Instrument pochodny

Instrument pochodny – umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji. Przedmiotem transakcji mogą być towary lub produkty finansowe, których cena uzależniona jest od wybranych indeksów giełdowych, kursów walut, stóp procentowych, itp.

• Instrument pochodny – umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji. Przedmiotem transakcji mogą być towary lub produkty finansowe, których cena uzależniona jest od wybranych indeksów giełdowych, kursów walut, stóp procentowych, itp.

• Termin wykonania transakcji oraz cena transakcji są ustalone w momencie jej zawierania.

• Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego

• Rodzaj transakcji (kupno / sprzedaż, wymiana płatności, wymiana walut, udzielenie/ pobranie kredytu)

• Instrument bazowy (towar, akcja, kurs walutowy, indeks giełdowy, stopa procentowa, inny instrument pochodny)

• Termin wygaśnięcia kontraktu (dzień, przedział czasowy)

• Obowiązki i prawa stron

• Sposób rozliczenia i realizacji kontraktu

Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

• Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

Pierwsze udokumentowane wzmianki o kontraktach typu forward pochodzą z XVII w z Japonii, dotyczyły przyszłych zbiorów ryżu. Kontraktom towarzyszył rozwój technik prognostycznych opartych na tzw. świecach japońskich.

• Pierwsze udokumentowane wzmianki o kontraktach typu forward pochodzą z XVII w z Japonii, dotyczyły przyszłych zbiorów ryżu. Kontraktom towarzyszył rozwój technik prognostycznych opartych na tzw. świecach japońskich.

• Kontrakty typu futures miały pierwsze notowania na giełdzie w Chicago (Chicago Stock Exchange) w 1848. Kontrakty dotyczyły płodów rolnych i surowców.

• Metale szlachetne

• Surowce energetyczne

• Stopy procentowe

• Kursy wymiany walut

Cena jednostkowa

• Cena jednostkowa

• Ilość towaru

• Parametry jakościowe

• Miejsce dostawy

• Data rozliczenia

• Klauzule dodatkowe

• Możliwość zbycia kontraktu
• Dochodzenie roszczeń w przypadku niedotrzymania umowy

Zabezpieczenie przed ryzykiem

• Zabezpieczenie przed ryzykiem

• wzrostu cen surowców (kontrakty towarowe)
• spadku cen surowców (kontrakty towarowe)

• Zabezpieczenie przed wahaniami kursów walutowych (kontrakty na kursy walutowe)

• Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu kredytu (kontrakty na stopę procentową)

• Osiągnięcie zysku

• Osłona innych inwestycji

Producenci metali bądź surowców energetycznych

• Producenci metali bądź surowców energetycznych

• Odbiorcy metali lub surowców

• Importerzy , eksporterzy

• Inwestorzy (hedging)

• Spekulanci (zysk wynikający z celnej prognozy)

• Arbitrażysci (zysk będący skutkiem niedopasowań, różnic na rynkach tego samego towaru)

Spółka podpisuje w dniu 27.11.2014 z bankiem umowę na mocy której bank zobowiązuje się dnia 01.01 2015 udzielić spółce kredyt w wysokości 500 tys. zł na okres 5 lat (termin ostatniej spłaty 01.01. 2020) oprocentowanego stopą 6,5% spłacanego w równych ratach. Spółka zobowiązuje się do zaciągnięcia w/wymienionego kredytu.

• Spółka podpisuje w dniu 27.11.2014 z bankiem umowę na mocy której bank zobowiązuje się dnia 01.01 2015 udzielić spółce kredyt w wysokości 500 tys. zł na okres 5 lat (termin ostatniej spłaty 01.01. 2020) oprocentowanego stopą 6,5% spłacanego w równych ratach. Spółka zobowiązuje się do zaciągnięcia w/wymienionego kredytu.

Spółka podpisuje w dniu 27.11. 2014 umowę z bankiem, na mocy której, bank zobowiązuje się w dniu 01.01. 2015 sprzedać spółce kwotę 500 tys. Euro po kursie 4,22 zł. za Euro.

• Spółka podpisuje w dniu 27.11. 2014 umowę z bankiem, na mocy której, bank zobowiązuje się w dniu 01.01. 2015 sprzedać spółce kwotę 500 tys. Euro po kursie 4,22 zł. za Euro.

• Spółka zobowiązuje się do zakupu wyżej wymienionej kwoty wg ustalonego kursu.

Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej)

• Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej)

• Warunki negocjowane między stronami kontraktu

• Brak standaryzacji

• Ceny nie są podawane do publicznej wiadomości

• Strony kontraktu znają się nawzajem

• Brak ograniczeń czasowych na handel kontraktami

• Możliwe trudności w zamknięciu pozycji

• Dostawa fizyczna towaru będącego przedmiotem kontraktu

• Symetryczne ryzyko niewywiązania się z kontraktu drugiej strony

Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających dwóm stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie

• Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających dwóm stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie

• Pozycję długą („nabycie kontraktu” – w konsekwencji kupno towaru będącego przedmiotem transakcji)
• Pozycję krótką („wystawienie kontraktu” - w konsekwencji sprzedaż towaru będącego przedmiotem transakcji)

Założenia: spółkom A i B zostały zaoferowane stopy procentowe dla kredytów denominowanych w dolarach oraz funtach podane w tabeli. Jednocześnie spółka A potrzebuje funty do swej działalności zaś spółka B - dolary

• Założenia: spółkom A i B zostały zaoferowane stopy procentowe dla kredytów denominowanych w dolarach oraz funtach podane w tabeli. Jednocześnie spółka A potrzebuje funty do swej działalności zaś spółka B - dolary

T=0. Spółka B zaciąga kwotę kredytu K’’ w funtach () na n lat (co roku spłaty dotyczą tylko odsetek, po n latach spłacana jest cała kwota), zaś A równoważną kwotę K’ dolarów ($) na n lat przy rocznych spłatach odsetek. (K’’  = K’ $ =K)

• T=0. Spółka B zaciąga kwotę kredytu K’’ w funtach () na n lat (co roku spłaty dotyczą tylko odsetek, po n latach spłacana jest cała kwota), zaś A równoważną kwotę K’ dolarów ($) na n lat przy rocznych spłatach odsetek. (K’’  = K’ $ =K)

• Spółki zamieniają się uzyskanymi kwotami kredytów (A dostaje funty, B – dolary) .

• 0 < T < n

• Co roku spółka A przekazuje spółce B 10,8% K’’ . $. Spółka B przekazuje spółce A kwotę 8,00 % K’ $.

• Spółka A oddaje bankowi kwotę 8,00 % K’ $. Spółka B oddaje bankowi 12% K’’ 

• T= n

• Spółka A przekazuje kwotę K’’  spółce B, spółka B przekazuje kwotę K’ $ spółce A.

• Spółka A przekazuje bankowi kwotę K’ $ zaś B przekazuje swojemu bankowi kwotę K’’ .

Oba banki otrzymują stosowne roczne odsetki w odpowiednich walutach oraz w chwili końcowej – kwoty kredytów

• Oba banki otrzymują stosowne roczne odsetki w odpowiednich walutach oraz w chwili końcowej – kwoty kredytów

• Spółka A operuje funtami przekazując spółce B rocznie 10,8% K’’ . Odsetki w $ otrzymywane od B przekazuje bankowi. Zatem rocznie odprowadza 10,8 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w , musiałaby przekazywać 11,60 % . Uzyskuje roczną korzyść 0,80 % K.

• Spółka B operuje dolarami przekazując rocznie spółce A 8,00 % od kwoty K’ $. Otrzymując 10,8 % K’’  musi dopłacić jeszcze 1,2% tej kwoty, by przekazać swemu bankowi 12 % K’’ . Wypłaca więc rocznie 9,2 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w $, musiałaby przekazywać 10 % K. Uzyskuje roczną korzyść 0,80 % K.

Ryzyko kredytowe – ryzyko związane z działalnością firm A i B oraz możliwością popadnięcia w niewypłacalność

• Ryzyko kredytowe – ryzyko związane z działalnością firm A i B oraz możliwością popadnięcia w niewypłacalność

• Ryzyko walutowe – mogą nastąpić istotne różnice w kursie wymiany walut, preferujące jedną ze stron kontraktu zarówno w trakcie spłacania odsetek jak i przy ostatecznym przekazaniu kwot kredytu.

oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe i stałe w czasie

• oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe i stałe w czasie

• wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona

• zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami

• nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji

• wszystkie aktywa są doskonale podzielne

• dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów

• ciągła kapitalizacja odsetek

• brak możliwości arbitrażu

Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat

• Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat

• Możliwość uzyskania dodatniej wartości portfela o zerowej początkowej wartości

• Możliwość wykorzystania „niedopasowań” rynkowych, pozwalająca na osiąganie dodatkowego zysku bez ponoszenia ryzyka (finansowe perpetuum mobile)

• Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walorem handluje się na dwóch rynkach

Arbitraż jest sytuacją w której:

• Arbitraż jest sytuacją w której:

• w chwili t=0 portfel ma zerową wartość

• w chwili t=T wartość portfela jest nieujemna z prawdopodobieństwem 1

• oraz wartość portfela jest dodatnia z dodatnim prawdopodobieństwem

Cena jednostkowa dostawy (np. cena baryłki ropy naftowej, tony miedzi, uncji złota)

• Cena jednostkowa dostawy (np. cena baryłki ropy naftowej, tony miedzi, uncji złota)

• Cena ta

• jest rezultatem analizy popytu i podaży w dniu zawierania kontraktu
• nie preferuje żadnej ze stron kontraktu (wartość kontraktu dla każdej strony w dniu zawierania kontraktu jest równa zeru)
• nie zmienia się w czasie trwania kontraktu
• Cena dostawy będzie oznaczona literą K

DEF. Aktualna cena terminowa kontraktu forward (krócej – cena terminowa kontraktu) jest to cena dostawy, która zostałaby wynegocjowana przez strony kontraktu, gdyby negocjacje odbywały się w chwili bieżącej.

• DEF. Aktualna cena terminowa kontraktu forward (krócej – cena terminowa kontraktu) jest to cena dostawy, która zostałaby wynegocjowana przez strony kontraktu, gdyby negocjacje odbywały się w chwili bieżącej.

• W chwili zawierania kontraktu cena terminowa jest równa cenie dostawy, później cena terminowa podlega zmianom w zależności od ceny waloru będącego przedmiotem kontraktu

K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward

• K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward

• T- okres (w latach) pozostający do dostawy

• S – cena instrumentu bazowego, będącego przedmiotem kontraktu

• F – cena terminowa kontraktu forward

• f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward

• r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w dniu dostawy

• Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S0, St, ST,

• (F0= K)

Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na jeden walor, którego przechowanie nic nie kosztuje oraz nie przynosi do chwili t = T żadnych dochodów oraz możliwa jest krótka sprzedaż waloru. (Przykłady takich walorów to akcje nie przynoszące dywidendy, obligacje zerokuponowe)

• Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na jeden walor, którego przechowanie nic nie kosztuje oraz nie przynosi do chwili t = T żadnych dochodów oraz możliwa jest krótka sprzedaż waloru. (Przykłady takich walorów to akcje nie przynoszące dywidendy, obligacje zerokuponowe)

• Stwierdzenie 1. Przy poczynionych założeniach o rynku sprawiedliwa cena wykonania K (=F0) kontraktu na walor nie generujący przepływów finansowych, dana jest wzorem

• (1) K (= F0 ) = S0 erT

• Termin realizacji T - wyrażony jest w latach, S0 – cena waloru w chwili t = 0

• (Cena terminowa w chwili t=0 jest więc wartością przyszłą bieżącej ceny waloru)

Uzasadnienie ( perspektywa właściciela waloru będącego przedmiotem kontraktu)

• Uzasadnienie ( perspektywa właściciela waloru będącego przedmiotem kontraktu)

• Podmiot posiadający walor (sprzedający) może w chwili t = 0 sprzedać walor za cenę S0 i uzyskany przychód zdeponować – uzyskując w chwili t = T kwotę S0 erT . Zatem F0 nie może być mniejsze niż S0 erT

F0 nie może być większe niż S0 erT

• F0 nie może być większe niż S0 erT

• Gdyby F0 > S0 erT , wówczas w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje:

• pożyczyć w banku kwotę S0

• zakupić walor na rynku za S0

• zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną F0

• zaś w chwili t = T :

• zrealizować kontrakt z ceną F0 (sprzedanie waloru)

• zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S0 erT

• Portfel w chwili t=0 miał wartość zerową

• Różnica F0 - S0 erT jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Gdyby że F0 < S0 erT , możliwa jest procedura:

• Gdyby że F0 < S0 erT , możliwa jest procedura:

• w chwili t = 0:

• pożyczka waloru i jego sprzedaż za kwotę S0 (krótka sprzedaż waloru)

• zdeponowanie kwoty S0 w banku

• zawarcie kontraktu kupna z ceną F0

• w chwili t = T:

• wycofanie z banku depozytu w kwocie S0 erT

• realizacja kontraktu kupna z ceną F0 (kupno waloru)

• zamknięcie krótkiej sprzedaży

• Różnica S0 erT - F0 jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 43 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Cena akcji – 40 zł. (nie jest spodziewana wypłata dywidendy)

• Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 43 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Cena akcji – 40 zł. (nie jest spodziewana wypłata dywidendy)

• Cena wykonania kontraktu jest za wysoka, możliwy jest arbitraż:

• t=0

• Zaciągamy pożyczkę 40 zł, kupujemy akcję

• Zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie

• t=T

• Sprzedajemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 43 zł

• Spłacamy pożyczkę w kwocie 40e0,05* 0,25 = 40,5

• Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 2,50 zł

Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 40,40 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Aktualna cena akcji – 40 zł. (nie spodziewana jest wypłata dywidendy)

• Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 40,40 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Aktualna cena akcji – 40 zł. (nie spodziewana jest wypłata dywidendy)

• Cena wykonania kontraktu jest za niska, możliwy jest arbitraż:

• t=0

• Dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji,

• Uzyskaną kwotę lokujemy na koncie bankowym

• Zajmujemy długą pozycję na kontrakcie

• t=T

• Wypłacamy kwotę 40e0,05* 0,25 = 40,50

• Kupujemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 40,40 zł

• Oddajemy akcję (rozliczenie krótkiej sprzedaży)

• Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 0,10 zł

Po elementarnych przekształceniach:

• Po elementarnych przekształceniach:

• - S0 + F0/ erT = 0

• W strategii : w chwili t = 0

• kupno waloru,

• krótka pozycja na kontrakcie,

• w chwili t =T

• sprzedaż waloru w ramach realizacji kontraktu

• S0 jest wydatkiem w chwili t = 0,

• F0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T

• UWAGA 1. Równanie (2) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru.

Wzór (1) jest równoważny wzorowi

• Wzór (1) jest równoważny wzorowi

• (3) - S0 + (ST)/erT = - F0/ erT + (ST)/erT

• gdzie ST oznacza cenę waloru w chwili t = T

• Lewa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii:

• kupno waloru za S0 w chwili t=0,

• sprzedaż waloru za ST w chwili t = T,

• Prawa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii:

• długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F0, zdeponowanie w banku kwoty F0 /e rT (= S0 )w chwili t = 0,

• Wycofanie lokaty bankowej, realizacja kontraktu – kupno waloru za F0 , sprzedaż waloru za ST w chwili t=T

• UWAGA 2. Strategie wymienione wyżej są równoważne

Niech – jak poprzednio – S0 oznacza cenę waloru w chwili t = 0. Niech Ft - oznacza cenę terminową kontraktu forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie St .

• Niech – jak poprzednio – S0 oznacza cenę waloru w chwili t = 0. Niech Ft - oznacza cenę terminową kontraktu forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie St .

• WNIOSEK 1. Z definicji ceny terminowej oraz z rozważań analogicznych do tych, ze stwierdzenia 1 wynika, że cena ta wynosi

• (4) Ft = St er (T - t)

• ponadto przy przyjętych oznaczeniach mamy:

• F0 = S0 erT, FT = ST

Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu.

• Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu.

• Zasadne jest więc pytanie o wartość długiej (krótkiej) pozycji w chwili t z przedziału [0; T].

• DEF. Wartość długiej pozycji ft kontraktu w chwili t definiuje wzór

• (5) ft = St - e-r(T-t) F0

• Wartość pozycji długiej w chwili t jest różnicą miedzy ceną rynkową waloru St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu

Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 25,50 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?

• Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 25,50 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?

• Stosujemy wzór ft = St - e-r(T-t) F0 w którym

• St=25,50; F0 = 26,50; r=0,06; T = 0,75; t = 0,25

• ft = 25,50 – e-0,06*0,526,50 = - 0,21681

• wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi (-0,22 zł)

Uwzględniając wzór (4) na cenę Ft , Ft = St er (T - t) oraz ft = St - e-r(T-t) F0

• Uwzględniając wzór (4) na cenę Ft , Ft = St er (T - t) oraz ft = St - e-r(T-t) F0

• wzór na wartość długiej pozycji przyjmuje postać

• ft = e-r(T- t) Ft - e-r(T- t) F0

• (6) ft = e-r(T- t) (Ft - F0 )

• Wartość ta w chwili t jest równa zdyskontowanej różnicy miedzy ceną terminową Ft a ceną wykonania F0

• lub inaczej – zdyskontowanej różnicy miedzy cenami wykonania kontraktów zawieranych w chwilach t=0 oraz t=t i tym samym terminem realizacji T

• Wartość długiej pozycji zależy od zmiennej ceny waloru St, może więc przyjmować różne znaki.

• Ponadto f0 = S0 - F0 / erT = 0, fT = ST - F0

Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena terminowa kontraktu wynosi 27,00 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?

• Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena terminowa kontraktu wynosi 27,00 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?

• Zastosujemy następującą wersję wzoru na wartość kontraktu

• ft = e-r(T- t) (Ft - F0 )

• F0= 26,50; t = 0,25; T = 0,75; Ft= 27,00; r = 0,06

• ft = e-0,06*0,5 = 0,970446 (27,00 – 26,50) = 0,485223

• wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi 0,49 zł

Uwzględniając we wzorze ft = St - e-r(T-t) F0

• Uwzględniając we wzorze ft = St - e-r(T-t) F0

• fakt, że F0 = S0 erT otrzymujemy

• ft = St - e-r(T- t) S0 erT = St - S0 ert , zatem

• (7) ft = St - S0 ert

• Uzyskana równość dostarcza kolejnej interpretacji wartości długiej pozycji w chwili t: jest to różnica między ceną waloru w chwili t, a aktualizacją jego ceny z chwili 0 na moment t

Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki, której cena wynosiła wówczas 25 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 24 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?

• Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki, której cena wynosiła wówczas 25 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 24 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?

• Zastosujemy ostatnią postać wzoru na wartość pozycji długiej: ft = St - S0 ert

• St = 24, S0= 25, t = 0,25; r = 0,06

• ft = 24 - 25* 1,015113 = -1,38

Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F0 - ceną dostawy kontraktu zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje (5’) i (6’) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w chwili t (z przedziału [0; T] )

• Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F0 - ceną dostawy kontraktu zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje (5’) i (6’) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w chwili t (z przedziału [0; T] )

• (5’) ft = St - e-r(T-t) K

• (6’) ft = e-r(T- t) (Ft - K )

• lub jeszcze inaczej (na T przed terminem realizacji):

• (8) f = S - e-rT K

• (9) f = e-rT (F- K )

• S- aktualna cena waloru, T- czas do terminu realizacji, F – cena terminowa kontraktu

Przykład. Aktualna cena akcji pewnej spółki wynosi 25 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w 6-miesięcznym a kontrakcie na akcję tej spółki, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%, a cena dostawy wynosi 24 zł

• Przykład. Aktualna cena akcji pewnej spółki wynosi 25 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w 6-miesięcznym a kontrakcie na akcję tej spółki, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%, a cena dostawy wynosi 24 zł

• Zastosujemy wzór f = S - e-rT K

• gdzie S=25, K=24, r=0,06, T=0,5

• F=25 - 0,970446*24 = 25 - 23,29069 = 1,709307

• Wartość kontraktu wynosi 1,71 zł

Wartość krótkiej pozycji jest równa wartości przeciwnej do wartości pozycji długiej w tym samym kontrakcie forward.

• Wartość krótkiej pozycji jest równa wartości przeciwnej do wartości pozycji długiej w tym samym kontrakcie forward.

• Zatem w chwili t wartość krótkiej pozycji

• (10) ft = e-r(T-t) F0 - St

• Dla krańców przedziału czasowego otrzymujemy

• f0= e-rT F0 - S0 = 0

• fT = F0 - ST

Analogicznie, otrzymujemy kilka wzorów na wartość krótkiej pozycji:

• Analogicznie, otrzymujemy kilka wzorów na wartość krótkiej pozycji:

• ft = e-r(T-t) F0 - St ;

• z uwzględnieniem ceny terminowej

• (11) ft = e-r(T- t) (F0 - Ft)

• z uwzględnieniem ceny instrumentu bazowego

• (12) ft = S0 ert - St .

• Przy danej cenie wykonania K, cenie terminowej F wartość krótkiej pozycji na T przed terminem realizacji wynosi:

• (13) f = e-rT (K - F)

Pewne aktywa będące przedmiotem kontraktów terminowych mogą generować przepływy finansowe (dochody lub koszty) w przedziale czasu od zawarcia kontraktu do terminu realizacji.

• Pewne aktywa będące przedmiotem kontraktów terminowych mogą generować przepływy finansowe (dochody lub koszty) w przedziale czasu od zawarcia kontraktu do terminu realizacji.

• (akcje – wypłaty dywidend, obligacje – kuponów; towary, surowce powodują koszty magazynowania)

• Przepływy w przedziale [0, T] oznaczamy przez

• C1, ..., Cn. Dodatnie liczby oznaczają dochody posiadacza aktywa, ujemne – koszty.

Rozważmy dwie strategie analogiczne do rozpatrywanych w przypadku braku dodatkowych przepływów w UWADZE 2.

• Rozważmy dwie strategie analogiczne do rozpatrywanych w przypadku braku dodatkowych przepływów w UWADZE 2.

• strategia I:

• w chwili t = 0 kupno waloru za S0,

• realizacja przepływów generowanych przez walor w chwilach t1,..,tn

• w chwili t = T

• sprzedaż waloru za ST,

• strategia II: w chwili t=0

• długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F0 , lokata w banku kwoty F0/ erT,

• w chwili t = T

• wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F0 , sprzedaż waloru za ST

• Jak poprzednio, strategie wymienione wyżej powinny być równoważne, zatem sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych w tych strategiach – równe.

Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I:

• Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I:

• - S0 + (C1)/ert1 +...+ (Cn)/ertn + (ST)/erT

• Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii II:

• - F0/ erT + (ST)/erT

• Wobec równoważności obu strategii

• - S0 + (C1)/ert1 +...+ (Cn)/ertn + (ST)/erT = - F0/ erT + (ST)/erT

• Stąd wyliczamy F0

• (14) F0 = [S0 – ((C1)/ert1 +...+ (Cn)/ertn )] erT

• Zatem cena wykonania kontraktu jest równa wartości przyszłej (w chwili t =T) ceny waloru z chwili t = 0 skorygowanej o wartość bieżącą przepływów C1, ...,Cn.

F0 = [S0 – ((C1)/ert1 +...+ (Cn)/ertn )] erT

• F0 = [S0 – ((C1)/ert1 +...+ (Cn)/ertn )] erT

• F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT symbolicznie

• F = (S – PV) erT

• Po elementarnych przekształceniach wzoru (15):

• - S0 + Σi PV(Ci) + F0/ erT = 0

• W strategii t = 0: kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie,

• t =T : sprzedaż waloru za F0 w ramach realizacji kontraktu

• S0 jest wydatkiem w chwili t = 0,

• Ci i=1,..., i=n są wpływami w przedziale czasu [0;T]

• F0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T.

• Równanie (15) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru (identyczna sytuacja jak w Uwadze 1)

Przypuśćmy że F’ < F = (S - PV) erT Stosujemy strategię:

• Przypuśćmy że F’ < F = (S - PV) erT Stosujemy strategię:

• t = 0

• pożyczamy walor, dokonujemy krótkiej sprzedaży uzyskując kwotę S,

• kwotę (S - PV) lokujemy przy stopie r, na okres T,

• kwotę PV również lokujemy przy stopie r, ale wcześniej dzielimy na tyle części, ile jest wypłat i w takiej proporcji, by te wypłaty zrealizować;

• zajmujemy długą pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’

• 0 < t

• realizujemy przepływy (wypłaty)

• t =T

• podejmujemy kwotę (S - PV) erT , realizujemy kontrakt kupując walor za F’

• Oddajemy walor

• Kwota [(S - PV) erT – F’] jest arbitrażowym zyskiem

Przypuśćmy że F’ > F = (S - PV) erT .Stosujemy strategię:

• Przypuśćmy że F’ > F = (S - PV) erT .Stosujemy strategię:

• (t = 0)

• kupujemy walor wydając kwotę S,

• zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’

• (0 < t < T)

• realizujemy przepływy - dochody, których łączna wartość na chwilę t = 0 wynosi PV. (Bieżąca wartość wydatków w chwili t=0 wynosi więc (S - PV) )

• (t =T)

• realizujemy kontrakt sprzedając walor za F’

• wartość naszej inwestycji (w której - nominalnie - nie ponosimy ryzyka) w chwili T, musi być równa (S - PV) erT

• Kwota [F’- (S - PV) erT ] jest arbitrażowym zyskiem

Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5- letniej o nominale 1000 zł wynosi 930 zł. Płatności kuponowe w wysokości 40 zł następują co pół roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Jaka winna być cena wykonania rocznego kontraktu na tą obligację z terminem wykonania zaraz po drugiej wypłacie?

• Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5- letniej o nominale 1000 zł wynosi 930 zł. Płatności kuponowe w wysokości 40 zł następują co pół roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Jaka winna być cena wykonania rocznego kontraktu na tą obligację z terminem wykonania zaraz po drugiej wypłacie?

• F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT

• t1= 0,5; t2 = 1; T =1

• F0 = (930 – 40/e0,08*0,5 - 40/e0,08 )e0,08 = 925,8245

• Cena wykonania takiego kontraktu wynosi 925,82 zł

Przykład 2. Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $ Koszty kwartalne przechowania 1 tony to 150$ płatne z góry. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6%. Jaka winna być cena terminowa 9 miesięcznego kontraktu na tonę tego surowca .

• Przykład 2. Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $ Koszty kwartalne przechowania 1 tony to 150$ płatne z góry. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6%. Jaka winna być cena terminowa 9 miesięcznego kontraktu na tonę tego surowca .

• F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT

• t1=0; t2= 0,25; t3= 0,5 T = 0,75

• F0 = (8730 + 150 + 150 /e0,06*0,25 + 150 /e0,06*0,5)e0,06 *0,75

• = (8730 + 150 + 147,668 + 145,567 ) 1,046 = 9595,563

• Cena terminowa takiego kontraktu forward powinna wynosić 9595,56 $

Cena dostawy - K

• Cena dostawy - K

• Do ogólnego wzoru na wartość kontraktu kupna

• f = e-rT (F - K )

• wstawiamy F = (S – PV) erT

• Otrzymujemy

• f = e-rT ((S – PV) erT - K ) = S – PV - K e-rT

• (17) f = S – PV - K e-rT

Stopa dywidendy: q := wielkość dywidendy / cena akcji

• Stopa dywidendy: q := wielkość dywidendy / cena akcji

• Założenia dodatkowe

• Dywidenda wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie dywidendy q
• Dochód z dywidendy jest reinwestowany w akcje (ciągłe powiększanie portfela akcji)
• Cena akcji jest stała

• Rozważmy następującą strategię:

• t=0

• Zakup e-qT akcji o stopie dywidendy q

• Krótka pozycja na kontrakcie forward na akcję z ceną F

• t=T

• Sprzedaż posiadanej akcji – realizacja kontraktu.

Gdyby inwestor w chwili początkowej nabył 1 akcję to po roku miałby już eq akcji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e qT akcji

• Gdyby inwestor w chwili początkowej nabył 1 akcję to po roku miałby już eq akcji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e qT akcji

• Ponieważ początkowa liczba akcji wynosiła e-qT , zatem końcowa liczba to e-qT eqT = 1

• Założenie, że akcje są podzielne nie jest zupełnie nierealistyczne. Mając bowiem pakiet 10 000 akcji to przy cenie akcji 100 zł, q=5%, T=0,01, dywidenda w tym okresie wynosi 10000*100*(e0,05*0,01- 1)=500,13;umożliwia zatem zakup dodatkowych 5 akcji

Strategia inwestora charakteryzuje się dwoma przepływami: wydatkiem Se-qT w chwili początkowej, przychodem F po czasie T.

• Strategia inwestora charakteryzuje się dwoma przepływami: wydatkiem Se-qT w chwili początkowej, przychodem F po czasie T.

• Tak jak w pierwszej sytuacji (wzór (2), UWAGA 1) musi zachodzić równość

• - Se -qT + F/ erT = 0,

• Skąd otrzymujemy

• (18) F = S e (r- q) T