Die Halbwertzeit von
Protaktinium
Zielsetzung:
In diesem Experiment ist es unser Ziel, den Zerfall einer der Isotopen von Protaktonium, m234-
Pa, zu untersuchen. Ein Geiger-Müller-Zählrohr, der Radiations-Monitor von Vernier, wird mit
dem CBL oder LabPro verbunden. Die erfassten Daten werden im Grafikrechner gespeichert
und können mit dem Rechner oder dem PC analysiert werden.
Materialien:
Radiations-Monitor von Vernier,Protaktinium Generator, CBL2 oder LabPro und TI-83
Datenerfassung (TI83)
Bevor Sie mit dem Experiment beginnen, stellen Sie sicher, dass Sie das Programm DATARAD
in Ihrem TI-83 Rechner haben.
Bemerkung: Wenn Sie eine alte CBL benutzen, müssen Sie stattdessen das Programm
RADIATIN benutzen.
Verbinden Sie das Strahlungsmessgerät mit
Ihrem Rechner, und vergewissern Sie sich, dass
Sie den Dig/Sonic-Input benutzen.
Arrangieren Sie Ihren Versuchsaufbau so, dass
das Fenster des GM-Röhre auf die obere Ebene
Ihres Protaktinium-Generators weist.
Starten Sie das Programm DATARAD. Nach dem
Startbildschirm gelangen Sie in den
Menübildschirm, dort wählen Sie:
1 SETUP, 2: START, 3: GRAPH und 4: QUIT.
Drücken Sie die 1 für SETUP.
In dem SETUP MENU drücken Sie die 3 für TIME GRAPH.
In dem TIME GRAPH SETTINGS MENU haben Sie zwei Alternativen
1: OK und 2: CHANGE TIME SETTINGS.
Wenn Sie das Experiment das erste Mal durchführen, sollten Sie Alternative 2 wählen. Wir
schlagen folgende Einstellungen vor: INTERVAL IN SECONDS: geben Sie 15 ein und bei
NUMBER OF INTERVALS: geben Sie 20 ein.
Jetzt gelangen sie in das TIME GRAPH SETTINGS MENU zurück. Drücken Sie 1 für OK.
Das bringt Sie zurück auf den Menü-Bildschirm, dort wählen Sie aus:
1 SETUP, 2: START, 3: GRAPH und 4: QUIT. Drücken Sie noch einmal die 1 für das SETUP.
Im SETUP MENU drücken Sie die 2 für BACKGROUND CORRECTION.
In dem BACKGROUND CORRECTION SCREEN wählen Sie 1: PERFORM NOW.
Als Anzahl der Intervalle geben Sie 20 ein.
Folgen Sie den Anweisungen auf dem Rechnerbildschirm. Stellen sie sicher, dass das Zählrohr
auf ON und in der Position x1 steht. Drücken Sie ENTER, um die Hintergrundstrahlung zu
messen. Sie müssen 300 s lang warten (bei dieser Eingabe) während der Befehl ausgeführt
wird. Am Ende wird die Anzahl der Zerfälle pro Minute präsentiert. Diese Hintergrundstrahlung
wird automatisch von den Daten im Hauptexperiment abgezogen..
Zurück im SETUP MENU wählen Sie nochmals die 3: TIME GRAPH. Im TIME GRAPH SETTINGS
MENU wählen Sie 1: OK
Sie sind zurück im MAIN MENU. Sie sind jetzt fast mit den Vorbereitungen für das aktuelle
Experiment fertig.
Schütteln Sie den Protaktinium-Generator 10 Sekunden lang sehr fest und stellen Sie ihn vor
das Zählrohr (s. Foto und Beschreibung oben). Warten Sie 100 Sekunden lang, bis der
Generator im oberen Bereich eine Schicht Protaktinium gebildet hat.
Und jetzt drücken Sie die 2: START.
Wenn das Experiment beendet ist, zeigt der Rechner einen Graphen an. Dabei stellt die y-
Achse die Anzahl der Zerfälle pro Minute in jedem Zeitintervall dar, die um die
Hintergrundstrahlung korrigiert wurden. Die y-Achse misst die Zeit in Sekunden.
Drücken Sie auf dem Rechner ENTER, um zum Hauptbild zurück zu gelangen. Dort drücken Sie
5: QUIT, um das DATARAD-Programm zu verlassen. Die Zählungen werden in Liste L2 und die
Zeitdaten in Liste L1 gespeichert.
Wenn Sie das Experiment nicht durchführen können, benutzen Sie die vorbereiteten Dateien
zur Analyse.
Analyse mit dem TI83
Wenn Sie Probleme bei der Handhabung des Grafikrechners haben, nutzen Sie die Links.
Zeitdaten (Einheit s) und die Zerfälle pro Minute abzüglich der Hintergrundstrahlung sind in
Liste L1
Zeichnen Sie die Anzahl der Zerfälle pro Minute versus Zeit in ein
Streudiagramm.
Studieren Sie den Graphen. Stimmt er mit Ihren Annahmen überein?
Sehen Sie sich die Datenaufzeichnung an. Finden Sie heraus, wie lange es
dauern wird, bis die Anzahl der Zerfälle pro Minute nur noch die Hälfte des
Anfangswerts beträgt.
Ist es möglich eine glättende Funktion an die Daten anzutragen? Welches
mathematische Modell könnte das sein? Finden Sie eine angemessene
Kurvenanpassung zu den Zerfallsdaten. Welche Regressionsgleichung passt?
Berechnen Sie mit Hilfe der Regressionsgleichung die Halbwertzeit des
Protaktinium Isotops. Stimmt Ihr Wert mit dem Tabellenwert überein? Wenn
nicht, versuchen Sie herauszufinden, woran das liegt.
Der Protaktiniumkern ist betaaktiv. Wenn er zerfällt strahlt er negative
Betateilchen aus. Schreiben Sie eine Formel für den Zerfallsprozess auf!
Nach dem theoretischen Modell ist die Zerfallsrate proportional zu der Anzahl der
Atomkerne, die zerfallen können. Falls Sie den theoretischen Hintergrund
kennen: Schreiben Sie die entsprechende Differentialgleichung, die zu dieser
Behauptung passt, auf und lösen Sie die Gleichung. Stimmt die Lösung mit Ihren
experimentell gewonnen Ergebnissen überein?
Wenn Sie Ihre Arbeit beendet haben können Sie Ihre Schlussfolgerungen mit der vollständigen
(Muster-)Analyse vergleichen.
Vollständige Analyse mit TI83
Das Datensets in der Datei RAD wird unten gezeigt. Es ist deutlich, dass die Zerfallsrate steigen
muss, da die Anzahl der aktiven Atomkerne sinkt. Nach einer - für viele Nukleonen relativ
langen Zeit - erreicht die Zerfallsrate Null.
Die Unterteilungsstriche auf der y-Achse sind bei jeweils 100 Ereignissen pro Minute und auf
der x-Achse bei jeweils 30 s.
Versuchen Sie eine dem Augenschein nach passende Kurve zu den Datenpunkten zu finden.
Eine geglättete Kurve beginnt bei dem Zeitwert 0 mit ungefähr 750 Zählungen pro Minute. Die
Hälfte davon ist 375. Die Kurve schneidet eine horizontale Linie bei 375 Zählungen pro Minute
(ungefähr bei 70-80 Sekunden). Unsere Schätzung ergibt demnach eine Halbwertzeit von 70-
80 Sekunden.
Um eine Regressionskurve anzupassen, klicken Sie auf STAT, CALC und wählen exponential.
Übertragen Sie die Regressionsgleichung in den Y= editor , indem Sie Y1 als letzten Parameter
addieren.
Die obige Bildschirmansicht zeigt die Regressionsgleichung. Unten erscheinen die Datenpunkte
zusammen mit der Regressionskurve.
Die Halbwertzeit kann ganz einfach gefunden werden, indem wir eine Kurve zeichnen, die
horizontal - auf dem Level des halben Startwerts - verläuft, nämlich 722/2. Der Schnittpunkt
der beiden Funktionen kann mit dem Rechner ermittelt werden. Sehen Sie sich die folgenden
Ansichten an:
Wie wir in dem rechten Bild sehen, liegt die Halbwertzeit bei 79 s.
Dieser Wert stimmt annähernd mit dem Wert aus dem Tabellenblatt überein, der bei 70 s liegt.
Wenn Sie Ihre eigenen Daten benutzen, kann die Genauigkeit geringer sein. Aber das ist kein
Grund sich zu schämen ;). Da die Zerfallsrate rein statistischer Natur ist, ist es sehr
unwahrscheinlich, dass eine einzige Messsung ein exaktes Ergebnis liefert.
Die Zerfallsformel sieht wie folgt aus:
Theoretisches Modell:
Wenn die Anzahl der aktiven Nukleonen in einem bestimmten Moment N ist, dann beträgt die
Zerfallsrate in diesem Moment
. Wenn Sie sich über das negative Vorzeichen wundern,
überlegen Sie folgendes: da die Funktion abnimmt, ist die Ableitung negativ.
Die Zerfallsrate verhält sich proportional zu der Anzahl der aktiven Nukleonen, daher
, wobei
λ eine positive Konstante ist. Die Differentialgleichung hat die Lösung
, wobei N
0
die Anzahl der Nukleonen bei dem Zeitwert Null ist. Das stimmt mit
unserem experimentellen Resultat überein.
Wenn T die Halbwertzeit ist, ist das die Zeit, zu der die Anzahl der Nukleonen die Hälfte des
Anfangswertes beträgt. Wir erhalten:
.
die Lösung für T ergibt:
.
Vergleichen Sie das mit der nummerischen Berechnung oben.
Kommentare:
Das m in
bedeutet metastabil. Dieses Isotop hat eine Halbwertzeit von 1.17 Minuten.
Das ist ein Isomer von dem
- Isotop, das eine Halbwertzeit von 6.70 Stunden hat.
Sie können eine Atomkerntabelle mit mehr Informationen auf der Webseite
http://nucleardata.nuclear.lu.se/nucleardata/charts.asp finden.
Analyse mit Excel
Die Daten aus dem Experiment wurden mit dem Graph-Link-Verbindungskabel in ein Excel-
Tabellenblatt übertragen. Öffnen sie die Datei Halbwertzeit.
Zeitdaten (Einheit s) sind in Spalte A und die Zerfälle pro Minute abzüglich der
Hintergrundstrahlung in Spalte B gespeichert.
Zeichnen Sie die Anzahl der Zerfälle pro Minute versus Zeit in einer
Streuungsgrafik.
Studieren Sie den Graphen. Stimmt er mit Ihren Annahmen überein?
Sehen Sie sich die Datenaufzeichnung an und finden Sie heraus, wie lange es
dauern wird, bis die Anzahl der Zerfälle pro Minute nur noch die Hälfte des
Anfangswerts beträgt.
Ist es möglich eine glättende Funktion an die Daten anzutragen? Versuchen sie
herauszufinden, welches mathematische Modell geeignet sein könnte. Finden
Sie eine angemessene Kurvenanpassung zu den Zerfallsdaten. Welche
Regressionsgleichung passt?
Berechnen Sie mit Hilfe der Regressionsgleichung die Halbwertzeit des
Protaktinium Isotops. Stimmt Ihr Wert mit dem Tabellenwert überein? Wenn
nicht, versuchen Sie herauszufinden, woran das liegt.
Der Protaktiniumkern ist betaaktiv. Wenn er zerfällt strahlt er negative
Betateilchen aus. Schreiben Sie eine Formel für den Zerfallprozess auf!
Nach dem theoretischen Modell ist die Zerfallsrate proportional zu der Anzahl der
Atomkerne, die zerfallen können. Falls Sie den theoretischen Hintergrund
kennen: Schreiben Sie die entsprechende Differentialgleichung, die zu dieser
Behauptung passt, auf und lösen Sie die Gleichung. Stimmt die Lösung mit Ihren
experimentell gewonnen Ergebnissen überein?
Wenn Sie Ihre Arbeit beendet haben können Sie Ihre Schlussfolgerungen mit der vollständigen
(Muster-)Analyse vergleichen.
Vollständige Analyse mit Excel
Die Grafik der Datenreihen in der Datei half_life.xls wird unten gezeigt. Wir sehen, dass die
Zerfallsrate steigen muss, da die Anzahl der aktiven Atomkerne sinkt. Nach einer - für viele
Nukleonen relativ langen Zeit - erreicht die Zerfallsrate Null..
Versuchen Sie eine dem Augenschein nach passende Kurve zu den Datenpunkten zu finden.
Eine geglättete Kurve beginnt bei dem Zeitwert 0 mit ungefähr 750 Zählungen pro Minute. Die
Hälfte davon ist 375. Die Kurve schneidet eine horizontale Linie bei 375 Zählungen pro Minute
(ungefähr bei 70-80 Sekunden). Unsere Schätzung ergibt demnach eine Halbwertzeit von 70-
80 Sekunden.
Um eine Regressionskurve anzutragen, klicken Sie mit der rechten Maustaste auf einen der
Datenpunkte. Wählen Sie Trendlinie hinzufügen. Wählen sie die exponentielle Darstellung und
die Darstellung der Regressionsgleichung in dem Diagramm.
Wie wir in dem Diagramm in der Regressionsgleichung sehen ist y = 722.13*exp(-0.0088x).
Die Halbwertzeit kann mit der Gleichung 722,13/2 = 722,13*exp(-0.0088x) berechnet
werden, die vereinfacht, zu 0,5 = exp(-0,0088x) or x = (ln 2)/0,0088 wird. Damit erhalten wir
den Wert von x, der annähernd 79 Sekunden beträgt. Dieser Wert stimmt gut mit dem Wert
aus dem Tabellenblatt überein, der bei 70 s liegt. Wenn Sie Ihre eigenen Daten benutzen, kann
die Genauigkeit geringer sein. Aber das ist kein Grund sich zu schämen ;) Da die Zerfallsrate
rein statistischer Natur ist, ist es sehr unwahrscheinlich, dass eine einzige Messsung ein
exaktes Ergebnis liefert.
Die Zerfallsformel sieht wie folgt aus:
.
Theoretisches Modell:
Wenn die Anzahl der aktiven Nukleonen in einem bestimmten Moment N ist, dann beträgt die
Zerfallsrate in diesem Moment
. Wenn Sie sich über das negative Vorzeichen wundern,
überlegen Sie folgendes: da die Funktion abnimmt, ist die Ableitung negativ.
Die Zerfallsrate verhält sich proportional zu der Anzahl der aktiven Nukleonen, daher
, wobei
λ eine positive Konstante ist. Die Differentialgleichung hat die Lösung
, wobei N
0
die Anzahl der Nukleonen bei dem Zeitwert 0 ist. Das steht in
Übereinstimmung mit unserem experimentellen Resultat.
Wenn T die Halbwertszeit ist, ist das die Zeit, wenn die Anzahl der Nukleonen die Hälfte des
Anfangswertes beträgt, wir bekommen:
.
die Lösung für T ergibt:
.
Vergleichen Sie das mit der nummerischen Berechnung oben.
Kommentare:
Das m in
bedeutet metastabil. Dieser Isotop hat eine Halbwertzeit von 1,17 Minuten.
Das ist ein Isomer von dem
- Isotop, das eine Halbwertzeit von 6,70 Stunden hat.
Sie können eine Atomkerntabelle mit mehr Informationen auf der Webseite
http://nucleardata.nuclear.lu.se/nucleardata/charts.asp finden.
Dostları ilə paylaş: |