Aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirish

ANIQMAS INTEGRALDA O'ZGARUVCHINI ALMASHTIRISH USULI


Reja:

1. 
   O`rniga qo`yish usuli bilan integrallash.
   
2. 
   Bo`laklab integrallash.
   

O`rniga qo`yish usuli bilan integrallash

Ushbu integralni topish talab qilinsin. X ni t erkli o`zgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalab, integrallashning yangi t o`zgaruvchisini kiritamiz

u holda
(1)

Integral xossasida ga teng edi, shundan foydalanib quyidagini hosil qilamiz.

Misol: integralni hisoblang.

Yechish:
Bo`laklab integrallash
Faraz qilaylik, u(x) va v(x) - x ning differensiallanuvchi funksiyalari bo`lsin. Bu funksiyalar ko`paytmasining differensiallarini topamiz.
d(u^.v)=vdu+udv
bundan
udv=d(uv)-vdu (1)

1. 
   ning ikkala tomonini integrallab, quyidagini hosil qilamiz.
   

yoki
(2)

Bu formula bo`laklab integrallash formulasi deyiladi.

Bunda integrallarning ikki turini ajratib, ko`rsatish mumkin. Birinchi turga R<sub>n</sub>(x) ko`phadning ko`rsatkichli yoki trigonometrik funksiyaga ko`paytmasini o`z ichiga olgan integrallar kiradi. Bunda u orqali R<sub>n</sub>(x) ko`phad belgilanadi, qolgan hamma ifoda esa dv orqali belgilanadi.
Ikkinchi turga R_n(x) ko`phadning logarifmik yoki teskari trigonometrik funksiyaga ko`paytmasi qatnashgan integrallar kiradi. Bu holda dv bilan R_n(x)dx ifoda belgilanadi, qolgan hamma ifoda esa u orqali belgilanadi.
1-Misol : integralni hisoblang.
Yechish: Integral birinchi turga tegishli, shuning uchun quyidagicha belgilash kiritamiz.
u=x ; dv=e^-x dx
du=dx; v= =q-e^-x
( v ni topishda C o`zgarmas son yozilmaydi, uni oxirgi natijada yozish kerak).

Bo`laklab integrallash qoidasi bir necha marta qo`llanilishi mumkin.
2-Misol: integralni hisoblang.
Yechish:

Ba`zi holda shunday integrallar uchraydiki, bunda bo`laklab integrallash formulasini takroran qo`llash natijasida dastlabki integral hosil bo`ladi. Bu holda hosil qilingan tenglamani dastlabki integralga nisbatan yechish kerak.
3-Misol : integralni hisoblang.
Yechish:

Mustaqil ish uchun misollar: Integralni hisoblang

1)


2)
Yilda matematika (xususan ko'p o'zgaruvchan hisoblash ), a ko'p integral a aniq integral a bir nechta haqiqiy o'zgaruvchilarning funktsiyasi, masalan; misol uchun, f(x, y) yoki f(x, y, z). Ikkita o'zgaruvchidan iborat funktsiyani mintaqa bo'yicha integrallari mathbb {R} ^ {2} (the haqiqiy raqam tekislik) deyiladi er-xotin integral, va mintaqadagi uch o'zgaruvchiga teng funktsiyaning integrallari mathbb {R} ^ {3} (haqiqiy raqamli 3D bo'shliq) deyiladi uch karrali integral.[1] Bitta o'zgaruvchan funktsiyaning ko'p integrallari uchun ga qarang Takroriy integratsiya uchun Koshi formulasi.
Xuddi bitta o'zgaruvchining ijobiy funktsiyasining aniq integrali maydon funktsiya grafigi bilan x-aksis, er-xotin integral ikki o'zgaruvchidan iborat ijobiy funktsiya hajmi funktsiyasi bilan aniqlangan sirt orasidagi mintaqaning (uch o'lchovli bo'yicha) Dekart tekisligi qayerda z = f(x, y)) va uni o'z ichiga olgan tekislik domen. [1] Agar ko'proq o'zgaruvchilar bo'lsa, ko'p sonli integral hosil bo'ladi gipervolumlar ko'p o'lchovli funktsiyalar.

Funktsiyaning bir nechta integratsiyasi n o'zgaruvchilar: f(x1, x2, ..., xn) domen orqali D. aksariyat bajarilishning teskari tartibida ichki o'rnatilgan integral belgilar bilan ifodalanadi (chap tomondagi integral belgi oxirgi hisoblanadi), so'ngra funktsiya va integraland argumentlari tegishli tartibda (o'ng tomondagi argumentga nisbatan integral oxirgi hisoblanadi). Integratsiya sohasi har bir integral belgisi bo'yicha har bir argument uchun ramziy ma'noda ifodalanadi yoki o'ng tomonning integral belgisidagi o'zgaruvchi bilan qisqartiriladi:[2]

{displaystyle int cdots int _{mathbf {D} },f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),dx_{1}!cdots dx_{n}}

Kontseptsiyasidan beri antivivativ faqat bitta haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyalari uchun belgilanadi, ning odatiy ta'rifi noaniq integral zudlik bilan ko'p integralga tarqalmaydi.

Matematik ta'rif

Uchun n > 1, "yarim ochiq" deb nomlangan narsani ko'rib chiqing n- o'lchovli giper to'rtburchaklar domen Tquyidagicha belgilanadi:

{displaystyle T=[a_{1},b_{1}) imes [a_{2},b_{2}) imes cdots imes [a_{n},b_{n})subseteq mathbf {R} ^{n}.}

Bo'lim har bir oraliq [aj, bj) cheklangan oilada Menj bir-biriga mos kelmaydigan subintervallar menja, har bir subinterval chap uchida yopilib, o'ng uchida ochiladi.

Keyin pastki to'rtburchaklar oilasi C tomonidan berilgan

C=I_{1} imes I_{2} imes cdots imes I_{n}

a bo'lim ning T; ya'ni pastki to'rtburchaklar Ck bir-birini takrorlamaydi va ularning birlashishi T.

Ruxsat bering f : T → R ustida belgilangan funktsiya bo'lishi T. Bo'limni ko'rib chiqing C ning T yuqorida ta'riflanganidek, shunday C oila m to'rtburchaklar Cm va

T=C_{1}cup C_{2}cup cdots cup C_{m}

Hammasini taxminiy hisoblashimiz mumkin (n + 1)o'lchamlari, quyida. bilan chegaralangan n- o'lchovli giper to'rtburchak T va yuqorida nning o'lchovli grafigi f quyidagilar bilan Riman summasi:

sum _{k=1}^{m}f(P_{k}),operatorname {m} (C_{k})

qayerda Pk bir nuqta Ck va m (Ck) dekart hosilasi bo'lgan intervallar uzunligining ko'paytmasi Ck, ning o'lchovi sifatida ham tanilgan Ck.

The diametri pastki to'rtburchakning Ck bu intervallar uzunliklarining eng kattasi Dekart mahsuloti bu Ck. Berilgan qismning diametri T qismdagi pastki to'rtburchaklar diametrlarining eng kattasi sifatida aniqlanadi. Intuitiv ravishda, bo'limning diametri sifatida C kichikroq va kichikroq, pastki to'rtburchaklar soni cheklangan m kattalashadi va o'lchov m (Ck) har bir pastki to'rtburchak kichrayadi. Funktsiya f deb aytilgan Riemann integral agar chegara

S=lim _{delta o 0}sum _{k=1}^{m}f(P_{k}),operatorname {m} ,(C_{k})

mavjud bo'lishi mumkin, bu erda chegara barcha mumkin bo'lgan qismlarga olinadi T diametri δ.[3]

Agar f Riemann integratsiyalashgan, S deyiladi Riemann integrali ning f ustida T va belgilanadi

{displaystyle int cdots int _{T},f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),dx_{1}!cdots dx_{n}}

Ko'pincha bu yozuv qisqartiriladi

int _{T}!f(mathbf {x} ),d^{n}mathbf {x} .

qayerda x ifodalaydi n- juftlik (x1, ... xn) va dnx bo'ladi n- o'lchov hajmi differentsial.

Ixtiyoriy chegaralangan holda aniqlangan funksiyaning Riman integrali no'lchovli to'plamni ushbu funktsiyani asl funktsiyasi domeni tashqarisida qiymati nolga teng bo'lgan yarim ochiq to'rtburchak ustida aniqlangan funktsiyaga kengaytirish orqali aniqlash mumkin. Keyin asl funktsiyani asl domenga integrali, agar u mavjud bo'lsa, kengaytirilgan funktsiyani uning to'rtburchaklar sohasidagi integrali sifatida aniqlanadi.

Riman integrali quyidagicha n o'lchamlari ko'p integral.

Xususiyatlari

Bir nechta integrallar bir o'zgaruvchining funktsiyalari integrallari uchun umumiy bo'lgan ko'plab xususiyatlarga ega (chiziqlilik, kommutativlik, bir xillik va boshqalar). Ko'p sonli integralning muhim xususiyati shundaki, integralning qiymati ma'lum sharoitlarda integrallar tartibiga bog'liq emas. Ushbu xususiyat xalq sifatida tanilgan Fubini teoremasi.[4]

Alohida holatlar

Bo'lgan holatda {displaystyle Tsubseteq mathbb {R} ^{2}}, ajralmas

{displaystyle l=iint _{T}f(x,y),dx,dy}

bo'ladi er-xotin integral ning f kuni Tva agar bo'lsa {displaystyle Tsubseteq mathbb {R} ^{3}} ajralmas

{displaystyle l=iiint _{T}f(x,y,z),dx,dy,dz}

bo'ladi uch karrali integral ning f kuni T.

E'tibor bering, odatdagidek, er-xotin integral ikki integral belgiga ega, uch karrali integral esa uchta; bu ushbu maqolada keyinroq ko'rsatilgandek, takrorlanadigan integral sifatida ko'p integralni hisoblashda qulay bo'lgan notatsion konventsiya.

Integratsiya usullari

Ko’p integrallar bilan bog’liq masalalarni yechish, aksariyat hollarda, integralni an ga kamaytirishning usulini topishdan iborat takrorlanadigan integral, bitta o'zgaruvchining bir qator integrallari, ularning har biri to'g'ridan-to'g'ri echilishi mumkin. Doimiy funktsiyalar uchun bu asoslanadi Fubini teoremasi. Ba'zan, hech qanday hisob-kitoblarsiz to'g'ridan-to'g'ri tekshirish orqali integratsiya natijasini olish mumkin.

Quyida birlashtirishning oddiy usullari keltirilgan:[1]

Doimiy funktsiyalarni birlashtirish

Qachon integraland a doimiy funktsiya v, integralning ko'paytmasiga teng v va integratsiya sohasining o'lchovi. Agar v = 1 va domen subregion hisoblanadi R2, integral mintaqaning maydonini beradi, agar domen subregion bo'lsa R3, integral mintaqaning hajmini beradi.

Misol. Ruxsat bering f(x, y) = 2 va

{displaystyle D=left{(x,y)in mathbf {R} ^{2} : 2leq xleq 4 ; 3leq yleq 6

ight}}
bu holda

{displaystyle int _{3}^{6}int _{2}^{4} 2 dx,dy=2int _{3}^{6}int _{2}^{4} 1 dx,dy=2cdot operatorname {area} (D)=2cdot (2cdot 3)=12,}

chunki ta'rifi bo'yicha bizda:

{displaystyle int _{3}^{6}int _{2}^{4} 1 dx,dy=operatorname {area} (D).}

Simmetriyadan foydalanish
Integratsiya sohasi kelib chiqishi haqida nosimmetrik bo'lsa, integratsiya va integralning o'zgaruvchilardan kamida bittasiga nisbatan g'alati ushbu o'zgaruvchiga nisbatan integral nolga teng, chunki domenning ikkala yarmi ustidagi integrallar bir xil mutlaq qiymatga ega, ammo qarama-qarshi belgilar. Qachon integral bo'ladi hatto ushbu o'zgaruvchiga nisbatan integral, domenning yarmi ustidagi integralning ikki baravariga teng, chunki domenning ikkala yarmi ustidagi integrallar tengdir.

1-misol. Funktsiyani ko'rib chiqing f(x,y) = 2 gunoh (x) − 3y3 + 5 domen orqali birlashtirilgan

T=left{(x,y)in mathbf {R} ^{2} : x^{2}+y^{2}leq 1

ight},
disk radius 1 chegara kiritilgan holda kelib chiqishi markazida joylashgan.