5-misol funksiyaning qoldiqlari topilsin. Bunda bo’lgani uchun

5-misol. funksiyaning qoldiqlari topilsin.
Bunda bo’lgani uchun, f(z) ning qutblari ning nollari, ya’ni

Dan iborat bo’lib, oddiy nollardir, chunki

Demak, (8) ga muvofiq:

Misol uchun, agar Г yoqiq chiziq faqat nuqtalarnigina o’z ichiga olsa, u holda qoldiqlar haqidagi asosiy teoremaga muvofiq:

6-misol. funksiya birgina oddiy a=i qutbga ega bo’lgani sababli (8) ga muvofiq:

Ma’lumki,

Shunga ko’ra:


Demak qoldiq ushbuga teng:

Agar г yopiq chiziq o’z ichiga faqat z=i qutbni olsa, u holda

7-misol. ning qoldiqlari topilsin.
; cosz=0 dan , k=0, -+1….

oddiy qutblar bo’lib, (8) ga ko’ra:

Demak, hamma qoldiqlar o’zaro teng bo’lib, ular -1 ga teng ekan.
Agar k=0, k=-1 deb olsak, u holda , qutblar hosil bo’ladi.
Г yopiq chiziq ichida shu ikkala qutbdan boshqa qutb yo’q, deb faraz etaylik, u vaqtda asosiy teoremaga muvofiq:

8-misol. Tenglamasi bo’lgan Г astroida bo’ylab olingan

integral hisoblansin.
dan lar ikkinchi tartibli qutblar bo’lib, Г ichiga joylashgan, qutb esa г ning tashqarisida yotadi.

1. 
   funksiyaning ga nisbatan qoldig’ini izlaymiz:
   

Ikki tomondan, bir marta hosila olib, limitga o’tilsa,

2. 
   endi ga nisbatan qoldiqni izlaymiz:
   

Bundan ham hosila olib limitga o’tilsa:

Demak,

9-misol. integral hisoblansin, bundagi C kontur aylanadan iborat bo’lib, uning markazi a=2 nuqtada va radiusi R=3.
Ishni osonlashtirish uchun integralni ikkiga ajrataylik:
, bunda
va
Dastlab birinchi integral belgisi ostidagi funksiyaning qutblarini topamiz:

oddiy qutblar kelib chiqadi, bunda . Bu qutblardan faqat berilgan C aylana ichida bo’lib, qolganlari uning tashqarisidadur. Shu sababli z=0 nuqtaga nisbatan qoldiqni (8) ga asosan topsak:

Demak, qoldiqning ta’rifiga muvofiq: .
Endi integral belgisi ostidagi funksiyaning qutblarini topamiz:

bo’lib, qutblar C ning tashqarisidadir. ga nisbatan qoldiq (6) ga muvofiq:

Natijada:

Agar f(z) funksiya uchun maxsus nuqta qutb bo’lmasa, u holda maxsus nuqtaga nisbatan qoldiqni hisoblash uchun, ta’rifga ko’ra Loran yoyilmasidan foydalanish kerak.
10-misol. funksiyaning z=1 nuqtaga nisbatan qoldig’I topilsin. Loran yoyilmasi quyidagicha bo’ladi:

Bundan:
Qoldiq =3