|
Elmi ƏSƏRLƏR, 2016, №3 (77) nakhchivan state university. Scientific works, 2016, №3 (77)
3
NAXÇIVAN DÖVLƏT UNİVERSİTETİ. ELMİ ƏSƏRLƏR, 2016, № 3 (77)
NAKHCHIVAN STATE UNIVERSITY. SCIENTIFIC WORKS, 2016, № 3 (77)
НАХЧЫВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. НАУЧНЫЕ ТРУДЫ, 2016, № 3 (77)
RİYAZİYYAT
ЯГУБ МАМЕДОВ
Нахчыванский институт учителей
yagubmammadov@yahoo.com
УДК:517.51
ВЕСОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МАКСИМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ПОРОЖДЕННЫХ
ОПЕРАТОРОМ ДАНКЛЯ НА R
Açar sözlər: maksimal operator, çəki funksiyası, Dankl operatoru, Dankl metaharmonik
yarımqrupu, Bessel potensialı
Key words: maximal operator, weight function, Dunkl operator, Dunkl-metaharmonic
semigroup, Bessel potential
Ключевые слова: максимальный оператор, весовая функция, оператор Данкля,
метагармоническая полугруппа Данкля, потенциал Бесселя
В статье определен аналогом класса Макенхаупта
,
p
A
, порожденной оператором
Данкля и доказан аналог теоремы Макенхаупта для D-максимальной функций. Эта теорема
является основным результатом и исспользуя этих получено следствие об ограниченности
метагармонических полугрупп Данкля
t
M
и интеграл Данкля-Пуассона
f
P
t
,
в весовых
пространтствах
)
(
,
,
R
w
p
L
.
Одно из основных достижений последних десятилетий, повлиявших на облик
гармонического анализа, состоит в успешном привлечении идей и техники теории
максимальных операторов и интегральных операторов типа потенциала. Эти идеи и методы
применяются в теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории
функций, функциональном анализе, теории вероятностей, в задачах теории приближений,
гармоническом анализе на однородных группах и других разделах математики.
Операторы Данкля являются дифференциально-разностными операторами на
действительной оси, которые введены в 1989 году Данклом [1]. Оператором Данкля
называется следующий дифференциально-разностный оператор
α
D
:
,
)
(
)
(
)
2
1
(
)
(
=
)
(
x
x
f
x
f
x
dx
df
x
f
D
где
-произвольное действительное число, удовлетворяющее условию
1/2
>
. Действие
оператора
α
D
определено для всех функций
)
(
(1)
R
C
f
.
Пусть
1/2
>
фиксированное число и
весовая Лебеговая мера на
R
, заданная
по
.
|
|
1)
(
2
1
:=
)
(
1
2
1
dx
x
x
d
Для
R
y
x,
оператор обобщенного сдвига Данкля определяется следующим образом
4
θ
d
θ
θ
y
x
h
θ
xy
y
x
f
c
y
f
τ
α
e
π
α
x
2
1
2
2
0
)
sin
)(
,
,
(
cos
|
|
2
=
)
(
,
)
sin
)(
,
,
(
cos
|
|
2
2
2
2
2
0
θ
d
θ
θ
y
x
h
θ
xy
y
x
f
c
α
o
π
α
где
o
e
f
f
f
=
,
o
f
и
e
f
четная и нечетная часть
f
соответственно, с
1/2))
(
1)/(
(
=
c
,
,
cos
)
(
1
=
)
,
,
(
1
xy
sgn
y
x
h
0.
=
0
0,
cos
|
|
2
]
cos
)
(
[1
)
(
=
)
,
,
(
2
2
2
xy
если
xy
если
xy
y
x
xy
sgn
y
x
y
x
h
Весом называется почти всюду положительная и локально интегрируемая функция
R
R
:
w
. Через
)
(
,
,
R
w
p
L
обозначим множество измеримых на
R
функций
f
с конечной
нормой
.
<
1
,
)
(
)
(
|
)
(
|
=
1/
;
,
,
,
,
p
x
d
x
w
x
f
f
f
p
p
w
p
w
p
L
R
R
При
1
=
w
пространство
)
(
,
,
R
w
p
L
обозначим через
)
(
,
R
p
L
, и норма в этом случае
определяется как
,
,1,
p
L
p
L
f
f
.
Определение 1. Скажем, что весовая функция
w
принадлежит классу
,
p
A
для
<
<
1
p
, если
<
)
(
)
(
|
)
,
(
|
)
(
)
(
|
)
,
(
|
sup
1
1
1
)
,
(
1
)
,
(
1
,
p
p
r
x
B
r
x
B
r
x
y
d
y
w
r
x
B
y
d
y
w
r
x
B
и
w
принадлежит классу
1,
A
, если существует положительное постоянное C такое, что для
любого
R
x
и
0
>
r
).
(
inf
)
(
)
(
|
)
,
(
|
)
,
(
)
,
(
1
y
w
ess
C
y
d
y
w
r
x
B
r
x
B
y
r
x
B
Отметим, что класс
,
p
A
является аналогом класса Макенхаупта и обладает
свойствами аналогичными классам Макенхаупта. В частности, если
,
p
A
w
, тогда
,
p
A
w
для некоторого достаточно малого
0
>
и
α
A
w
p
,
1
для любого
p
p >
1
.
Заметим, что
,
|
|
p
A
x
,
<
<
1
p
, тогда и только тогда если
p
p
2
2
<
<
2
2
и
1,
|
|
A
x
, тогда и только тогда если
0
<
2
2
.
Для
D
-максимальной функции (порожденной оператором Данкля)
f
M
)
(
)
(
|
|
))
(0,
(
sup
=
)
(
)
(0,
1
0
>
y
d
y
f
r
B
x
f
M
x
r
B
r
справедлива следующая теорема, являющаяся аналогом теоремы Макенхаупта (см. [2]).
Теорема 1. 1. Если
,
1, w
L
f
(
R
) и
1,
A
w
, тогда
,
1, w
WL
f
M
(
R
) и
,
,
1,
,
1,
,
1,
w
L
w
W L
f
C
f
M
(1)
Dostları ilə paylaş: |
|
|