Kinematika

Mechanika

A klasszikus mechanika a fizikának az az ága, amely a testek nem túlságosan nagy, vagyis a fénysebességet meg nem közelítő sebességgel történő mozgásának törvényszerűségeit vizsgálja. Az általánosan elfogadott felosztás szerint két alapvető részterülete van:

• 
  a mozgástan vagy kinematika, amely a mozgások leírásával foglalkozik, és
  
• 
  az erőtan vagy dinamika, amely a mozgások okait, az azokat létrehozó hatásokat is vizsgálja.
  

Kinematika

Az anyagi pont helyzetének leírása, a pályagörbe

A mozgás a klasszikus értelemben vett definíció szerint relatív helyzetváltoztatás. A következőkben a legegyszerűbb modell, az anyagi pont vagy tömegpont mozgá­sának általános törvényszerűségeit szeretnénk megállapítani.

Az anyagi pont vagy tömegpont olyan, tömeggel rendelkező test, amely pontszerűnek tekinthető, vagyis méretei a mozgás más jellemzőihez képest el­hanyagolhatók.

Az tehát, hogy adott esetben egy test pontszerűnek tekinthető-e vagy nem, a mozgás jel­lemzőitől is függ: nem tekinthető például tömegpontnak egy gépjármű, ha átáll az úttest egyik o­l­daláról a másikra, de egyértelműen annak tekinthetjük, ha egyik városból a másikba közlekedünk vele.

Természetesen ezen egyszerű modell törvényszerűségeinek ismeretében vizsgálhatók tö­meg­pontrendszerek is, mint például a speciális tömegpontrendszernek tekinthető merev testek és szilárd testek, amelyeket az őket alkotó tömegpontok összessége és a tömegpontok között fennálló kapcsolatok együttesen jellemeznek.

A mozgás meghatározásában szereplő relatív helyzetváltoztatás azt jelenti, hogy a tömegpont mozgásának egyértelmű leírása csak úgy lehetséges, ha megad­juk, hogy a tömegpont mindenkori helyzetét mihez viszonyítjuk. A mozgás leírá­sá­hoz tehát mindig meg kell adjuk a vonatkoztatási rendszert, ami lehet például egy me­rev test, illetve, ami ezzel matematikailag egyenértékű, egy megfelelően defini­ált koordinátarendszer.

A tömegpont térbeli helyzete egyértelműen megadható az általánosan alkal­ma­zott Descartes-féle koordinátarendszer segítségével. Mint ismeretes, ezt a rend­szert három, páronként egymásra merőleges, egy közös pontból, a koordináta­rend­szer origójából induló egységvektorral (- melyeknek szokásos jelölése rendre i, j és k -), illetve az ezen egységvektorokra illeszkedő egyenesekkel, a koordinátarend­szer x, y, és z tengelyeivel adhatjuk meg.

1. 
   ábra
   

Az anyagi pont tetszőleges t időpontban elfoglalt helyzetét tehát egyértel­mű­en jellemezhetjük egy r(t) helyvektorral, amelyet koordinátáival is megadha­tunk:

r(t) = r_x + r_y + r_z = x(t) i + y(t) j + z(t) k .
Az anyagi pont mozgása közben különböző egymás utáni helyzeteket vesz fel, az ezeket tartalmazó folytonos görbe a pályagörbe.

A pályagörbe adott szakaszának, illetve pontjainak jellemzői:

• 
  az ívhossz, ( Ds (delta s), ábránkon PP’ ), amely egyirányú mozgás esetében megegye­zik a megtett úttal, és
  
• 
  a görbületi sugár, amely az
  

R = lim Ds/Df = ds/ df

D0

összefüggéssel definiálható, és általános esetben a pályagörbe adott pontjá­nak jellemzője.

A görbületi sugár kifejezésében szereplő hányados az ívhossz szögelfordulás szerinti differenciálhányadosa, amely, mint látjuk, egy határértékkel egyenlő. Szemléletesen azt jelenti, hogy a Ds/D hányados akkor közelíti megfelelő pontossággal a görbületi sugár értékét az adott pont környezetében, ha D értékét egyre kisebbre, csaknem nullára választjuk ( matematikai megfogalmazásban: D0, vagyis delta fi tart a nullához ).

A tömegpont elmozdulása, sebessége, gyorsulása

Amennyiben egy tömegpont t időpontbeli helyzete az r(t) helyvektorral, illet­ve t+Dt időpontbeli helyzete az r(t+Dt) helyvektorral írható le, akkor a tömegpont ezen t időtartamhoz tartozó elmozdulásvektora:

Dr = r(t+Dt) – r(t)

Az ily módon definiált elmozdulásvektor mindenkor a pályagörbe P és P’ pontjá­hoz tartozó szelőre illeszkedik.

A tömegpont Dt időintervallumra vonatkoztatott átlagsebessége:

v(t,Dt) = Dr/Dt .

Az így nyert hányados skaláris alakja a megfelelője annak az általánosan el­ter­jedt sebesség­fogalomnak, mely szerint a sebesség a megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa, skalárisan v = s/t . Ez a jellemző azonban nem írja le egyértelműen az adott időpontbeli sebes­sé­get, hiszen nemcsak az időnek, hanem az önkényesen megválasztott Dt időinter­val­lum­nak is függvénye, ezért vezettük be a pillanatnyi sebesség ( a későbbiekben egy­szerűen csak sebesség ) fogalmát:

v(t) = lim Dr/Dt = dr/ dt .

Dt0

A sebességvektor tehát az elmozdulásvektor idő szerinti első differenciálhánya­do­sa. A sebesség vektormennyiség, iránya a pályagörbe mindenkori érintőjének irá­nyá­val megegyező. A pillanatnyi sebesség természetesen megadható koordiná­tá­ival is:

v(t) = dr/dt = dv_x(t) i + dv_y(t) j + dv_z(t) k

A sebességvektornak az idő függvényében nagysága és iránya egyaránt változhat:

2.ábra

A sebesség Dt időtartamra vonatkozó változásának jellemzésére vezettük be az átlagos gyorsulás fogalmát:

a(t,Dt) = Dv/Dt , illetve definiáltuk

a pillanatnyi gyorsulás ( a továbbiakban egyszerűen csak gyorsulás) fogalmát:

a(t) = lim Dv/Dt = dv/ dt = dv_x(t)/dt i + dv_y(t)/dt j + dv_z(t)/dt k .

Dt0

Az ily módon definiált gyorsulásvektor tehát a sebességvektor idő szerinti el­ső, en­nek megfelelően az elmozdulásvektor idő szerinti második differenciálhánya­dosa.

Természetesen, ahogyan a sebességet az elmozdulás, illetve a gyorsulást a sebesség diffe­renciálhányadosaként értelmeztük, a deriválás inverz matematikai műveletének, az integrálásnak a segítségével a gyorsulásfüggvényből a sebesség, illetve a sebességfüggvényből az elmozdulás idő­függvénye meghatározható, persze az adott mozgásra vonatkozó kezdeti feltételek figye­lembe­vé­telével.

Szemléletesen ez annyit jelent, hogy például a sebesség időfüggvénye alatti terület adott időpon­tok között meghatározott értéke ( a sebességfüggvény ezen időpontok közötti határozott integ­rálja) megadja az adott időpontok között megtett út nagyságát. Természetesen ugyanígy igaz az is, hogy a gyorsulásfüggvény alatti, adott időponthatárok között meghatározott terület ( a gyorsulásfüggvény adott időpontok közötti határozott integrálja) az ugyanezen időtartam alatt bekövetkezett sebességváltozást adja meg.
3. ábra
Speciális mozgások mozgástörvényei

Egyenesvonalú mozgások
Az eddigiekben értelmezett mennyiségek tetszőleges, térbeli pályán haladó test mozgástörvényeinek leírására is alkalmasak. Amint utaltunk rá, a tömegpont hely­zetét leíró helyvektora koordinátáival is megadható, és így a legáltalánosabb moz­gás leírása is visszavezethető egyenesvonalú mozgások vizsgálatára. A követ­kezőkben tehát határozzuk meg ezen egyenesvonalú mozgások esetén érvényes alap­vető összefüggéseket.

Egyenesvonalú mozgások esetén vonatkoztatási rendszerünket célszerűen úgy választjuk meg, hogy koordinátarendszerünk x tengelye a mozgás irányával egy­­beessen, hiszen így a tömegpont helyvektorának időfüggvénye r(t) = x(t) i a­lakban írható, vagyis elégséges csak a könnyen kezelhető x(t) skaláris elmozdu­lás­függvény vizsgálata, és ennek figyelembevételével nemcsak az elmozdulás, hanem a sebesség és a gyorsulás időfüggvényei is skalár egyenletekkel lesznek vizsgál­hatók.

Egyenesvonalú, egyenletes mozgás
Egyenesvonalú, egyenletes mozgás esetén a sebességnek sem a nagysága, sem az iránya nem változik:

v(t) = v₀ = állandó.

Mivel a tömegpont sebessége állandó, gyorsulása a = 0 értékű a mozgás bár­mely időpillanatában.

Az elmozdulás időfüggvényét a sebességfüggvény integrálásával határoz­hat­juk meg, ha figyelembe vesszük a megadott mozgásra érvényes kezdeti feltételt. Legyen például a t = t₀ időpontban a test az x = x₀ helyen, ekkor a keresett elmoz­du­lásfüggvény:

x(t) = x₀ + v₀ (t-t₀) .

Gyakran használjuk ennek az összefüggésnek azt a speciális esetét, amikor t₀ = 0, vagyis az időmérés kezdete egybeesik a mozgás kezdetével, ekkor az

x(t) = v₀ t ,

bizonyára mindenki számára ismerős összefüggés adódik.

Az egyenesvonalú, egyenletesen változó mozgás
A címbeli definíció a gyakorlatban azt jelenti, hogy a sebesség iránya nem, nagy­sága pedig egyenletesen változik, vagyis a sebesség változására jellemző mennyiség, a mozgás gyorsulása az időben állandó: a(t) = a = állandó.

A sebesség időfüggvényének meghatározásához vegyük figyelembe, hogy a t t = t₀ időpontban a sebesség a v₀ kezdeti sebességgel egyenlő, ekkor

v(t) = v₀ + a (t – t₀) .

Az elmozdulás, illetve a megtett út meghatározásához az előbb nyert sebes­ség­függvényt kell integrálnunk, figyelembe véve azt a kezdeti feltételt, hogy a t = t₀ időpontban a tömegpont az x = x₀ helyzetben volt:

x(t) = x₀ + v₀ (t-t₀) + a/2 (t-t₀)² .

Természetesen itt is vizsgálhatjuk azt a speciális esetet, amikor t₀ = 0 és x₀ = 0, vagyis amikor az időmérés és a mozgás kezdete az időben egybeesik, és a tömegpont a koordinátarendszerünk kezdőpontjából indul:

x(t) = v₀ t + a/2 t² ,

a feladatok megoldása során valószínűleg ezzel az összefüggéssel találkozhatunk a leg­sű­rűbben.

A feladatok megoldása során néha síkbeli mozgások jellemzőit kell meghatá­roz­nunk, vegyük csak egyszerű példaként a ferde hajítás esetét. Ebben az esetben a tömegpont helyvektora kétdimenziós, és megadható az r(t) = x(t) i + y(t) j alak­ban. A mozgás tehát összetevőire bontható :

• 
  a tömegpont egy vízszintes irányú, x(t) elmozdulásfüggvénnyel és v_0x vízszintes irányú kezdősebességgel jellemezhető, egyenesvonalú egyen­letes mozgást végez,
  
• 
  egyidejűleg egy függőleges irányú, y(t) elmozdulásfüggvénnyel és v_0y kezdősebességgel, valamint egy ezen sebességgel ellentétes irányú, g = 9.81 m/s² nagyságú nehézségi gyorsulással jellemezhető, egyenesvonalú egyenletesen változó mozgást is végez.
  

A mozgástörvények ismeretében meghatározható a tömegpont tetszőleges időpont­ban elfoglalt helyzetének vízszintes és függőleges koordinátája, vagyis a tömeg­pont helyzete egyértelműen megadható.
Speciális görbevonalú mozgások
Az egyenletes körmozgás
Az egyenletes körmozgás azt jelenti, hogy a mozgás sebességének nagysága, vagyis a sebességvektor abszolút értéke állandó, de miután a tömegpont körpályán mozog, a sebességvektor iránya változni fog, hiszen, mint azt már említettük és a későbbiekben is látni fogjuk, a sebességvektor a pályagörbe, esetünkben a körpálya mindenkori érintőjével egyező irányú.
4. ábra
Határozzuk meg a tömegpont tetszőleges t időpontbeli helyvektorát, ekkor az ábra jelöléseivel:

r(t) = x(t) i + y(t) j = r cosf i + r sinf j .

Vegyük figyelembe a mozgás egyenletességét, vagyis hogy a sebesség nagysága, azaz a sebességvektor abszolút értéke állandó :

v = lim Ds/Dt = ds/ dt = r df /dt = r ,

Dt0

ahol az

 = df/dt

összefüggéssel definiált mennyiséget – amely esetünkben, egyenletes körmozgásról lé­vén szó, az időben állandó érték, a körmozgás szögsebességének nevezzük.

A szögsebesség ismeretében a tömegpont helyvektora:

r(t) = x(t) i + y(t) j = r cosf i + r sinf j = r cost i + r sint j alakú.
A sebességvektor ennek idő szerinti differenciálhányadosa:

v(t) =dx(t)/dt i + dy(t)/dt j = - r  sin t i + r  cos t j ,
amely vektor abszolút értéke ténylegesen állandó, iránya pedig mindig merőleges az adott időponthoz tartozó sugárvektorra, tehát a körpálya érintője.
A gyorsulásvektor a sebességvektor differenciálhányadosaként adódik:

a(t) = dv/dt = - r ² cost i – r ² sint j = - r ² .

Az így definiált, a sugár irányába mutató, azzal ellentétes értelmű és állandó nagy­sá­gú vektort az egyenletes körmozgást végző tömegpont centripetális gyorsulá­sá­nak nevezzük. A centripetális gyorsulás tehát mindig sugárirányú és a kör közép­pont­ja felé mutat, nagysága pedig r ². ^.

Az egyenletesen változó körmozgás
Egyenletesen változó sebességű körmozgás esetén a sebességvektornak nemcsak az iránya, hanem a nagysága is változik, ebből következően szögsebessége sem állandó, az egyenletes változás miatt azonban a szögsebesség változására jellemző,

 = d/dt

hányadossal definiált mennyiség, a tömegpont szöggyorsulása az időben állandó.

Az állandó szöggyorsulás ismeretében meghatározható a szögsebesség időfüggvénye, figyelembe véve, hogy a t = t₀ időpontban a szögsebesség értéke éppen ₀:

(t) = ₀ + (t-t₀) .

A szögsebesség időfüggvényének ismeretében a szögelfordulás, fi­gyelembe véve, hogy a t = t₀ időpontban a tömegpont szögelfordulása f₀ volt:

 (t) =₀ + ₀ (t-t₀) + /2(t-t₀)² .

Természetesen itt is gyakran vizsgáljuk azt a speciális esetet, amikor t₀ = 0 és f₀ = 0, vagyis amikor az időmérés kezdete és a mozgás kezdete egybeesik, valamint a tömegpont az x tengelyről indul. Ebben az esetben ugyanis a könnyebben kezelhető

 (t) = ₀ t + /2 t²

összefüggés adódik.

A mozgás szögsebessége tehát az időben egyenletesen változik, ennek meg­fe­­lelően lineárisan változik a v(t) = r (t) kerületi sebesség nagyság is, vagyis meg­­ha­tá­­roz­ha­tó a már definiált centripetális gyorsulás mellett egy, a pályagörbe mindenkori érin­tő­jének irányába mutató, a változás egyenletességéből követ­kezően állandó nagy­ságú gyorsulásösszetevő, amelyet iránya után tangenciális gyorsulásnak neve­zünk, nagysága pedig az

a_t(t) = r  (t)

összefüggéssel számítható.

A változó sebességű körmozgás estén a gyorsulás említett komponensekre történő bontásának lehetősége természetesen a tetszőleges térbeli pályagörbén ha­ladó tömegpont esetében is elvégezhető: a tömegpont bármely időpontbeli gyor­su­lásvektora megadható egy a pályagörbe érintőjével megegyező irányú ( a_t(t) ), és egy arra merőleges, a pálya görbületi sugarának irányába eső, azaz normális irányú (a_n(t)) gyorsulásvektor eredőjeként.