Instrument pochodny

• Instrument pochodny – umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji. Przedmiotem transakcji mogą być towary lub produkty finansowe, których cena uzależniona jest od wybranych indeksów giełdowych, kursów walut, stóp procentowych, itp.

• Termin wykonania transakcji oraz cena transakcji są ustalone w momencie jej zawierania.

• Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego

• Rodzaj transakcji (kupno / sprzedaż, wymiana płatności, wymiana walut, udzielenie/ pobranie kredytu)

• Instrument bazowy (towar, akcja, kurs walutowy, indeks giełdowy, stopa procentowa, inny instrument pochodny)

• Termin wygaśnięcia kontraktu (dzień, przedział czasowy)

• Obowiązki i prawa stron

• Sposób rozliczenia i realizacji kontraktu

Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

• Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

• Metale

• Surowce energetyczne

• Stopy procentowe

• Kursy wymiany walut

Cena jednostkowa

• Cena jednostkowa

• Ilość towaru

• Parametry jakościowe

• Miejsce dostawy

• Data rozliczenia

• Klauzule dodatkowe

• Możliwość zbycia kontraktu
• Dochodzenie roszczeń w przypadku niedotrzymania umowy

• Zabezpieczenie przed ryzykiem

• wzrostu cen surowców (kontrakty towarowe)
• spadku cen surowców (kontrakty towarowe)

• Zabezpieczenie przed wahaniami kursów walutowych (kontrakty na kursy walutowe)

• Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu kredytu (kontrakty na stopę procentową)

• Osiągnięcie zysku

• Osłona innych inwestycji

Producenci metali bądź surowców energetycznych

• Producenci metali bądź surowców energetycznych

• Odbiorcy metali lub surowców

• Importerzy , eksporterzy

• Inwestorzy

• Spekulanci

• Arbitrażysci

Przykład kontraktu forward na stopę procentową

• Spółka podpisuje w dniu 17.04.2012 z bankiem umowę na mocy której bank zobowiązuje się dnia 01.01 2013 udzielić spółce kredytu w wysokości 500 tys. zł na okres 5 lat (termin ostatniej spłaty 01.01. 2018) oprocentowanego stopą 6,5% spłacanego w równych ratach. Spółka zobowiązuje się do zaciągnięcia w/wymienionego kredytu.

Przykład kontraktu forward na kurs waluty

• Spółka podpisuje w dniu 17. 04. 2012 umowę z bankiem, na mocy której bank zobowiązuje się w dniu 01.01. 2014 sprzedać spółce kwotę 500 tys. Euro po kursie 4,08 zł. za Euro.

• Spółka zobowiązuje się do zakupu wyżej wymienionej kwoty wg ustalonego kursu.

Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej)

• Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej)

• Warunki negocjowane między stronami kontraktu

• Brak standaryzacji

• Ceny nie są podawane do publicznej wiadomości

• Strony kontraktu znają się nawzajem

• Brak ograniczeń czasowych na handel kontraktami

• Możliwe trudności w zamknięciu pozycji

• Dostawa fizyczna towaru będącego przedmiotem kontraktu

• Symetryczne ryzyko niewywiązania się z kontraktu drugiej strony

• Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających dwóm stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie

• Pozycję długą („nabycie kontraktu” – w konsekwencji kupno towaru będącego przedmiotem transakcji)
• Pozycję krótką („wystawienie kontraktu” - w konsekwencji sprzedaż towaru będącego przedmiotem transakcji)

Kontrakty wymiany (swapy) Walutowy kontrakt wymiany (Swap walutowy)

• Założenia: spółkom A i B zostały zaoferowane stopy procentowe dla kredytów denominowanych w dolarach oraz funtach podane w tabeli. Jednocześnie spółka A potrzebuje funty do swej działalności zaś spółka B - dolary

Walutowy kontrakt wymiany

• T=0

• Spółka B zaciąga kwotę K’’  w funtach kredytu na n lat (co roku spłaty dotyczą tylko odsetek, po n latach spłacana jest cała kwota), zaś A równoważną kwotę K’ dolarów ($) na n lat przy rocznych spłatach odsetek. (K’’  = K’ $ = K)

• Spółki zamieniają się uzyskanymi kwotami kredytów (A dostaje funty, B – dolary) .

• 0 < T < n

• Co roku spółka A przekazuje spółce B 10,8% K’’  oraz oddaję bankowi kwotę 8,00 % K’ $. Spółka B przekazuje spółce A kwotę 8,00 % K’ $ zaś bankowi 12% K’’ 

• T= n

• Spółka A przekazuje kwotę K’’  spółce B, spółka B przekazuje kwotę K’ $ spółce A.

• Spółka A przekazuje bankowi kwotę K’ $ zaś B przekazuje swojemu bankowi kwotę K’’ .

Walutowy kontrakt wymiany

• Bilans

• Oba banki otrzymują stosowne roczne odsetki w odpowiednich walutach oraz w chwili końcowej – kwoty kredytów

• Spółka A operuje funtami przekazując spółce B rocznie 10,8% K’’ . Odsetki w $ otrzymywane od B przekazuje bankowi. Zatem rocznie odprowadza 10,8 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w , musiałaby przekazywać 11,60 % . Uzyskuje roczną korzyść 0,80 % K.

• Spółka B operuje dolarami przekazując rocznie spółce A 8,00 % od kwoty K’ $. Otrzymując 10,8 % K’’  musi dopłacić jeszcze 1,2% tej kwoty, by przekazać swemu bankowi 12 % K’’ . Wypłaca więc rocznie 9,2 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w $, musiałaby przekazywać 10 % K. Uzyskuje roczną korzyść 0,80 % K.

Ryzyka kontraktu wymiany

• Ryzyko kredytowe – ryzyko związane z działalnością firm A i B możliwością popadnięcia w niewypłacalność

• Ryzyko walutowe – mogą nastąpić istotne różnice w kursie wymiany walut, preferujące jedną ze stron kontraktu zarówno w trakcie spłacania odsetek jak i przy ostatecznym przekazaniu kwot kredytu.

• Kontraktem typu futures jest umowa między dwoma podmiotami dotycząca dostawy określonej ilości towaru lub określonych aktywów w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie.

• Kontrakt ma szczegółową specyfikację i jest przedmiotem obrotu giełdowego.

Metale szlachetne i strategiczne

• Metale szlachetne i strategiczne
• Surowce energetyczne: ropa naftowa, paliwa, gaz
• Rośliny oleiste: ziarna, nasiona, włókna
• Artykuły spożywcze: cukier kawa, kakao

• Stopy procentowe
• Kursy wymiany walut
• Ceny obligacji
• Ceny akcji
• Indeksy giełdowe

Ustalony standard jakości

• Ustalony standard jakości

• Ustalona ilość towaru przypadająca na jeden kontrakt

• Określenie daty i miejsca dostawy

• (jedyna rzecz pozostająca do ustalenia to cena kontraktu ale ona ustalana jest na parkiecie giełdowym)

• Kontrakty forwards i futures na towary mają wiele podobieństw, różnice występują w możliwościach obrotu kontraktami, warunkach dostaw a przede wszystkim w metodach rozliczania i dystrybucji ryzyka inwestycyjnego

Obrót giełdowy (istnieje cena giełdowa kontraktu)

• Obrót giełdowy (istnieje cena giełdowa kontraktu)

• Standaryzowane i publicznie znane specyfikacje kontraktów

• Znane ceny (kursy) kontraktów

• Uczestnicy rynku są anonimowi

• Określone godziny obrotu

• Pozycje łatwe do zamknięcia

• Brak konieczności dostawy fizycznej towaru

• Od każdej strony pobierany jest depozyt zabezpieczający przez instytucję rozliczającą kontrakt

• Bieżąca kompensacja zobowiązań i należności będąca konsekwencją wahań cen kontraktu

• Każda ze stron jest zabezpieczona przed ryzykiem niedotrzymania kontraktu przez drugą stronę

W przypadku kontraktów terminowych notowanych na warszawskiej giełdzie regulowanie zobowiązań następuje wyłącznie w formie rozliczenia pieniężnego, mimo że kupno lub sprzedaż kontraktu oznacza zobowiązanie do dostawy lub odbioru instrumentu bazowego

• W przypadku kontraktów terminowych notowanych na warszawskiej giełdzie regulowanie zobowiązań następuje wyłącznie w formie rozliczenia pieniężnego, mimo że kupno lub sprzedaż kontraktu oznacza zobowiązanie do dostawy lub odbioru instrumentu bazowego

Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji na kontrakcie

• Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji na kontrakcie

• Pozycję długą (kupić kontrakt)
• Pozycję krótką (sprzedać kontrakt)

• Pozycję można

• Utrzymać do dnia wygaśnięcia (po czym następuje rozliczenie )

• Wycofać się z rynku, zamykając pozycję (sprzedać jeśli kupił, kupić jeśli wcześniej sprzedał)

Kurs kontraktu na WIG20 oscyluje wokół poziomu indeksu WIG20

• Kurs kontraktu na WIG20 oscyluje wokół poziomu indeksu WIG20

• Załóżmy, że Inwestor zajmuje dziś pozycję długą na kontrakcie zaś kurs zamknięcia z poprzedniej sesji wyniósł 2500 pt.

• Wartość kontraktu to: kurs kontraktu*10 zł = 25 000 zł .

• Inwestor wnosi depozyt zabezpieczający w wysokości 5,00 % wartości kontraktu z poprzedniego zamknięcia, czyli 1250 zł.

• Jeżeli kurs kontraktu wzrośnie o 2% czyli wyniesie 2550, to zysk kwotowy inwestora wyniesie tyle, ile wynosi wzrost wartości kontraktu, czyli 2550*10 zł - 25000 zł = 500 zł.

• Zysk procentowy wyniesie (500/1250)*100% = 40%

• (20 - krotność zmiany procentowej kursu kontraktu)

• Do poprzedniego stanu depozytu dopisana jest kwota 500 zł.

• Nowa wartość depozytu wynosi 1750 zł, co stanowi 6,86% nowej wartości kontraktu – 25 500 zł. Depozyt może być zredukowany do kwoty równej 5% nowej wartości kontraktu. Inwestor może wyprowadzić kwotę 475 zł.

Rozliczenie kontraktu futures na indeks giełdowy WIG 20

• Jeżeli kurs kontraktu spadnie o 2% o poziomu 2450, to kwota straty inwestora wyniesie tyle, ile wynosi utrata wartości kontraktu, czyli

• 25 000 zł - 2450*10 zł = 500 zł.

• Strata procentowa wyniesie (500 / 1250)*100% = 40%

• ( 20 - krotność zmiany procentowej kursu kontraktu )

• Od poprzedniego stanu depozytu odjęta jest kwota 500 zł,

• Nowa wartość depozytu wynosi 750 zł, co stanowi 3,06% nowej wartości kontraktu (24 500 zł).

• Depozyt musi być uzupełniony do kwoty stanowiącej 5% nowej wartości kontraktu, czyli do kwoty 1225 zł. Należy dopłacić 475 zł.

• Uwaga 1. Wartość kontraktu zmienia się w ujęciu procentowym tak jak kurs kontraktu

• Uwaga 2. Zyski i straty inwestora zajmującego krótką pozycję są odwrotne do zajmującego pozycję długą

Zakładamy dzienne 2% spadki kursu kontraktu po dwóch dniach posiadacz długiej pozycji traci [(1200,50 - 940,50) –1250] / 1250 = -79,20% po trzech dniach -117,62 % po 10 dniach - 365,85 %

Rozliczenie kontraktu futures na indeks giełdowy WIG 20 symulacja kursu: 0,3 x + 200 sin x + 2500

Efekt dźwigni finansowej w kontraktach futures

• Rozliczenie dzienne ma na celu niedopuszczenie do sytuacji narastania długu do takiego rozmiaru, przy którym istniałoby ryzyko niewypłacalności jednej ze stron

• W przypadku kontraktów na WIG20 depozyt 5% oznacza, że każda zmiana kursu kontraktu oznacza dwudziestokrotnie większą zmianę procentową w portfelu inwestora

Ryzyko rynkowe – zmiany kursów potęgowane są przez efekt dźwigni finansowej (małe wahania kursów powodują duże procentowe zmiany wartości kontraktów)

• Ryzyko rynkowe – zmiany kursów potęgowane są przez efekt dźwigni finansowej (małe wahania kursów powodują duże procentowe zmiany wartości kontraktów)

• Ryzyko płynności – niska aktywność innych graczy może utrudniać zamknięcie pozycji, zwłaszcza kontraktów o odległym terminie wygaśnięcia

• Ryzyko makroekonomiczne – dotyczy kontraktów na waluty i wiąże się z wpływem polityki monetarnej na kształtowanie się kursów wymiany walut

Producenci i odbiorcy metali, surowców energetycznych, roślin oleistych, artykułów spożywczych

• Producenci i odbiorcy metali, surowców energetycznych, roślin oleistych, artykułów spożywczych

• Importerzy, eksporterzy

• Inwestorzy, zabezpieczający swoje pozycje na rynku kasowym

• - zajęcie równej co do wartości lecz przeciwnej w stosunku do pozycji na rynku kasowym (poz. długa na rynku kasowym (akcje) + krótka pozycja na kontrakcie na indeks)

• Spekulanci (wykorzystanie lewara finansowego)

• Zajęcie długiej pozycji w kontrakcie – przy przewidywanym wzroście jego ceny

• Zajęcie krótkiej pozycji w kontrakcie – przy przewidywanym spadku jego ceny

• Arbitrażyści

• Kupno i sprzedaż kontraktów wykorzystujące różnice cenowe między poszczególnymi rynkami lub giełdami

Futures / ZABEZPIECZENIE KRÓTKIE

• Rynek kasowy:

• Inwestor posiada pakiet akcji z indeksu WIG 20

• Rynek terminowy:

• Inwestor zajmuje krótką pozycję na kontraktach futures na WIG 20, tak by wartość kontraktów była identyczna z wartością posiadanych akcji

• Rezultat

• w przypadku wzrostów cen akcji - zyski na rynku kasowym, straty podobnej wielkości na kontraktach

• W przypadku spadków cen akcji - straty na rynku kasowym rekompensowane zyskami podobnej wielkości na kontraktach

Futures / ZABEZPIECZENIE DŁUGIE

• Rynek kasowy:

• Inwestor sprzedał pakiet akcji z WIG 20

• Rynek terminowy:

• Inwestor zajmuje długą pozycję na kontraktach futures na WIG 20, tak by wartość kontraktów była identyczna z wartością sprzedanych akcji

• Rezultat

• w przypadku wzrostów cen akcji - straty na rynku kasowym rekompensowane zyskami podobnej wielkości na kontraktach

• W przypadku spadków cen akcji - zyski na rynku kasowym mają podobną wielkość jak straty na kontraktach

Badanie konsekwencji addytywnego modelu zmienności kursu kontraktu

• (a) Załóżmy, że kurs kontraktu na zamknięciu każdej sesji wzrasta lub spada o 10 punktów z jednakowym prawdopodobieństwem. Inwestor zajął kiedyś długą pozycję na kontrakcie ale od tamtej chwili kurs spadł o 90 punktów. Do wygaśnięcia kontraktu pozostało jeszcze tylko 20 dni. Obliczymy prawdopodobieństwo uzyskania zysku z inwestycji, zakładając, że inwestor utrzyma pozycję do wygaśnięcia.

•  

• (b)  Przeprowadzimy podobne obliczenia dla różnej liczby dni do wygaśnięcia kontraktu: 30, 40, 50, 60, 70, 80 oraz sporządzimy wykres tego prawdopodobieństwa w zależności od liczby dni do wygaśnięcia

• (c)     Sporządzimy wykresy prawdopodobieństwa uzyskania zysku z inwestycji w zależności od liczby dni do wygaśnięcia, dla różnych prawdopodobieństw wzrostu kursu (0,4; 0,45; 0,5; 0,55; 0,6; 0,65)

Addytywny model zmienności kursu kontraktu

• Przy 20 dniach do wygaśnięcia (20 próbach Bernoulliego) inwestor osiągnie zysk w następujących przypadkach liczby wzrostów i spadków : (15,5);(16,4);(17,3); (18,2); (19,1); (20,0). Sumując prawdopodobieństwa uzyskania liczb sukcesów (wzrostów) obliczamy żądane prawdopodobieństwo. (0,02069)

• W przypadku innej liczby dni należy ustalić wszystkie przypadki w których różnica między liczbą sukcesów i porażek jest nie mniejsza niż 10. Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego

Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego) po z góry ustalonej cenie i w ciągu umówionego okresu lub w wyznaczonym terminie.

• Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego) po z góry ustalonej cenie i w ciągu umówionego okresu lub w wyznaczonym terminie.

• Opcja jest to umowa dająca jej posiadaczowi prawo do wykonania określonej czynności w określonym momencie lub przedziale czasu.

Zabezpieczenia przed niekorzystnymi zmianami cen instrumentu bazowego

• Zabezpieczenia przed niekorzystnymi zmianami cen instrumentu bazowego

• Spekulacji na spadku lub wzroście instrumentu bazowego

• Arbitrażu między rynkiem instrumentów pochodnych a rynkiem instrumentów bazowych

Stopy procentowe

• Stopy procentowe

• opcje na kontrakty FRA (forward rates agreement)

• Waluty

• opcje na kursy walutowe

• opcje na walutowe kontrakty futures

• Akcje

• opcje na poszczególne akcje

• opcje na kontrakty futures na indeksy akcji

• Towary

• opcje na towary

• opcje na towarowe kontrakty futures

• Indeksy giełowe

Prawo (bez obowiązku) do zakupu akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania

• Prawo (bez obowiązku) do zakupu akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania

• Opcja posiada swoją wartość. Premia jest to cena, którą musimy zapłacić za nabycie opcji.

• Przykład : akcja PKN kosztuje 35,50 zł. Europejska opcja kupna z ceną wykonania 38 zł wygasająca 23 marca 2012 roku daje jej nabywcy prawo kupienia jednej akcji PKN za 38 zł w dniu 23 marca 2012 roku. (W praktyce opcje nabywa się w ustalonych pakietach pozwalających kupić większe ilości akcji)

OPCJA KUPNA

• OPCJA KUPNA

• Prawo (bez obowiązku) kupna akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, do określonego momentu w przyszłości

• OPCJA SPRZEDAŻY

• Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, do określonego momentu w przyszłości

• Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania

KAŻDY INWESTOR MOŻE BYĆ

• KAŻDY INWESTOR MOŻE BYĆ

• NABYWCĄ OPCJI (KUPUJĄCYM)
• WYSTAWCĄ OPCJI (SPRZEDAJACYM)

• (dotyczy to obu rodzajów opcji : kupna, sprzedaży)

• o nabywcy mówimy że : ZAJĄŁ DŁUGĄ POZYCJĘ NA OPCJI

• o wystawcy mówimy że : ZAJĄŁ KRÓTKĄ POZYCJĘ NA OPCJI

Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna

• Definicja

• Funkcję zdefiniowaną wzorem

•  

• nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji kupna.

• K - cena wykonania

• ST – cena instrumentu bazowego w terminie wykonania

Funkcja wypłaty / europejska opcja sprzedaży

• Funkcję zdefiniowaną wzorem

• nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji sprzedaży.

Zysk posiadacza opcji kupna (long call) C – premia (opłata za opcję)

Zysk wystawcy opcji kupna (short call) C – premia (opłata za opcję)

Zysk posiadacza opcji sprzedaży (long put) P – premia (opłata za opcję)

Zysk wystawcy opcji sprzedaży (short put) P – premia (opłata za opcję)

Pozycja długa w opcji kupna (kupno opcji)

Pozycja krótka w opcji kupna (wystawienie opcji)

Pozycja długa w opcji sprzedaży (kupno opcji)

Pozycja krótka w opcji sprzedaży (wystawienie opcji)

Opcje na indeks giełdowy

• Instrument pierwotny – wartość indeksu giełdowego

• Opcja kupna na indeks WIG20 o „cenie” realizacji 2400 i terminie 01.06. 2012 daje jej posiadaczowi wypłatę jeśli w wymienionym terminie wartość indeksu będzie większa niż 2400 punktów (wypłata jest uzależniona od różnicy WIG20 -2400)

• Opcja sprzedaży na indeks WIG20 o „cenie” realizacji 2400 i terminie 01.06. 2012 daje jej posiadaczowi wypłatę jeśli w wymienionym terminie wartość indeksu będzie mniejsza niż 2400 punktów (wypłata jest uzależniona od różnicy 2400 - WIG20 )

Opcje egzotyczne

• Opcje azjatyckie

• – rozliczenie zależy od średniej ceny instrumentu bazowego w okresie ważności opcji

• typ 1 - cena średnia pełni rolę ceny końcowej, wypłata opcji kupna: max{Sśr-K, 0}

• typ 2 - cena średnia pełni rolę ceny realizacji, wypłata opcji kupna: max{ST – Sśr , 0}

• Opcje typu lookback

• – rozliczenie zależy od minimalnej bądź maksymalnej ceny instrumentu bazowego w okresie ważności opcji

• wypłata opcji kupna: max { ST – Smin , 0}

• wypłata opcji sprzedaży: max { Smax - ST , 0}

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedziału (0;1) o przeciętnej wartości równej 0,5

Opcje egzotyczne

• Opcje barierowe

• - Funkcja wypłaty opcji zależy od faktu, czy w ciągu jej okresu ważności cena instrumentu bazowego osiągnęła lub przekroczyła pewną wartość (barierę)

• lub

• - Funkcja wypłaty opcji zależy od faktu, czy w ciągu jej okresu ważności cena instrumentu bazowego pozostawała w ustalonym przedziale

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedz. (0;2)

Opcje egzotyczne

• Opcje binarne – rodzaj opcji barierowych

• Jeśli opcja kupna jest w cenie (ST –K >0), właściciel opcji otrzymuje ustaloną kwotę (niezależną od różnicy ST –K ), w przeciwnym przypadku nie następuje przepływ gotówki.

• Podobnie opcja sprzedaży daje ustaloną kwotę wypłaty jeśli tylko K - ST > 0

• Typy (warunek wypłaty ustalonej kwoty):

• One –Touch-Down (cena referencyjna osiąga lub spada poniżej bariery)

• One –Touch-Up (cena ref. osiąga lub rośnie powyżej bariery)

• No –Touch-Down (c. r. nie osiąga bariery, nie spada poniżej bariery)

• No –Touch-Up (c. r. nie osiąga bariery, nie rośnie powyżej bariery)

• Double-One-Touch (cena ref. dotyka lub pokonuję jedną z barier ) Double-No-Touch (cena ref. utrzymuje się między dolną a górną barierą )

J.C. Cox, S.A. Ross, M. Rubinstein

• J.C. Cox, S.A. Ross, M. Rubinstein

• Wycena opcji europejskiej w modelu dyskretnym

• Fischer Black, Myron Sholes, Robert Merton (1973)

• Wycena opcji europejskiej w modelu ciągłym

• Fischer Black, Myron Sholes

• Nagroda Nobla 1997- za nową metodę wyceny instrumentów pochodnych