66-§. Sirtning ichki geometriyasi

66-§.Sirtning ichki geometriyasi.

Sirtni o’rganishda biz uning ichki va tashqi xossalarini alohida o’rganamiz.Sirtning ichki xossalariga sirtning birinchi kvadratik formasi yordamida oshkor etiladigan xossalari kiradi.Masaan,sirt ustidagi chiziqlarning uzunliklariga bog’liq xossalar.

1-ta’rif.Ф, Ф’ sirtning mos chiziqlari uzunliklarini saqlaydigan ϕ: Ф→Ф’ biektiv akslantirish izometrik akslantirish deyiladi.

Ta’rifdan ko’rinadiki , izometrik akslantirishda sirtlarning ichki xossalari o’zgarmaydi.Masalan,agar Ф sirtni cho’zilmaydigan mustahkam plyonkadan iborat deb qarab uni deformatsiyalasak , yangi Ф’ sirt hosil bo’ladi.Hosil bo’lgan Ф’ sirt bilan Ф sirtning ichki xosslari bir xil ekanligi ravshan.

2-ta’rif.Agar Ф’ sirt Ф sirtni uzluksiz deformatsiyalash natijasida hosil qilingan bo’lsa,u holda Ф’ sirtni Ф sirtning egilish natijasi deyiladi.

Masalan,oddiy qog’oz varag’idan silindr va konus hosil qilinsa , varaq sirtiga izometrik bo’lgan sirt hosil bo’ladi. Ikkita sirtning izometrik bo’lish shartini keltiramiz.

Teorema.Birinchi kvadratik formalari bir xil bo’lgan ikki sirt izometrik bo’ladi va aksincha.

I s b o t i.Xaqiqattan ham , ϕ: Ф→ Ф’ akslantirish berilgan bo’lib ,u izometrik akslantirish bo’lsin.MЄ Ф nuqtani olaylik.Uning koordinatalari (u,v) bo’lsa, u holda ϕ(M) =M’ Є Ф’ nuqtaning koordinatalari ham (u,v) dan iborat bo’ladi.Demak agar Ф sirtda γ egri chiziq olingan bo’lib , uning tenglamalari u=u(t) , v=v(t) bo’lsa , u holda ϕ(γ)=γ’ ᴄ Ф’ egri chiziqning tenglamalari ham u=u(t) , v=v(t) ko’rinishida bo’ladi,Shuning uchun izometrik akslantirishda yoy uzunligi saqlanadi:

dt=

Bu tenglik ixtiyoriy M nuqta uchun o’rinli bo’lgani uchun

Edu² + 2Fdudv + Gdv² = E’ du² +2F’dudv + G’dv²,

bundan E=E’ , F=F’ , G=G’ ( *). Demak , Ф, Ф’ sirtlar izometrik bo’lsa , ularning birinchi kvadratik formalari bir xil bo’ladi. Aksincha agar (*) munosabatlar o’rinli bo’lsa , u holda undan Ф , Ф’ sirtlardagi mos yoylarning uzunliklari tengligi kelib chiqadi.