.  Ri-

emann zeta fonksiyonu, birçok özelli¤inin asal sa-

y›lar›n da¤›l›m›yla karfl›l›kl› iliflkiler içinde olmas›-

n›n (hatta belki de asal say›lara iliflkin herfleyi kod-

75

Matematik Dünyas›, 2003 Yaz

---

lamas›n›n)  d›fl›nda,  genellemeleriyle  birlikte  mate-

mati¤in baflka dallar›nda ve kuantum mekani¤inde

de  rol  sahibi  oldu.  Vinogradov  (1937)  yeterince

büyük (ama buna belli bir de¤er vermeksizin) her

tamsay›n›n en çok dört asal›n toplam› olarak yaz›-

labilece¤ini  gösterdi.  Schnirelmann  ise  1931’de

2’den büyük her tamsay›n›n en çok üç yüz bin asa-

l›n toplam› olarak yaz›labilece¤ini ispatlam›flt› (üç-

yüzbin  flimdi  yediye  indirilmifl  durumda.)  Gold-

bach  problemine  en  yak›n  sonuçlardan  biri  de

1973’te  Chen’in  yeterince  büyük  her  çift  say›n›n

bir asal ve bir de en çok iki asal çarpan› olan bir sa-

y›n›n toplam› olarak ifade edilebilece¤ini ispat› ol-

du.  Ama  hâlâ  Goldbach  Kestirimi’nin  yak›n  gele-

cekte çözümü için pek umut yok.

1931’de  Gödel,  matemati¤i  ve  felsefeyi  sarsan

iki “eksiklik teoremi” ispatlad›: 1) Do¤al say›larda

do¤ru olan ama ispatlanamaz (toplama ve çarpmay-

la ilgili) önermeler vard›r ve 2) Aritmeti¤in tutarl›l›-

¤› aritmeti¤in kendi içinde ispatlanamaz. Eksiklik te-

oremlerinin  etkisiyle  Goldbach  Kestirimi  ve  Ri-

emann Hipotezi’nin üzerinde karara var›lamayacak

olas›l›¤› olsa da, bu görüflün say›lar kuramc›lar› ara-

s›nda  çok  taraftar›  yoktur  (ama  ünlü  matematikçi

Knuth,  Goldbach  Kestirimi’nin  Gödel’in  varl›¤›n›

gösterdi¤i ispatlanamayacak teoremlerden biri oldu-

¤una  inanmaktad›r.)  Goldbach  Kestirimi’yle  mate-

mati¤in  temelleri  aras›nda  baz›  iliflkileri  irdeleyen

Pogorzelski’nin çal›flmalar›n›n say›lar kuram›n› etki-

leyecek bir duruma geldi¤ini sanm›yoruz. 

Matemati¤in birçok dal›nda büyük geliflmelere

yol açm›fl olan Gauss, matemati¤in bilimlerin kra-

liçesi,  say›lar  kuram›n›n  da  matemati¤in  kraliçesi

oldu¤unu  söylemiflti.  Kronecker  de  “Tanr›  do¤al

say›lar›  yaratt›,  di¤er  herfley  insan  ürünüdür”  de-

miflti. ‹mdi asal say›lar hakk›nda bilinenlerin uygu-

lamalar› var m› diye merak edenler olabilir. Say›lar

kuramc›lar›n›n ço¤u bir problemle u¤rafl›rken uy-

gulamalara  iliflkin  kayg›  tafl›mazlar.  Matemati¤in

matematik için yap›lmas›na en çok de¤er verip, uy-

gulamalara omuz silkenlerin bafl›nda Hardy gelir.

Ne var ki, Hardy’nin çok sevdi¤i asal say›lar art›k

flifrelemede, biliflim a¤›ndaki güvenli¤i sa¤lamakta

kullan›lmaktad›r. Bunun neye dayand›¤› kolayl›kla

aç›klanabilir.  Size  iki  asal  say›  verilse  (diyelim  97

ve 89) bunlar›n çarp›m›n› (97 × 89 = 8633) hemen

bulabilirsiniz. Ama size 8633 say›s› verilip bunun

asal çarpanlar› sorulsa 97 ve 89’u bulman›z daha

zor olur. Say›lar büyüdükçe bu ifl iyice zorlafl›r, öy-

le ki bilinen en büyük asallar (bugün, 2

13466917

−

1 bilinen en büyük asal olma rekorunu elinde tutu-

yor) kullan›ld›¤›nda ayn› soruyu yan›tlamak bilgi-

sayarlar›n  bile  binlerce  y›l›n›  alacakt›r.  Böylelikle

iki  büyük  asal  al›p,  bunlar›  çarp›nca  ç›kan  say›y›

tüm dünyaya ilan edersiniz, ama kimse çarpanlar›-

n›  bulamaz.  Say›lar  kuram›n›n  en  kolay  baz›  te-

oremlerinin  yard›m›yla,  bu  olgu  yaln›zca  istedi¤i-

niz kiflilerin k›rabilece¤i bir flifreye sahip olman›z›

sa¤lar. Bu konuda geçen y›l önemli bir geliflme ol-

du. Üç Hintli matematikçi (Agrawal, Kayal ve Sa-

xena) verilen bir tamsay›n›n asal olup olmad›¤›na

nispeten  k›sa  zamanda  (polinom-zamanl›)  koflul-

suzca karar veren bir algoritma buldular (daha ön-

ce Riemann Hipotezi’nin do¤rulu¤u koflulu varsa-

y›larak bu yap›labiliyordu.)

Ad astra per aspera! ♥

76

Matematik Dünyas›, 2003 Yaz

Çember

Elips

???

P

a

A

P

b

a

A

B

A

a

b

B

C

c

P

Verilen  bir  A

noktas›na

uzakl›¤›n›n karesi sabit (a

2

) olan

noktalar (P) kümesi bir çember-

dir.

Verilen A ve B noktalar›na uzak-

l›klar›n›n  karelerinin  (a

2

ve  b

2

)

toplam› sabit (r

2

) olan noktalar

(P) kümesi bir elipstir.

Verilen  A,  B ve  C  noktalar›na

uzakl›klar›n›n karelerinin (a

2

, b

2

ve  c

2

)  toplam›  sabit  (r

2

)  olan

noktalar (P) kümesi nedir?