Martin Reiche Januar 2012



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Sonnenstand

Martin Reiche 4. Januar 2012


Einführung


Als Sonnenstand oder Sonnenposition bezeichnen wir die Himmelsrichtung (Azimut) und Höhe (Elevation) der Sonne über dem Horizont. Der Sonnenstand ist eine Funktion der Tageszeit, Jahreszeit, sowie der geografischen Breite des Beobachters.

Das Programm soll den Verlauf der Sonnenposition über einen Tag grafisch darstellen; die anderen beiden Parameter Jahreszeit und geografische Breite lassen sich über Schieberegler o.ä. einstellen.


Schrittweise Entwicklung


Erster Schritt: Die kugelförmige Erde umkreist die Sonne; ihre Drehachse steht senkrecht auf der Fläche ihrer Bahn. Der Beobachter befindet sich direkt auf der Erdoberfläche.

Zweiter Schritt: Die Drehachse der Erde ist um etwa 23,4 Grad geneigt. (ε = 23,4°)

Weitere Schritte wie die Berücksichtigung der elliptischen Bahnstruktur und der daraus resultierenden Schwankungen der Umlaufgeschwindigkeiten sowie weiterer Effekte (siehe u.a. http://de.wikipedia.org/wiki/Ekliptik) erscheinen nicht lohnend.

Erster Schritt


Zum Einstieg in die Berechnung denken wir uns eine Tangentialfläche am Beobachtungspunkt auf der Erdoberfläche. Der Beobachtungspunkt rotiert und damit schließt die Verbindungslinie mit der Sonne einen ständig wechselnden Winkel mit dieser Ebene ein.

Es lassen sich Vereinfachungen annehmen, welche die Rechnung verkürzen:



  1. Weil die Entfernung Sonne-Erde sehr viel größer als deren Radien ist, reicht es, nur die „Sonnenrichtung“ zu berücksichtigen. Darum können wir uns besagte Tangentialfläche im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems denken.

  2. Die Sonne bewegt sich um die Erde, ihre Richtung wird als umlaufender Zeiger in der x-y-Ebene modelliert.

Wir erhalten folgendes Bild:

(0 Uhr)


y (Ost)

x (12 Uhr)

z (Nord)

Zenitwinkel

(West)

(Süd)


Normalenvektor

Sonnenvektor

Legende:


  • Das blaue Viereck stellt einen Ausschnitt aus der Tangentialfläche dar.

  • Der Normalenvektor zeigt zum Zenit des Beobachtungspunktes.

  • Der Sonnenvektor zeigt die Richtung zur Sonne.

  • Der Zenitwinkel spannt sich zwischen Normalenvektor und Sonnenvektor auf. Die Elevation ergibt sich aus 90° - Zenitwinkel.

Anstatt den Schnittwinkel zwischen Ebene und Sonnenvektor zu bestimmen, reicht es, den Winkel zwischen der Ebenen-Normalen und dem Sonnenvektor zu berechnen (Zenitwinkel) und daraus die Elevation (= 90° - Zenitwinkel). (Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt)

Für den Breitengrad 0 liegt die Tangentialfläche in der y-z-Ebene, auf der Nordhalbkugel ist sie um geografische Breite φ in Gegenuhrzeigerrichtung gekippt, Am Nordpol liegt sie in der x-y-Ebene.

Zur Berechnung des Azimut:

n

p



a

α

y



s

Der Azimut α entspricht dem Winkel zwischen der Projektion p des Sonnenvektors s auf die Tangentialfläche und dem Vektor a der Südrichtung.

Mit dem Normalenvektor n lässt sich s als Vektorsumme schreiben

s = λ·n + p bzw. p = λ·n - s

mit λ als skalarem Faktor. Multipliziert man beide Seiten mit n, so wird die linke Seite Null, da p ja in der Ebene und damit senkrecht auf dem Normalenvektor steht.

Man erhält: 0 = λ·n2 - s·n bzw. λ = s·n / n2

Mit diesem Wert für λ lässt sich p nach obiger Formel berechnen. Mit p und a schließlich ergibt sich der Azimut α.

Der Vektor a hat die Komponenten {sin φ, 0, -cos φ}. (φ ist die geografische Breite des Beobachtungsortes)


Zweiter Schritt


Wir modellieren den Effekt der Schiefe der Ekliptik dadurch, dass der der „Sonnenvektor“ einen jahreszeitlich abhängigen Winkel δ mit der x-y-Ebene einschließt.

Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quinoktium

Schwankungsbereich der Ekliptik gegenüber dem Äquator:
- 23° < δ < 23°

δ

x



z

Der Winkel δ schwankt sinusförmig mit der Periode 1 Jahr und nimmt am 20. Juni den maximalen Wert von 23° an. Für die Berechnung bedeutet dies, dass alle Sonnenvektoren eine zusätzliche z-Komponente in Abhängigkeit von der Jahreszeit erhalten müssen.

siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Sonnenstandsdiagramm

Breitengrade ausgewählter Orte




Nordkap

71° 10‘

Oslo

59° 55‘

Tübingen

48° 31‘

Rom

41° 53‘

Kairo

30° 3‘

Dakar

14° 40‘

Quito

0° 13‘

Darwin

-12° 27‘

Rio de Janeiro

-22° 54‘

Kapstadt

-33° 55‘

Christchurch

-43° 32‘

Kap Hoorn

-55° 59‘

Antarktis

-65° 0‘


Validierung der Rechenergebnisse

Leicht zu bestimmende Eckwerte

Richtung des Sonnenlaufs


Auf der Nordhalbkugel (oberhalb des nördlichen Wendekreises) wandert die Sonne im Tagesverlauf von Ost über Süden nach Westen, auf der Südhalbkugel von Ost über Norden nach Westen.

Tag- und Nachtgleiche


Am 20. März und 23. September klebt die Sonne am Nordpol und Südpol den ganzen Tag direkt am Horizont, am Äquator steigt sie senkrecht auf und ab, von Ost nach West.

Auf allen Breiten ist die Sonne 12 Stunden über dem Horizont.


Sonnenbahn an den Polen


An den Polen hat die Sonne den ganzen Tag über dieselbe Höhe.

Sommersonnenwende


Am 21. Juni läuft die Sonne am Nordpol den ganzen Tag auf konstanter Höhe von ε = 23,4°. Am Südpol ist die entsprechend denselben Betrag unter dem Horizont.

Am 21. Dezember tauschen diesbezüglich Nord- und Südpol ihre Rollen.

Am nördlichen Polarkreis (φ = 90 – ε = 66,6°) geht die Sonne am 21. Juni gerade nicht unter.

Am südlichen Polarkreis (φ = -90 + ε = -66,6°) geht die Sonne am 21. Dezember gerade nicht unter.


Extremwerte der Sonnenhöhe


Die maximale/minimale Sonnenhöhe eines Ortes auf der geografische Breite φ beträgt 113,4° -|φ| bzw. 66,6° - |φ|. Für ausgewählte Breiten erwartet man:

Breite

Maximale Sonnenhöhe

Minimale

Sonnenhöhe

90°

23,5

-23,5

45°

68,5

21,5

23.5°

90°

43

-30°

83,5

36,5

-90°

23,5

-23,5


Externe Referenzen


Aus dem Sonnenstandsdiagramm in http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:SonnStand49Nord.svg&filetimestamp=20110331203924 kann man folgende Werte ablesen:






22. Juli

20. März

20. Jan

Uhrzeit

Azimut

Höhe

Azimut

Höhe

Azimut

Höhe

5

-114

6

-

-

-

-

8

-81

35

-66

19

-54

3

10

-50

52

-37

35

-29

16

12

0

62

0

41

0

21

Die Programmversion vom 28.12.2011 stimmt auf weniger als 1 Grad Abweichung mit diesen Werten überein.

Alternativer Rechenansatz


Dieser Ansatz geht direkter vor und transfomiert den Normalen- und Südvektor nacheinander mit Drehmatrizen. Diese Alternative ist implementiert mit einem Fenster, das nur gelbe statt grüne Ziffern z.B. für das Datum verwendet (Ordner SunPath).

Das Vorgehen ist wie folgt:



  1. Normalen- und Südvektor werden wie gehabt auf einer Kugel modelliert.

  2. Auf diese Vektoren wird eine Drehmatrix um die Z-Achse angewendet, um die tägliche Rotation der Erde um sich selbst abzubilden.

  3. Nun wird das Koordinatensystem gedreht, um den Umlauf der Erde um die Sonne zu berücksichtigen. Das erfordert dann natürlich auch ein Drehen des Sonnenvektors.

  4. Zuletzt wird die Neigung der Erdachse um die y-Achse durch Multiplikation mit einer Y-Drehmatrix berücksichtigt.

Die Ergebnisse dieser Methode stimmen weitgehend mit der ersten überein. Allerdings ergibt sich eine kleine Komplikation: Es kommt wegen der Erdneigung zu einer Verschiebung „des Südens“, was sich darin ausdrückt, dass der Azimut bei 0 bzw. 12 Uhr nicht genau 0° bzw. 180° beträgt. Da führt wiederum zu Lücken in der Grafik bzw. Zeitverschiebungen. (Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Analemma)


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